Formelsammlung, Klausur 1

Formelsammlung, Klausur 1
Mathematik I, M, Übungen
Komplexe Zahlen
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
ac + bd bc − ad
a + bi
+ 2
i
= 2
c + di
c + d2
c + d2
(
z̄ = a − bi
√
√
z = a + bi ⇒
|z| = a2 + b2 = z z̄
Polarkoordinaten:
z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = reiϕ
Wurzeln: Die n-ten Wurzeln von r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) sind
√
ϕ
2π
ϕ
2π
n
zk = r cos
+k
+ i sin
+k
n
n
n
n
für k = 0, 1, . . . , n − 1.
Vektorrechnung
(p
x2 + x22
zweidimensional
|~x| = p 12
2
2
x1 + x2 + x3 dreidimensional
(
x1 y1 + x2 y2
zweidimensional
h~x, ~y i =
x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 dreidimensional
h~x, ~y i
cos(ϕ) =
|~
x
| · |~y | 

x2 y3 − x3 y2
Kreuzprodukt:
~x × ~y = x3 y1 − x1 y3 
x1 y2 − x2 y1
2
Geradengleichungen
imR :
r
~x = P + t 1
Parameterform
r2
r2
h~n, ~xi = h~n, P i mit ~n =
Normalform
−r1
Winkel zwischen ~x, ~y :
Ebenengleichungen im R3 :
~x = P + s~q + t~r
h~n, ~xi = h~n, P i mit ~n = ~q × ~r
Parameterform
Normalform
Abstand Q zu h~n, ~xi = h~n, P i (Gerade in R2 /Ebene in R3 ):
|h~n, Qi − h~n, P i|
|~n|
Fläche des von ~x und ~y aufgespannten Parallelogramms:
|~x × ~y |
Volumen des von ~x, ~y , ~z aufgespannten Parallelepipeds:
|h~x, ~y × ~zi|
Folgen
Geometrische Folge:


für |q| < 1
0
n
lim q = 1
für q = 1
n→∞


divergent sonst
Harmonische Folge:
1
lim
=0
n→∞ n
Majorantenkriterium: Konvergiert (an )n∈N gegen a und gilt
|bn − a| ≤ |an − a| für alle n, dann konvergiert auch (bn )n∈N
gegen a.
Einschließungskriterium: Konvergieren sowohl (an )n∈N als
auch (cn )n∈N gegen a und gilt für jedes n ∈ N
an ≤ bn ≤ cn ,
dann konvergiert auch (bn )n∈N gegen a.
Lineare Rekursionen: Hat das Polynom
xt − c1 xt−1 − c2 xt−2 − · · · − ct−1 x − ct
lauter verschiedene Nullstellen β1 , . . . , βt , dann hat die
Lösung der linearen Rekursion
an = c1 an−1 + c2 an−2 + . . . + ct an−t für n > t
die Form
an = α1 β1n + α2 β2n + · · · + αt βtn ,
wobei die Konstanten α1 , . . . , αt durch die Anfangswerte
a1 , . . . , at bestimmt werden.
Reihen
konvergent
∞
X
divergent
∞
X
1
für |q| < 1
q n für |q| ≥ 1
1
−
q
n=0
n=0
∞
∞
X
X
1
1
π2
=
2
n
6
n
n=1
n=1
Notwendige Bedingung: Eine Reihe kann nur konvergieren,
wenn die Folge ihrer Summanden
eine Nullfolge ist.
P∞
Majorantenkriterium: Besitzt
n=1
P∞an eine konvergente
Majorante, dann konvergiert auch
P∞ n=1 an .
Minorantenkriterium: Besitzt Pn=1 an eine divergente Mi∞
norante, dann divergiert auch n=1
an .
p
n
|a
Wurzelkriterium: Ist lim supn→∞
n | < 1, dann konverp
P∞
n
giert die Reihe n=1 an . Ist
|an | ≥ 1 für unendlich viele
n, so divergiert sie.
Quotientenkriterium: Ist aan+1
≤ q für ein q < 1 und alle n
n
P∞
ab einem Index N , dann konvergiert
n=1 an . Insbesondere
an+1 <
1.
Ist
konvergiert sie, falls limn→∞ aan+1
an ≥ 1 ab
n
einem Index N , dann divergiert die Reihe.
Leibniz-Kriterium: Ist (an )P
n∈N eine monotone Nullfolge,
∞
dann konvergiert die Reihe n=1 (−1)n an .
qn =
Funktionen
ex+y = ex ey ,
e0 = 1,
ln(xy) = ln(x) + ln(y),
ex = lim
n→∞
ln(1) = 0,
1+
∞
x n X xn
=
n
n!
n=0
ln(xa ) = a ln(x)
sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x)
π
π
sin x +
= cos(x), cos x +
= − sin(x)
2
2
sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x)
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(x)
cos(x)
, cot(x) =
cos(x)
sin(x)
tan(x + π) = tan(x), cot(x + π) = cot(x)
tan(x) =
tan(−x) = − tan(x),
cot(−x) = − cot(x)