Grundlagen: Graphen

Grundlagen: Graphen
Wie rechnet man mit Landkarten?
Melanie Herzog∗
Wolfgang Ferdinand Riedl†
Lehrstuhl M9 für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Technische Universität München
1 Motivation
Ein wichtiges Gebiet der Kombinatorischen Optimierung sind Routing Probleme aller Art,
d.h. Probleme bei denen es darum geht, möglichst gute Routen für Verkehrsmittel zu
nden. Beispiele sind die Bestimmung kürzester Wege in Auto-Navigationsgeräten (zum
Beispiel der kürzeste Weg von München nach Berlin, wie in Abbildung 1a), die Bestimmung
von kürzesten Rundreisen beim Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem) (in Abbildung 1b zu sehen für eine Rundreise durch 80 Städte in Deutschland) oder
die Bestimmung von kürzesten Touren für eine Flotte von Lieferwagen (Vehicle Routing
Problem). All diese Probleme setzen voraus, dass die Verkehrsinfrastruktur in einer für die
zur Lösung verwendeten Algorithmen lesbarer Form dargestellt ist. Diese Darstellung sind
die hier vorgestellten Graphen.
(a) Kürzester Weg von München nach Berlin1
(b) Rundreise in Deutschland2
Abbildung 1: Beispiele für Routing Probleme
∗
[email protected]
†
[email protected]
1
2
Quelle:
©
OpenRouteService.org, Creative Commons BY-SA 2.0
Quelle: TSP Spiel des Lehrstuhl M9 der Technische Universität München (siehe [1])
1
2 Denition
Die einfachsten Graphen bestehen aus Knoten und Kanten, wobei jede Kante genau zwei
Knoten verbindet:
G = (V, E),
wobei
V
die Menge der Knoten (vertices) und
E
die Menge der Kanten (edges) bezeichnet.
Ein Beispielgraph ist in Abbildung 2 dargestellt.
v2
v4
v1
v6
v3
Abbildung 2:
v5
G = (V, E) mit V = {v1 , . . . , v6 } und
E = {{v1 , v2 }, {v1 , v3 }, {v2 , v4 }, {v3 , v4 }, {v3 , v5 }, {v4 , v5 }, {v4 , v6 }, {v5 , v6 }}
Sind die Kanten gerichtet, spricht man von einem gerichteten Graphen. Die Kantenmenge
bezeichnet man dann oft mit
A
(arcs) statt
E.
Für ein Beispiel für einen gerichteten
Graphen siehe Abbildung 3.
v2
v4
v1
v6
v3
Abbildung 3:
v5
G = (V, A) mit V = {v1 , . . . , v6 } und
A = {(v1 , v2 ), (v1 , v3 ), (v2 , v4 ), (v3 , v4 ), (v3 , v5 ), (v4 , v5 ), (v4 , v6 ), (v5 , v6 )}
In vielen Anwendungen sind nicht alle Kanten gleichwertig. Daher werden Gewichte eingeführt:
G = (V, E, w),
dabei ist
w:E→R
die Gewichtsfunktion. Sind die Kanten eines
Graphen gewichtet, spricht man von einem gewichteten Graphen (siehe Abbildung 4).
1.2
v3
Abbildung 4:
0.7
0.3
v4
2.0
v1
v2
1.5
0.5
0.8
1.0
v6
v5
G = (V, A, w) mit V = {v1 , . . . , v6 },
A = {(v1 , v2 ), (v1 , v3 ), (v2 , v4 ), (v3 , v4 ), (v3 , v5 ), (v4 , v5 ), (v4 , v6 ), (v5 , v6 )} und
w(v1 , v2 ) = 0.5, w(v1 , v3 ) = 1.2, w(v2 , v4 ) = 0.7, w(v3 , v4 ) = 1.5, w(v3 , v5 ) =
0.3, w(v4 , v5 ) = 2.0, w(v4 , v6 ) = 0.8, w(v5 , v6 ) = 1.0
2
3 Anwendung
Das Übersetzen der Verkehrsinfrastruktur in einen Graphen wird im Folgenden am Beispiel
eines Straÿennetzes dargestellt. Oft liegen dafür eine Straÿenkarte wie in Abbildung 5a oder
entsprechende Geodaten vor. Daraus wird in einem ersten Schritt eine Entfernungskarte
berechnet, siehe Abbildung 5b, um diese abschlieÿend in einen Graphen, siehe Abbildung
5c umzuwandeln.
(a) Straÿenkarte3
(b) Entfernungskarte4
74
v7
79
10
1
v4
v9
50
v1
105
68
82
v3
162
95
98
v5
111
v2
86
v6
65
v8
(c) Graph
Abbildung 5: Von der Straÿenkarte zum Graph
4 Strukturen
Häug beschäftigt man sich mit bestimmten Strukturen von Graphen. Die wichtigsten
werden im Folgenden vorgestellt.
4.1 Pfade, Wege und Kreise
Denition 4.1 (Weg):
Sei G = (V, E) ein Graph, s, t ∈ V ein Start- und Zielknoten. Ein s-t-Weg ist eine Folge
W = (w1 , . . . , wk ), k ∈ N, mit w1 = s, wk = t, wi ∈ V für alle i ∈ {1, . . . , k} und
3
4
Quelle:
©
OpenStreetMap.org Mitwirkende, Creative Commons BY-SA 2.0
Quelle: Eigene Darstellung
3
{wi , wi+1 } ∈ E für alle i ∈ {1, . . . , k − 1}.
Ist G = (V, E, w) ein gerichteter Graph, so ist die Länge des Weges W
w(W ) :=
k−1
X
w({wi , wi+1 }).
i=1
Denition 4.2 (Pfad):
Sei G = (V, E) ein Graph, s, t ∈ V ein Start- und Zielknoten. Ein s-t-Pfad ist ein s-t-Weg
bei dem alle Knoten paarweise verschieden sind.
Abbildung 6 illustriert den Unterschied zwischen Pfaden und Wegen.
v2
v4
v1
v6
v3
(a)
v2
v4
v1
v5
v6
v3
W = (v1 , v2 , v4 , v3 , v5 , v4 , v6 ) ist ein Weg, aber
(b)
v5
P = (v1 , v2 , v4 , v6 )
ist ein Pfad
kein Pfad
Abbildung 6: Unterschied zwischen Wegen und Pfaden
Denition 4.3 (Zykel):
Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Zykel ist ein geschlossener Weg, d.h. eine Folge C =
(w1 , . . . , wk ), k ∈ N, mit w1 = wk , wi ∈ V und {wi , wi+1 } ∈ E für alle i ∈ {1, . . . , k}.
Denition 4.4 (Kreis):
Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Kreis ist ein Zykel bei dem alle Knoten paarweise verschieden sind.
In Abbildung 7 ist der Unterschied zwischen Zykeln und Kreisen dargestellt. Für alle in
diesem Unterabschnitt vorgestellten Strukturen gibt es Analoga auf gerichteten Graphen.
v2
v4
v1
v6
v3
(a)
v2
v1
v5
Z = (v1 , v2 , v4 , v6 , v5 , v4 , v3 , v1 )
v4
v6
v3
ist ein Zykel,
(b)
v5
C = (v1 , v2 , v4 , v3 , v1 )
ist ein Kreis
aber kein Kreis
Abbildung 7: Unterschied zwischen Zykeln und Kreisen
4.2 Bäume, Spannbäume
Denition 4.5 (Baum):
Sei G = (V, E) ein Graph. Die Kantenmenge T ⊂ E heiÿt Baum, wenn sie zusammenhängend ist und keine Kreise enthält.
4
Denition 4.6 (Spannbaum):
Sei G = (V, E) ein Graph. Die Kantenmenge T ⊂ E heiÿt Spannbaum, wenn sie ein Baum
ist und alle Knoten enthält.
Abbildung 8 illustriert die Denition der Struktur Baum und Spannbaum.
v2
v4
v1
v6
v3
(a)
v5
{{v1 , v2 }, {v2 , v4 }, {v3 , v4 }, {v4 , v5 }} ist ein
Baum, aber kein Spannbaum, da v6 nicht enthalten ist
v2
v4
v1
v6
v3
(b)
v5
{{v1 , v2 }, {v3 , v4 }, {v4 , v5 }} ist kein Baum, da
die Kantenmenge nicht zusammenhängend ist
v2
v4
v1
v6
v3
(c)
v5
{{v2 , v4 }, {v3 , v4 }, {v3 , v5 }, {v4 , v5 }}
ist kein
Baum, da die Kantenmenge einen Kreis enthält
v2
v4
v1
v6
v3
(d)
v5
{{v1 , v2 }, {v2 , v4 }, {v3 , v4 }, {v4 , v5 }, {v5 , v6 }}
ist ein Spannbaum, da die Kantenmenge alle
Knoten enthält
Abbildung 8: Denition Baum
5 Einfache und grundlegende Algorithmen
Es gibt einige grundlegende Algorithmen, welche häug auf Graphen ausgeführt werden.
Zwei dieser Algorithmen sind die Breiten- und Tiefensuche. Diese besuchen die Knoten
eines Graphen in einer bestimmten Reihenfolge und können verwendet werden, wann immer
man die Knoten eines Graphen in einer systematischen Reihenfolge besuchen will.
5
Will man einen minimalen Spannbaum eines Graphen berechnen, so kann man dazu beispielsweise den Algorithmus von Kruskal verwenden. Dieser berechnet einen minimalen
Spannbaum, das heiÿt einen Baum, welcher alle Knoten enthält und der zugleich eine
möglichst kleine Summe von Kantengewichten hat.
5.1 Breitensuche
Bei der Breitensuche werden die Knoten des Graphen ausgehend von einem Startknoten
schichtweise besucht, das heiÿt erst werden die direkten Nachbarn des Startknoten besucht,
dann deren Nachbarn und so weiter. Die Breitensuche ist in Algorithmus 1 dargestellt.
Algorithmus 1 Breitensuche
Eingabe: G = (V, E, w), s ∈ V
Ausgabe: Besuchsreihenfolge der Knoten
1: for v ∈ V do
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Besuchsnr(v) ← ∞
end for
Q ← {s}
nr ← 1
while Q 6= ∅ do
v ← Q.f irst
Besuchsnr(v) ← nr
nr ← nr + 1
for w ∈ V : w ist Nachbar von v
Q ← Q ∪ {w} . Füge noch
end for
end while
.
Füge Startknoten in Warteschlange ein
.
.
und
Entferne ersten Knoten aus
Q
Merke Besuchsnummer des Knoten
Besuchsnr(w) = ∞
do
nicht besuchte Nachbarn von
Zu Beginn ist in der Warteschlange der noch zu besuchenden Knoten
ten. So lange noch Knoten besucht werden müssen (das heiÿt
Q
v
zu Warteschlange
Q
nur der Startkno-
nicht leer ist) wird immer
Q entfernt und mit seiner Besuchsnummer markiert. Danach werden
zu Q hinten hinzugefügt, sofern sie nicht schon besucht wurden.
der erste Knoten aus
alle seine Nachbarn
Dadurch, dass die Knoten hinten zu
Q hinzugefügt, aber von vorne weggenommen werden,
werden die Knoten wie oben dargelegt schichtweise abgearbeitet.
5.2 Tiefensuche
Im Gegensatz zur Breitensuche werden die Knoten bei der Tiefensuche nicht schichtweise
besucht. Vielmehr sucht man zuerst in die Tiefe und versucht, so weit wie möglich in den
Graphen vorzudringen.
Dennoch funktioniert die Tiefensuche ähnlich zur Breitensuche, wie in Algorithmus 2 zu
erkennen ist.
Der einzige Unterschied zur Breitensuche ist, dass nun immer der letzte Knoten (das heiÿt
der zuletzt eingefügte) Knoten aus der Warteschlange
Q
entfernt und benutzt wird. Hier-
durch arbeitet man nicht zuerst alle Nachbarn des Startknoten und dann deren Nachbarn
usw. ab, sondern entfernt sich immer weiter von ihm, bis man keine unbesuchten Knoten
mehr erreichen kann.
6
Algorithmus 2 Tiefensuche
Eingabe: G = (V, E, w), s ∈ V
Ausgabe: Besuchsreihenfolge der Knoten
1: for v ∈ V do
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
Besuchsnr(v) ← ∞
end for
Q ← {s}
nr ← 1
while Q 6= ∅ do
v ← Q.last
Besuchsnr(v) ← nr
nr ← nr + 1
for w ∈ V : w ist Nachbar von v
Q ← Q ∪ {w} . Füge noch
end for
end while
.
Füge Startknoten in Warteschlange ein
.
.
und
Entferne letzten Knoten aus
Q
Merke Besuchsnummer des Knoten
Besuchsnr(w) = ∞
do
nicht besuchte Nachbarn von
v
zu Warteschlange
5.3 Vergleich von Breiten- und Tiefensuche
Wir wollen die beiden vorgestellten Algorithmen nun an Hand des Graphen aus Abbildung
9a vergleichen. Hierzu wählen wir als Startknoten den Knoten
v1 .
Das Ergebnis der Breitensuche ist in Abbildung 9b zu sehen. Es ist klar zu erkennen, dass
alle Nachbarn von
Nachbarn von
man von
v1
v2
v1
zuerst besucht werden (v2 ,
v3
und
v4
besucht, danach die Nachbarn von
v4 ). Anschlieÿend werden alle
v5 (also alle Knoten, welche
und
mit zwei Kanten erreichen kann). Zuletzt kommen die noch weiter entfernten
Knoten (hier nur noch
v6 ). Die fett gedruckten Kanten zeigen an, von welchem Knoten aus
ein weiterer Knoten besucht wurde.
Bei der Tiefensuche sieht man sofort, dass die Knoten in einer anderen Reihenfolge besucht
wurden. Die Suche geht von
besucht also anschlieÿend
v5 ,
v1
zu
v2
und von dort immer weiter, so lange es geht. Sie
geht dann weiter zu
v7
und schlussendlich zu
v4 .
Von dort
aus kann sie keine neuen Knoten mehr besuchen, sie macht also an der letzten Möglichkeit
weiter, was heiÿt dass sie von
v2
weiter zu
v8
und
v6
geht.
5.4 Algorithmus von Kruskal
Der Algorithmus von Kruskal berechnet für einen zusammenhängenden gewichteten Graphen einen minimalen Spannbaum
P
e∈M
c(e).
M,
Das Vorgehen ist in Algorithmus 3 beschrieben.
Der Algorithmus fügt also Kanten zu
(solange
M
das heiÿt einen Spannbaum mit minimalen Kosten
M
hinzu, solange dadurch kein Kreis geschlossen wird
also noch ein Baum ist). Es ist klar, dass dadurch am Ende ein Spannbaum
entsteht. Um zu zeigen, dass dieser Spannbaum auch minimal ist, braucht man etwas mehr
Hintergrundwissen, weshalb hier darauf verzichtet wird.
Beispiel 5.1:
Suchen wir für den Graphen aus Abbildung 10a einen minimalen Spannbaum, so können
wir diesen mit den Algorithmus von Kruskal nden. Ein mögliches Ergebnis ist dann der
in Abbildung 10b gezeigte Spannbaum.
7
v3
v5
v7
v1
v2
v8
v6
v4
(a) Was ist das Ergebnis von Breiten- und Tiefensuche mit Startknoten
v1 ?
v3
4
v5
v3
4
v5
5
v7
3
v7
7
5
1
v1
3
v4
8
v6
1
v2 2
v1
6
v8
v4
6
(b) Ergebnis der Breitensuche mit Startpunkt
v1
8
v6
v2 2
v8
7
(c) Ergebnis der Tiefensuche mit Startpunkt
v1
Abbildung 9: Vergleich von Breiten- und Tiefensuche
6 Übungsaufgaben
Aufgabe 6.1:
Betrachte den Graphen aus Abbildung 2 und W = (v1 , v3 , v4 , v3 , v5 , v6 ). Ist W
ˆ ein Weg?
ˆ ein Pfad?
ˆ ein Baum?
Aufgabe 6.2:
Betrachte den Graphen aus Abbildung 4 und W = (v1 , v3 , v4 , v5 , v6 ). Was ist die Länge
dieses Pfades?
Aufgabe 6.3:
Begründe: Ein Weg, der keine Zykel enthält, ist ein Pfad.
Aufgabe 6.4:
ˆ Ist jeder Pfad ein Baum?
ˆ Ist jeder Weg ein Baum?
Aufgabe 6.5:
Führe Breiten- und Tiefensuche auf dem Graphen aus Abbildung 5c aus.
8
Algorithmus 3 Algorithmus von Kruskal
Eingabe: G = (V, E, w)
Ausgabe: Minimaler Spannbaum M
1: Sortiere Kanten
E
so, dass
M ←∅
for i ∈ {1, . . . , m} do
if M ∪ {ei } ist kreisfrei
M ← M ∪ {ei }
2:
3:
4:
5:
c(e1 ) ≤ c(e2 ) ≤ . . . c(em )
then
end if
end for
6:
7:
6
v3
5
v5
4
v5
v7
v3
3
v7
3
2
4
3
6
3
4
v1
v2
v1
v2
1
1
v4
4
3
v8
v8
v6
v4
(a) Wie sieht ein minimaler Spannbaum auf diesem gewichteten Graphen aus?
v6
(b) Ein minimaler Spannbaum
Abbildung 10: Der Algorithmus von Kruskal
Aufgabe 6.6:
Eine häuge Anwendung von Breiten- oder Tiefensuche ist der Test, ob ein Graph zusammenhängend ist. Woran erkennt man am Ergebnis des Algorithmus, ob der Graph zusammenhängend ist?
Aufgabe 6.7:
Finde einen Graphen, auf welchem Breiten- und Tiefensuche die Knoten in der selben
Reihenfolge besuchen.
Aufgabe 6.8:
Informiere Dich über Algorithmus von Prim und führe ihn auf dem Graphen von Abbildung
10a aus. Was gilt für die Ergebnisse der beiden Algorithmen?
ˆ Die erhaltenen Graphen sind immer Spannbäume.
ˆ Die erhaltenen Graphen haben das gleiche Gewicht.
ˆ Die erhaltenen Graphen sind immer gleich.
Aufgabe 6.9:
Finde auf dem Graphen aus Abbildung 5c einen minimalen Spannbaum.
9
Literatur
[1]
M9 Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik, TU München.
TSP Spiel. Juli 2012. url: http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/TSPStarten.
10