Ubungsblatt 6

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 6
(Abgabe bis Donnerstag 26.11.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Umformungen)
5 Punkte
Vereinfachen Sie mittels aussagenlogischer Äquivalenzen gemäß Vorlesung Seite 20 die folgende Formel soweit, wie möglich:
(p ∨ ¬r ∨ s) ∧ (q ∨ ¬(¬p ∧ r)) ∧ (¬s ∨ p ∨ ¬r)
Geben Sie alle Schritte und verwendeten Regeln an. Beachten Sie dabei: Assoziativität und
Symmetrie (z.B. kann man wegen ¬¬A =||= A auch A durch ¬¬A ersetzten) muss nicht
erwähnt werden. Wenn Sie eine Formel mit (evtl. mehrfacher) Kommutativität (und evtl.
Assoziativität) umsortieren wollen, ist dies ein Schritt.
Aufgabe 2: (Modell)
3 Punkte
Zum Beweis des Modell-Lemmas wird eine Folge endlicher konsistenter Mengen M1 S
⊆ M2 ⊆
M3 . . . behandelt. Beweisen Sie, dass für jede solche Folge die Vereinigung M = ∞
i=1 Mi
konsistent ist.
Dabei dürfen Sie bei dieser Aufgabe nur Ergebnisse verwenden, die im Skript vor dem ModellLemma stehen.
Aufgabe 3: (Hilbert-Kalkül)
2 + 4 + 4 = 10 Punkte
1. Beweisen Sie, dass die abgeleitete Regel
¬¬A
in Proposition 2.10 ii) gilt.
A
2. Leiten Sie im Hilbert-Kalkül her:
` (A → ¬B) → (B → ¬A)
Verwenden Sie dabei nur die Axiome 1-3, Modus Ponens, das Deduktionstheorem und
die abgeleitete Regel aus Aufgabenteil 1.
Tipp: Verwenden Sie folgende Zeile in Ihrer Herleitung:
A → ¬B ` ¬¬A → ¬B
3. Leiten Sie im Hilbert-Kalkül her:
` (p → (q → (q → r))) → (p → (q → r))
Sie dürfen diesmal die Axiome 1-3, Modus Ponens, das Deduktionstheorem sowie die
Tautologie ` (A → (A → B)) → (A → B) verwenden.
Aufgabe 4: (Konsistenz)
Beweisen Sie zunächst:
7 Punkte
M ∪ {A ∧ B} =||= M ∪ {A, B}
Sind die folgenden Formelmengen konsistent? Begründen Sie ihre Antwort – und zwar im
negativen Fall gestützt auf Definition 2.12. – evtl. nach vorherigen Umformungen mit Ergebnissen aus der Vorlesung (Begründung!) und dem eben bewiesenen Zusammenhang. Überlegen
Sie sich, wie man am besten eine positive Antwort begründen kann.
Übungsblatt 6 (Logik für Informatiker WS 15/16)
1. M1 = {¬q, r → (¬p → q), ¬(p ∨ ¬r)}
2. M2 = {¬p ∨ (q → r), p → q, ¬(p → r)}
3. M3 = {¬p ↔ q, p → r, ¬p)}
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