File - Physik Skripte

Theoretische Physik C
Quantenmechanik
Wolfgang Voos
[email protected]
Oktober 1996
Inhaltsverzeichnis
1 Einfuhrung
1.1 Charakterisierung und Einordnung der Quantenmechanik . . . .
1.2 Beispiele fur Quanteneekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Dualismus Welle $ Teilchen
2.1
2.2
2.3
2.4
Klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . .
Klassische Elektrodynamik . . . . . . . . . .
Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spektralzerlegung und Fouriertransformation
2.4.1 Spektralzerlegung . . . . . . . . . . .
2.4.2 Fouriertransformation . . . . . . . . .
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3 Materiewellen und Schrodingergleichung
11
4 Qualitatives Verstandnis einfacher Falle
14
5 Mathematische Hilfsmittel
19
3.1 Realisierung des Konzepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Teilchen als Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Heisenberg'sche Unscharferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Stationare Zustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Stufenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Tunneleekt (qualitativ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1
5.2
5.3
5.4
Hilbertraum der Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthonormierte Systeme, Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Funktionen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Wichtige Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Dirac-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Operatoren in Matrixdarstellung, Eigenwertprobleme von Matrizen
5.6.1 Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
6 Postulate der Quantenmechanik
30
6.1 Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Folgerungen aus den Postulaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Beispiel: Zwei-Zustandssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 Eindimensionaler harmonischer Oszillator
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . .
Losung der Schrodingergleichung . . . . . . . .
Erzeuger und Vernichter . . . . . . . . . . . . .
Unscharfen im Grundzustand . . . . . . . . . .
Koharente Zustande . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Zeitliche Entwicklung der ji Zustande
7.5.2 Vollstandigkeit der ji Zustande . . . .
7.5.3 Erwartungswerte fur Ort und Impuls . .
7.5.4 Unscharfen koharenter Zustande . . . .
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45
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46
47
8 Elektronenspin
48
9 Der Drehimpuls in der Quantenmechanik
52
8.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2 Spin im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.1 Einfuhrung des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik . . . . . . . . .
9.1.2 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Eigenfunktionen von Lz und L . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.4 Algebraische Behandlung des Drehimpulses . . . . . . . .
9.2 Drehimpuls und Drehsymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Transformationen und Invarianzbedingungen . . . . . . .
9.2.2 Ortstranslationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.3 Zeittranslationen fur zeitunabhangige Hamiltonfunktionen
9.2.4 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Zeitunabhangiges Zentralpotential
10.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . .
10.2 Das Wasserstoatom . . . . . . . .
10.3 Isotroper harmonischer Oszillator .
10.3.1 Kartesische Koordinaten . .
10.3.2 Kugelkoordinaten . . . . . .
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11.1 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Stationare Streuzustande . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude
11.2.2 Berechnung von fE (; ) . . . . . . . . . .
11.2.3 Born'sche Naherung . . . . . . . . . . . .
11.3 Streuung am Zentralpotential: Partialwellen . . .
11.3.1 Ebene und spharische Wellen . . . . . . .
11.3.2 Phasenverschiebung bei Streuung . . . . .
11.3.3 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt
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11 Streutheorie
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79
11.3.4 Optisches Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
12 Zeitunabhangige Storungstheorie
12.1 Allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Nicht entarteter Fall . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Gute der Naherung . . . . . . . . . . . . . .
12.1.3 Entarteter Fall . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Fein- und Hyperfeinstruktur des Wasserstoatoms
12.2.1 Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Zeeman-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Mehrteilchensysteme
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13.1 Zweiteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Klassischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Quantenmechanischer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3 Formale Aspekte zu Zweiteilchensystemen . . . . . . . . .
13.2 Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Klassische Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Quantenmechanische Betrachtung . . . . . . . . . . . . .
13.2.3 Beispiel: System mit zwei identischen Spin- 12 -Teilchen . .
13.2.4 Permutationsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6 Vollstandig symmetrische/antisymmetrische Zustandsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7 Erganzung der Postulate der Quantenmechanik . . . . . .
13.2.8 Aufhebung der Austauschentartung . . . . . . . . . . . .
13.2.9 Slater-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.10Austauschterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.11Beispiel: Streuung identischer Teilchen . . . . . . . . . . .
iii
81
81
81
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84
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Vorwort
Dieses Skript entstand nach der Vorlesung Theorie C, die Prof. Mannel im Wintersemester 1995/96 an der Uni Karlsruhe gehalten hat. Es versucht weitgehend,
den Inhalt der Vorlesung wiederzugeben (mit einigen Erganzungen), und will
und kann kein Lehrbuch ersetzen. Eher ist es zum schnellen Nachlesen bereits
bekannter (und wieder vergessener) Fakten geeignet.
Dieses Skript ist nicht von Prof. Mannel autorisiert, der deshalb auch nicht fur
eventuelle Fehler verantwortlich ist. Trotz aller Muhe meiner beiden "Korrektoren\ Stefan Bekavac und Thorsten Seidensticker, konnen Fehler nicht ausgeschlossen werden. Die Benutzung dieses Skripts erfolgt daher auf eigene Gefahr!
Falls jemand noch sachliche Fehler ndet, kann er sie mir (mit Seitennummer
und Korrektur bitte) per e-Mail zusenden:
[email protected]
Mein Dank geht an dieser Stelle an Stefan und Thorsten fur ihre unermudlichen Versuche, mich mit immer neuen Korrekturvorschlagen in den Wahnsinn
zu treiben :-), und fur ihre Aufzeichnungen aus der Vorlesung. Von Thorsten
ist auch der Abschnitt 5.6 uber Matrizenschreibweise von Operatoren, ein Kapitel, das in der Vorlesung nicht behandelt wurde, aber auf den U bungsblattern
standig benotigt wird. Auerdem schrieb er den laut ihm zum Verstandnis unbedingt notigen Abschnitt 9.2.1 und beschrieb das Allgemeines Verfahren
zur Konstruktion der j1; j2; J; M -Zustande.
j
Karlsruhe, Oktober 1996,
i
Wolfgang Voos
iv
v
Kapitel 1
Einfuhrung
1.1 Charakterisierung und Einordnung der Quantenmechanik
Bis Ende des letzten Jahrhunderts konnte man die Phanomene der Physik mit
alltaglichen Erfahrungen identizieren. Das anderte sich, als man versuchte, die
Vorgange im atomaren und kosmologischen Bereich zu verstehen. Es zeigte sich,
da bei kleinen Energien und/oder groen Geschwindigkeiten die Methoden der
klassischen Physik nicht mehr anwendbar sind. So entstanden die Quanten- und
die Relativitatstheorie.
Die Relativitatstheorie ergab sich aus der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit c.
Den klassischen kann man sich aus dem allgemeinen Fall durch den Grenzubergang c ! 1 hervorgegangen denken.
Charakteristisch fur die Quantenmechanik ist die Quantisierung der Energie,
d.h. die Tatsache, da Energie in "Portionen\, den Energiequanten, ubertragen
wird. Wichtig ist hier die Planck'sche Konstante ~, die im klassischen Fall als 0
betrachtet werden kann.
Berucksichtigt man beide Verallgemeinerungen, c 6= 1 und ~ 6= 0, so entsteht
die relativistische Quantenmechanik oder Quantenfeldtheorie (siehe auch Abb.
1.1).
1.2 Beispiele fur Quanteneekte
Mitte bis Ende des 19. Jahrhunderts stie man auf einige Eekte, die sich klassisch nicht erklaren lieen:
die Strahlung schwarzer Korper ("Ultraviolett-Katastrophe\)
der photoelektrische Eekt
der Compton-Eekt
die Emissionsspektren von Atomen
1
klassische Mechanik:
~!0 c!1
c 6= 1
~ 6= 0
R
klass. E-Dyn.,
relat. Mechanik:
~ ! 0 c 6= 1
Quantenmechanik:
~ 6= 0 c ! 1
c 6= 1
R
relat. Quantenmech.,
Quantenfeldtheorie:
~ 6= 0 c 6= 1
~ 6= 0
Abbildung 1.1: U bergange zu den neuen Theorien
(a) Schwarzkorper-Strahlung
Das spektrale Emissionsvermogen Es(!; T) des schwarzen Korpers entspricht
der abgestrahlten Energie im Frequenzintervall [!; !+d!] bei der Temperatur T .
Die klassische Theorie erhalt hierfur:
2
(1.1)
Es (!; T) = 4!2c2 kT
mit k = 1; 38066 10 23 J K 1 , der Boltzmann-Konstanten. Integriert man
hieruber von 0 bis 1, d.h. uber den gesamten Frequenzbereich, so divergiert
das Integral, d.h. der Korper wurde unendlich viel Energie abstrahlen. Da dies
naturlich nicht sein kann, suchte man nach besseren Losungen. Planck konnte
schlielich eine Losung nden, die den experimentellen E(T)-Zusammenhang
sehr gut wiedergab, mute dafur aber annehmen, da Strahlungsenergie bei einer
bestimmten Frequenz nur in Vielfachen einer Grundgroe, dem sogenannten
Lichtquant, abgestrahlt werden kann:
E = n~!
n = 1; 2; : : :
Mit dieser Annahme erhielt er das nicht divergierende Gesetz:
3
Es (!; T) = 4~!2 c2 e~!=(kT1 ) 1
(1.2)
und ~ = 2h = 1; 05457266 10 34 Js (heutiger Wert) aus der Anpassung an
die experimentelle Kurve. Macht man in obiger Formel (1.2) "just for fun\ einmal den Grenzubergang ~ ! 0, so erhalt man (z.B. mit l'Hospital)
sofort die
klassische Beziehung (1.1).
2
- eI
7
U
Abbildung 1.2: Photoelektrischer Eekt: Licht der Frequenz trit auf die Kathode einer Vakuumrohre. Dadurch werden Elektronen freigesetzt, so da ein
Strom I durch die Anordnung ieen kann.
(b) photoelektrischer Eekt
Der in Abb. 1.2 schematisch aufgezeichnete Versuch wurde erstmals 1887 von
Hertz durchgefuhrt. Dabei erhielt er folgende Ergebnisse:
1. I = 0 fur alle Frequenzen < 0, wobei 0 nur vom Material der Kathode
abhangt
2. Die Gegenspannung U, fur die der Strom verschwindet, ist Us = h( e )
3. Die Anzahl der freigesetzten e- 's (=^ Strom) ist proportional zur Lichtintensitat
Die Grenzfrequenz in 1. lat sich klassisch nicht erklaren. Insgesamt bestatigt
der Versuch aber die Planck'sche Annahme und zeigt, da mit der Frequenz der
Lichtquanten auch die Energie feststeht, die sie besitzen. Damit kann man den
Lichtquanten auch einen Impuls ~p zuordnen und zwar mit:
0
p
jp~j c = E 2 m2 c4
m=0
!E
) c jp~j = h = ~!
Fuhrt man noch den Wellenzahlvektor ~k ein, fur den gilt: ~k = !c und der in
die Ausbreitungsrichtung des Lichts zeigt, so erhalt man die Planck-EinsteinRelationen :
E = ~!
(1.3)
~p = ~~k
(c) Compton-Eekt
Das ist der wohl bekannte Eekt der Streuung von Lichtquanten an Elektronen,
wobei sich die Wellenlange des gestreuten Lichtes abhangig vom Streuwinkel
zu langeren Wellenlangen hin verschiebt. Betrachtet man Licht als Welle, so ist
eine solche Wellenlangenanderung nicht erklarbar. Sieht man Licht jedoch als
Licht"teilchen\ (Quanten), die einen Sto mit den Elektronen ausfuhren, so ist
klar, da sich dabei ihre Energie und damit die Frequenz = E andert.
h
3
(d) Emissionsspektren von Atomen
Die scharfen Linien der Spektren von Atomen waren auch etwas, das man nicht
verstehen konnte, da klassisch gesehen das System Atom/Elektron ein HertzDipol ist und damit standig Energie in Form von elektromagnetischen Wellen abstrahlen mute () kontinuierliches Spektrum). Das wurde jedoch dazu
fuhren, da das e- auf einer Spiralbahn in den Kern sturzt. Man fand recht
bald ein empirisches Gesetz fur die scharfen Linien des Wasserstospektrums,
namlich:
1 = const : 1 1
n1; n2 = 1; 2; 3; : :: n1 < n2
n21 n22
Dies fuhrte zum Bohr'schen Atommodell, mit den folgenden Postulaten:
nur Elektronenbahnen mit dem Drehimpuls n~ 1 und n 2 N sind erlaubt,
was fur den Fall von Kreisbahnen mit Radius r auf mvr = n~ fuhrt
auf diesen Bahnen bewegt sich das Elektron strahlungsfrei
Elektronen konnen von einer Bahn der Energie E zu einer anderen mit
Energie E 0 springen und dabei die Energiedierenz als Photon aussenden:
~! = E E 0
Betrachtet man Kreisbahnen im Coulomb-Zentralfeld, so erhalt man:
ze2 = mv2 ) v = ze2 ) r = n2 ~2
r2
r
n~
ze2 m
2 )2
2
E = 12 mv2 zer = = 12 (ze
m
2
~ n2
1
wurde spater erweitert auf:
H
pi dqi
= ni ~ fur alle assoziierten Koordinaten und Impulse
4
Kapitel 2
Dualismus Welle $ Teilchen
2.1 Klassische Mechanik
Die klassische Mechanik beschreibt Systeme durch ihre Hamiltonfunktion
X
H(p; q) = q_i pi L
i
(L { Lagrangefunktion des Systems) in den verallgemeinerten Koordinaten (q)
und Impulsen (p). Fur ein Teilchen in einem zeit- und geschwindigkeitsunabhangigen Potential ergibt sich zum Beispiel mit L = T V die Hamiltonfunktion: H(p; q) = 2pm + V (q).
Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus der Hamiltonfunktion zu:
q_ = @H
(2.1)
p_ = @H
@q
@p
Die Trajektorien (=^ Losungen der Gleichungen p(q)) lassen sich im Phasenraum
darstellen, in dem p uber q aufgetragen wird. Jeder Punkt im Phasenraum
entspricht einem Zustand des Systems.
2
2.2 Klassische Elektrodynamik
Die klassische Elektrodynamik beschreibt Systeme durch die vier Maxwellgleichungen, die im Falle ohne freie Ladungen und Strome ( 0, ~j = 0) lauten:
rot E~ = 1c B~_
div E~ = 0
rot B~ = 1c E~_
div B~ = 0
Aus diesen Gleichungen erhalt man durch
1 E~ = rot B~_
c
= c rot rot E~
= c(grad div E~ 4 E~ )
= c 4 E~
5
die Wellengleichung
1 ~
~
(2.2)
c2 E = 4 E
Eine Losung hiervon ist z.B. die ebene Welle:
E~ = E~ 0e ^{!t+^{~k~x
mit ! = c ~k und ~kE~ 0 = 0.
Aus zwei beliebigen Losungen der Wellengleichung kann man sich beliebig viele
andere zusammenbasteln\, denn es gilt das Superpositionsprinzip :
Sind E~ 1"(~x; t) und E~ 2 (~x; t) Losungen der Wellengleichung, dann ist auch jede
~ x; t) = E~ 1(~x; t) + E~ 2 (~x; t) (mit ; konstante Faktoren) eine
Funktion E(~
Losung.
Eine andere Form von (2.2) ist die sogenannte Wellengleichung fur Potentiale:
1
c2 = 4 deren Losungen ebenfalls die Form von ebenen Wellen annehmen:
(~x; t) = 0e ^{!t+^{~kx~ !(~k ) = c ~k
bzw., mit den Planck-Einstein-Relationen (1.3):
= 0 e ~{ Et+ ~{ ~p~x
Hat man eine ganze Verteilung f(~k ) solcher ebener Wellen, so erhalt man ein
Wellenpaket (~x; t) mit
1 Z d3k f(~k )e ^{!t+^{~kx~
(~x; t) = (2)
3
 diese Beziehung kann
wobei ! = !(~k ) Dispersionsrelation genannt wird. Uber
man zwei weitere charakteristische Groen des Wellenpakets berechnen, die
Gruppen- und Phasengeschwindigkeit:
~ ~
Phasengeschwindigkeit: ~vp = !(~k) ~k
jkj jk j
~
Gruppengeschwindigkeit: ~vg = r~k !(~k)
Die physikalische Bedeutung der Phasengeschwindigkeit ist bekannt:
sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der die einzelnen Wellen (jeweils mit eigenem Wellenvektor ~k) wandern. Da ! von ~k abhangt, laufen die Wellen mit der
Zeit auseinander, jedoch gilt:
~ !(~k) + (Taylor-Entwicklung)
!(~k) = !(~k0) + (~k ~k0) r
~k=~k
Z d3 k
~
~
~k )~vg t+^{~kx~
^
{
!
(
k
)
t
^
{
(
k
(~x; t) = (2)3 f~k (~k) e
Z d3 k
~k )t+^{~k ~x
^
{
!
(
~ ^{(~k ~k )(~vg t ~x)
e
(2)3 f~k (k) e
Die Hauptbeitrage zu diesem Integral sind die Stellen, an denen die e-Funktion
1 ist, d.h. wenn ~x = ~vg t. Das bedeutet, da sich der Schwerpunkt des Wellenpaketes mit ~vg fortbewegt.
^
^
0
0
0
0
0
0
0
0
6
2.3 Doppelspalt
Ein Charakteristikum von Wellen sind Interferenzen, d.h. wenn sich zwei Wellen
1 und 2 uberlagern, nimmt die resultierende Welle die Form = 1 + 2
an. So kann man z.B. die Wellen betrachten, die von den Spalten einer von
einer Lichtquelle beleuchteten
Doppelspaltblende ausgehen. Da die Intensitat
proportional zu jj2 ist, gilt fur sie:
!
I = jj2 6= I1 + I2 = j1 j2 + j2j2
)I(Spalt 1 und Spalt 2) 6= I(Spalt 1) + I(Spalt2)
Reduziert man die Intensitat der Lichtquelle so weit, da man davon ausgehen
kann, da sich immer nur ein Photon auf dem Weg zum Schirm bendet und
ersetzt diesen durch eine photographische Platte, so bemerkt man:
1. bei langer Belichtungszeit (=^ viele Photonen nacheinander, also keine
Wechselwirkung der Photonen) erhalt man ein Interferenzmuster
2. bei kurzer Belichtungszeit (=^ "ein\ Photon) erhalt man einen lokalisierten
Fleck
Im ersten Fall tritt der Wellen- und im zweiten der Teilchenaspekt des Lichtes
deutlich zutage.
2.4 Spektralzerlegung und Fouriertransformation
2.4.1 Spektralzerlegung
Die elektrische Feldstarke E~ hat Vektorcharakter. Dadurch kann das Licht polarisiert sein, was z.B. fur den Fall der linear polarisierten Welle so aussieht:
~ x; t) = E0e^p e^{~kx~ ^{!t
E(~
e^p ist der Polarisations(-einheits-)vektor mit e^2p = 1 (klar!), der senkrecht auf
der Ausbreitungsrichtung der Welle steht: e^p ~k = 0.
e^p
x
o
y
6
6?
-z
Analysator Schirm
x-Richtung
Abbildung 2.1: Polarisation des Lichts
Nachdem das Licht den Polarisationslter passiert hat (siehe Abb. 2.1), hat es
die Intensitat I = I0 cos2 . Was ist die quantenmechanische Erklarung?
Fur jedes Photon gibt es nur zwei Moglichkeiten:
7
1. das Photon passiert den Analysator
2. das Photon wird absorbiert
Mit der Intensitat I kennt man die Absorptions- bzw. Durchgangswahrscheinlichkeit
(cos2 ) fur ein einzelnes Photon. Fur eine groe Anzahl N von Photonen ergibt
sich dann hinter dem Analysator (schwaches Gesetz der groen Zahlen):
Ndurchgelassen = N cos2 Interpretation:
(a) eine Messung ergibt nur bestimmte Resultate (Durchgang oder Absorption
) "Eigenwerte\)
(b) zu den Meresultaten gehoren zwei Vektoren e^x (durchgelassen) und e^y
(absorbiert) (Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten)
(c) ein beliebiger Vektor e^p kann immer in die Vektoren e^x und e^y zerlegt
werden:
e^p = e^x cos + e^y sin (Prinzip der Spektralzerlegung )
(d) das Quadrat der Koezienten ergibt die Wahrscheinlichkeiten fur Absorption oder Durchgang:
pD = cos2 pA = sin2 pA + pD = 1
(e) nach der Messung hat das Licht eine denierte Polarisationsrichtung e^x
2.4.2 Fouriertransformation
Ein eindimensionales Wellenpaket hat zu einem bestimmten Zeitpunkt die Form:
Z 1 dk
f(k)e^{kx
(x; t = 0) =
1 2
Wenn man (x; t = 0) gegeben hat, und sich fur die Verteilungsfunktion f(k)
interessiert, so mu man die Fouriertransformation anwenden:
Z1
Z 1 Z 1 dk
dx e ^{k0x (x; t = 0) =
dx
f(k)e^{x(k k0)
2
1
Z 1 dk Z 11 1 0
dx e^{x(k k )
(2.3)
=
2 f(k)
1
1
R
Dabei ist die Bedeutung von 11 dx e^{x(k k0) die der -Distribution:
Za
2
dx e^{xq = q sin(aq)
Z1 Za
a
1
dq
a
dx e^{qx = 2
Dieses Integral existiert unabhangig von a und man deniert fur a ! 1:
a!1
)
Z1
1
dx e^{(k k0)x := 2(k k0 )
8
(2.4)
Warum, das sieht man recht anschaulich an Abb. 2.2 (rechts): Der mittlere Peak
wird mit zunehmendem a immer hoher und schmaler, und der Sinus geht fur
jxj > a immer schneller gegen 0.
Fur das Rechnen mit der -Funktion gilt:
Z1
1
dq (q)g(q) = g(0)
Daraus folgt fur (2.3):
Z 1 dk
(2.3) =
f(k) (k 2 k0 ) sin[a(k k0 )]
2
Z 11 dk 2
a!1
(2.4)
= f(k0 )
1 2 (k k0)
= f(k0 )
sin[a(k k0 )]
Wendet man die soeben erhaltenen Ergebnisse auf die ebene Welle an, so erhalt
man:
Z1
1
dx e^{kxe ^{k0 x = 2(k k0)
d.h. die ebene Welle, die raumlich nicht lokalisiert ist, ist im Frequenzraum
(Fourier-Transformation ) "unendlich\ stark lokalisiert (genau eine Frequenz).
Die Rucktransformation kann man nutzen, um zu sehen, wie eine Welle, die
bestimmte Frequenzen enthalt, im x-Raum aussieht (Fourier-Synthese ):
Wahlt man die Verteilungsfunktion z.B. recht einfach als:
(
f(k) = 1 fur a < k < a
0 sonst
so erhalt man:
Z 1 dk
Z a dk
^
{
kx
^{kx
(x; t = 0) =
2 f(k)e =
2 e
1
= x2 sin(ax)
k-Raum
f(k) 1
a
2a
F.T.
- (x; t = 0)
F.R.T.
Ortsraum
a
a
a a
x
= 2a
k = 2a
Abbildung 2.2: Fourier-Transformation
Das Wellenpaket ist weder im Frequenz- noch im x-Raum genau lokalisiert,
9
sondern hat eine charakteristische Breite, bzw. Unscharfe k bzw. x. Diese
beiden Groen erfullen eine sogenannte Unscharferelation :
kx = 4 1
(Spater erhalt man dies aus der Heisenberg'schen Unscharferelation)
10
(2.5)
Kapitel 3
Materiewellen und
Schrodingergleichung
1923 stellte de Broglie seine Hypothese auf, da auch Materie sich durch Wellen
beschreiben lat, und zwar nach den Planck-Einstein-Relationen (1.3). Diese
Hypothese wurde 1927 von Davisson und Germer erstmals veriziert, die damals
Interferenzen von Elektronenstrahlen nachwiesen.
3.1 Realisierung des Konzepts
1. das Teilchen wird durch eine Wellenfunktion (~x; t) beschrieben
2. j (~x; t)j2 wird als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert:
(~x; t) = j (~x; t)j2
(~x; t) d~x ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t zwischen ~x
und ~x + d~x zu nden:
Z1
)
d3x (~x; t) = 1
1
) Wellenfunktionen sind quadratintegrabel , d.h.:
Z1
1
j j2 d3 x konvergiert
3. fur die Messung einer beliebigen Groe soll die Spektralzerlegung gelten.
Damit ist das Resultat einer Messung (der Eigenwert an mit der Eigenfunktion n(~x)) verknupft mit einem (Wahrscheinlichkeits-)Koezienten
cn:
(~x; t0) = n (~x) ) Meergebnis ist an
Spektralzerlegung: (~x; t0) = Pn cn n (~x)
pj = jcj j2 ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert aj zu messen
wenn die Messung aj ergibt, dann ist die Wellenfunktion nach der
Messung j (~x) (Reduktion des Wellenpakets)
11
4. die Zeitentwicklung des Systems wird durch die Schrodingergleichung beschrieben:
(keine Herleitung, sondern Plausibilisierung)
Betrachtet man die ebene Welle
(~x; t) = 0 e ^{!t+^{~kx~
mit E = 2p~m = ~! und ~p = ~~k und sucht eine Dierentialgleichung, die
dieses Ergebnis liefert, so erhalt man:
@ (~x; t) = ~! (~x; t) = ~p 2 (~x; t)
^{~ @t
2m
~2~k2
~2
= 2m (~x; t) = 2m
4 (~x; t)
~2
4 (~x; t)
(3.1)
) ^{~ @t@ (~x; t) = 2m
(3.1) ist die Schrodingergleichung fur ein freies Teilchen.
2
Verallgemeinerung
Ist das Teilchen nicht mehr frei, sondern im Potential V (~x), so ist seine Energie
~p 2 + V (~x)
E = 2m
und damit:
@ (~x; t) = ~2 4 (~x; t) + V (~x) (~x; t)
^{~ @t
2m~2
(~x; t)
=
4
+V
(~
x
)
2m
|
{z
}
H(4;~x): Hamiltonoperator
Noch allgemeiner ergibt sich der Hamiltonoperator aus der Hamiltonfunktion
~
H(~x; p~) des Systems, wenn man den sogenannten Impulsoperator p^ = ^{~ r
verwendet:
~)
H(~x; p~) = H(~x; ^{~ r
~ ;~x) =
Diese Darstellung ist u.U. nicht eindeutig, denn wenn man z.B. H( ^{~ r
H(~p; ~x) = ~xp~ anwendet, so erhalt man:
H =~x( ^{~ r~ ) = ^{~~x(r~ )
,
~ )(~x ) = ^{~( r
~ ~x + ~x r
~ ) = ^{~(3 + ~x r
~ )
( ^{~ r
was bedeutet, da Operatoren i.a. nicht kommutativ sind und in der QM deshalb, anders als in der klassischen Mechanik, nicht gilt:
p^x^ = x^p^ (^p, x^: Operatoren)
12
3.2 Teilchen als Wellenpakete
Eine ebene Welle ist gegeben durch
(~x; t) = 0 e ^{!t+^{~k~x
mit ! = ~~k2 =(2m) und ~k = ~p=~. Ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
j j2 ist raumlich konstant. Dies ist zugleich die Wellengleichung des freien
Teilchens, dessen Aufenthaltswahrscheinlichkeit uberall gleich gro ist.
U berlagert man viele solcher ebener Wellen, so ergibt sich das resultierende
Wellenpaket aus dem Superpositionsprinzip,
Z d3 k
~ ^{!t+^{~k~x
(~x; t) = (2)
3 f(k )e
einer Art verallgemeinerter Fouriertransformation.
Berechnung der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
~
~~k
p~
~vp = !(~ k2) ~k = 2m
= 2m
jkj
~ k ~!(~k) = ~~k = p~ = ~vklassisch
~vg = r
m m
3.3 Heisenberg'sche Unscharferelation
Bei der ebenen Welle, die eine konstante Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
und damit keinerlei raumliche Lokalisierung hat, stellt man eine sehr starke
Lokalisierung des Impulses fest1 , denn p~ = ~~k0 ist festgelegt durch f~k0 (~k) =
(~k ~k0). Aus der vorher bekannten Beziehung
kx 1
wird hiermit
px & ~
und damit auf jeden Fall auch:
xp ~2
Heisenberg'sche Unscharferelation
(3.2)
1 d.h. das Teilchen hat keinen bevorzugten Aufenthaltsort, aber einen genau festgelegten
Impuls
13
Kapitel 4
Qualitatives Verstandnis
einfacher Falle
Betrachtet werden die Falle:
1. zeitunabhangiges Potential
2. Stufenpotentiale, Potentialtopfe
4.1 Stationare Zustande
Als stationare Zustande bezeichnet man Zustande, deren Wahrscheinlichkeitsdichte (~x; t) zeitunabhangig ist. Das bedeutet, da eine Zeitabhangigkeit in
(~x; t) nur in Form einer reinen Phase e ^{!t auftritt:
(~r; t) = e ^{!t (~r)
) ^{~ @t@ (~r; t) = e ^{!t ~!(~r)
~2
^
{
!t
=e
2m 4 +V (~r) (~r)
woraus sich mit ~! = E die zeitunabhangige Schrodingergleichung ergibt:
~
2m 4 +V (~r) (~r) = E(~r) , H(~r; ^{~ r)(~r) = E(~r)
~2
(4.1)
Das bedeutet, da (~r) Eigenfunktion des Hamiltonoperators zum Eigenwert
E ist. In der Regel hat H allerdings nicht nur einen Eigenwert, sondern viele:
En = ~!n1 . Das heit:
Enn = Hn ) n; En
) n (~r; t) = e ^{!n t n(~r) (stationare Zustande)
1 Diese E des Systems mit man meistens auch, da sie eine relativ einfach zug
angliche
n
Groe darstellen.
14
Aus der Superposition aller moglichen Eigenfunktionen entsteht die allgemeine
Wellenfunktion:
(~r; t) =
X
n
cne ^{!n t n(~r)
cn 2 C
4.2 Stufenpotential
Ein Stufenpotential mit der Stufe bei x0 ist deniert durch:
V (x) = V0 (x x0)
(4.2)
V0
V
x0
x
Abbildung 4.1: Stufenpotential
wobei (x) deniert ist als:
(
(x) = 0 fur x < 0
1 fur x > 0
Setzt man (4.2) in die zeitunabhangige Schrodingergleichung (4.1) ein, so erhalt
man:
00 = (E V0 (x x0)
~2
2m
Hieraus folgen die Randbedingungen an (x):
Integration der Schrodingergleichung uber das Intervall (x0 "; x0 + ") ergibt:
~2
~2
2m
Z "+x
2m
( 0 (x0 + ")
0
"+x0
00 (x) dx =
0 (x0 ")) =! E
Z "+x
0
"+x0
(x x0 ) (x) dx
Auerdem gilt durch die Quadratintegrabilitat: j (x)j < k mit geeignetem k 2
man die beiden Abschatzungen:
R. Damit erhalt
Z "+x
0
(x) dx jE j 2"k "!!
0
"+x
Z "+x
Z "+x
0
(x) dx jV0 j "k "!!
0
(x x0) (x) dx = V0
2. 0 V0
x
"+x
1. 0 E
0
0
0
0
0
0
15
Re
x0
x
Abbildung 4.2: Schwingungsverlauf uber Potentialschwelle
)
0
+ (x0 )
0 (x0) = 0
, 0 stetig in x0
Eine weitere Integration ergibt, da auch in x0 stetig sein mu. Diese Randbedingungen gelten fur alle beschrankten Potentiale, da hier die beiden obigen
Abschatzungen gelingen.
Das bedeutet:
00(x) ist eine -Funktion, d.h. stuckweise stetig
0
) (x) ist stetig, hat aber einen "Knick\ bei x0
) (x) ist stetig und "glatt\ (d.h. dierenzierbar)
Fur ein konstantes Potential V0 hat man den Losungsansatz (x) = 0e^{kx:
p
~2 2
) 2m
k = E V0 ) k = ~1 2m(E V0 )
Je nach dem Wert des Wurzelausdrucks ergeben sich zwei Moglichkeiten:
1. E > V0 : dann ergibt sich die "normale\ Wellenlosung mit reellem k
p
2. E < V0 : dann ist k = ^{ mit = ~1 2m(V0 E), woraus sich eine
Wellenfunktion (x) ex ergibt 2
Wir betrachten jetzt x0 = 0 (einfache Rechnung) und eine von "links\ einfallende Materiewelle:
Der Ansatz fur x < 0 lautet:
p
k = 1 2mE
(x) = e^{kx + Re ^{kx
|{z}
einfallende
| {z }
reekt. Welle
~
und der fur x > 0, da es keine nach links laufende Welle fur x > 0 gibt:
p
(x) = Te^{qx
q = 1 2m(E V )
+
~
) (x) =
0
(x)( x) + + (x)(x)
R und T werden aus den Stetigkeitsbedingungen errechnet:
k q
2k
1+R= T
+ (0) = (0) )
0+ (0) = 0 (0) ) k(1 R) = qT R = k + q , T = k + q
2 in der Regel e x , da sonst bei der u
blichen Koordinatenrichtung die Amplitude der Welle
exponentiell ansteigt
16
Die Reexionswahrscheinlichkeit PR errechnet sich aus R:
2
PR = jRj2 = kk + qq und die Transmissionswahrscheinlichkeit PT aus T:
2 q
PT = kq jT j2 = k 2k
+ q k
da PR + PT = 1 (betrachte jeweils die Wellenpakete). Fur die bereits oben
erwahnten zwei Falle (E > V0 , E < V0 ) ergibt sich:
1. E > V0 : jRj2 < 1, d.h. es ndet teilweise Reexion, teilweise Transmission
statt
p
2
2. E < V0 : q = ^{ mit = ~1 2m(V0 E) ) jRj2 = kk+^^{{ = 1, d.h. es
ndet Totalreexion statt.
R und T kann man mit den bereits aus der Optik bekannten Reexions- und
Transmissionskoezienten identizieren.
4.3 Tunneleekt (qualitativ)
Hierbei betrachtet man eine Potentialbarriere mit endlicher Breite (Abb. 4.3):
8
>
<0 (I) fur x < a
V = >V0 (II) fur a < x < a
:0 (III) fur x > a
und eine Energie E < V0 . Als Ergebnisse erhalt man (Abb. 4.4):
im Bereich I: ebene Welle
im Bereich II: exponentielles Abklingen
im Bereich III: ebene Welle
Daraus lat sich ablesen, da auch in den Bereichen II und
III Wellenfunktionen
existieren. Ist die Amplitude im Bereich III S, so gibt jS j2 die Wahrscheinlichkeit
an, da das Teilchen im Bereich III ankommt, obwohl es klassisch nicht dahin
gelangen konnte. Als Ergebnis erhalt man (nichttriviale Rechnung):
jS j2 = e
p
4 ~a 2m(V0 E )
fur ka 1
Ein Vorgang, den man sich nur mit dem Tunneleekt erklaren kann, ist z.B. der
-Zerfall. Klassisch hat das -Teilchen keine Moglichkeit, vom Rest des Kerns
wegzukommen, da der Potentialwall der schwachen Wechselwirkung, der beide
zusammenhalt, eigentlich zu hoch ist.
17
V
V0
I
II III
a
x
a
Abbildung 4.3: Potentialschwelle endlicher Breite
Re
a
x
a
Abbildung 4.4: Ergebnisse der endlichen Potentialschwelle
18
Kapitel 5
Mathematische Hilfsmittel
5.1 Hilbertraum der Wellenfunktionen
Ein Hilbertraum ist ein beliebig dimensionaler, vollstandiger Vektorraum H
uber den komplexen Zahlen, fur den ein Skalarprodukt (; ) deniert ist, fur das
gilt:
(f(x 2 C ); g(x 2 C )) 7! y 2 C
8f(x); g(x) 2 H
Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion mit
(~x; t) = j (~x; t)j2 , so folgt daraus uber
1=
Z
d3x (~x; t) < 1
R
R
(5.1)
da (~x; t) quadratintegrabel ist, wobei eine Abkurzung fur 11 sein soll, d.h.
der Integration uber den gesamten Raum. Man sieht, da (5.1) der Forderung
entspricht, da das Teilchen irgendwo sein mu.
Die Quadratintegrabilitat nutzt man, um einen Vektorraum H zu denieren:
Z
H = f (~x) j ~x 2 R3 ^ j (~x)j2 d3x < 1g
Da dies wirklich ein Vektorraum ist, sieht man uber:
1 2 H;
2
2 H; ; 2 C ) 1 + 2 2 H
5.2 Skalarprodukt
Das Skalarprodukt von Funktionen ist folgendermaen deniert:
Seien (~x); (~x) 2 H und das konjugiert Komplexe von :
(; ) :=
Z
19
d3x Es hat folgende Eigenschaften, die sich aus der Denition ergeben:
(; ) = ( ; )
(; 1 1 + 2 2 ) = 1 (; 1) + 2 (; 2) Linearitat im 2. Argument
(1 1 + 2 2; ) = 1 (1; ) + 2 (2 ; ) Antilinearitat im 1. Argument
(; ) 0 und (; ) 2 R ) Denition einer Norm: kk := p(; )
(; ) = 0 ,
0
Auerdem gilt fur das Skalarprodukt und die eben denierte Norm die CauchySchwarz-Ungleichung:
j(; )j kk k k
(5.2)
Beweis:
1. kk = 0 ) Ungleichung erfullt
(; ) 2. kk 6= 0 ) betrachte f =
kk
!
(; ) ; f
kk2
= k k2 (; 2) (;
kk
1 j(;
2
=k k
k2k2
2
2
, j(; )j k k kk
0 kf k2 =
2
= ( ; f) (; 2) (; f)
kk
(;
)
(; ) (; ) kk2
)
(;
)
+
kk2
kk2 kk2
)j2
5.3 Orthonormierte Systeme, Basis
Eine Menge von Hilbertraumvektoren n, n 2 N heit orthonormiert, wenn gilt:
(n; m ) = nm
Ein orthonormiertes System heit vollstandig bzw. Basis, wenn es zu jedem
Vektor 2 H Zahlen an 2 C gibt, so da
X = 0 , = X ann
a
n
n
n
n
Der Hilbertraum der Quantenmechanik ist abzahlbar|unendlich-dimensional
und die Koezienten an bestimmt man durch:
an = (n ; )
Orthonormierung
Aus einem Satz von linear unabhangigen Vektoren 1; : : :; n 2 H lat sich
ein Orthonormalsystem (ONS) mit den Vektoren i ; i = 1; : : :; n uber das
Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren konstruieren:
20
(1) 1 = k k
1
1
0
(2) 02 = 2 (1 ; 2) 1 ) 2 = k0 k
2
2
...
(n) 0n = n Pin=11 (i; n) i ) n = k0n0n k
5.4 Operatoren
Operatoren sind Abbildungen H ! H, d.h. sie bilden eine Funktion auf eine andere des gleichen Raumes ab. Im Gegensatz zu Funktionen wirken sie also nicht
auf Punkte eines Raumes, sondern auf Funktionen, die wiederum auf Punkte
wirken. (Das klingt alles sehr kompliziert, aber im Prinzip ist "Operator\ nur
ein anderer Name fur "Funktionsfunktion\).
Wir betrachten den Spezialfall
der linearen Operatoren, die die Form einer linearen Abbildung A : H ! H haben, d.h.:
A(1 1 + 2 2 ) = 1 A1 + 2 A2
81 ; 2 2 H
Im folgenden einige Eigenschaften von Operatoren:
Assoziativitat: (A + B) = A + B
Distributivitat: (AB) = A(B) = AB
Existenz von (neutrales Element): I = 8 2 H
inverser Operator: A 1A = = AA 1 ,
wobei es zu jedem Operator A hochstens ein A 1 gibt.
Die Multiplikation von Operatoren ist i.a. nicht kommutativ, d.h. AB 6= BA.
Deshalb deniert man den Kommutator [A; B] := AB BA.
Fur den Kommutator gilt:
I
[A; B + C ] = [A; B] + [A; C ]
[A; BC ] = [A; B] C + B [A; C ]
[A; B] = [B; A]
[A; [B; C ]] + [B; [C ; A]] + [C ; [A; B]] = 0 Jacobi-Identitiat
5.4.1 adjungierte Operatoren
Zu jedem Operator A gibt es einen adjungierten Operator Ay fur den gilt:
(; A ) = Ay;
21
8; 2 H
(5.3)
Aus (5.3) folgt:
Ay ist linear wenn A linear
(Ay)y = A
(A + B)y = Ay + By
(AB)y = By Ay
(I )y = I ( 2 C )
(A + B)y = Ay + By
(A 1 )y = (Ay) 1 wenn A 1 existiert
[A; B]y = By ; Ay
Selbstadjungierte Operatoren nennt man auch hermitesche Operatoren:
A hermitesch , Ay = A
Unitare Operatoren sind solche, fur die gilt:
A unitar , Ay A = AAy = I ) Ay = A
1
5.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren
Wenn A ein Operator ist, so nennt man ein 6= 0 2 H fur das gilt:
A = 2C
Eigenvektor von A. ist der zu gehorende Eigenwert von A. Die Menge aller
Eigenwerte von A nennt man auch Spektrum von A. Existieren zu einem Eigenwert n verschiedene Eigenvektoren, so spricht man von (n-facher) Entartung
Fur hermitesche Operatoren (A = Ay) ergibt sich:
A = ) (; A) = (; )
auerdem
(; A) = (A; ) = (; )
zusatzlich
(; A) = (A; ) = ; Ay = (; A)
) (; ) = (; )
) = ) 2R
d.h. die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell. Auerdem gilt fur hermitesche Operatoren:
seien 1; 2 Eigenvektoren zu 1 6= 2 . Dann gilt (1 ; 2) = 0, d.h. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
22
ein hermitescher Operator hat ein vollstandiges ONS von Eigenvektoren
n:
An = n n ; 2 H ) = Pn ann mit an = (n; ) ; n 2 N
seien A; B hermitesche Operatoren mit [A; B] = 0
) es existiert eine Basis von H aus gemeinsamen Eigenvektoren von A
und B
) 9n 2 H; n ; n 2 C : An = nn ^ Bn = nn
Verallgemeinerung:
Falls A1; A2 ; : : :; An mit [Ai ; Aj ] = 0 8i; j existieren, so existieren gemeinsame Eigenvektoren von A1; : : :; An
5.4.3 Funktionen von Operatoren
Ist A1; A2 ; : : :; An ein Satz paarweise kommutierender Operatoren und
f(1 ; 2; : : :; n) eine Funktion von n Variablen, so ist T = f(A1 ; : : :; An ) eine Operatorfunktion und es gilt:
Ai k = ik k ) Tk = f(1k ; : : :; nk)k
Exponentialfunktion fur Operatoren
Wichtigstes Beispiel fur eine Operatorfunktion
ist die Exponentialfunktion eA .
P
1
A
Sie ist uber die Reihenentwicklung e := n=0 n1! An deniert und erfullt die
Relation
eA eB = eA+B e [A;B]
wenn [A; [A; B]] = [B; [A; B]] = 0
1
2
und die Baker-Hausdor-Identitat :
1
X
eA Be A = n!1 [A; B]n
n=0
mit [A; B]n = A; [A; B]n 1 und [A; B]0 = B.
5.4.4 Wichtige Beispiele
Zwei wichtige, in der QM immer wieder vorkommende Operatoren sind der
~ und der Ortsoperator x^ = ~x. Ihr Kommutator ist der
Impulsoperator p^ = ^{~ r
kanonische Kommutator :
@
@
@
@
[pi ; xj ] = ^{~ @x xj xj @x = ^{~ ij + xj @x xj @x
i
i
i
i
= ^{~ij
23
Impulsoperator
Der Impulsoperator ist hermitesch:
(; p^ ) =
=
Z
Z
~ ) p.I.
d3x ( ^{~ r
=
~ )
d3x ( ^{~ r
Z
1
[^{~ ] 1
| {z }
~ )
d3x (^{~ r
=0
= (^p; )
) p^ = p^y
Die oben durchgefuhrte partielle Integration ist erlaubt, da durch die Quadratintegrabilitat die Randterme im Unendlichen verschwinden. Aufgrund der reellen
Eigenwerte von p^ folgt:
~ ~q(~x) = ~q~q(~x)
p^~q(~x) = ^{~ r
) ~q(~x) = 0e ~{ ~qx~
^
und damit das Quadratintegral 1 ergibt (e^{~qx~ nicht normierbar):
1 3 {
~q(~x) = p
e ~~q~x
2~
^
d.h. die Eigenfunktionen sind ebene Wellen. Ebene Wellen sind allerdings nicht
durch einen diskreten, sondern durch den "kontinuierlichen\ Index ~q charakterisiert und auerdem nicht quadratintegrabel. Sie sind damit 62 H. Andererseits
kann aber jeder Vektor 2 H uber die Fouriertransformation durch ebene Wellen
dargestellt werden:
1 3 Z
X\
(~r) = p
c~q ~q(~r)
(5.4)
d3q f(~q)e ~{ ~qx~ =
2~
" ~q
^
Dabei ist jf(~q)j2 die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen mit dem Impuls ~q
zu messen. In diesem Fall bewirkt die Fouriertransformation also die Spektralzerlegung in die Eigenfunktionen des Impulses.
Die ebenen Wellen bilden daher nach (5.4) eine uneigentliche Basis von H und
die Vektoren ~q heien folgerichtig uneigentliche Vektoren (von H). Die fur die
Basiseigenschaft notwendige Orthogonalitat zeigt man durch:
(~q; ~q 0 ) =
Z
d3x ~q~q 0
= (~q q~ 0 )
1 3 Z
= 2~
d3x e
Ortsoperator
0
^
{
~~x(~q q~ )
Die Eigenwertgleichung fur den Ortsoperator x^ = ~x lautet:
x^ ~ = ~x ~ = ~ ~
) ~ = (~x ~)
24
Auch ~ ist wieder nicht quadratintegrabel und hat keinen diskreten Index.
Aber analog (5.4) gilt:
Z
X\
'(~x) = d3 '(~)(~x ~) =
c~ ~
" ~
2
Hier ist '(~) die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen am Ort ~ zu nden.
Zeigt man jetzt noch mit:
Z
~ ; ~0 =
d3x (~x ~)(~x ~0 ) = (~ ~0)
die Orthogonalitat, so sieht man, da auch die ~'s eine uneigentliche Basis von
H bilden.
5.5 Dirac-Notation
Da die ~q-Darstellung und ~-Darstellung aquivalent sind (durch Fouriertransformation kann man die eine eindeutig in die andere uberfuhren), jedoch ganz unterschiedlich aussehen, sucht man nach einer darstellungsunabhangigen Schreibweise. Der Ausgangspunkt hierfur ist der Hilbertraum H der quadratintegrablen
Funktionen. Man deniert sich einen zu H aquivalenten Raum E der sogenannten Ket-Vektoren:
(~r) 2 H $ j i 2 E
Man deniert weiter in Analogie zu H ein Skalarprodukt in E , fur das gilt:
(; )H = (ji ; j i)E 2 C
Die Menge der Linearformen, d.h. der linearen Abbildungen H ! C bzw. E ! C
(generell Vektorraum ! C ) bildet wieder einen Vektorraum, den zugehorigen
Dualraum. Der Dualraum E zu E ist der Raum der Bra-Vektoren hj. Das
Skalarprodukt lat sich dann schreiben als:
(; ) =: h j i
Eigenschaften dieses Skalarprodukts:
h ji = h ji
h j1 + 2 i = h j1 i + h j2i Linearitat im 2. Arg.
h1 + 2 ji = h1 ji + h2 ji Antilinearitat im 1. Arg.
h j i = k j i k2 2 R+0
Auch Operatoren in den beiden Raumen werden analog deniert:
A| j i{z= j}i
h|j A{z= h}j
fur Kets
fur Bras
25
(Der Operator A wirkt fur Ket-Vektoren nach rechts und fur Bra-Vektoren nach
links). Die Adjunktion von Operatoren deniert man dann folgerichtig uber:
A j i = ji 2 E
) 9 hj 2 E : hj = h j Ay
d.h. fur die Adjunktion von Operatoren gilt:
ji = A j i Adjunktion
, hj = h j Ay
Aus (5.5) folgt:
h jAj i =
(5.5)
Ay was sich fur hermitesche Operatoren zu
h jAj i = h jAj i
vereinfacht.
Die Eigenwertgleichung wird zu
A jun i = an juni
und die Orthonormalitatsbedingung schreibt sich
hun jum i = nm
Aus der Forderung nach Vollstandigkeit sieht man mit n = hun ji:
ji =
=
,I =
X
n
X
n
X
n
n jun i =
X
n
hun ji jun i
juni hun ji =! I ji
juni hun j
(5.6)
Projektionsoperatoren
Wenn ji ; ji 2 E mit h ji = 1 (Normierung), dann ist P = ji hj ein
Operator mit P ji = ji h ji. P ist nach
Py = (jihj)y = ji hj = P
hermitesch, und auerdem gilt:
(P )2 = (ji hj)(ji hj) = ji h|{zj}i hj = ji hj = P
1
Einen Operator mit diesen Eigenschaften, d.h. P y = P und P 2 = P nennt man
Projektionsoperator und seine Abbildung Projektion (auf ji). Die Projektion
liefert sozusagen die ji-Komponente von ji.
26
uneigentliche Bra- und Ket-Vektoren
Wie bereits oben fur die "alte\ Schreibweise gezeigt, gilt auch in der DiracSchreibweise fur den Impulsoperator die Eigenwertgleichung:
p^ jqi = ~q jqi
mit reellem ~q. U ber die Regeln fur das Skalarprodukt h ji erhalt man die Orthogonalitatsbedingung
hq jq0 i = (~q ~q0 )
U ber die Vollstandigkeitsbedingung
Z
ji = d3q hq ji jqi
erhalt man die Beziehung:
Z
I = d3q jqi hqj
Analoge Rechnung fur den Ortsoperator liefert:
x^ j i = ~ j i Eigenwertgleichung
h jZ0 i = (~ ~0) Orthogonalitat
ji = d3 h ji j i Vollstandigkeit
Z
) I = d3 j i h j
Einheitsoperator
Wie vorher ist (~) = h ji die Wellenfunktion im Raum fj ig, die dem Ket
ji entspricht (Basiswechsel!).
Die Normierung der Wellenfunktion schreibt sich dann:
Z
d3x j(~x)j2 =
Z
d3x h jxi hx ji
= hj
Z
d3x jxi hxj ji
= h ji =! 1
Auerdem erhalt man eine andere Schreibweise der Fouriertransformation uber:
Z
3
~
( ) = h ji = h j d q jqi hqj ji
=
Z
d3q hq ji h jqi
mit hq ji = f (~q) und h jqi = (p21~) e ~{ q~~x .
Als letztes wollen wir noch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung in der neuen Notation schreiben:
jh j ij2 h ji h j i
^
3
27
5.6 Operatoren in Matrixdarstellung, Eigenwertprobleme von Matrizen
5.6.1 Matrixdarstellung
Es sei fjui ig eine Basis des Hilbert-Raumes der Ket-Vektoren, d.h. es gilt:
I=
X
i
jui i hui j
hun jum i = nm
Dann lat sich ein beliebiger Operator A darstellen durch:
A = IAI =
=
X
n;m
X
n
!
juni hun j A
X
hun jAj um i jun i hum j =
m
jum i hum j
X
n;m
!
Anm jun i hum j
Die Anm = hun jAj um i heien Matrixelemente bezuglich fjuiig. Ist nun j i ein
beliebiger Ket aus dem Hilbert-Raum, so gilt
j i=
X
n
hun j i juni =
X
n
cn jun i
Damit ist A j i in der Darstellung bezuglich der Basis fjui ig:
Aj i =
=
=
X
n;m
Anm juni hum j
X
n;m;i
X
n;m
X
i
ci jui i
Anm jun i ci hum jui i =
Anm cm jun i
!
X
n;m;i
Anm ci mi juni
5.6.2 Eigenwerte
Die Eigenwertgleichung A j i = j i lat daher schreiben als:
(A I ) j i = 0
,
X X
n
m
!
(Anm cm nm cm ) juni = 0
Dies ist ein lineares Gleichungssystem fur die ci , und man kann mit Matrizen
schreiben:
(A I)~c = ~0
(5.7)
Dies ist die aus HM oder LA bekannte Eigenwertgleichung fur Matrizen. Nichttriviale Losungen erhalt man nur, falls det(A I) = 0 gilt. Diese Bedingung
ergibt das sogenannte charakteristische Polynom, ein Polynom in , dessen Nullstellen i die Eigenwerte sind. Die zugehorigen Eigenfunktionen erhalt man, indem die i nacheinander in (A i I)~ci = ~0 eingesetzt und die Eigenvektoren
28
~ci bestimmt werden, mit denen man dann die Koezienten der Entwicklung
bezuglich der Basis fjuiig kennt. Unter Umstanden existieren zu einem i mehrere ~ci , die (5.7) erfullen (Entartung). Dann bestimmt man den Einheitsvektor
bzw. die orthonormale Basis des Unterraums, der von diesen ~ci aufgespannt
wird (Eigenraum).
Die Bestimmung von Eigenfunktionen (=^ Eigenvektoren) eines Operators bezuglich
einer Basis entspricht also einem Eigenwertproblem der zugeordneten Matrix.
5.6.3 adjungierte Operatoren
Der adjungierte Operator lat sich in der Matrixdarstellung leicht berechnen:
Ay =
=
X
(Anm juni hum j)y =
n;m
X
n;m
Anm jum i hunj
X
n;m
Anm (juni hum j)y =
X
n;m
Anm (hum j)y(juni)y
Wie man sieht, erhalt man den adjungierten Operator einfach indem man die
Matrix transponiert und von jedem Element seinen komplex konjugierten Wert
nimmt. Fur hermitesche Operatoren gilt daher:
(t A) = A und damit Aii 2 R
29
Kapitel 6
Postulate der
Quantenmechanik
Im folgenden soll das Grundkonzept der Quantenmechanik prazise formuliert
werden:
6.1 Postulate
I) Zu einer festen Zeit t=0 wird der Zustand eines Systems durch einen Ket
j i beschrieben. Da der Raum E ein Vektorraum ist, folgt automatisch,
da das Superpositionsprinzip gilt.
II) Zu jeder mebaren physikalischen Groe A gibt es einen hermiteschen
Operator A, der im Raum E wirkt. Dieser Operator heit ebenso wie die
Megroe Observable.
III) Die einzig moglichen Ergebnisse einer Messung von A sind die Eigenwerte
des Operators A, woraus folgt:
wenn A ein diskretes Spektrum besitzt, dann ist die Megroe quantisiert.
IV) Spektralzerlegung:
(a) diskretes Spektrum:
Sei AP Observable und A jni = an jni mit hn jmi = nm und
I = n jni hnj. Dann gilt:
Wird die physikalische Groe A fur ein System im Zustand j i gemessen, dann ist fur den nichtentarteten Fall die Wahrscheinlichkeit,
den Wert an zu messen:
P(an) = jhn j ij2
mit h j i = 1
(b) kontinuierliches Spektrum:
Sei AR Observable und A ji = a ji mit h j0i = ( 0) und
I = d ji hj. Dann gilt:
wenn A fur ein System im Zustand j i gemessen wird, dann ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte, den Wert a zu nden:
dP = jh j ij2
d
30
V) Reduktion des Wellenpakets:
Wenn die Messung von A fur ein System im Zustand j i den Wert an
ergibt, dann ist der Zustand des Systems unmittelbar nach der Messung
(nichtentarteter Fall):
j 0 i = jni
VI) Zeitentwicklung eines Zustands:
Die zeitliche Entwicklung des Zustandes j i ist gegeben durch die Schrodingergleichung:
^{~ dtd j (t)i = H(t) j (t)i
wobei H(t) der Hamilton-Operator ist. H(t) ist die Observable, die der
totalen Energie des Systems entspricht.
Entartung
Wenn zwei oder mehr Eigenwerte eines hermiteschen Operators gleich sind, so
bezeichnet man dies als Entartung. Im Fall des Hamiltonoperators bedeutet dies
z.B., da mehrere Zustande mit der gleichen Gesamtenergie existieren. Wenn
man die orthonormierten Eigenvektoren (d.h. hi jj i = ij ) zum Eigenwert mit
jii bezeichnet (i = 1; : : :; k), dann ist fur diesen Fall:
P =
k
X
i=1
jii hij
der Projektor in den Unterraum zu . Die Postulate IV und V mussen daher
modiziert werden:
IV)' wenn die entartete Groe A fur ein System im Zustand j i gemessen wird,
dann ist die Wahrscheinlichkeit, den Mewert zu erhalten:
P() =
k
X
i=1
jhi j ij2
V)' wenn die Messung der Groe A den entarteten Wert ergibt, dann ist der
Zustand j 0 i unmittelbar nach der Messung die normierte Projektion von
j i auf den Unterraum, der von jii, i = 1; : : :; k aufgespannt wird:
j 0i = p 1
P j i
identische Teilchen
h jP j i
Falls zwei oder mehr identische Teilchen betrachtet werden, mu man eine
Erganzung der Postulate vornehmen (siehe auch Abschnitt 13.2.7, Seite 101):
VII) Enthalt ein System identische Teilchen, dann werden nur bestimmte Vektoren als physikalische Zustande zugelassen, namlich entweder die vollstandig
symmetrischen oder die vollstandig antisymmetrischen (bzgl. der identischen Teilchen) Zustandsvektoren.
Teilchen mit vollstandig symmetrischen Zustandsvektoren heien Bosonen, solche mit vollstandig antisymmetrischen Zustandsvektoren heien
Fermionen.
31
6.2 Folgerungen aus den Postulaten
i) kompatible Observable:
Zwei Observablen A und B heien miteinander kompatibel, wenn [A; B] = 0
ist. Ist das System im Zustand j i, und ergibt die Messung von A den Wert
an und die Messung von B bm , dann ist das System danach im Zustand
jn; mi:
A jni= an jni ^ Bjmi = bm jmi
, AB jn; mi = bamn jn; mi
Auerdem gilt wegen AB j i = BA j i, da die Reihenfolge der Messungen
egal ist.
ii) Praparation eines Zustandes:
Ein ganzer Satz fA1; : : :; Ang von Observablen heit kompatibel, wenn
[Ai ; Aj ] = 0 8i; j = 1; : : :; n
! ist das System im Zustand j i und die Messungen der Ai ergeben die
Werte ak ; : : :; akn , dann ist der Zustand nach der Messung jk1; : : :; kni.
! somit ist ein Zustand prapariert, fur den die Messungen der Ai denierte Ergebnisse haben.
iii) der maximale Satz von kompatiblen Observablen fA1; : : :; Ang ist der Satz
mit kleinstmoglichemn, bei dem jede weitere Observable B, fur die [Ai ; B] =
0 8i = 1; : : :; n gilt, auf eine Funktion der Ai zuruckgefuhrt werden kann.
iv) Erwartungswerte und Unscharfe:
wie bereits gesagt, gilt fur ein System im Zustand j i und die Observable A:
1
A jni = an jni
X
j i = hn j i jni
n
Die Wahrscheinlichkeit, an zu messen, ist dann: Pn = jhn j ij2
Macht man eine groe Zahl von Messungen mit jeweils gleichem Ausgangszustand j i, dann ist der Erwartungswert von A:
hAi =
=
X
n
X
n
Pnan =
X
n
h jni hn j i an
h jni an hn j i =
= h jAj i
32
X
n
h j A |jni{zhn}j i
=I
die Unscharfe von A wird als mittlere quadratische Abweichung deniert:
(h jAj i)2 = (A hAi I )2 2 hAi h jAj i +(hAi)2
| {z }
hAi
2
2
2
, (A) = A hAi
(6.1)
D E
(A)2 = A2 = A2 Deniere: A~ = A hAi I mit A~ = 0. Da A hermitesch, gilt:
2
(A)2 = k(A hAi I ) j ik2 = A~ j i
(6.2)
fur das Produkt der Unscharfen zweier Observablen A und B im Zustand j i gilt:
Beweis:
(A)(B) ^{
[A; B] 2
D E
(6.3)
(5.2)
(A)(B) = A~ j i B~ j i A~B~ D E 1 D E D E Im A~B~ = 2^{ ( A~B~
B~A~ )
1 D h i E
= 2^{ A~; B~ ^{
= 2 [A; B] Aus dieser Beziehung erkennt man, da kompatible Variable gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind.
Ort-Impuls-Unscharfe: A = x^, B = p^:
^{
^{
(~x)(~p) 2 [^x; p^] = 2 (^{~ij ) = 21 ~ (falls p^ der zu x^ gehorige Impuls ist)
"Energie-Zeit-Unscharfe\:
E t ~2
(6.4)
Diese Relation geht nicht direkt aus (6.3) hervor, da es keinen "Zeitoperator\ gibt. Betrachtet man aber das 1-dimensionale Wellenpaket
Z dq
(x; t) = p f(q)e ^{!t+^{qx
2~
mit ! = 2qm~ , dann wei man, da sich das Paket mit der Gruppengeschwindigkeit vg fortbewegt: t = vgx
2
33
Damit sieht man die Bedeutung der Zeit in (6.4). Die Energie entspricht wieder dem Hamiltonoperator. Gleichung (6.4) kann man aus
der normalen Unscharferelation (3.2) herleiten durch:
E = @E
@p p vg p
~
) Et = xp
v vg 2
g
v) Quantisierungsregeln:
Gegeben sei ein klassisches System. Wie "quantisiert\ man dieses System?
Klassisch gilt, da der Ort ~xc und der Impuls
~pc die Beobachtungsgroen
sind, und da jede andere Beobachtungsgroe eine Funktion von ~xc und p~c
ist: Gc = Gc (~xc ;~pc)
Regel:
Ordne dem Ort ~xc den Ortsoperator x^ und dem Impuls ~pc den Impulsoperator p^ zu, wobei fur die Komponenten der kanonische Kommutator gilt:
[xi ; xj ] = [pi ; pj ] = 0
[xi; pj ] = ^{~ij
Der Beobachtungsgroe G mu ein hermitescher Operator G zugeordnet
werden. Dies geschieht dadurch, die Operatoren x^ und p^ in Gc eingesetzt
werden und geeignet symmetrisiert wird.
Beispiele:
Symmetrisierung bei gegebener Beobachtungsgroe:
Sei A(~x; ~p) = ~x~p. Im Gegensatz zum klassischen Fall mit ~xc ~pc = ~pc~xc
gilt in der Quantenmechanik:
(^xp^)y = p^yx^y = p^x^ 6= x^p^
d.h. A(^x; p^) ist nicht hermitesch. Aber durch die Symmetrisierung:
A(^x; p^) = 12 (^xp^ + p^x^)
entsteht ein hermitescher Operator A mit der gleichen klassischen Beobachtungsgroe.
Die folgenden Hamiltonoperatoren sind hermitesch:
Hamiltonoperator im zeitunabhangigen aueren Potential:
p^2 + V (^x)
H(^x; p^) = 2m
Hamiltonoperator im aueren elektromagnetischen Feld:
1 p^ e A(^
~ x; t) 2 + eA0 (^x; t)
H(^x; p^; t) = 2m
c
~B = rot A~ E~ = grad A0 1 A~_
c
34
vi) Erhaltung der Wahrscheinlichkeit:
Fur normierte Wellenfunktionen, die die Schrodingergleichung erfullen, gilt:
h (t = 0) j (t = 0)i = h (t) j (t)i = 1
8t 2 R
Beweis:
d j (t)i = 1 H(t) j (t)i
dt
^{~
1
1
d
y
und
dt h j = ^{~ h jH = ^{~ h j H d
d
d
gilt
dt h j i = dt h j j i + h j dt j i
) dtd h j i = ^{1~ (h jHj i h jHj i) = 0
woraus man ersieht, da h j i eine globale Erhaltungsgroe ist.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte wurde deniert als: j (~x; t)j2 = (~x; t). Aus
der globalen Erhaltung der Wahrscheinlichkeit folgt lokal eine Kontinuitatsgleichung fur die Wahrscheinlichkeitsdichte:
@
~
(6.5)
@t (~x; t) + div j (~x; t) = 0
Betrachtet man fur einen Hamiltonoperator H = 2~m 4 +V (~x; t) die Schrodingergleichung, so ergibt sich:
@ (~x; t) = ~2 4 (~x; t) + V (~x; t) (~x; t)
^{~ @t
2m
~2
@
4 (~x; t) + V (~x; t) (~x; t)
und
^{~ @t (~x; t) = 2m
~2
( 4 4 )
, ^{~ @t@ |( {z }) = 2m
wegen
2
=(~x;t)
und man sieht uber:
~
div( r
r~ ) = div( r~ ) div( r~ )
~ )(r
~ ) + 4 (r
~ r
~ )
= (r
= 4
4 da man den "Wahrscheinlichkeitsstrom\
~j (~x; t) := ~ ( grad
2m^{
grad )
setzen mu, um die Kontinuitatsgleichung (6.5) zu erfullen.
35
4 vii) Zeitentwicklung von Erwartungswerten:
Aus hAi (t) = h jAj i folgt das Ehrenfest-Theorem :
d hAi = @ h (t)j A(t) j (t)i + h (t)j @ A(t) j (t)i + h (t)j A @ j (t)i
dt
@t
@t
@A @t
1
= ^{~ h jAH HAj i + @t @A 1
= ^{~ h j [A; H] j i + @t @A ^
{
= ~ h[H; A]i + @t
(6.6)
Im Hamiltonformalismus (klassische Mechanik) gab es eine ahnliche Beziehung:
@A
d
dt A = fH; Ag + @t
(f; g Poisson-Klammer!) woraus man vermuten kann, da die klassischen
Beziehungen sich in der Quantenmechanik auf die Erwartungswerte ubertragen lassen.
Wenn gilt:
@A d
@t = 0 ^ [A; H] = 0 ) dt hAi = 0
dann heit A Konstante der Bewegung. In diesem Fall existieren gemeinsame Eigenvektoren von H und A (wegen [A; H] = 0):
A jn; mi = an jn; mi
H jn; mi = Em jn; mi
Beispiel fur Ehrenfest-Theorem: Teilchen im Potential
(Hamiltonoperator: H = 2p^m + V (^x))
2
Das Teilchen entspricht in der Quantenmechanik einem Wellenpaket mit hx^i
als Schwerpunkt. Die Gruppengeschwindigkeit vg des Wellenpakets ersetzt
die klassische Teilchengeschwindigkeit:
d hx^i = 1 h[^x; H]i = 1 x^; p^2 dt
^{~ ^{~
2m
= ^{1~ ^{~ mp^ = hmp^i
) hp^i = m dtd hx^i
36
Bei der zeitlichen A nderung des Erwartungswertes des Impulses dtd hp^i ergibt sich:
d hp^i = 1 h[^p; H]i = 1 p^; p^2 + V dt
^{~
^{~ Dh 2m iE
1
~ ;V
= ^{~ h[^p; V ]i = ^{1~ ^{~ r
D~ E
= rV
D E D E
d
) dt hp^i = r~ V = F~
Klassisch gilt:
~p = m~x_
p~_ = F~
d.h. die klassische Newton'sche Mechanik ist (wie zu erwarten war) als
Grenzfall in der Quantenmechanik enthalten.
6.3 Beispiel: Zwei-Zustandssystem
Die beiden moglichen Zustande j1i und j2i bilden die Basis, es sind stationare
Zustande von H0 , dem ungestorten Hamiltonoperator. Daraus folgen die Gleichungen:
H0 j1i = E1 j1i H0 j2i = E2 j2i
h1 j2i = 0 h1 j1i = h2 j2i = 1
I = j1ih1j + j2i h2j
Der Hamiltonoperator hat in der Matrixdarstellung bezuglich der Basis j1i und
j2i die Form:
H0 = E01 E02
Betrachtet man H = H0 + w^ mit einer Storung
0 w
w^ = w 0
so ergibt sich:
H = Ew1 Ew2
Die Bestimmung der Eigenfunktionen ji und Eigenwerte E dieses Hamiltonoperators in der Form
H j+i = E+ j+i
Hj i = E j i
37
in Abhangigkeit von E1, E2 , und w (Basis: fj1i ; j2ig) fuhrt auf:
(E1 )(E2 ) ww = 0 , E1E2 (E1 + E2 ) + 2 = jwj2
E + E 2
E + E 2
1
2
2
= jwj E1E2 + 1 2 2
) 2
= jwj2 E1E2 + 41 (E12 + E22 + 2E1E2)
= jwj2 + 41 (E12 + E22 + 2E1E2 4E1E2)
= jwj2 + 14 (E1 E2)2
q
1
1
) E = 2 (E1 + E2) 2 (E1 E2)2 + 4 jwj2
und mit E = 21 (E1 + E2) und = E1 E2 :
q
E = E 21 2 + 4 jwj2
Die dazugehorigen Eigenvektoren sind (nichttriviale Rechnung):
j+i = e { ' cos 2 j1i + e { ' sin 2 j2i
j i = e { ' ( sin 2 ) j1i + e { ' cos 2 j2i
w = jwj e^{'
tan = E 2 jwEj
^
2
^
2
^
2
^
2
1
2
38
Kapitel 7
Eindimensionaler
harmonischer Oszillator
7.1 Allgemeine Betrachtungen
Der eindimensionale harmonische Oszillator (HO) ist deshalb von Relevanz, da
man mit ihm viele Probleme in recht guter Naherung beschreiben kann.
Betrachtet man ein Teilchen im Potential V (x), dann kann man V (x) um einen
Gleichgewichtspunkt x0 (=^ V hat ein Minimum in x0) entwickeln:
V (x) = V (x0) + (x x0) |V 0{z
(x0}) + 21 (x x0)2 V 00 (x0) + : : :
=0 in x0
Fur kleine Auslenkungen werden die Terme in (x x0 )3 oder hoher vernachlassigt
und man erhalt die Hamiltonfunktion:
p2 + 1 m!2 x2
H = 2m
2
mit
V = 21 kx2 mit k = V 00 (x0)
!2 = mk
Diese Funktion ist symmetrisch in x und p, was deutlicher wird, wenn man zu
den neuen Koordinaten
r
r m!
1
P = m~! p X = ~ x
ubergeht. Die Hamiltonfunktion schreibt sich dann:
(7.1)
H(X; P) = (X 2 + P 2) ~2!
Bemerkungen:
i) Die Eigenwerte des HO sind positiv, da das Potential nach unten beschrankt
ist
39
ii) Die Eigenfunktionen von H haben eine denierte Paritat. Die Paritat beschreibt das Verhalten (der Funktion) bei Anwendung der Koordinatentransformation x 7! x. Im Hilbertraum entspricht dies einem Operator mit 2 = I , woraus folgt, da die Eigenwerte von 1 sind:
j i = j i
ungerade Paritat (z.B. sin x)
j i = j i
gerade Paritat (z.B. cos x)
iii) Das Spektrum des HO ist diskret
7.2 Losung der Schrodingergleichung
Es gilt:
mit den Beziehungen
[P ; X ] = ~1 [^p; x^] = ^{
r
(7.2)
r
x^
P = m1~! p^ X = m!
~
Im Ortsraum hat man daher die Darstellung:
d
X =^ X P =^ ^{ dX
d2
En
2
) 21 dX
+
X
n(X) = n n (X) mit n = ~!
2
d2
2 2 )
, dX
(X
n
n(X) = 0
2
Ein Versuch einer Losung ist
(X) = e X
) 00 (X) (X 2 1)(X) = 0
1
2
2
d.h. (X) ist Eigenfunktion zu 0 = 21 . Das liefert uns den Losungsansatz:
(X) = e X h(X)
d2 h 2X d h + (2 1)h = 0
) dX
(7.3)
2
dX
P a X 2m+p . Die Paritat dieser Reihe hangt nur vom PaSetze h(X) := 1
m=0 2m
rameter p ab, und so erhalt man aus (7.3) durch Einsetzen und Koezientenvergleich die Bedingungen
(2m + p + 2)(2m + p + 1)a2m+2 = (4m + 2p 2 + 1)a2m
und
p(p 1)a0 = 0
1
2
40
2
und daher bei beliebigem a0 6= 0:
p=0 _ p=1
und die Rekursionsformel:
a2(m+1)
4m + 2p 2 + 1
1 fur groe m
=
a2m
(2m + p + 2)(2m + p + 1) m
Daraus folgt wiederum:
Konvergenz fur alle x
h(X) wachsen fur beliebige sehr stark in x, insbesondere sind sie nicht
quadratintegrabel (vgl. Entwicklung der e-Funktion)
wahlt man = 2m0 + p + 21 mit m0 2 N, damit die Reihe abbricht, so
folgt mit n = 2m0 + p: En = ~!(n + 12 ) (n 2 N). Fur die Eigenfunktionen
ergibt sich:
m! x
0(x) = m!
e ~
E0 = 21 ~!
~
4m3!3 E1 = 23 ~!
1(x) = ~3 xe m!~ x
m! 2 m! x
5 ~!
~
2
2(x) = 4m!
x
1
e
E
=
2
~
~
2
..
.
1
4
1
2
1
4
2
1
2
2
1
4
2
1
2
Die Dierentialgleichung, aus der wir die Polynome erhielten, war:
d2
d
dX 2 + 2X dX + 2n Hn(X) = 0
Die Hn sind die sogenannten Hermite-Polynome. Die allgemeine Losung der
Schrodingergleichung lautet damit:
n(X) = Nn Hn(X)e X
1
2
mit Nn als Normierungsfaktor:
s
~ n m! 1
n(x) = 2nn! m!
~
1
4
m!
~
7.3 Erzeuger und Vernichter
2
n
d
x dx e
Aus den Beziehungen (7.1) und (7.2) ergibt sich fur P, X 2 C
H = ~2! (X 2 + P 2) = ~2! (X + ^{P)(X ^{P)
41
m! x2
2~
Dies legt die Denitionen a^ := p12 (X +^{P ) (Vernichter oder auch Absteigeoperator ) und a^y := p12 (X ^{P ) (Erzeuger oder auch Aufsteigeoperator )1 nahe,
mit denen man erhalt:
X = p1 (^a + ^ay) P = p^{ (^ay a^)
2
2
und
a^; ^ay = 1
Den Hamilton-Operator in a^ und a^y erhalt man uber
P 2 + X 2 = 21 (^ay ^a)(^ay a^) + 21 (^a + a^y )(^a + ^ay)
= 21 ( a^ya^y a^a^ + ^aya^ + ^a^ay + ^a^a + a^a^y + a^ya^ + a^ya^y )
= 21 2(^aa^y + a^y ^a) = a^a^y + a^ya^
) H = 21 ~!(^aa^y + a^y ^a) = ~! a^ya^ + 12
Deniert man noch den sogenannten Anzahloperator N = a^y ^a, so sieht man:
H = ~! N + 12
N ; a^y = a^y
[N ; ^a] = a^
Das Eigenwertproblem von H verlagert sich damit auf ein Eigenwertproblem
von N :
N jni = n jni
Deniere: Der Grundzustand j0i des HO wird als Eigenzustand von N zum
Eigenwert n = 0 deniert, womit sich ergibt:
N j0i = ^ay^a j0i = 0
) ^a j0i = 0
U ber die Rechnung
N a^y jni = ( N ; ^ay + a^y N ) jni = N ; ^ay jni + ^ayN jni
= a^y jni + n^ay jni = (n + 1)^ay jni
sieht man, da a^y jni der Eigenzustand von N zum Eigenwert n+1 ist. Das heit,
a^y liefert bei Anwendung auf einen beliebigen Eigenzustand den nachsthoheren
Eigenzustand (d.h. den mit dem nachsthoheren Eigenwert). ^a bewirkt genau
das Gegenteil, d.h. er liefert bei Anwendung auf einen beliebigen Eigenzustand
den nachstniedrigeren Eigenzustand, womit sich die Bezeichnungen Vernichter
fur a^ und Erzeuger fur a^y erklaren:
1
der Grund fur diese Bezeichnungen wird bald klar werden
42
a^y "erzeugt\ ein zusatzliches Schwingungsquant, wahrend a^ ein Schwingungsquant vernichtet\.
Damit"lat sich der Hilbertraum des HO algebraisch konstruieren:
Man postuliert einen Grundzustand j0i mit h0 j0i = 1 und erhalt:
j1i = N1 ^ay j0i
..
.
jki = Nk a^y jk 1i = Nk ^ayk j0i
mit h1 j1i = 1
mit hk jki = 1
Die benotigten Normierungskonstanten Ni erhalt man durch:
N1 : h1 j1i = jN1j2 0 ^a^ay 0 = jN1 j2 0 1 + a^y ^a 0
= jN1j2 h0 j0i
) N1 = 1
N2 : h2 j2i = jN2j2 0 ^a^a^ay^ay 0 = jN2 j2 0 (^aa^ya^a^y + a^ ^a; ^ay a^y ) 0
= jN2j2 0 (^a^aya^a^y + ^a^ay) 0
= jN2j2 0 ^a^ay a^; ^ay + a^; ^ay 0
= jN2j2 2 =! 1
) N2 = p12
Allgemein:
Nk = p1
k!
Die entsprechenden allgemeinen Eigenfunktionen und Eigenwerte kann man
dann schreiben als:
1
E n = ~! n + 2
p
a^ jni = n jn 1i
p
^ay jni = n + 1 jn + 1i
jni = p1 (^ay )n j0i
n!
7.4 Unscharfen im Grundzustand
Fur die Erwartungswerte von X und P ergibt sich:
hXi = p1 0 a^ + a^y 0 = 0
2
^
{
hPi = p 0 a^y a^ 0 = 0
2
43
und fur die Quadrate:
X 2 = 1 0 (^a + ^ay)(^a + a^y) 0 = 1 0 ^aa^y 0 = 1
2
2
2
P 2 = 1 0 (^ay a^)(^ay a^) 0 = 1
2
2
Daraus kann man mit Hilfe von (6.1) berechnen:
(P)2(X)2 = 14 ) (p)(x) = ~2
q
~ und
Allgemein gilt fur die Unscharfe im Zustand jni (uber x = (n + 21 ) m!
q 1
p = (n + 2 )m~!):
1 ~
xp = n + 2 ~ 2
7.5 Koharente Zustande
Als koharente Zustande bezeichnet man die Eigenzustande des Vernichtungsoperators:
^a ji = ji i.a. 2 C
Die Entwicklung von ji in die Energieeigenfunktionen jni ist:
ji =
Hieraus erhalt man uber
a^ ji =
=
1
X
n=1
1
X
n=0
1
X
n=0
hn ji ^a jni =
hn ji jni
1
X
n=1
(7.4)
hn ji pn jn 1i
1
X
p
hn + 1 ji n + 1 jni =! hn ji jni
n=0
eine Rekursionsformel fur die Koezienten hn ji:
hn + 1 ji = pn+ 1 hn ji
Explizit schreibt sich diese Formel:
n
hn ji = p h0 ji
n!
Den Faktor h0 ji bestimmt man aus der Normierung von ji:
X
X
h ji = hmj h jmi hn jijni = jh jnij2
n;m
= jh0 jij
) h0 ji = e jj
1
2
2
1
2X 1
n
2 n = jh0 jij2 ejj =! 1
j
j
n=0 n!
44
2
Aus (7.4) folgt hiermit:
1 n
1 n (^ay)n
X
X
p p j0i
ji = e jj p jni = e jj
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
n=0 n!
1 (^ay)n
X
= e jj
j0i
n=0 n!
, ji = e jj ea^y j0i
n=0
n! n!
(7.5)
Dieser Ausdruck kann weiter vereinfacht werden. Dazu betrachtet man den
unitaren Operator
U () = ea^y
a^
Nach der Beziehung eA eB = eA+B e [A;B] aus Abschnitt 5.4.3 gilt:
U = ea^y a^ = ea^y e a^ e jj [a^y;a^]
= ea^y e a^ e jj
1
2
2
1
2
1
2
2
Auerdem erhalt man uber die Reihenentwicklung von ex :
1
X
e ^a j0i = n!1 ( )n a^n j0i = j0i
n=0
da a^ j0i = 0. Wendet man also U auf den Grundzustand an, so erhalt man
U j0i = ea^y
a^ j0i = ea^y e
jj2 e a^ j0i
| {z }
=j0i
y 1 jj2
a
^
= e e 2 j0i
1
2
(7.5)
= ji
D.h. fur den koharenten Zustand ji gilt:
ji = U j0i
mit dem unitaren Operator U = ea^y a^ .
7.5.1 Zeitliche Entwicklung der ji Zustande
Sind die Energieeigenwerte En zur Basis fjnig durch H jni = En jni gegeben
und ist j i ein beliebiger Zustand, dann gilt:
j (t)i =
1
X
n=0
hn j (t = 0)i jni e
45
^{!n t
!n = E~n
Daraus folgt:
1
X
e jj p1 n jni e ^{!t(n+ )
n!
n=0
1
X
= e jj e ^{ ! t p1 e ^{!t n jni
n=0 n!
1
X
= e jj e ^{ ! t n!1 e ^{!ta^y n j0i
n=0
! t e {!ta^y
j
j
^
{
e e
j0i
=e
!t
^
{
^
{
!t
= e U e
j0i
j(t)i =
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
^
2
2
7.5.2 Vollstandigkeit der ji Zustande
Es gilt:
(i) ji Zustande sind nicht orthogonal:
X
h0 ji = e jj e j0 j p1 p1 (0 )n( )m hm jni
1
2
2
2
1
2
n;m
2
0
0 1
2 j j e n! m!
= e jj e
= e (jj +j0 j 20 ) 6= (0 )
denn kurzes nachrechnen zeigt:
1
2
1
2
2
2
2
jh0 jij2 = e j 0 j
2
(ii) die ji Zustande sind vollstandig:
1 ZZ d(Re ) d(Im) jihj = I
7.5.3 Erwartungswerte fur Ort und Impuls
Beim HO entsprechen die koharenten Zustande der klassischen Bewegung am
besten, wie man anhand der Erwartungswerte leicht sieht:
hXi = h(t) jXj (t)i
= p1 (t) ^a + a^y (t) = p1 (t) + (t)
2
2
p
1
= p e ^{!t + e^{!t = 2 Re e ^{!t
p2
= 2 Re() cos(!t) + Im() sin(!t)
p
hPi = 2 Im() cos(!t) Re() sin(!t)
Dies sind gerade die Gleichungen fur die klassische Bewegung; daher auch die Bezeichnung "quasiklassische Zustande\. Fur die Eigenzustande im nichtkoharenten Fall gilt dagegen nach Abschnitt 7.4 hXi = hPi = 0 8 jni (wurde allerdings
nur fur j0i gezeigt).
46
7.5.4 Unscharfen koharenter Zustande
Zur Berechnung der Unscharfen braucht man hXi und X 2 bzw.
hPi und P 2 .
2
hXi wurde bereits oben berechnet, wir benotigen also noch X :
(t) X 2 (t) = 1 (t) (^a + ^ay)(^a + a^y) (t)
2D E
= 21 (t) 2(t) + (t) 2 + 2 j(t)j2 + 1 (t)
= 21 2 (t) + (t) 2 + 2 j(t)j2 + 1 h(t) j(t)i
(hXi)2
= 21 2(t) + (t) 2 + 2 j(t)j2 + 1 2 (t) (t) 2 2 j(t)j2
) (X)2 = X 2
= 21
Analog ergibt sich fur (P)2 = 12 . Die Unscharfen sind also X = P = p12 .
Diese Werte sind die kleinstmoglichen und auerdem zeitunabhangig. Koharente Zustande sind also Zustande kleinster Unscharfe ("minimum uncertainty
states\).
Fur sie gilt die Unscharferelation:
(X)(P) = 12
47
Kapitel 8
Elektronenspin
Stern-Gerlach-Versuch
In diesem Versuch wird ein Strahl aus Ag-Atomen durch ein stark inhomogenes
~
Magnetfeld geschickt. In einem solchen B-Feld
wirkt nur auf Atome mit resultierendem Drehmoment eine Kraft. Die Ag-Atome sollten demnach im Feld nicht
abgelenkt werden, da ihr Bahndrehimpuls l = 0 ist.Trotzdem beobachtet man
eine Aufspaltung in zwei Teilstrahlen. Daraus schliet man auf die Existenz eines inneren Freiheitsgrades mit den Eigenschaften eines Drehimpulses, genannt
Spin, der genau zwei Werte annehmen kann, also quantisiert ist.
8.1 Allgemeine Betrachtungen
Der Spin wird reprasentiert durch den Spinvektor S~ (Axialvektor). Mit dem
Spin verknupft ist beim Elektron ein magnetisches Moment ~:
~ = gS~ g { gyromagnetisches Verhaltnis
Der Spin ist uber das magnetische Moment beobachtbar, d.h. es mu einen
hermiteschen Operator S geben, der den Spin beschreibt.
Die z-Komponente des Spins hat zwei Eigenwerte und -vektoren:
Sz j+i = ~2 j+i Sz j i = ~2 j i
h+ j+i = h j i = 1 h+ j i = 0 I = j+i h+j + j i h j
und in Matrixschreibweise:
1 0 Sz = 2 z z = 0 1
1
0
j+i = 0
j i= 1
~
48
Die anderen Komponenten des Spins sind ebenfalls als 2 2-Matrizen darstellbar:
0 1
~
Sx = 2 x x = 1 0
0 ^{
~
Sy = 2 y y = ^{ 0
Die x;y;z nennt man Pauli'sche Spinmatrizen oder kurz Pauli-Matrizen.
Auch Sx und Sy haben die Eigenwerte ~2 . Die Komponenten sind jedoch nicht
kompatibel, da
[Sx ; Sy ] = 41 ~2 [x ; y ] = 2^{ ~2 z = ^{~Sz
Zwischen den Pauli-Matrizen gilt
x2 = y2 = z2 = I I { Einheitsmatrix
und die zyklische Vertauschungsrelation
ij = ij + ^{"ijk k
(z.B. x y = ^{z ).
Messung des Spins:
(i) Ist das System im Zustand j+i und es wird eine Messung von Sz durchgefuhrt, so erhalt man als Ergebnis ~2
(ii) Ist das System im Zustand j+i + j i mit jj2 + j j2 = 1, so hat man
bei der Messung die Wahrscheinlichkeiten P+ = jj2 bzw. P = j j2 den
Wert ~2 bzw. ~2 zu messen.
Genauer: hat man N (N 1) gleiche Systeme im Zustand j i, dann gilt:
N+ = N jj2
N = N j j2
wobei N die Anzahlen der Meergebnisse ~2 sind.
8.2 Spin im homogenen Magnetfeld
Hierbei betrachten wir ein Teilchen (Atom, Elektron) mit dem Spin 12 im homogenen Magnetfeld. Wenn das konstante Magnetfeld mit B~ gegeben ist, so ist die
Wechselwirkungsenergie zwischen B~ und S~ : W = ~B~ . Legt man das Koordinatensystem so, da gilt B~ = Bz ~ez (Einheitsvektor in z-Richtung), vereinfacht
sich dies zu
W = z Bz = | gB
{z z} Sz
=W0
woraus man den Hamiltonoperator abliest:
H = W0 Sz
H j+i = ~W2 0 j+i H j i =
49
~W 0
2 j i
Fur einen beliebigen (Ausgangs-)Zustand j i = j+i + j i (jj2 + j j2 = 1)
hat man nach
@ j (t)i = H j (t)i
^{~ @t
) j (t)i = e ~{ Ht j (0)i
^
die Zeitentwicklung:
j (t)i = e
{W0 t
^
2
j+i + e {W t j i
^
0
2
Wenn ~u ein Einheitsvektor ist, d.h. j~uj = 1, dann gilt mit den Konventionen aus
Abb. 8.1:
S~ ~u = Sx sin cos ' + Sy sin sin ' + Sz cos (S~ u~ ) j"i = ~2 j"i (S~ u~ ) j#i = ~2 j#i
j"i bzw. j#i bezeichnen dabei die Spinstellung parallel bzw. antiparallel zu ~u
(analog j +i: (anti-)parallel zu ~ez ).
In Matrixschreibweise:
cos sin e ^{' ~
~
(S u~ ) = 2 sin e^{' cos Diese Matrix hat die Eigenwerte = 1 und die Eigenvektoren
cos e
^{ '
2 '2
^
{
sin 2 e 2
sin e
2'
cos 2 e^{
^{ '2
2
Hiermit kann man j"i und j#i durch die Basis fj+i ; j ig ausdrucken:
j"i = cos 2 e ^{ ' j+i + sin 2 e^{ ' j i
j#i = sin 2 e ^{ ' j+i + cos 2 e^{ ' j i
2
2
2
2
Setzt man dann z.B. j i j"i sieht man:
{W t
{W t
= cos 2 e ^{ ' e
= sin 2 e^{ '
e
Und in der zeitlichen Entwicklung:
(t) = 0 '(t) = '0 + w0 t mit w0 = W20
Man sieht, da zeitlich konstant ist, wahrend sich ' periodisch andert, d.h.
der Spin prazediert (=^ Spinvektor kreist um die z-Achse; siehe Abb. 8.2). Diese
Prazession nennt man Larmor-Prazession und w0 die Larmor-Frequenz.
^
0
2
^
2
50
0
2
2
z6
~u
3y
r
-x
'
Abbildung 8.1: Kugelkoordinaten
6
B~
]
S~
-
Abbildung 8.2: Larmor-Prazession
51
Kapitel 9
Der Drehimpuls in der
Quantenmechanik
9.1 Einfuhrung des Drehimpulses
In der klassischen Physik ist der Drehimpuls L~ = ~r ~p unter bestimmten Bedingungen eine Erhaltungsgroe:
1. fur isolierte Systeme
2. fur eine Bewegung im Zentralpotential
Diese beiden Falle treten jedoch bei einer Vielzahl von Anwendungen auf.
In der Quantenmechanik stellt man den Drehimpuls durch den hermiteschen
Operator L dar, dessen Komponenten Lx ; Ly ; Lz Observable sind. Die Drehimpulserhaltung in den oben genannten klassischen Fallen schreibt sich mit
quantenmechanischen Groen:
@ L = 0 (6.6)
) dtd hLi = 0
[L; H] = 0 ^ @t
@
@t L = 0 bedeutet, da L nicht explizit zeitabhangig ist.
Der Drehimpuls ist eine quantisierte Groe, was sich bei den magnetischen Eigenschaften von Atomen bemerkbar macht (z.B. Zeeman-Eekt).
9.1.1 Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik
Klassisch gilt fur die Komponenten des Drehimpulses:
9
Lx = ypz zpy =
Ly = zpx xpz ; Li = "ijk xj pk ; L~ = ~x ~p
Lz = xpy ypx
Hier tritt kein Ordnungsproblem auf, das Symmetrisierung verlangen wurde,
denn Produkte aus Ortskomponenten und nicht zugehorigen Impulskomponenten kommutieren. Das bedeutet, man erhalt den Operator L direkt aus L~ durch
Ersetzen von ~x und p~ mit den entsprechenden Operatoren.
52
9.1.2 Vertauschungsrelationen
Die Vertauschungsrelationen fur die einzelnen Drehimpulskomponenten berechnen sich nach:
[Lx ; Ly ] = [^y p^z z^p^y ; z^p^x x^p^z ] = [^y p^z ; z^p^x ] + [^z p^y ; x^p^z ]
= ^{~y^p^x + ^{~p^y x^ = ^{~Lz
Allgemein:
[Li; Lj ] = ^{~ "ijk Lk
(9.1)
Eine weitere (Drehimpuls-)Observable, die mit den Komponenten von L jedoch
kommutiert, ist L2 :
L ; L2 = 0 (i = 1; 2; 3)
i
mit L2 = L2x + L2y + L2z
Beweis:
L2 + L2 + L2; L = L2 + L2; L = L2 ; L + L2; L x
y
z
x
z x
y x
y
z x
= Ly [Ly ; Lx] + [Ly ; Lx] Ly + Lz [Lz ; Lx] + [Lz ; Lx] Lz
= Ly ( ^{~Lz ) + ( ^{~Lz )Ly + Lz (^{~Ly ) + (^{~Ly )Lz
=0
(Die restlichen Vertauschungsrelationen beweist man analog.) Die Kompatibilitat von Li und L2 bedeutet (nach den Satzen von Abschnitt 5.4.2), da gemeinsame Eigenfunktionen der beiden Groen existieren. Die Konvention ist,
Lz zu benutzen, d.h.:
Lz und L2 haben gemeinsame Eigenfunktionen
9.1.3 Eigenfunktionen von Lz und L
Die Eigenfunktionen von L2 und Lz in der Ortsdarstellung sind die sogenannten
Kugelachenfunktionen (engl. spherical harmonics ) Ylm . Betrachtet man Lz , so
~:
ergibt sich mit p^ = ^{~ r
@ y@)
Lz = ^{~(x @y
@x
Die Beziehungen vereinfachen sich, wenn man zu 3-dimensionalen Polarkoordinaten (Kugelkoord.) (r; ; ) ubergeht:
@ cos @ Lx = ^{~ sin @ + tan @
sin
@
@
Ly = ^{~ cos @ + tan @
@
Lz = ^{~ @
2
@2
L2 = ~2 @@ 2 + tan1 @@ + sin12 @
2
53
woran man sieht, da sich die gemeinsamen Eigenfunktionen in Abhangigkeit
von und darstellen lassen (unabhangig von r!).
Das fuhrt uns auf die Eigenwertgleichungen:
Lz Ylm (; ) = m~Ylm (; )
L2Ylm (; ) = l(l + 1)~2Ylm (; )
(a)
(b)
Dabei wird l(l + 1) statt irgendeiner Groe c gewahlt, da sich dies spater als
zweckmaig erweist. Aus der Beziehung (a) folgt:
Ylm (; ) = Flm ()e^{m
und aus der Forderung Ylm (; ) = Ylm (; + 2) (zyklische Randbedingung)
folgert man, da m nur ganzzahlige Werte annehmen kann (m 2 Z). Auerdem
kann man noch zeigen, da
1. l 2 N0
2. l m l
(siehe nachster Abschnitt)
Fur Ylm gilt weiterhin:
1.
Z
d
Ylm0 0 (; ) Ylm (; ) = ll0 mm0 (Orthogonalitat)
1 X
l
X
Ylm (; )Ylm (0 ; 0) = (
0 ) (Vollstandigkeit)
l=0 m= l
= sin1 ( 0 )( 0 )
Einige Kugelachenfunktionen Ylm stehen in Tabelle 9.1.
2.
l
m Ylm
q
1
0
q 43
cos 0
q4 3
1 8 sin e^{
q5
2 0
(3 cos2 1)
q1615
1 8 cos sin e^{
q
2 3215 sin2 e2^{
0
1
Tabelle 9.1: Kugelachenfunktionen Ylm
54
9.1.4 Algebraische Behandlung des Drehimpulses
Hierzu deniert man zunachst zwei Linearkombinationen von Drehimpulskomponenten:
J+ = Jx + ^{Jy
J = Jx ^{Jy = (J+ )y J nicht hermitesch, aber zueinander adjungiert
Jx;y;z sollen zunachst nur die Vertauschungsrelationen (9.1) erfullen. Die Vertauschungsrelationen von J mit Jz und J 2 sind:
[Jz ; J+ ] = ^{~(Jy ^{Jx ) = ~J+
[Jz ; J ] = ~J
[J+ ; J ] = 2~Jz
J 2 ; J = 0
Mit diesen Gleichungen hat man eine Denition des Drehimpulses nur uber
Kommutatorrelationen. Von diesem Ausgangspunkt aus erhalt man noch folgende Ergebnisse:
a) Fur beliebige j i gilt:
J 2 = kJ j ik2 + kJ j ik2 + kJ j ik2 0
x
y
z
woraus man ablesen kann, da die Eigenwerte von J 2 0 sind.
b) Fur 0 gilt: = l(l + 1) bestimmt eindeutig l 2 N0
c) Die Eigenwertgleichungen sind:
J 2 jl; mi = ~2 l(l + 1) jl; mi
Jz jl; mi = ~m jl; mi
Diese Gleichungen wollen wir als Denitionsgleichungen fur die Zustande
jl; mi nehmen.
d) Behauptung: Fur die Eigenwerte m von Jz gilt:
lml
Beweis: Wegen J = (J )y gilt:
kJ+ j ik2 = h jJ J+ j i 0
kJ j ik2 = h jJ+ J j i 0
Man errechnet:
J+ J = (Jx + ^{Jy )(Jx ^{Jy ) = Jx2 + Jy2 + ^{ [Jy ; Jx]
= Jx2 + Jy2 + ~Jz = J 2 Jz2 + ~Jz
J J+ = Jx2 + Jy2 ~Jz = J 2 Jz2 ~Jz
55
(9.2)
und damit:
hl; m jJ J+ j l; mi = l; m J 2 Jz2
~Jz
l; m
= ~2 l(l + 1) m2 ~2 m~2 = ~2 l(l + 1) m(m + 1)
!
!
hl; m jJ+ J j l; mi = ~2 (l + m)(l m + 1) 0
= ~2 (l m)(l + m + 1) 0
Aus diesen zwei Gleichungen erhalt man die Bedingungen:
(l m)(l + m + 1) 0 ,
(l + m)(l m + 1) 0 ,
(l + 1) m l
l m (l + 1)
Da beide Bedingungen gleichzeitig erfullt sein mussen, erhalt man die Bedingung (9.2).
e) J jl; mi ist ein Eigenvektor zu J 2 mit dem Eigenwert l(l + 1)~2 und Eigenvektor zu Jz mit Eigenwert (m 1)~ (Absteigeoperator!):
J 2 (J jl; mi) = J (J 2 jl; mi)
= l(l + 1)~2J jl; mi
Jz (J jl; mi) = J (Jz jl; mi) + [Jz ; J ] jl; mi
= m~(J jl; mi) ~(J jl; mi)
= (m 1)~(J jl; mi)
) J jl; mi jl; m 1i
mit dieser Proportionalitat und
kJ jl; mik2 = ~2 l(l + 1) m(m 1) kjl; m 1ik2
erhalt man als Denition fur eine Standard-Basis:
p
J jl; mi = ~ l(l + 1) m(m 1) jl; m 1i
Analog sieht man, da J+ Aufsteigeoperator ist:
J 2(J+ jl; mi) = l(l + 1)~2 (J+ jl; mi)
Jz (J+ jl; mi) = (m + 1)~(J+ jl; mi)
p
) J+ jl; mi = ~ l(l + 1) m(m + 1) jl; m + 1i
Die Grenzen machen jedoch eine Ausnahme:
J jl; m = li = 0
J+ jl; m = li = 0
Dies sieht man direkt an:
kJ jl; mik2 = ~2 l(l + 1) m(m 1) = 0 fur m = l
56
f) Es gilt:
(J )p+1 jl; mi = 0 , m p = l
(J+ )q+1 jl; mi = 0 , m + q = l
fur genau ein p 2 Z
fur genau ein q 2 Z
Daraus sieht man sofort, da 2l = p + q, d.h. 2l ist eine ganze Zahl 0,
woraus man l = n2 (n 2 N0) erhalt. Auerdem ist m immer nur ganz- oder
halbzahlig:
m = l; l + 1; : : :; l 1; l
9.2 Drehimpuls und Drehsymmetrie
9.2.1 Transformationen und Invarianzbedingungen
Damit eine physikalische Megroe unter einer Transformation invariant ist,
mussen die transformierten Observablen A0 und Zustande j 0 i folgende Bedingungen erfullen:
Die Erwartungswerte h0 jA0 j 0 i, Wahrscheinlichkeitsdichten jh0 j 0 ij2 und die
Spektren der transformierten Groen mussen mit denen der ursprunglichen (A,
, ) identisch sein.
Diese Bedingungen erfullen unitare Transformationen U der Form:
A0 := UAU y
j 0 i := U j i
Man sieht (U y = U 1 ):
i) h0 j 0 i = U yU = h j i
E
D ii) h0 jA0 j 0 i = U yUAU y U = h jAj i
iii) A j i = a j i
) A0 j 0 i = UAU yU j i = UA j i = aU j i = a j 0 i
Die Observablen A0 und Zustande j 0 i entsprechen damit in ihren Eigenschaften
den physikalischen Groen, die auch durch A und j i beschrieben werden.
Fur Operatoren folgert man deshalb die Invarianzbedingung:
UAU y = A , UA = AU , [A; U ] = 0
9.2.2 Ortstranslationen
Betrachtet man eine Wellenfunktion in einer Dimension und zur Zeit t = 0,
so erhalt man fur eine Translation e(x) = (x + a) durch Taylor-Entwicklung:
e = (x) + a 0(x) + a2 00(x) + : : :
2
1 1 d n
X
a dxd
=
n=0 n!
a dx
(x) = e
57
(x)
@:
und mit p^ = ~^{ @x
e = e ~{ ap^ (x)
^
Allgemein kann man hierfur schreiben:
E
e = UT j i
mit dem unitaren "Translationsoperator\ UT = e ~{ ap^. Fur diesen Operator gilt:
U (a)^xU y (a) = x^ + a ^{ [^p; x^] = x^ + a
^
T
T
~
d.h. der Ortsoperator wird um a verschoben.
In der Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen erhalt man:
UT (~a) = e ~{ ~ap^
was einer Translation um den Vektor ~a entspricht.
Mathematisch gesehen bilden die Translationen eine Gruppe, die vom Impulsoperator erzeugt wird. (Genaueres zu Gruppen und erzeugenden Elementen hort
man in Linearer Algebra).
Fur ein freies Teilchen gilt [H; p^] = 0, und damit:
UT HUTy = H
d.h. der Hamiltonoperator ist invariant gegenuber Orts-Translationen:
[H; UT ] = 0
Nur der Vollstandigkeit halber (wird weiterhin nicht benotigt):
Eine innitesimale Translation kann man uber die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion schreiben als:
U (~a) 1 + ^{ ~a p^
^
T
~
9.2.3 Zeittranslationen fur zeitunabhangige Hamiltonfunktionen
Geht man von t zu ~t = t + uber, so gilt fur den Zustand j (t)i:
j (t + )i = j (t)i + dtd j (t)i + : : :
= e dtd j (t)i
Mit der Schrodingergleichung dtd j (t)i = ~^{ H j (t)i kann man weiter auosen:
j (t + )i = e ~{ H j (t)i
(Zeitentwicklung eines beliebigen Zustandes!) Dies liefert den Operator
UZ () = e ~{ H
fur eine Zeittranslation um . Dieser Operator ist unitar, da H hermitesch ist.
Aus der Energieerhaltung folgt uber
UZ HUZy = H
die Invarianz des Hamiltonoperators gegenuber Zeittranslationen.
^
^
58
9.2.4 Drehungen
Eine innitesimale Drehung wird beschrieben durch:
~r 0 = ~r + ~
|'{z ~r}
~r
Die A nderung der Wellenfunktion unter dieser Operation ist:
e(~r) = (~r 0) = (~r + ~' ~r)
~ (~r) + : : :
= (~r) + (~' ~r) r
= (~r) + (~' ~r) ~^{ ~p (~r) + : : :
= (~r) + ^{ ~' (~r ~p) (~r) + : : :
~
= (~r) + ~^{ (~' L~ ) (~r) + : : :
Der Operator einer endlichen Drehung ist
UD = e ~{ '~ L~ = e ~{ L~
^
^
wobei L~ dem Drehimpulsoperator in '~ -Richtung entspricht: L~ := 'x Lx +'y Ly +
'z Lz . Dieser Operator ist ebenfalls unitar und wegen [H; L] = 0 erhalt man
durch
UD HUDy = H
die Invarianz gegenuber Drehungen.
Im allgemeinen ergeben sich durch Invarianzen Entartung. Z.B. erhalt man wegen [H; Lz ] = 0:
Lz jl; m; ni = m~ jl; m; ni
H jl; m; ni = En jl; m; ni
woran man sieht, da jeder Energieeigenwert (2l + 1)-fach entartet ist, da sich
fur verschiedene m bei gleichem l gleiche Energieeigenwerte ergeben.
9.3 Addition von Drehimpulsen
Klassisch ist der Drehimpuls additiv, d.h. wenn man zwei Teilchen mit den
Drehimpulsen J~1 und J~2 hat, dann ist ihr Gesamtdrehimpuls J~ = J~1 + J~2 .
In der Quantenmechanik hat man fur zwei Teilchen ihre Wellenfunktionen. Sind
die Teilchen unabhangig voneinander, so ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, Teilchen 1 bei ~x1 und Teilchen 2 bei ~x2 zu nden:
j (~x1 ;~x2)j2 = j 1(~x1 )j2 j 2(~x2 )j2
A hnlich gilt fur die Drehimpulse zweier Zustande jj1 ; m1 i ; jj2; m2 i:
jj1 ; j2; m1 ; m2i = jj1 ; m1i jj2 ; m2i
59
Mathematisch ist das ein Tensorprodukt: Ausgangspunkt sind die beiden KetRaume E1 und E2 und das Ergebnis liegt im Produktraum E = E1 E2 . Wenn
z.B.
fj1; iig (i = 1; 2; 3; : ::)
Basis von E1
fj2; j ig (j = 1; 2; 3; : : :)
Basis von E2
dann ist
fj1; ii j2; j ig (i = 1; 2; 3; : ::); (j = 1; 2; 3; : : :)
eine Basis des Produktraumes E1 E2 . Ein Vektor aus E1 E2 ist damit darstellbar als:
X
j i = cij j1; iij2; j i cij 2 C
i;j
Betrachtet man zwei Vektoren
j1; i 2 E1 :
j1; i =
j2; i 2 E2 :
j2; i =
X
i
X
j
ai j1; ii
bj j2; j i
So ist der Produktvektor:
X
ji = j1; ij2; i = ai bj j1; ii j2; j i
i;j
d.h. aus j1; i 2 E1 und j2; i 2 E2 folgt j1; i j2; i 2 E1 E2 . Fur Operatoren,
die auf solche Produktzustande wirken, gilt:
Ji2 jj1 ; j2; m1 ; m2i = ji (ji + 1)~2 jj1; j2 ; m1; m2 i
i = 1; 2
Ji;z jj1 ; j2; m1 ; m2i = mi ~ jj1; j2 ; m1; m2 i
i = 1; 2
woraus sich fur j1; j2 fest insgesamt (2j1 + 1)(2j2 + 1) Zustande ergeben. Fur
den Gesamtdrehimpuls gilt jetzt:
J = J1 + J2
mit den oben denierten J1 ; J2. Dieser Operator J erfullt die Drehimpulsvertauschungsrelationen, und J 2 und Jz sind kompatible Observable. Auerdem
folgt uber
J 2 = J12 + J22 + 2J1J2 (da [J1; J2 ] = 0)
) J 2 ; J12 = J 2 ; J22 = 0
da sogar J 2 ; Jz ; J12; J22 kompatible Observable sind.
Damit erhalt man folgende Ergebnisse fur die Addition von Drehimpulsen:
(a) die Eigenfunktionen von addierten Zustanden deniert man durch
J 2 jj1 ; j2; J; M i = J(J + 1)~2 jj1 ; j2; J; M i
Jz jj1 ; j2; J; M i = M ~ jj1; j2; J; M i
Ji2 jj1 ; j2; J; M i = ji (ji + 1)~2 jj1 ; j2; J; M i
fur i = 1; 2
60
(b) jeder Vektor jj1 ; j2; m1 ; m2i ist ein Eigenvektor zu Jz :
Jz jj1 ; j2; m1; m2 i = (m1 + m2 )~ jj1; j2; m1 ; m2i
Auerdem gilt fur den Drehimpuls:
J M J
Das maximale J ist Jmax = j1 + j2, da Mmax = m1;max + m2;max und ji;max =
mi;max . Den minimalen Wert Jmin = jj1 j2 j erhalt man aus geometrischen
U berlegungen (strenger Beweis auch moglich).
jj1 j2j J j1 + j2
Man will jetzt einen Basiswechsel von jj1; j2; m1 ; m2i nach jJ; M i vornehmen.
Im allgemeinen Fall erhalt man hierfur das Ergebnis:
X
h|j1; j2 ; m1; m{z2 jj1 ; j2; J; M }i jj1; j2; m1 ; m2i
jj1 ; j2; J; M i =
m1 ;m2
m1 +m2 =M
Clebsh-Gordan-Koezient
Die Clebsh-Gordan-Koezienten, die man normal auf die im folgenden skizzierte
Weise erhalt, sind tabelliert.
Allgemeines Verfahren zur Konstruktion der j 1 2
i-Zustande
Zur besseren U bersicht setzen wir im Folgenden jJ; M i := jj1 ; j2; J; M i (die
j ; j ; J; M
Werte von j1 und j2 seien jeweils fest und bekannt).
Ein Zustand ist schon eindeutig festgelegt:
Fur jJ = j1 + j2 ; M = j1 + j2i kommt aufgrund des Eigenwerts der z-Komponente
des Gesamtdrehimpulses nur jj1 + j2 ; j1 + j2i = jj1 ; j2; j1; j2i in Frage. Durch
Anwendung des Absteigeoperators J des Gesamtdrehimpulses erhalt man hieraus
die Zustande jj1 + j2 ; ki mit (j1 + j2 ) k j1 + j2 1:
p
J jj1 + j2 ; j1 + j2 i = ~ (j1 + j2)(j1 + j2 + 1) (j1 + j2 )(j1 + j2 1) jj1 + j2; j1 + j2 1i
p
p
= ~ j1 + j2 2 jj1 + j2; j1 + j2 1i
=! (J1; + J2; ) jj1; j2 ; j1; j2i
p
= ~ j1 (j1 + 1) j1 (j1 1) jj1; j2 ; j1 1; j2i
p
+ ~ j2 (j2 + 1) j2(j2 1) jj1 ; j2; j1; j2 1i
p
p
= ~ 2j1 jj1; j2 ; j1 1; j2i + 2j2 jj1; j2 ; j1; j2 1i
p
p
) jj1 + j2 ; j1 + j2 1i = pj 1+ j j1 jj1 ; j2; j1 1; j2i + j2 jj1; j2; j1 ; j2 1i
1
2
Durch wiederholte Anwendung von J erhalt man so alle Zustande jj1 + j2 ; ki.
Sind nun alle Zustande jj1 + j2 l; mi (l = 0; 1; : : :; i 1) bekannt, kann man
die Zustande jj1 + j2 i; ki konstruieren:
Fur jj1 + j2 i; j1 + j2 ii existiert aufgrund der Eigenwerte zu Jz die Darstellung
X
jj1 + j2 i; j1 + j2 ii =
jj1 ; j2; m1; m2 i
m1 +m2 =
j1 +j2 i
61
Fur die n unbekannten Koezienten existieren n Orthonormalitatsbedingungen:
hj1 + j1 k; j1 + j2 i jj1 + j2 i; j1 + j2 ii = ik
Aus diesem Gleichungssystem fur die Koezienten kann man diese bestimmen, wobei man die Phase willkurlich so wahlt, da die Koezienten reell sind.
Durch Anwendung von J auf den Zustand jj1 + j2 i; j1 + j2 ii kann man
wiederum alle restlichen Zustande mit J = j1 + j2 i konstruieren.
Mit diesem Verfahren, das wir noch an zwei Beispielen betrachten wollen, sind
alle Clebsh-Gordon-Koezienten zu gegebenem j1 und j2 bestimmbar.
Beispiel 1
Betrachten wir zwei Spin- 21 Teilchen: j1 = 21 ; j2 = 21 . Der Produktraum hat
dann vier Zustande:
1 1 1 1 ; ; ; =: j++i
1 21 2 12 21 ; ; ; =: j +i
21 21 1 2 12 ; ; ;
=: j+ i
1 21 2 21 12 ; ; ;
2 2 2 2 =: j i
Auerdem erhalt man 0 J 1, d.h. J = 0 oder J = 1. Die Eigenwerte zu Jz
der vier Zustande sind:
Jz j++i = ~ j++i Jz j i = ~ j i
Jz j+ i = Jz j +i = 0
Die "Schwierigkeit\ ist jetzt, die vier Basiszustande j1; 1i ; j1; 0i ; j1; 1i ; j0; 0i
mit Hilfe der Zustande j++i ; : : : darzustellen, d.h. den Basiswechsel vorzunehmen. Wegen Jz = J1;z + J2;z und
~
~
Jz j++i = (J1;z + J2;z ) j++i = 2 + 2 j++i = ~ j++i
folgt
j1; 1i = j++i
Die weiteren Vektoren erhalt man durch Anwendung des J -Operators:
p
J j1; 1i = ~ 2 j1; 0i
und J j++i = (J1; + J2; ) j++i = ~ j +i + j+ i
) j1; 0i = p12 (j +i + j+ i)
62
p
J j1; 0i = ~ 2 j1; 1i
und J j1; 0i = p1 (J1; + J2; )(j +i + j+ i) = = p2 ~ j i
2
2
) j1; 1i = j i
Den letzten Vektor, j0; 0i erhalt man aus der Bedingung, da j1; 0i ? j0; 0i:
j0; 0i = j +i j+ i jj2 + j j2 = 1
) j0; 0i = p1 (j+ i j +i)
2
Damit hat man als Ergebnisse das Triplett (zum Gesamtspin 1)
j1; 1i = j++i
j1; 0i = p1 (j +i + j+ i)
2
j1; 1i = j i
und das Singulett (zum Gesamtspin 0)
j0; 0i = p1 (j+ i
2
j +i )
Beispiel 2
Zwei Zustande mit unterschiedlichen Spin: j1 = 1; j2 = 21 . Daraus ergibt sich
J = 12 oder J = 32 . Die Anzahl der Zustande betragt (2j1 + 1)(2j2 + 1) = 6. Fur
die Zustande zu J = 23 erhalt man:
3 3 ; = j1; 1i 1 ; 1
J = 23
2 2
2 2
3 1 1
r
; = p j1; 1i 1 ; 1 + 2 j1; 0i 1 ; 1
3
2 2
3 2 32 3 1 2 1 2
;
2 2 = j1; 1i 2 ; 2
1 1 r 2 1 1 3 1 1
;
2 2 = p3 j1; 1i 2 ; 2 + 3 j1; 0i 2 ; 2
Fur 12 ; 12 existiert die Darstellung:
1 1 ; = j1; 1i 1 ; 1 + j1; 0i 1 ; 1
2 2
2 2
2 2
womit man errechnet:
1 1 1 1 )
jj2 + j j2 = 1
2; 2 2; 2 = 1
p
3 1 1 1 2 = 0 () + p2 = 0)
p
p
+
=
0
)
;
;
2 2 2 2
3
3
63
Mit der Forderung ; 2 R erhalt man:
r
r
2
1
= 1 2 ) = 23 ; =
3
Damit kann man endlich berechnen:
1 1 1 1 r 2 1 1 1
1
J=2
2 ; 2 = 3 j1; 1i 2 ; 2 p3 j1; 0i 2 ; 2
1 1 1
1 1 1 1 r 2
;
2 2 =
3 j1; 1i 2 ; 2 + p3 j1; 0i 2 ; 2
2 = 1
2
64
Kapitel 10
Zeitunabhangiges
Zentralpotential
10.1 Allgemeine Betrachtungen
Ein zeitunabhangiges Zentralpotential U ist gegeben durch
U(~r) = V (j~rj) = V (r)
Klassisch gilt in einem Potential dieser Form die Drehimpulserhaltung, d.h.
d ~ = 0. Fur die Quantenmechanik konnen wir eine analoge Aussage noch nicht
dt L
treen. Zunachst ist der Hamiltonoperator fur ein Teilchen in diesem Potential:
2
~
H = 2m
4 +V (r)
t
Mit dem Laplace-Operator in Kugelkoordinaten (r 6= 0; 6= 0; ; 2; K-systemabhangige Pole)
@2 1 @
2 2
@
1
1
@
1
4 = r @r2 r + r2 @2 + tan @ + sin2 @2
@ 2 r 1 L2 L { Drehimpulsoperator
= r1 @r
2
r 2 ~2
wird dann aus der zeitunabhangigen Schrodingergleichung (4.1):
~2 @ 2
1 L2 + V (r)
r
+
nlm (r; ; ) = Enlm nlm (r; ; )
2mt r @r2 2mt r2
Die Losung des Problems erhalt man in mehreren Schritten:
i) wegen [H; Lz ] = 0 und H; L2 = 0 existieren gemeinsame Eigenfunktionen
von H, L2 und Lz :
H nlm (~r) = Enlm nlm (~r)
L2 nlm (~r) = ~2 l(l + 1) nlm (~r)
Lz nlm (~r) = ~m nlm (~r)
65
ii) man macht einen Produktansatz fur nlm (r; ; ):
m
~2 d2 nlm (r;~2;l(l)+=1)Rnl(r)Yl(; )
) 2m r dr2 r + 2m r2 + V (r) Rnl (r) = Enl Rnl (r)
t
t
was sich mit der Substitution Rnl (r) = 1r unl (r) zu
~2
d2 + ~2 l(l + 1) + V (r) u (r) = E u (r)
nl
nl nl
2mt dr2
2mt r2
(10.1)
vereinfacht.
iii) die nlm sind quadratintegrabel und orthonormiert:
Z
)
)
(~x) n0 l0 m0 (~x) = nn0 ll0 mm0
d3x nlm
Z1
Zr=01
dr r2 Rnl (r)Rn0l0 (r) = nn0 ll0
r=0
Z
)
dr r2Rnl (r)Rn0l (r) = nn0
1
r=0
dr unl (r)un0l (r) = nn0
iv) Verhalten von Rnl(r) fur r ! 0:
man setzt fur Rnl (r) eine Potenzreihe an, die die Bedingung in (iii) erfullt:
Rnl(r) r!
'0 r s s 2 R
Diesen Ansatz (Rnl r!
'0 rs ) setzt man in die Dierentialgleichung ein:
~2
2
s 1 + ~ l(l + 1) rs + V (r)rs = Enl rs
s(s
+
1)r
2mt r
2mt r2
~2
~2
s(s + 1) + 2m
l(l + 1) + r2 V (r) = Enl r2
, 2m
t
t
0
Falls r2V (r) r!!
0 dann erhalt man hieraus die Bedingung:
s(s + 1) = l(l + 1) fur r ! 0
, s = l _ s = (l + 1)
l
1
Zulassig sind allerdings nur Losungen, fur die Rnl (r) r'
!0 r gilt . Hieraus
folgert man:
) unl (r) r!'0 rl+1
) unl (r=0) = 0
1 eine Hermitizit
atsforderungan den Hamiltonoperator ergibt die Randbedingung u(0) = 0,
d.h. R r!
'0 r mit > 1
66
10.2 Das Wasserstoatom
Wir wollen nun die gewonnenen Erkenntnisse auf den konkreten Fall des Wasserstoatoms anwenden. Da die Masse des Protons wesentlich groer als die des
Elektrons ist, liegt der Schwerpunkt des Gesamtsystems fast im Mittelpunkt des
Protons. Somit kann man anstelle des Protons ein Coulomb-Feld mit Ursprung
im Kern annehmen:
2
V (r) = er
Aus Gleichung (10.1) wird damit:
~2 d2 l(l + 1)~2 e2 2m dr2 + 2mr2
r unl (r) = Enl unl (r)
R
mit unl (r = 0) = 0 und 01 dr unl unl = 1
Das Spektrum von H zerfallt damit in zwei Teile:
E 0: das Teilchen bewegt sich auf einer Hyperbel- (E > 0) bzw. Parabelbahn
(E = 0). Das Spektrum ist hier kontinuierlich (klass. Fall)
E < 0: das Teilchen bewegt sich auf einer Ellipsenbahn. Hier gibt es nur bestimmte erlaubte Energieeigenwerte, d.h. das Spektrum ist diskret.
~ (Bohr'scher BahnradiZur Vereinfachung der Betrachtung setzt man a0 = me
r
us) und = a :
2
2
d2
0
d2
l(l + 1) 12 + 2 "nl unl () = 0
~
= me
wobei "nl = EEnl und E0 = 2ma
2~ .
Zur Losung dieser Dierentialgleichung geht man folgendermaen vor:
1. Vorbetrachtung:
Asymptotisches Verhalten fur ! 1: dd " u() = 0
2
0
4
2
0
2
2
2
) unl () r!1
' e
p "
p
2. Seperationsansatz zur Isolierung dieses Verhaltens: unl () = ynl ()e "
d2 p d 2 l(l + 1) ynl () = 0 ynl (0) = 0
d2 2 " d + 2
P
k
3. Potenzreihenansatz fur ynl : ynl () = s 1
k=0 ck (verallgemeinerter Potenzreihenansatz { Methode von Frobenius)
Durch Einsetzen und Koezientenvergleich sieht man:
s(s 1)c0 l(l + 1)c0 = 0
und mit c0 6= 0:
s=l+1 _ s= l
67
Nur die Losung mit s = l + 1 ist vertraglich mit den Randbedingungen.
Daraus ergibt sich:
(l + k + 1)(l + k) l(l + 1)c = 2 p"(l + k) 1 c
k 1
p"(lk+ k) 1] 1
c
2
[
k
, c = k(k + l + 1) k
k 1
d.h. fur beliebige " ist das Wachstum i.a. exponentiell
4. Abbruchbedingung fur die Potenzreihe (n = k, bei dem der Abbruch erfolgt):
mit p"nl (l + n) 1 = 0 bricht die Reihe ab, und man erhalt:
4
1
Enl = me
2
2~ n + l
2
n 2 N; l 2 N0
Einige Radialteile Rnl sind in Tabelle 10.1 angegeben.
n l Rnl
r
1 0 a 2= e a
2 0 (2a 2) = 1 2ar e
r
1 p23 21a 2ra e a
0
3 2
0
0
3 2
0
3
2
0
0
r
a
2 0
2 0
Tabelle 10.1: Radialteile Rnl der Wellenfunktion des H-Atoms
Diskussion der Resultate:
Mit der Sommerfeld'schen Feinstrukturkonstante = ~e c und der ComptonWellenlange des Elektrons e : a0 = 1 e .
Energieniveaus und Entartungen:
(i) (2l + 1)-fache m-Entartung fur gegebenes n und l
(ii) eine weitere Entartung ergibt sich, da Enl nur von n + l abhangt:
Enl = En0 l0 , n0 + l0 = n + l
d.h. die Hauptquantenzahl N = n + l legt die Energie fest:
EN = 2N1 2 2 mc2
Die Hauptquantenzahl N kann man auch mit den Schalen des Atoms identizieren.
Fur festes N gilt: l = 0; 1; 2; : : :; N 1.
(iii) aus (i) und (ii) ergibt sich insgesamt ein hoher Entartungsgrad:
2
gN =
NX1
l=0
(2l + 1) = N 2
68
(iv) zusatzlich gibt es noch die sog. "zufallige\ Entartung: klassisch hat das
Kepler-Problem (V 1r ) noch eine weitere Erhaltungsgroe, den LenzRunge-Vektor ~ = m1 ~p L~ er ~r mit dtd ~ = 0. In der Quantenmechanik
entspricht diesem der geeignet symmetrisierte Operator
1 (^p L L p^) e2 r^
= 2m
r
Hierfur gilt: [H; ] = 0 und [; L] = 0
{~ (L2 + ~2 ) + e4
) 2 = ^m
(Diese Entartung ist nicht wirklich zufallig, sondern Anzeichen einer hoheren Symmetrie: die 6 Vektorkomponenten generieren eine O(4)-Gruppe)
2
10.3 Isotroper harmonischer Oszillator
Der dreidimensionale isotrope HO schwingt in einem Potential der Form
V (~x) = 21 m!2 (x2 + y2 + z 2 ) = 12 m!2 r2
10.3.1 Kartesische Koordinaten
In kartesischen Koordinaten lost man das Problem durch Seperation, d.h. man
fuhrt es auf drei Probleme von der Art des bereits bekannten eindimensionalen
HO zuruck:
@2 @2 @2 1
~2
2 2
2
2
H = 2m
@x2 + @y2 + @z 2 + 2 m! (x + y + z )
= Hx + Hy + Hz
Hx;y;z sind dabei logischerweise von der Form:
~2 @ 2
1 2 2
Hi = 2m
@x2i + 2 m! xi i = 1; 2; 3
Fur die Losung macht man einen Produktansatz:
(~x) = (x)(y)(z)
Hierbei sind ; ; die Losungen des eindimensionalen Problems:
Hx nx (x) = Enx nx (x)
..
.
) H ~n (~x) = E~n ~n (~x) ~n = (nx ; ny ; nz )
Die Losung dieser drei Gleichungen, bzw. der einen Vektorgleichung ist:
E~n = (nx + ny + nz )~! + 32 ~!
|{z}
~n(~x) =
Hnx
r m! ~
x Hny
r m! ~
y Hn z
69
3-fache
NP-Energie
r m! ~
z
e
1
2
m! (x2 +y2 +z2 )
~
10.3.2 Kugelkoordinaten
In Kugelkoordinaten trennt man die Wellenfunktion mit den normierten HermitePolynomen Hn in einen radius- und einen winkelabhangigen Teil:
nlm (r; ; ) = Rnl (r)Ylm (; )
Wie im Abschnitt 10.1 erhalt man folgende Ergebnisse:
~2 d2 l(l + 1) 1
2 r2 R (r) = E R (r)
r
+
+
m!
nl
nl nl
2mr dr2
2mr2 2
unl (r)=rRnl (r) d2
4 2 l(l + 1) + "
=)
nl unl (r) = 0
dr2 r
r2
p
2m
mit = m!
~ und "nl = ~ Enl .
Die weitere Vorgehensweise ist analog der beim Wasserstoatom:
(i) Verhalten fur r ! 1
(ii) Abseperation dieses Verhaltens
(iii) Potenzreihenansatz
(iv) Abbruchbedingung ) Energiequantisierung
) "nl = (2n + 2l + 3) 2
, Enl = ~!(n + l + 32 )
n = 0; 1; 2; : ::
l = 0; 1; 2; : : :
Auch hier gibt es wiederum eine zufallige\ Entartung:
Enl ist nur von (n + l) abhangig "und mit N = n + l ist der Entartungsgrad:
gN = 21 (N + 1)(N + 2)
Auch hier deutet der hohe Entartungsgrad wieder auf eine hohere Symmetrie
hin, in diesem Fall eine SU(3)-Symmetrie.
70
Kapitel 11
Streutheorie
Die Motivation fur die Streutheorie ist naturlich, den theoretischen Hintergrund
zu Streuexperimenten zu liefern, um die dabei ablaufenden Vorgange verstehen
zu konnen. Ein Streuversuch lauft in vielen Fallen wie in Abb. 11.1 ab: ein Strahl
aus beschleunigten Teilchen vom Typ 1 trit auf ruhende Teilchen vom Typ 2
(Target). Die Anzahl der gestreuten Teilchen in Abhangigkeit vom Winkel wird
dann durch Detektoren festgestellt.
Detektor
fur Typ 1
*
einfallender
Teilchenstrahl (Typ 1)
Target
(Typ 2)
1
2
Detektor
fur Typ 2
~
Abbildung 11.1: Streuversuch
Der einfachste Proze dieser Art ist der, da zwei Teilchen stoen:
(1) + (2) ! (1)0 + (2)0
wobei Energie- und Impulserhaltungssatz gelten. Ist Teilchen 2 sehr schwer gegen Teilchen 1, dann wird praktisch kein Impuls ubertragen, und man kann
Teilchen 2 in der Theorie durch ein ablenkendes Potential ersetzen (siehe Abb.
11.2).
71
*(1)
(1)
-
(2)
Potential
Abbildung 11.2: Streuung am Potential
11.1 Wirkungsquerschnitt
V (r)
*6
R d
z-Richtung
Abbildung 11.3: Bezeichnungen zum Wirkungsquerschnitt
Zur Vereinfachung der Betrachtung macht man folgende Annahmen (siehe auch
Abb. 11.3):
Teilchen fallen in z-Richtung ein
das Zentrum des Potentials liegt im Ursprung
Detektor ist sehr weit weg vom Potential (R ! 1)
Ist jetzt Fein der Flu der einfallenden Teilchen,
Fein = FlaAnzahl
che Zeit
so ist die Anzahl dns der unter dem Winkel in das Raumwinkelelement d
gestreuten Teilchen pro Zeiteinheit:
d dns = d
Feind
Der dierentielle Wirkungsquerschnitt dd
hangt von und ab. Der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension Flache und die ubliche Einheit ist ein barn
(engl.: Scheune)
1 barn = 10 24 cm2
Der totale Wirkungsquerschnitt errechnet sich aus dem di. Wirkungsquerschnitt durch Integration uber die Einheitssphare1 :
d Z
=
d
d
@K (0)
1
1 @K
1
(0) ist der Rand der Kugel mit Radius 1 um den Ursprung
72
11.2 Stationare Streuzustande
Der Ausgangspunkt unserer Berechnungen ist der Hamiltonoperator mit zeitunabhangigem Potential:
1 p^2 + V (^r)
H = 2m
Das Teilchen wird durch ein Wellenpaket beschrieben, das wir in Eigenfunktionen des Hamiltonoperators zerlegen konnen. Auerdem mu fur die Streuzustande (nicht gebunden!) E > 0 gelten. Fur stationare Zustande hat man
damit die Losung der Schrodingergleichung:
(~r; t) = e ~{ Et'E (~r)
~2
^
2m 4 +V (~r) 'E (~r) = E'E (~r)
Da E > 0, kann man die Wellenzahl k wie folgt denieren:
(~k)2 = 2mE
und weiter:
U(~r) = 2m
V (~r)
~2
(11.1)
Hiermit schreibt sich die Dierentialgleichung (11.1):
4 +k2 U(~r) 'E (~r) = 0
Man sucht jetzt eine Losung dieser Dierentialgleichung mit den folgenden
Randbedingungen:
(a) einlaufende Teilchen (weit weg vom Potential) sind ebene Wellen: e^{kz ist
die Losung der Dierentialgleichung fur r ! 1, t ! 1
(b) im Bereich des Potentials wird die Wellenfunktion modiziert
(c) verlat das Teilchen den Bereich des Potentials, verhalt es sich wieder wie
ein freies Teilchen
Nach dem Verlassen des Potentials hat sich damit das Wellenpaket in einen
transmittierten und einen gestreuten Teil aufgespalten. Der transmittierte Teil
hat weiterhin die Form e^{kz , wahrend der gestreute Anteil eine auslaufende
Kugelwelle fE (; ) 1r e^{kr ist (fE (; ): Streuamplitude). Man erhalt damit die
Randbedingung fur 'E im Unendlichen:
^{kr
'E (~r) r!1
' e^{kz + fE (; ) e r
(11.2)
11.2.1 Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die mit der Wellenfunktion verknupft ist,
ist (vgl. auch Abschnitt 6.2 vi), Seite 35)
~ '(~r)
~j = 1 Re ' (~r) ~ r
(11.3)
m
^{
73
Diese Stromdichte erfullt die Kontinuitatsgleichung
@ + r
~ ~j = 0 mit = j (~r; t)j2
@t
Mit (11.3) erhalt man die beiden Ergebnisse:
a) einlaufende Welle (in erster Ordnung):
~
^{ r 'E (~r) = ~k~ez 'E (~r) + : : :
Strom der einlaufenden Teilchen:
) ~je (~r) = ~mk
b) gestreuter Wahrscheinlichkeitsstrom (U bergang zu Kugelkoordinaten):
@ + ~e 1 @
r~ = ~er @r@ + ~e r1 @
r sin @
Das fuhrt zu den drei Komponenten:
~jg ~er = ~ Re 12 k + ^{ jfE (; )j2 = ~k2 jfE (; )j2
m
r
r
mr
1
@
1
~
~jg ~e = 3 Re fE (; ) fE (; )
mr
^{ @ 1 @
~
1
~jg ~e = 3
m r sin Re fE (; ) ^{ @ fE (; )
Man sieht hieran, da fur groe r ~jg parallel zu ~er wird, da die - und Richtungen mit einer Ordnung in r schneller gegen 0 gehen.
Der Flu der einfallenden Teilchen ist proportional zu ~je : Fein = c ~je . Damit ergibt sich die Anzahl der in das Raumwinkelelement d
des Detektors
gestreuten Teilchen zu
) dns = c~jg d~s = cr2 (~jg ~er ) d
= c ~mk jfE (; )j2 d
~
|{z}
Fein
d = jf (; )j2
) d
E
Die Interferenz zwischen einlaufender und gestreuter Welle sowie Mehrfachstreuung vernachlassigen wir.
11.2.2 Berechnung von fE (; )
Die Dierentialgleichung fur die Streuung ist:
(4 +k2)'E (~r) = U(~r)'E (~r)
74
(11.4)
Eine Fundamentallosung G(~r) ist deniert durch:
(4 +k2 )G(~r) = (~r)
Wenn '(0)
E (~r) eine Losung der homogenen Dierentialgleichung
(4 +k2 )'(0)
E (~r) = 0
ist, dann gilt fur 'E (~r):
'E
(~r) = '(0) (~r) +
E
Z
d3r0 G(~r ~r 0)U(~r 0 )'E (~r 0 )
Dies ist die Integralgleichung zu (11.4).
Beweis: Es gilt (vgl. Theorie B):
1
= (~r)
4 4r
1 e^{kr (G Fundamentallosung) erhalt man:
Mit dem Ansatz G (~r) = 4r
4 G(~r) = 41 4 r1 e^{kr
(11.5)
4 r1 e^{kr = r1 4 e^{kr + e^{kr 4 r1 + 2 r~ 1r r~ e^{kr
{ e^{kr
4 e^{kr = k2 2k^
r
~
r
r~ e^{kr = ^{ke^{kr r
und damit fur (11.5):
2
^{kr 2
(4 +k2 ) e r = kr 2^r{2k 4(~r) r22 (^{k) + kr e^{kr
= 4(~r)e^{kr = 4(~r)
Als Losung der homogenen Dierentialgleichung wahlt man zweckmaig '(0)
E (~r) =
e^{kz und kann damit fur 'E (~r) schreiben:
'E
(~r) = e^{kz +
Z
d3r0 G+ (~r ~r0 )U(~r0 )'E (~r0 )
Wenn j~rj j~r 0 j, kann man j~r ~r 0j entwickeln:
~r h
i
0
0
0
~
j~r ~r j j~rj + ~r r~r0 j~r ~r j ~r0 =0 = r + ~r 0 r
Mit dieser Naherung ergibt sich fur G+ (=^ vom Urspung ausgehende Kugelwelle)
und 'E :
1 e^{kr e ^{k~r0 ~rr
G+ (~r ~r 0) 4r
1 e^{kr Z d3r0 e ^{k~r0 ~rr U(~r 0 )' (~r 0 )
'E (~r) e^{kz 4r
E
Und durch Vergleich mit Gleichung (11.2) sieht man:
1 Z d3r0 e ^{k~r0 ~rr U(~r 0)' (~r 0)
fE (; ) = 4
E
75
11.2.3 Born'sche Naherung
Mit den Abkurzungen ~ki = k~ez und ~kf = k ~rr erhalt man fur 'E durch wiederholtes Einsetzen der Gleichung in sich selbst (Iterationsverfahren):
Z
Z
'E (~r) = e^{~ki~r + d3r0 G+ (~r ~r 0 )U(~r 0 )'E (~r 0 )
= e^{~ki~r + d3r0 G+ (~r ~r 0 )U(~r 0 )e^{~ki~r0
Z
Z
+ d3r0 G+ (~r ~r 0 )U(~r 0 ) d3r00 G+ (~r 0 ~r 00 )U(~r 00 )'E (~r 00 ) = : : :
Dies ist eine Entwicklung nach Potenzen des Potentials. Diese Entwicklung
nennt man Born'sche Reihe. Sehr oft benutzt man nur die niedrigste nichttriviale Ordnung (1. Ordnung im Potential). Dies bezeichnet man als Born'sche
Naherung :
1 Z d3 r0 e ^{~kf ~r0 U(~r 0)e^{~ki~r0
fE (; ) 4
1 Z d3 r0 e^{~q~r0 U(~r 0) mit ~q = ~k ~k
= 4
i
f
In Kugelkoordinaten gilt fur diesen Vektor ~q:
q~ 2 = 4k2 sin2 2
11.3 Streuung am Zentralpotential: Partialwellen
Wir betrachten ein freies Teilchen. Aus der Drehimpulserhaltung folgt:
2 2
'klm (~r) = Rkl(r)Ylm (; ) E = ~2mk
~2 d2 l(l + 1) ~2k2 ) Radialgleichung: 2mr dr2 r + 2mr2 2m Rkl(r) = 0
Die Losungen dieser Radialgleichung sind spharische Besselfunktionen Jl (kr):
d l sin x Jl (x) = ( 1)l xl x1 dx
x
und damit:
r 2
'klm (~r) = 2k Jl (kr)Ylm (; )
Diese Funktionen 'klm sind normiert und vollstandig:
Z
d3r 'klm 'k0l0 m0 = ll0 mm0 (k k0)
Z1 X
l
1 X
0
dk
l=0 m= l
'klm (~r)'klm (~r0 ) = (~r ~r0)
(Normierung)
(Vollstandigkeit)
Fur sehr kleine bzw. sehr groe Radien erhalt man folgende Ergebnisse:
76
Verhalten von Jl (x) am Ursprung:
xl
Jl (x) x'
!0 (2l + 1)!!
((2l + 1)!! = 1 3 5 : : : (2l + 1))
radiale Wahrscheinlichkeitsdichte PR :
PR (kr)2 Jl2 (kr) r!
'0 r2l+2
Das bedeutet, da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit fur r < r0 klein wird:
1p
r0 = k l(l + 1) =
pl(l + 1) qL~ 2
~
j~pj = b (fur kleine Winkel)
~k
(b ist der klassische Stoparameter; siehe auch (11.6))
Asymptotisches Verhalten von Jl (x):
Jl (x) x!1
' x1 sin x l 2
Daraus folgt fur 'klm :
r
'klm (~r) j~rj!1
' =
2k2 Y m (; ) 1 (e ^{kr e^{l e^{kr e ^{l )
l
2^{kr
2
2
11.3.1 Ebene und spharische Wellen
Eine ebene Welle in z-Richtung, e^{kz , schreibt sich in Kugelkoordinaten e^{kr cos .
Die Drehimpulskomponente in z-Richtung ist:
@ ) L e^{kz = 0
Lz = ~^{ @
z
Da damit m = 0, bleiben nur die Komponenten
e^{kz =
Da Yl0 (; ) = Yl0 () =
man:
1 p
X
l
r
l=0
^{ 4(2l + 1) Jl (kr)Yl0 (; )
2l + 1 P (cos ) mit P (x) Legendre-Polynom, erhalt
l
4 l
e^{kz =
1
X
l
l=0
^{ (2l + 1)Pl (cos )Jl (kr)
77
11.3.2 Phasenverschiebung bei Streuung
Man setzt wieder einmal Rkl (r) = r1 ukl (r) und erhalt damit fur 'klm den Ansatz:
'klm (~r) = r1 ukl (r)Ylm (; )
was bei der Dierentialgleichung (11.1)
~2 d2 l(l + 1)
~2 k 2
+
+
V
(r)
u
(r)
=
kl
2
2
2m dr
2mr
2m ukl (r)
ergibt (mit ukl (r=0) = 0). Die asymptotische Form (fur r ! 1) von ukl(r) ist
dann:
ukl (r) r!1
' ae^{kr + be ^{kr
Man sieht, da die asymptotische Form von ukl (r) der Losung des eindimensionalen Potentialproblems aus Abschnitt 4.2 ahnelt. Da das Potential am Ursprung dort 1 wird, verschwindet die Wellenfunktion an dieser Stelle und man
kann folgern, da einfallende und reektierte Welle betragsmaig gleich sind.
Dies gilt auch hier fur die asymptotische Form, da r < 0 nicht zugelassen ist
(=^ unendlich hoher Potentialwall bei r = 0):
jaj2 = jbj2
Damit kann man weiter vereinfachen:
ukl (r) r!1
' jaj (e^{kr e^{a e ^{kr e^{b ) = c sin(kr l )
Fur ein Potential V 0 erhalt man so l(0) = l 2 und weiter:
ukl (r) r!1
' c sin kr l 2 + l
l heit Phasenverschiebung der l-ten Partialwelle ukl . Daraus kann man die
Streuamplitude und den Wirkungsquerschnitt berechnen:
'klm (~r) r!1
' r1 Ylm (; ) sin kr l 2 + l
^{l e2^{l
= Ylm (; )ke ^{l 2^{1kr e| ^{kr{ze^{l } e|^{kr e {z
}
2
einlaufende
Welle
2
auslaufende Welle
und Phasenversch.
Nach den Betrachtungen uber spharische Besselfunktionen kannpman fur die
l-te Partialwelle in erster Naherung den Stoparameter bk (l) = k1 l(l + 1) annehmen. Betrachtet man ein Potential mit begrenzter Reichweite r0 , so werden
nur die Partialwellen mit l < lmax gestreut:
q p
L~ 2 l(l + 1)
b=
j~pj
k
) bk (lmax ) = r0 , lmax (lmax + 1) = k2r02
78
(11.6)
11.3.3 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt
Ohne ein Potential, d.h. mit V (~r) = 0 sind die Partialwellen:
frei
(~r) = e^{kz
'
r!1
=
1 p
X
l
l=0
^{ 4(2l + 1) Jl (kr)Yl0 ()
1 p
X
l
l=0
^{ 4(2l + 1) Yl0 () 2^{1kr e ^{kr e^{l e^{kr e ^{l 2
2
Fur V 6= 0 ergibt sich eine Phasenverschiebung:
1 p
X
(~r) r!1
'
^{l 4(2l + 1) Yl0 () 2^{1kr e ^{kr e^{l e^{kr e ^{l e2^{l
l=0
2
2
Das formt man um:
1 e ^{kr e^{l e^{kr e ^{l e2^{l = 1 he ^{kr e^{l e^{kr e ^{l + e^{kr e ^{l (1 e2^{l ) i
| {z }
2^{kr
2^{kr
2
2
2
2
2
^{kr e^{l e^{kr e ^{l ) 1 e^{kr e ^{l e^{l sin = 2^{1kr (e
l
|
{z
} kr
2
2
= 2^{e^{l sin l
2
ebene Welle in z-Richtung
Setzt man das wieder in (~r) ein, so sieht man:
1p
^{kr X
(~r) r!1
' e^{kz + e r k1
4(2l + 1)Yl0()e^{l sin l
l=0
^{kr
e
= e^{kz + fE (; ) r
Mit diesem Ergebnis ist die Streuamplitude fE ():
1p
X
fE () = k1
4(2l + 1) Yl0()e^{l sin l
l=0
Hiermit kann man den totalen Wirkungsquerschnitt berechnen:
Z d
d
2
tot = d
d
d
= jfE ()j = fE ()fE ()
Z
1 p
X
4
^
{
^
{
0
l
0
l
0
(2l + 1)(2l + 1)e e sin l sin l d
Yl0() Yl00 () = k2
l=0
|
{z
}
l0 =0
1
4 X
=ll0
1
X
= k2 (2l + 1) sin2 l =: l
(11.7)
l=0
l=0
Der Beitrag einer jeden Partialwelle zum Wirkungsquerschnitt hat eine obere
Grenze:
4
2
l = 4
k2 (2l + 1) sin l k2 (2l + 1)
Diese Grenze nennt man Unitaritatsgrenze.
79
11.3.4 Optisches Theorem
Die Streuamplitude in Vorwartsrichtung ist gegeben durch:
1p
X
p
2l + 1 e^{l sin l Yl0 (0) 4
fE (=0) = k1
l=0
p
und mit Yl0 (0) = p24l+1
sieht man:
, fE (=0) = k1
1
X
l=0
(2l + 1) sin l (cos l + ^{ sin l )
Das optische Theorem besagt nun, da
tot = 4
k Im(fE (=0))
(vergleiche Gleichungen (11.7) und (11.8))
80
(11.8)
Kapitel 12
Zeitunabhangige
Storungstheorie
Die Motivation fur diese Methoden ist, da elementare Losungen von H j i =
E j i nur in einzelnen Fallen moglich sind. Hierzu zahlen z.B. das H-Atom oder
der harmonische Oszillator.
Ausgangspunkt fur die Storungstheorie ist ein solches losbares Problem mit Hamiltonoperator H0 und eine kleine Dierenz W zwischen dem Hamiltonoperator
H des Systems und H0, die Storung: W = H H0 . Unsere Betrachtung wird
sich auf zeitunabhangige Probleme beschranken.
12.1 Allgemeine Vorgehensweise
12.1.1 Nicht entarteter Fall
Man macht die folgenden Annahmen als Voraussetzung:
H = H0 + W ist der Hamiltonoperator des Problems
das Eigenwertproblem von H0 sei gelost: H0 jni = n jn i
H0 hat ein diskretes Spektrum
die Storung W sei "klein\, d.h. alle Matrixelemente hn jWj m i von W
sollen klein gegen die Dierenzen i j sein
Um spater die Entwicklungsordnungen besser erkennen zu konnen, wollen wir
W als W = W^ ( 2 R) darstellen, und aus Faulheitsgrunden auch gleich fur
W^ wieder nur W schreiben:
H() = H0 + W
2R
Die Idee des Losungsansatzes ist, da in der Eigenwertgleichung
H() j n ()i = En() j n ()i
eine Bestimmung der einzelnen Korrekturen in Abhangigkeit von n und jni
moglich ist, d.h. da man j ()i und En() als Potenzreihe in schreiben kann.
81
Der Potenzreihenansatz fuhrt auf eine Entwicklung der Art:
En() = En(0) + En(1) + 2 En(2) + j ()i = j0; ni + j1; ni + (12.1)
(12.2)
Diese liefert die Eigenwertgleichung
(H0 + W )(j0; ni + j1; ni + ) = (En(0) + En(1) + )(j0; ni + j1; ni + )
Ausrechnen und Koezientenvergleich mit (12.1) liefert:
0 :
H0 j0; ni = En(0) j0; ni
(12.3)
(1)
1
(0)
: (H0 En ) j1; ni = (En W ) j0; ni
(12.4)
2 : (H0 En(0) ) j2; ni = (En(1) W ) j1; ni + En(2) j0; ni
(12.5)
..
.
k : (H0 En(0)) jk; ni = (En(1) W ) jk 1; ni + En(2) jk 2; ni + + En(k) j0; ni
Hiermit kann man nun explizit die Korrekturen der verschiedenen Ordnungen
in ausrechnen:
Ordnung 0:
Wie man sieht, mu j0; ni Eigenvektor von H0 sein und En(0) gehort zum Spektrum von H0 . Man setzt deshalb
j0; ni = jni
was gleichzeitig den korrekten Grenzwert fur ! 0 gewahrleistet, bei dem man
En(0) = n
die Ergebnisse des ungestorten Systems erhalten sollte.
Ordnung 1:
i) Energieeigenwerte:
Projeziert man (12.4) auf jn i, so erhalt man:
D E
hn j(H0 n )j 1; ni = n (En(1) W ) n
und weiter wegen hnj H0 = n hn j:
0 = En(1) hn jWj ni
Die Entwicklung bis zur ersten Ordnung lautet damit:
En() n + hn jWj ni
d.h. die Korrekturen 1. Ordnung sind die Diagonalelemente der Matrix W
in der Basis fji ig.
82
ii) Zustand:
Bei der Projektion von (12.4) auf die restlichen Zustande jm i (m 6= n)
ergibt sich jeweils:
E
D hm j(H0 n)j 1; ni = m (En(1) W ) n
) (m n) hm j1; ni = hm jWj ni fur m 6= n
, hm j1; ni = 1 hm jWj ni
n
m
Das bedeutet, man erhalt Komponenten von j1; ni durch:
X
j1; ni = hm j1; ni jm i
m
X
1 h jWj i j i + h1; n j i j i
m
n m
n n
m6=n n m
Um die letzte, unbekannte Komponente auszurechnen, benutzt man:
h n () j n ()i =! 1 = (hnj + h1; nj + )(jn i + j1; ni + )
= |hn{zjn}i +(h1; n jn i + hn j1; ni) + =
) Re(h1; n jni) = 0
=1
Die Phase wahlt man so, da hn j n ()i reell ist, unabhangig von .
hn j n ()i = hn jn i + hn j1; ni + ) Im(h1; n jn i) = 0
Damit ergibt sich die Korrektur 1. Ordnung zum Eigenvektor als:
X
j1; ni = hm jWj n i jm i
m6=n n m
Ordnung 2:
(i) Energieeigenwert:
Mit (12.5) berechnet man:
E
D hn jH0 n j 2; ni = n (E (1) W ) 1; n + hn jn i En(2)
) En(2) = En(1) |hn {zj1; n}i + hn jWj 1; ni
=0 (Phasenwahl)
Damit erhalt man fur die Energiekorrektur:
En(2) = hn jWj 1; ni =
X jhn jWj mij2
m6=n
n m
(ii) Zustand:
Mit dem gleichen Verfahren wie schon bei der 1. Ordnung erhalt man:
E
D X m W En(1) 1; n
1 h1; n j1; ni
j2; ni =
j
i
m
n m
2
m6=n
83
12.1.2 Gute der Naherung
Wir wollen hier abschatzen, wie gut die im vorigen Abschnitt gemachten Naherungen sind:
Es gelte n = min
j j:
k n k
X
1 jh jWj ij2
m
n
m6=n n m
X 1
jhm jWj nij2
n
m6=n
X
= 1
hn jWj m i hm jWj ni
n m6=n
= 1 hn jW (I jn i hnj)Wj ni
n
2
1
= n W 2 n (hn jWj n i)2 = (W )
En(2) =
n
n
Die Naherung der Storungstheorie ist dann brauchbar, wenn diese Fehlerabschatzung
wesentlich kleiner wird als der Term 1. Ordnung:
2
hn jWj ni (W )
n
12.1.3 Entarteter Fall
Hat man einen gn -fach entarteten Zustand, so schreibt sich das Eigenwertproblem von H0 :
E
E
H0 (ni) = n (ni)
i = 1; : : :; gn
Taylorentwicklung (wie im nicht entarteten Fall mit Parameter ) ergibt:
Ordnung 0:
Aus
D
E
(ni) (H0 En(0)) 0; n = 0
E
folgt, da j0; ni einer der Vektoren (ni) sein mu und En(0) = n:
E
j0; ni = n(j )
En(0) = n
j 2 f1; : : :; gng fest
Ordnung 1:
Hier ergibt sich:
D
E
D
E D
(1) (k) 0; n
(nk) (H0 n) 1; n = En;k
n 84
(nk) W 0; n
E
D D Und weiter wegen n(k) H0 = (nk) n :
E
D
E
D
(1) (k) 0; n
) n(k) W 0; n = En;k
n Auerdem hat man die Darstellung des Einheitsoperators als
gm ED XX
m(j) m(j)
I=
m j =1
woraus folgt:
gm D
E XX
D
n(k) W 0; n =
m j =1
E
n;k n 0; n
gn D
E D E (1) D (k) E
X
n 0; n
(nk) W 0; n n(j ) 0; n = En;k
,
{z } | {z }
j =1 |
cj
Wkj
gn
g
n
X
X
(1)
= E (1)
,
j =1
Wkj cj =
j =1
ED E
| {z }
(nk) W m(j ) m(j ) 0; n
D
(k)
=nm
kj En;k cj
Das bedeutet, da die Korrekturen 1. Ordnung die Eigenwerte der gn gn -Matrix
W sind. Oft folgt hieraus eine (zumindest teilweise) Aufhebung der Entartung.
E6
m=2
m=1
m=0
m= 1
m= 2
m=1
m=0
m= 1
En;2
En;1
En;0
m=0
1 Abbildung 12.1: Aufspaltung der entarteten Energieniveaus
Beispiel:
Sei H0 ein drehinvarianter Hamiltonoperator, d.h. [H0; L] = 0. Dann hat man
die Eigenwertgleichungen
H0 jn; l; mi = n;l jn; l; mi
L2 jn; l; mi = ~2 l(l + 1) jn; l; mi
Lz jn; l; mi = m~ jn; l; mi
85
und jeder Energieeigenwert ist 2l+1-fach entartet. Mit einer Storung W = LB~
durch ein externes Magnetfeld B~ gilt [H; L] 6= 0 fur H = H0 + W . Hat man ein
stetiges Magnetfeld, so lat sich diese Matrix durch entsprechende Koordinaten
(B~ = B~ez ) recht einfach diagonalisieren:
W = B Lz
) hn; l; m jWj n; l; m0i = mm0 B ~m
Dies ergibt (fur B > 0) die Aufspaltungen der Energieniveaus in Abb. 12.1.
12.2 Fein- und Hyperfeinstruktur des Wasserstoatoms
Als Anwendungsbeispiel der Storungstheorie wollen wir die Fein- und Hyperfeinstruktur des Wasserstoatoms betrachten. Das in Abschnitt 10.2 angenommene
1
r -Potential beim H-Atom ist nur eine Naherung. Bei genauerer Betrachtung
mu man Korekturen durch verschiedene Wechselwirkungen beachten:
WW zwischen Spin des Elektrons und dem Bahndrehimpuls
WW zwischen Spin des Elektrons und dem Kernspin
relativistische Korrekturen
Eekte durch die endliche Protonenmasse
WW-Eekte mit dem quantisierten Strahlungsfeld (Eekte der Quantenelektrodynamik)
Alle diese Eekte konnen im Rahmen einer relativistischen Beschreibung des
Elektrons erfat werden. Diese relativistische Beschreibung liefert die DiracGleichung. Die Reduktion der Dirac-Gleichung zur Schrodinger-Gleichung liefert
einen Hamiltonoperator
H = H0 + Wf + Whf + WQED
Der ungestorte Hamiltonoperator ist der bereits bekannte des H-Atoms:
p^2 e2 = p^2 + V (r)
H0 = 2m
r 2m
12.2.1 Feinstruktur
Der erste Storungsterm ist der sogenannte Feinstrukturterm :
~2
Wf = 8m13 c2 p^2 2 + 2m12 c2 r1 dV
+
LS
4 V (r)
| {z } | {z dr } |8m2c2{z }
Wf(1)
Wf(2)
86
Wf(3)
Interpretation der Terme:
(i) erster Term (Wf(1) ): relativistische Korrektur
Mit der relativistischen Energie
p
E = c p^2 + m2 c2
erhalt man fur p mc:
E
= mc2
r
2
1 + mp^2 c2
2
1 + 2mp^2 c2
p^2 2
p^2
= mc2 + 2m
8m3 c2
entwickeln
mc2
!
p^2 2
8m4 c4
(ii) zweiter Term (Wf(2) ): Spin$Bahn Wechselwirkung
Die Bahnbewegung des Elektrons erzeugt ein Magnetfeld am Ort des Kerns:
2
B~ = c12 ~v E~ + o ~vc2
fur v c
~
Der Spin des e- 's ist wiederum verknupft mit einem magn. Moment M:
e S~ g 2
M~ = ge 2m
e
(ge ist der sogenannte g-Faktor oder Lande-Faktor des Elektronen-Magnetons.
ge = 2 aus der Dirac-Gleichung, tatsachlich ist ge > 2.)
Die Wechselwirkungsenergie zwischen dem Magnetfeld und dem magn.
Moment ist dann:
W = M~ B~
~
Das E-Feld
beim H-Atom ist:
~ V (j~rj) = dV ~r
E~ = 1e r
dr re (Radialsymmetrie!)
Schreibt man mit diesem Ergebnis das Magnetfeld
1 1 dV ~p ~r = 1 1 dV L~
B~ = emc
2 r dr
emc2 r dr
so ergibt sich fur den Wechselwirkungsterm:
Wf(2) = 2mge2 c2 r1 dV
dr L S
Den fehlenden Faktor 2 bringt die sogenannte Thomas-Prazession des e- Spins.
87
(iii) dritter Term (Wf(3) ): Darwin-Term
Dieser Term wird durch einen relativistischen Eekt verursacht, der Zitterbewegung (ubliche Bezeichnung, auch im Englischen!) des Elektrons. Dies
ist eine Ortsunscharfe in der Groe der Compton-Wellenlange e = a0
des e- . D.h. der Ort des Elektrons uktuiert, und die Fluktuationen haben
die Groenordnung
~
e = mc
Diese Unscharfe hat eine Unscharfe beim Potential zur Folge:
2
~ V (~r) + X 1 @ V (~r) ri rj + : : :
V (~r + ~r) = V (~r) + ~r r
i;j 2 @ri @rj
Da die Fluktuationen rotationssymmetrisch sind, gilt:
h~ri = 0
2
hri rj i = ij m~2 c2
und
2
) V (~r + ~r) = V (~r) + 21 4 V (~r) m~2 c2
Daraus kann man die Form der Korrektur ablesen:
2
Wf(3) 4 V (r) m~2 c2
Abschatzung der Groenordnungen der Korrekturterme
Betrachtet wird das Verhaltnis E $ E:
(i) erster Term (Wf(1) ):
mit T = 2p^m ist der erste Term:
2
1 p^2 2 = p^2 = 1 v^ 2
T 8m3 c2
4m2 c2 4 c
Bezeichnet man die ungestorten Zustande mit jn; l; mi, so erhalt man:
p^2 jn; l; mi = 2mEnl jn; l; mi 2m V (r) jn; l; mi
, n; l; m v^2 n; l; m = m2 Enl m2 hn; l; m jV (r)j n; l; mi
1
Fur die Abschatzung wahlt man den Grundzustand:
~2
hx j1; 0; 0i = p1 (a0 ) e ar a0 = me
2 : Bohr'scher Radius
Damit erhalt man:
4
2
= m2 c2
h1; 0; 0 jV (r)j 1; 0; 0i = ae = me
~2
0
v^2 2
2 h1; 0; 0 jV (r)j 1; 0; 0i = 2
) 1; 0; 0 c2 1; 0; 0 = mc2 E|{z}
1;0
mc2
3
2
0
= m2 c22 2
88
1 ).
= ~ec ist die Feinstrukturkonstante ( 137
Fur die Abschatzung des ersten Terms berechnet man so schlielich:
1 v^2 1
2
4
4 c2 = 4 10
2
(ii) zweiter Term (Wf(2) ):
Man berechnet fur ein Coulomb-Potential (V (r) = er ):
2
(2) Wf = 1 1 dV 1 L S ~2
V (r) 2m2c2 r dr V (r) m2c2r2
(Da LS in der Groenordnung ~2 und man den Faktor 21 vernachlassigt.)
Damit schatzt man ab:
*
+
1 ~2
~2
V (r)
m2 c2 r2 m2 c2 a20
Wf(2)
2
~2 e4
2
2
= m2 c2 m~4 = ~e c
= 2 10 4
(iii) dritter Term (Darwin-Term) (Wf(3) ):
e2 4 r = 4e2 (~r)
Einsetzen des dritten Terms:
~2
2 2
~ e (~r)
4
V
(r)
=
2
2
8m c
2m2 c2
~ e , n; l; m 8m~2 c2 4 V (r) n; l; m = 2m
2 c2
2
2 2
2
nlm (~0)
) Beitrag nur fur l = 0 (z.B. Grundzustand). Auerdem kann man abschatzen:
D
j
nlm (0)j
2
1
a30
E 2 2 3e6
1; 0; 0 Wf(3) 1; 0; 0 ~2me 2m
2 6
e2 c 4~1
= ~c 2 mc2
= 2 E1;0 10
4
Alle Korrekturterme sind damit hinreichend klein gegen die Energiedierenzen,
soda man die Storungstheorie anwenden kann.
89
Beispiel: Feinstruktur des =2 { Niveaus
n
Fur die Energieeigenwerte des H-Atoms hatten wir die Formel:
2 mc2 n = 1; 2; : : : ; (l = 0; 1; : : :; n 1)
n = 2n
2
Fur n = 2 ergibt dies:
2
2 = 8 mc2 l = 0; 1
l = 0 ist der sogenannte 2s-Zustand, wahrend l = 1 der 2p-Zustand ist. (Historisch: l = s; p; d; f; : : : =^ 0; 1; 2; 3; : ::)
Der Entartungsgrad beim H-Atom ist n2, was fur n = 2 zusammen mit der
2-fachen Entartung durch den Spin ( 12 ) insgesamt eine 4 2 = 8-fache Entartung gibt. Das bedeutet, man mu eine 8 8-Matrix diagonalisieren, um die
Energiekorrekturen zu erhalten.
Berechnung der Terme in Wf
D (1) E Z 1 2 1 2 2
2s Wf 2s =
dr r R2s(r) 8m3 c2 (^p ) R2s(r)
0
13 4 mc2
= 128
1
Z
D (1) E Z
0
m
2
2
2
2s Wf 2p = d
Y0 (; ) Y1 (; ) dr r R2s(r) 8m3 c2 (^p ) R2p(r)
= 0 (Orthogonalitat der Ylm )
D (1) E 7 4 2
2p Wf 2p = 384 mc
D (3) E 1 4 2
2s W 2s = mc
D f(3) E 16
2p Wf 2p = 0
D (3) E
2s Wf 2p = 0
Das bedeutet, da Wf(1) und Wf(3) durch die Wahl des Bezugssystems bereits
diagonal sind. Der Spin-Bahn-Term kann diagonalisiert werden, ohne die bisher
bereits diagonalisierten zu storen.
Der Spin-Bahn-Term (Wf(2) ):
Zunachst betrachtet man LS : dies ist ein direktes Produkt von BahndrehimpulsZustanden jl; ml i und dem Spinzustand js; ms i (s = 12 , ms = 12 ). Zur Erinnerung:
L2 jl; ml i = ~2 l(l + 1) jl; ml i
Lz jl; ml i = ~ml jl; ml i
S 2 js; ms i = ~2 s(s + 1) js; ms i
Sz js; ms i = ~ms js; ms i
90
Man hat also fur das direkte Produkt jl; ml i js; ms i eine Basis aus insgesamt 8
Zustanden:
2s-Zustande: 0; 0 12 ; ms
2p-Zustande: 1; 1 12 ; ms
1 1; 0 ; ms
2 1 1; 1 ; ms
ms = 12
2
Aufgrund der Rotationssymmetrie ist der Gesamtdrehimpuls J = L + S eine
gut geeignete Quantenzahl. Deshalb fuhrt man einen Basiswechsel zu der Basis
durch, in der J 2 und Jz diagonal sind:
jJ; M; l; si =
X
ml ;ms
M =ml +ms
hl; s; ml ; ms jJ; M; l; si jl; ml i js; ms i
Diese Zustande erfullen:
J 2 jJ; M; l; si = ~2 J(J + 1) jJ; M; l; si
Jz jJ; M; l; si = ~M jJ; M; l; si
L2 jJ; M; l; si = ~2 l(l + 1) jJ; M; l; si
S 2 jJ; M; l; si = ~2 s(s + 1) jJ; M; l; si
In dieser Basis jJ; M; l; si ist LS diagonal, denn:
J 2 = (L + S )2 = L2 + S 2 + 2LS
) LS = 12 (J 2 L2 S 2 )
) LS jJ; M; l; si = ~2 J(J + 1) l(l + 1) s(s + 1) jJ; M; l; si
2
Hieran sieht man, da die Zustande jJ; M; l; si Eigenzustande von LS sind, d.h.
da LS diagonal ist.
In unserem Fall ist l = 0; 1 und s = 21 . Damit ergibt sich bei der Kopplung der
Drehimpulse:
1
1 J 1
)
J
=
l=0
2
2
2
3
1; 3
1
J
)
J
=
l=1
2
2
2 2
Die (historisch bedingte) Schreibweise fur diese Zustande ist:
jnlJ i =^ jn; J; M; l; si
91
(man erinnere sich an die Termsymbole der Atomphysik-Vorlesung!) d.h. z.B.:
E 1
1
M = 12
2s =^ 2; 2 ; M; 0; 2
E 1
1
M = 12
2p =^ 2; 2 ; M; 1; 2
E 3
1
M = 12 ; 23
2p =^ 2; 2 ; M; 1; 2
1
2
1
2
3
2
Die Wirkung von LS auf diese Zustande ist:
E
LS 2s = 0
E
E
LS 2p = ~2 2p
1
2
1
2
1
2
E 2 E
LS 2p = ~2 2p
3
2
3
2
Jetzt konnen wir daran gehen, den Radialanteil der Spin-Bahn-WW zu berechnen:
Wf(2) = 2m12 c2 r1 dV
dr LS
Aus den vorherigen Ergebnissen sieht man, da der Radialteil von n und l
abhangt:
D (2) E 1 1 dV ~2 2pJ Wf 2pJ = 2m2 c2 2pJ r dr 2pJ 2 J(J + 1) 2 34
2
= 2p ~2 J(J + 1) 11
4
(2p = 48~ mc2 ). Damit hat man die 8 8-Matrix diagonalisiert.
Ergebnisse:
5 4 mc2 + o(6 )
(i)
E(2s ) = 18 2mc2 128
7 4 mc2 1 4mc2 + o(6 )
(ii)
E(2p ) = 18 2mc2 + 284
48
1
5
2
2
4
2
= 8 mc 128 mc + o(6 )
1 4 mc2 + o(6 )
(iii)
E(2p ) = 18 2mc2 128
4
2
1
2
1
2
3
2
Vergleich von (i) und (ii) zeigt, da diese Zustande noch entartet sind, d.h.
es ndet in erster Ordnung Storungstheorie keine vollstandige Aufhebung der
Entartung statt.
E E
Vollstandige relativistische Rechnung der 2s , 2p -Entartung ergibt, da
1
2
92
1
2
E nur von n und J abhangt:
3
7
q
25
n J 21 + (J + 21 )2 2
n 3
1
1
2
En;J = mc2 641 + entwickeln
=
2
mc2 2n2 2mc2 + 2n4 J + 1
2
1
2
4 2
4 mc + : : :
12.2.2 Hyperfeinstruktur
Die Hyperfeinstruktur entsteht durch die WW des magn. Moments des Elektrons mit dem magn. Moment des Kerns (Protons):
Whf = MI MS = 2me ge 2me gp IS ge 2; gp 5; 58
e
p
Beispiel: Hyperfeinstruktur fur den Grundzustand
E
Im Grundzustand 1s braucht man vier Zustande zur Darstellung des Produktraums ji; mi i js; ms i. Wie oben diagonalisiert man durch den U bergang zum
Gesamtspin J = I + S mit den Zustanden jJ; M; i; si. Dann gilt:
1
2
2
IS jJ; M; i; si = ~2 J(J + 1) i(i + 1) s(s + 1) jJ; M; i; si
Die Diagonalmatrixelemente sind damit (i = 21 , s = 21 ) J = 0; 1):
2
c 2 R konstant
0; 0; 21 ; 21 Whf 0; 0; 12 ; 12 = 34~ c
1 1 2
M = 0; 1
1; M; 2 ; 2 Whf 1; M; 12 ; 12 = ~4 c
d.h. die Aufspaltung des Grundzustands ist in der Groenordnung ~2 c.
12.2.3 Zeeman-Eekt
Wenn man die Drehsymmetrie aufhebt, dann spalten sich die m-entarteten
~
Zustande auf. Diese Aufhebung der Drehsymmetrie kann durch ein aueres E~
Feld (Stark-Eekt) oder ein aueres B-Feld (Zeeman-Eekt) geschehen.
~
Das B-Feld
wirkt auf die magn. Momente:
Bahnbewegung des e- :
M~ L = gL 2me L~
gL = 1
e
gS 2
Spin des e- :
M~ S = gS 2me S~
e
Kernspin:
M~ I = gI 2me I~
gI 5; 58
p
Der Storungsterm ist damit (B~ = B~ez ):
~ ML + MS + MI ) = we (Lz + 2Sz ) + wp Iz
WZ = B(
eB
eB
wp = gI 2m
we = 2m
e
p
93
Und da wp we :
WZ we (Lz + 2Sz )
Zeeman-Eekt fur den 1
E
s1
2
-Zustand
Vergleicht man mit der Hyperfeinstruktur, so sieht man:
(i) schwaches Feld: Whf WZ ! Diagonalisierung von Whf
(ii) starkes Feld: Whf WZ ! Diagonalisierung von WZ
(iii) mittleres Feld: Whf = WZ ! Betrachtung wie folgt
Fur den Fall (iii) mu man
W = Whf + WZ = IS 2we Sz + wpIz
diagonalisieren. Da l = 0, sind nur die Spins von Interesse, d.h. eine Basis des
Produktraumes ist ji; mi i js; ms i. Man wechselt wieder einmal zur Basis jJ; M i
(J = 0; 1; M = 0 bzw. M = 0; 1) und stellt sie durch ji; mi i js; ms i dar:
1 1 1 1 1 1 1
j1; 1i = i; 2 s; 2
j1; 0i = p2 i; 2 s; 2 i; 2 s; 2
1 1 1 1 1 1 1
j1; 1i = i; 2 s; 2 j0; 0i = p i; 2 s; 2 + i; 2 s; 2
2
Die Operatoren bewirken bei diesen Zustanden:
Sz j1; 0i = ~2 j0; 0i
Sz j0; 0i = ~2 j1; 0i
Sz j1; 1i = ~2 j1; 1i
Sz j1; 1i = ~2 j1; 1i
Insgesamt erhalt man so fur die Korrektur eine 4 4-Matrix mit den Elementen:
0~
BB 4 0 ~we ~ +0 ~we 00
4
M=B
@ 0
0
~4
2
2
2
0
0
~we
1
0
CC
0 C
~ we A
3 ~2
4
und den Eigenwerten
2
E1=2 = ~4 ~we
~2
s 2
~2
E3=4 = 4 2 + ~2 we2
Das bedeutet, da der vierfach entartete Grundzustand vollstandig aufspaltet.
Fur we ! 0 (B ! 0) erhalt man die "normale\ Hyperfeinstrukturaufspaltung.
94
Kapitel 13
Mehrteilchensysteme
13.1 Zweiteilchensysteme
13.1.1 Klassischer Fall
Wir betrachten zunachst ein klassisches Zweiteilchensystem mit den Koordinaten und Impulsen ~r1; ~p1 (Teilchen 1) und ~r2; ~p2 (Teilchen 2). Die Wechselwirkung
zwischen den Teilchen soll nur von ~r = ~r1 ~r2 abhangen. Damit erhalt man die
Lagrangefunktion
L = 21 m1~r_ 12 + 21 m2~r_ 22 V (~r1 ~r2 )
Zur einfacheren Betrachtung geht man dann uber zu Schwerpunkt- und Relativkoordinaten:
m2~r2 ~r = ~r ~r
R~ = m1m~r1 +
1
2
1 + m2
) ~r1 = R~ + m m+2m ~r; ~r2 = R~ m m+1m ~r
1
2
1
2
Die Lagrangefunktion wird mit diesen Koordinaten zu:
2
2
L = 21 |(m1 {z
+ m2 }) R~_ + 21 mm1+mm2 ~r_ V (~r)
| 1 {z 2}
=:M
=:
Die kanonisch konjugierten Impulse des Hamilton-Formalismus sind:
P~ = M R~_ = p~1 + ~p2
~p = ~r_ = m +1 m (m2 ~p1 m1 ~p2)
1
2

Fur den Ubergang zur Quantenmechanik braucht man noch die Vertauschungsrelationen:
[rki; pkj ] = ^{~ij
k = 1; 2
[Ri ; Pj ] = ^{~ij
[ri; pj ] = ^{~ij
Die restlichen Kommutatoren ergeben 0.
95
13.1.2 Quantenmechanischer Fall
Die normierte Wellenfunktion (~r1 ;~r2) des Systems ist Wahrscheinlichkeitsamplitude, d.h. P = j (~r1 ;~r2)j2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, Teilchen 1 bei ~r1
und Teilchen 2 bei ~r2 zu nden. Normierung bedeutet in diesem Fall ubrigens:
Z
d3 r1 d3r2 j (~r1 ;~r2)j2 = 1
Fragt man nur nach einem Teilchen, so ist
P(~r1) =
Z
d3 r2 j (~r1 ;~r2)j2
die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen 1 bei ~r1 zu nden.
Der Hamiltonoperator ist:
1 P 2 + 1 p^2 + V (~r)
H = 2M
| {z } |2 {z }
Hcms
Hr
~ R~ und p^ = ^{~ r
~ ~r . Die Wellenfunktion in R~ und ~r erhalt man
mit P = ^{~ r
durch
(~r1 ;~r2) = R~ + m m+2~rm ; R~ m m+1~rm = (R~ ;~r)
1
2
1
2
und die zeitunabhangige Schrodingergleichung ist damit:
~ r) = EE (R;~
~ r)
HE (R;~
~ r) einen ProdukIn unserem Fall ist H = Hcms + Hr , d.h. man kann fur E (R;~
tansatz machen:
~ r) = (R)
~ '(~r)
E (R;~
Dieser Ansatz liefert die beiden Eigenwertgleichungen
~ = Ecms(R)
~
Hcms (R)
Hr '(~r) = Er '(~r)
und E = Er + Ecms. Die Losung der beiden Gleichungen fuhrt fur die Schwerpunktsbewegung auf eine ebene Welle (freies Teilchen)
k2
Ecms = 2M
~k (R~ ) = 1 e ~{ ~kR~
(2~)
und fur die Relativbewegung auf
1 ~p 2 + V (~r)
Hr = 2
d.h. auf eine "regulare\ Schrodingergleichung mit der reduzierten Masse.
^
3
2
96
13.1.3 Formale Aspekte zu Zweiteilchensystemen
die Produkte aus Wellenfunktionen entsprechen in Dirac-Notation einem
Tensorprodukt aus Ket-Vektoren:
~ r) ! ji = ji j'i
E (R~ ;~r) = (R)'(~
Eine E Basis
dieses Produktraums besteht aus Ortseigenzustanden
R~ ;~r = R~ E j~ri:
E D E
D
E (R~ ;~r) = R~ ;~r = R~ h~r j'i = (R~ )'(~r)
13.2 Identische Teilchen
Denition: Zwei Teilchen heien identisch, wenn sie durch kein Experiment
voneinander unterschieden werden konnen.
13.2.1 Klassische Vorbetrachtung
Die Anfangswerte ~r1 ; ~r_ 1;~r2; ~r_ 2 sind zu einem bestimmten Zeitpunkt (z.B. t = 0)
vorgegeben. Fur identische Teilchen ist die Lagrangefunktion invariant unter
Vertauschung der Koordinaten und Impulse, woraus folgt, da auch die Bewegungsgleichungen invariant sind.
13.2.2 Quantenmechanische Betrachtung
Von Bedeutung ist die Theorie identischer Teilchen z.B. bei der Streuung (siehe
auch Abb. 13.1). Klassisch hat man Trajektorien, d.h. man kann immer angeben, welche Bahn zu welchem Teilchen gehort. In der Quantenmechanik ist
der Begri der "Bahn\ nicht deniert und deshalb hat das Problem eine Austauschentartung, da man fur eine physikalische Situation mehrere orthogonale
Zustandsvektoren nden kann.
+
- 3
3
- klassisch +
+
-? 3
quantenmechanisch
Abbildung 13.1: Streuung klassisch und quantenmechanisch
13.2.3 Beispiel: System mit zwei identischen Spin- 21 -Teilchen
E
(2)
Die Zustande dieses Systems sind s(1)
z ; sz , also insgesamt vier Zustande. Un(2)
ter der Nebenbedingung s(1)
z + sz = 0 hat man dann nur noch die beiden
Zustande
1 1 1 1 ;
;
2 2
2 2
97
d.h. einen zweidimensionalen Raum mit Austauschentartung. Ein allgemeiner
Zustand in diesem Raum schreibt sich:
jAj2 + jB j2 = 1
j i = A 21 ; 12 + B 21 ; 21
Angenommen, man will jetzt die x-Komponente des Gesamtspins messen:
die Wahrscheinlichkeit, fur die Messung z.B. ~ zu nden, ware nach unseren
bisherigen Methoden:
Eigenvektor zum Zustand ~:
1 1 1 1 1 1
j+i = p 2 + 2 p 2 + 2
| 2 {z
} | 2 {z
}
Zustande zu sx
Zustande zu sx
= 21 12 ; 21 + 21 ; 12 + 12 ; 12 + 21 ; 12
(1)
(2)
Das bedeutet, da
2 jA + B j
(2)
P(s(1)
x + sx = ~) = jh j+ij =
4
2
abhangig von A und B ist. Dies steht im Widerspruch zu den Postulaten, da
die Teilchen identisch sind und Austauschentartung gilt.
13.2.4 Permutationsoperatoren
Die zur Losung des Problems benotigte Technologie sind Permutationsoperatoren. Permutationen sind Vertauschungen von N Objekten, d.h. Abbildungen
von 1; : : :; N auf sich selbst: N ! P(N)
Denition: ein Permutationsoperator fur ein N-Teilchensystem P ( = 1 2 : : :N ,
i 2 f1; 2; : : :; N g, i 6= j fur i 6= j) ist ein Operator mit der Eigenschaft:
P j1 : n1 ; 2 : n2 ; : : :; N : nN i = j1 : n ; 2 : n ; : : :; N : nN i
1
2
Zur Verdeutlichung ein Permutationsoperator fur ein 2-Teilchensystem:
P21 j1 : n; 2 : mi = j1 : m; 2 : ni
Weiterhin gilt fur den Permutationsoperator P21:
P221 = I ^ Py21 = P21 ) Py21 = P211
Mogliche Eigenwerte von P21 sind 1.
Eigenvektoren j S i zum Eigenwert +1 heien symmetrisch
Eigenvektoren j A i zum Eigenwert 1 heien antisymmetrisch
P21 j S i = j S i
P21 j A i = j A i
98
Auerdem deniert man sich noch den Symmetrisierungsoperator
S = 12 (I + P21)
und den Antisymmetrisierungsoperator
A = 21 (I P21)
A und S sind hermitesch und Projektionsoperatoren
S2 = S
A2 = A
und weiterhin gilt:
AS=0
A+S= I
Fur die Anwendung des Permutationsoperators auf beliebige Zustande j i gilt:
P21(S j i) = S j i
P21(A j i) = A j i
13.2.5 Observable
Wenn A der Operator zur klassischen Observablen A im Einteilchenraum ist,
dann seien A(1) und A(2) die Operatoren in E1 bzw. E2. Dann hat man die
oensichtliche Erweiterung unserer Observablendenition:
X
A(1) j i = A(1) cij j1 : ii j2 : j i
:=
A(2) j i :=
X
i;j
X
i;j
i;j
cij (A(1) j1 : ii) j2 : j i
cij j1 : ii (A(2) j2 : j i)
Daraus kann man erkennen, da die Permutation auf Observable nach Wahl der
Basen der Einteilchenraume
A(1) j1 : ii = ai j1 : ii
A(2) j2 : ii = ai j2 : ii
folgendermaen wirkt:
A(1)P21 j1 : ii j2 : j i = aj j1 : j i j2 : ii
, A(1)Py21 j1 : ii j2 : j i = aj j1 : j i j2 : ii
) P21A(1)Py21 j1 : ii j2 : j i = aj j1 : ii j2 : j i
= A(2) j1 : ii j2 : j i
) P21A(1)Py21 = A(2)
P21A(2)Py21 = A(1)
Dieses Ergebnis gilt auch allgemein: ist O(1; 2) ein Operator auf E , dann gilt:
P21O(1; 2)Py21 = O(2; 1)
Fur symmetrische Operatoren (OS (1; 2) = OS (2; 1)) folgt damit:
P21OS (1; 2)Py21 = OS (1; 2) , [OS (1; 2); P21] = 0
99
13.2.6 Vollstandig symmetrische/antisymmetrische Zustandsvektoren
Denition: Ein Vektor j S i heit vollstandig symmetrisch, wenn fur jede Permutation P gilt:
P j S i = j S i
Ein Vektor j A i heit vollstandig antisymmetrisch, wenn fur jede Permutation P gilt:
P j A i = j A i
(
= +1 wenn gerade
1 wenn ungerade
heit gerade, wenn es durch eine gerade Anzahl Vertauschungen zweier
Elemente aus der Folge 1; 2; 3; : ::; n hervorgegangen ist. (z.B. 1; 2; 3 oder
3; 1; 2)
heit ungerade, wenn es durch eine ungerade Anzahl Vertauschungen
zweier Elemente aus der Folge 1; 2; 3; : ::; n hervorgegangen ist. (z.B. 2; 1; 3
oder 2; 3; 1)
Allgemeine Symmetrisierungs-/Antisymmetrisierungsoperatoren
Der Symmetrisierungs-/Antisymmetrisierungsoperator fur N Teilchen ist:
1 XP
1 X P
S = N!
A = N!
P
( steht fur die Summe uber alle moglichen Permutationen )
Die allgemeinen Operatoren S und A sind hermitesch, und fur alle Permutationen P gilt:
P S = SP = S
P A = AP = A
Plausibilisierung: Es gilt:
PP = P ) = Damit zeigt man direkt:
1 XP P = 1 XP = S
P S = N!
N!
1 X P P = 1 X(2 ) P P
P A = N!
N!
1 X P = A
= N!
100
S und A sind Projektionsoperatoren und die Unterraume, auf die sie projezieren,
sind zueinander orthogonal:
!
1 XP S = 1 XP S = S 1 X1 = S
S2 = N!
N! N! !
1 X P A = 1 X P A = A 1 X = A
A2 = N!
N! N! | {z }
=1
X
X
1
1
A S = N! PS = N! S = 0
S symmetrisiert einen beliebigen Zustand j i:
PS j i = S j i
A antisymmetrisiert einen beliebigen Zustand j i:
PA j i = A j i
Fur die Summe von S und A gilt:
1 X(1 + )P = 2 X P
S + A = N!
N!
gerade
13.2.7 Erganzung der Postulate der Quantenmechanik
Die obigen Ausfuhrungen implizieren eine Erganzung der Postulate der Quantenmechanik fur den Fall identischer Teilchen (siehe auch Abschnitt 6.1):
VII) Enthalt ein System identische Teilchen, dann werden nur bestimmte Vektoren als physikalische Zustande zugelassen, namlich entweder die vollstandig
symmetrischen oder die vollstandig antisymmetrischen (bzgl. der identischen Teilchen) Zustandsvektoren.
Teilchen mit vollstandig symmetrischen Zustandsvektoren heien Bosonen, solche mit vollstandig antisymmetrischen Zustandsvektoren heien
Fermionen.
Spin-Statistik-Theorem: alle Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen, alle Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen.
13.2.8 Aufhebung der Austauschentartung
2-Teilchen-System
Hierzu betrachten wir nochmals zwei identische Spin- 12 -Teilchen:
Ein allgemeiner Zustand ist
1 1 1 1 j i = a 2 ; 2 + b 2 ; 2
101
Antisymmetrisiert und normiert man diesen Zustand, so ergibt sich:
1 1 1 1 1
1
A j i = 2 (I P21) j i = 2 (a b) 2 ; 2 2 ; 2
1 1 1 1 1
j N i = p 2 ; 2 2 ; 2
(normiert)
2
Dies ist nun der eindeutige Zustandsvektor, der das System in Einklang mit Postulat VII) beschreibt. Bezeichnet man die moglichen Zustande zum Gesamtspin
S = S (1) + S (2) mit js; ms i, so sieht man:
j0; 0i ist antisymmetrisch
j1; ms i ist symmetrisch fur ms = 1; 0; 1
Beim Gesamtspin 1 kann daher zur symmetrischen Spinwellenfunktion nur eine
antisymmetrische Ortswellenfunktion treten, die im Falle gleicher Ortszustande
der beiden identischen Teilchen verschwindet. Dieser Ausschlu von absolut gleichen Zustanden identischer Teilchen bezeichnet man als Pauli-Prinzip. Zwei
identische Teilchen mussen sich immer in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden.
Man sieht dies z.B. am Quark-Modell:
Es besagt, da Baryonen aus 3 Quarks aufgebaut sind. Ein -Teilchen besteht z.B. aus drei s-Quarks: = (s; s; s). Der scheinbare Versto gegen das
Pauli-Prinzip wird hier durch eine zusatzliche Quantenzahl aufgehoben, der sogenannten Farbe der Quarks.
allgemeiner Fall
Wenn j i ein N-Teilchen-Zustand in einem System mit Austauschentartung ist,
dann ist der Zustand P j i fur alle aquivalent zu j i. Um die Austauschent-
artung aufzuheben, (anti-)symmetrisiert man:
(a) Symmetrisierung: mit j S i = S j i folgt:
P j S i = j S i
Damit ist j S i eindeutig und die Austauschentartung aufgehoben.
(b) Antisymmetrisierung: j A i = A j i
P j A i = j A i
) j A i eindeutig
13.2.9 Slater-Determinante
Bei einem System aus N Fermionen lat sich der antisymmetrische Zustand
leicht angeben:
(a) Zweiteilchensystem:
j i = p12 j1 : ni j2 : mi j1 : mi j2 : ni
ni j2 : ni = p1 det jj11 :: m
i j2 : mi
2
102
(b) Dreiteilchensystem:
j i = p16
X
P j1 : ni j2 : mi j3 : ki
0 j1 : ni j2 : ni j3 : ni 1
= p1 det @j1 : mi j2 : mi j3 : miA
6
j1 : k i j2 : k i j3 : k i
(c) N-Teilchen-System:
0 j1 : n i j2 : n i jN : n i 1
BB j1 : n21i j2 : n21i jN : n21i CC
1
j i = p det B
.. C
..
...
N! @ ...
. A
.
j1 : nN i j2 : nN i jN : nN i
13.2.10 Austauschterm
Wir betrachten wieder einmal ein Zweiteilchensystem:
ji = p12 j1 : 'i j2 : i j1 : i j2 : 'i
A sei eine Observable,
d.h. A jni = an jni (in einem Einteilchenraum). Fur die
Basis j1 : ni j2 : mi des Zweiteilchenraums ergibt sich fur die Messung von A
die Frage:
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, fur ein Teilchen ak und fur das andere aj
zu nden?
(I): Fall
ak
6=
aj
und h
j i= 0
k j
Der entsprechende Zustand ist
jj; ki = p12 j1 : j i j2 : ki j1 : ki j2 : j i
und die Wahrscheinlichkeit damit: P(aj ; ak) = jh jj; kij2 :
h jj; ki = 12 h1 : 'j h2 : j h1 : j h2 : 'j j1 : ki j2 : j i j1 : j i j2 : ki
= 12 h' jki h jj i + h' jki h jj i h jki h' jj i h jki h' jj i
= |h' jk{z
i h jj i} |h' jj i{zh jk}i
direkter Term Austauschterm
) P(aj ; ak ) = h' jki h jj i h' jj i h jki2
Vergleich: unterscheidbare Teilchen
Bei unterscheidbaren Teilchen mit einem allgemeinen Zustand
ji = j1 : 'i j2 : i
kann man bei einer Messung ebenfalls nach der Wahrscheinlichkeit fragen, da
eines der beiden Resultate aj und das andere ak ist, ohne da man versucht,
103
die Teilchen zu unterscheiden. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit aber, im
Gegensatz zu oben:
P(aj ; ak ) = h' jj i h jki2 + h' jki h jj i2
(II): Identische Teilchen: j i = j
j
k
i)
ak
=
aj
Fur Fermionen ergibt sich nach dem Pauli-Prinzip sofort: jj; ki = 0.
Fur Bosonen erhalt man den symmetrischen und normierten Zustand
jj; j i = j1 : j i j2 : j i
Die Wahrscheinlichkeit fur diesen Zustand ist:
2
2 1
P(aj ; aj ) = h jj; j i = p h1 : 'jh2 : j + h1 : jh2 : 'j jj; j i
2
2
= 2 h' jj i h jj i
13.2.11 Beispiel: Streuung identischer Teilchen
Bei der Streuung hat man im Schwerpunktsystem den Anfangszustand
j i i = p1 j1; ~pi j2; ~pi j1; ~pi j2;~pi
2
und den Endzustand
j f i = p1 j1;~p 0i j2; ~p 0 i j1; ~p 0i j2;~p 0 i
2
(siehe auch Abb. 13.2)
p~ - ~p
Anfangszustand
0
p~ 3
0
p~ +
Endzustand
Abbildung 13.2: Anfangs- und Endzustand der Streuung
Die Zeitentwicklung des Anfangszustandes ist gegeben durch
j i(t)i = U (t) j i i
und der U bergang zum Endzustand damit:
Tfi = h f jU (1)j i i
= 12 h1;~p 0j h2; ~p 0 j h1; ~p 0j h2;~p 0 j U (1) j1; ~p 0 i j2; ~p 0i j1; ~p 0 i j2; p~ 0 i
= h1; ~p 0 jh2; ~p 0j U (1) j1;~pi j2; ~pi h1; ~p 0 jh2; ~p 0 j U (1) j1; ~pi j2; p~i
Dies entspricht genau den beiden klassisch moglichen Wegen (siehe Abb. 13.1).
104
Index
-Funktion, 8
Antisymmetrisierungsoperator
allgemeiner, 100
Zweiteilchensystem, 99
Anzahloperator, 42
Atommodell
Bohr'sches, 4
Austauschentartung, 97
Aufhebung der, 102
Austauschterm, 103
Bahnradius
Bohr'scher, 67
Baker-Hausdor-Identitat, 23
barn, 72
Basis, 20
uneigentliche, 24
Besselfunktionen, 76
Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 20
in Dirac-Notation, 27
Compton-Eekt, 3
Compton-Wellenlange
des Elektrons, 68, 88
de Broglie, 11
Dirac-Notation, 25{27
adjungierter Operator, 26
Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 27
Fouriertransformation, 27
Skalarprodukt, 25
Dispersionsrelation, 6
Drehimpuls, 52{63
Addition, 59
algebraische Behandlung, 55
Bahndrehimpuls, 52
Drehsymmetrie, 57
Eigenfunktionen des, 53
Eigenwertgleichungen, 54, 55
Singulett, 63
Triplett, 63
Vertauschungsrelationen, 53
Drehungen, 59
Dualraum, 25
Ehrenfest-Theorem, 36
Eigenfunktion, 14
Eigenvektor, 22
antisymmetrischer, 98
symmetrischer, 98
Eigenwert, 14, 22
Matrixdarstellung, 28
Elektron
Compton-Wellenlange, 68, 88
Elektronenspin, 48
~
im homogenen B-Feld,
49
Emissionsspektren, 4
Emissionsvermogen
spektrales, 2
Energieeigenwerte
des isotropen 3-D HO, 70
des Wasserstoatoms, 68
Energiekorrekturen
entartet
1. Ordnung, 84
nichtentartet
1. Ordnung, 82
2. Ordnung, 83
Energieniveaus
des Wasserstoatoms, 68
Entartung, 31
beim Wasserstoatom, 68
Reduktion des Wellenpakets, 31
Spektralzerlegung, 31
Entartungsgrad
des isotropen 3-D HO, 70
des Wasserstoatoms, 68
Erwartungswert, 32
Zeitentwicklung von, 36
Erzeuger, 42
Feinstruktur
105
kanonischer, 23
kompatibel, 32
Konstante
der Bewegung, 36
Kontinuitatsgleichung
fur Wahrscheinlichkeitsdichte, 35
Kugelachenfunktionen, 53
Tabelle der, 54
Kugelkoordinaten, 51
beim Wasserstoatom, 86
E-Korr. fur n = 2, 92
Storungsterme, 86
Feinstrukturkonstante
beim Wasserstoatom, 68
Fouriertransformation, 8
in Dirac-Notation, 27
Fundamentallosung, 75
Gruppengeschwindigkeit, 6
Lagrangefunktion
Zweiteilchensystem, 95
in Relativkoordinaten, 95
Lande-Faktor, 87
LarmorFrequenz, 50
Prazession, 50
Lenz-Runge-Vektor, 69
Hamiltonfunktion
! Hamiltonoperator, 12
des harmonischen Oszillators, 39
klassisch, 5
Hamiltonoperator, 12
Zweiteilchensystem, 96
harmonischer Oszillator
1-D, 39
Grundzustand, 42
Hamiltonfunktion des, 39
isotroper 3-D, 69
Energieeigenwerte, 70
Entartungsgrad, 70
kartesische Koord., 69
Kugelkoord., 70
klassischer Grenzfall, 46
koharenter Zustand, 44
Schrodingergleichung, 40
Losung der, 41
Unscharfen
Grundzustand, 43
koharente Zustande, 47
Hauptquantenzahl, 68
Hermite-Polynome, 41
Hilbertraum, 19
Hyperfeinstruktur
beim Wasserstoatom, 93
Korrekturen fur n = 0, 93
Storungsterm, 93
Maxwellgleichungen, 5
Mehrteilchensystem
Lagrangefunktion, 95
Mehrteilchensysteme, 95{104
minimum uncertainty states, 47
Naherung
Born'sche, 76
Observable, 30
bei identischen Teilchen, 99
kompatible, 32
Operator
-funktionen, 23
Absteige-, 42, 56
adjungierter, 21
in Dirac-Notation, 26
Matrixdarstellung, 29
Anzahl-, 42
Aufsteige-, 42, 56
Denition von, 21
Dreh-, 59
Eigenschaften des, 22
Erwartungswert, 32
Hamilton-, 12
Zweiteilchensystem, 96
hermitescher, 22
linearer, 21
Matrixdarstellung, 28{29
Eigenwerte, 28
Matrixelemente, 28
identische Teilchen, 97
Austauschentartung, 97
Austauschterm, 103
Streuung, 104
Impulsoperator, 12, 23
Integralgleichung
der Streuung, 75
Kommutator, 21
106
Permutations-, 98
Projektions-, 26
selbstadjungierter, 22
symmetrischer, 99
Translationsortlicher, 58
zeitlicher, 58
unitarer, 22
Unscharfe, 33
orthonormiert, 20
Orthonormierung
Schmidt'sches Verfahren, 20
Ortsoperator, 23, 24
Schwerpunktskoordinaten, 95
Skalarprodukt
des Hilbertraums, 19
in Dirac-Notation, 25
von Funktionen, 19
Slater-Determinante, 102
Spektralzerlegung, 8, 11
diskretes Spektrum, 30
entarteter Fall, 31
kontinuierliches Spektrum, 30
Spektrum, 22
spherical harmonics, 53
Spin-Statistik-Theorem, 101
Spinmatrix
Pauli'sche, 49
stationare Zustande, 14
Storungstheorie
Anwendbarkeit, 84
entartet
j i-korr. 1. Ordnung, 84
E-korr. 1. Ordnung, 84
nichtentartet
j i-korr. 1. Ordnung, 83
j i-korr. 2. Ordnung, 83
E-korr. 1. Ordnung, 82
E-korr. 2. Ordnung, 83
zeitunabhangige, 81
Streuamplitude, 73
Berechnung der, 74
durch Partialwellen, 79
Streutheorie, 71{80
Born'sche Naherung, 76
Born'sche Reihe, 76
Integralgleichung, 75
Partialwellen, 76
optisches Theorem, 80
Phasenverschiebung, 78
Streuamplitude, 79
Unitaritatsgrenze, 79
Wirkungsquerschnitt, 79
stationare Streuzustande, 73
Streuamplitude, 73
Streuamplitude, 73
Berechnung der, 74
Wirkungsquerschnitt, 72
dierentieller, 72
totaler, 72
Streuung
identische Teilchen, 104
Streuversuch, 71
Paritat, 40
Partialwellen, 76
Pauli-Matrix, 49
Pauli-Prinzip, 102
Permutationsoperator, 98
Phasengeschwindigkeit, 6
Phasenraum, 5
Phasenverschiebung
von Partialwellen, 78
photoelektrischer Eekt, 3
Planck-Einstein-Relationen, 3
Polynom
charakteristisches, 28
Hermite, 41
Postulate der QM, 30{31
Entartung, 31
identische Teilchen, 31
Produktraum, 60
Konstruktion des, 62
Projektion, 26
Projektionsoperator, 26
quadratintegrabel, 11
Quantisierungsregeln, 34
Reexionskoezient, 17
Reihe
Born'sche, 76
Relativkoordinaten, 95
Schalen
des Wasserstoatoms, 68
Schrodingergleichung, 12
des freien Teilchens, 12
zeitunabhangige, 14
Schwarzkorper-Strahlung, 2
107
Streuzustande
stationare, 73
Streuamplitude, 73
Stufenpotential, 15
Superpositionsprinzip, 6
Symmetrisierung, 34
Symmetrisierungsoperator
allgemeiner, 100
Zweiteilchensystem, 99
Entartung, 68
Entartungsgrad, 68
Feinstruktur, 86
E-korr. fur n = 2, 92
Feinstrukturkonstante, 68
Hauptquantenzahl, 68
Hyperfeinstruktur, 93
Schalen, 68
Storungen, 86
Tabelle der Radialfunktionen, 68
Zeeman-Eekt, 93
Wellen
ebene, 6
Wellenfunktion, 11
Wellengleichung, 6
Wellenpaket, 6
Reduktion des, 31
entarteter Fall, 31
Wirkungsquerschnitt, 72
dierentieller, 72
durch Partialwellen, 79
totaler, 72
durch Partialwellen, 79
Teilchen
identische, 97
Theorem
optisches, 80
Translationen
der Zeit, 58
des Ortes, 57
Transmissionskoezient, 17
Tunneleekt, 17
Unitaritatsgrenze
bei Partialwellen, 79
Unscharfe, 33
Energie-Zeit, 33
Ort-Impuls, 33
Unscharferelation, 10
Heisenberg'sche, 13
Zeeman-Eekt
beim Wasserstoatom, 93
Storungsterm, 93
Zeitentwicklung
einer Wellenfunktion, 50
eines Zustands, 31
Zustand, 58
Zentralpotential
zeitunabhangiges, 65
Zitterbewegung, 88
Zustand
koharenter, 44
Erzeugung durch unitaren Operator, 45
Unscharfen, 47
Zeitentwicklung, 45
minimaler Unscharfe, 47
Praparation eines, 32
Zeitentwicklung, 31, 58
Zustandskorrekturen
entartet
1. Ordnung, 84
nichtentartet
1. Ordnung, 83
2. Ordnung, 83
Zustandsvektor
Vektor
vollstandig antisymmetrischer,
100
vollstandig symmetrischer, 100
Vektoren
Bra-, 25
Ket-, 25
uneigentliche, 24
Bra-, 27
Ket-, 27
Verhaltnis
gyromagnetisches, 48
Vernichter, 42
Wahrscheinlichkeit
Erhaltung der, 35
Wahrscheinlichkeitsdichte,
Denition, 11
Wahrscheinlichkeitsstrom, 35
Wasserstoatom, 67
Energieeigenwerte, 68
Energieniveaus, 68
108
eindeutiger, 102
Zwei-Zustandssystem, 37
Zweiteilchensystem
formale Aspekte, 97
Lagrangefunktion, 95
in Relativkoordinaten, 95
Relativkoordinaten, 95
Schwerpunktskoordinaten, 95
109