Kein Folientitel - Delta
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Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Entstehung des Regenbogens durch Brechung-Reflexion-Brechung Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Entstehung des Regenbogens durch Brechung-Reflexion-Brechung Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Theorie des Regenbogens: zum Selbststudium René Descartes (1596-1650) nLuft sin 1 nWasser sin 2 Frage: Wieso erscheint der Regenbogen gerade unter einen Winkel von ca. 42° ? A Ablenkwinkel des einfallenden Strahls 2 Beobachtungswinkel des Regenbogens A 2 Dreieck AOB: 2 2 , Dreieck AOP: 1 Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis René Descartes (1596-1650) Dreieck AOB: 2 2 , Dreieck AOP: 1 1 1 ( 2 2 ) 2 2 1 A 2 4 2 21 nLuft A 21 4 arcsin sin 1 nWasser Brechung beim Eintritt Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis xR René Descartes (1596-1650) nLuft A 21 4 arcsin sin 1 nWasser sin 1 x R 1 arcsin x R nLuft x x A ( x) 2 arcsin 4 arcsin R n R Wasser Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis x R René Descartes (1596-1650) nLuft x x A ( x) 2 arcsin 4 arcsin R n R Wasser nLuft x x (2 ) A ( x) 4 arcsin 2 arcsin R nWasser R Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis 2 (2 )max 42 n x x (2 ) 4 arcsin Luft 2 arcsin n R R Wasser x R Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Analytische Lösung: nLuft x f ( y ) 2 4 arcsin y 2 arcsin y , y R nWasser nLuft df ( y ) 1 1 4 2 0 2 2 dy nWasser 1 n 1 y n y2 Luft 2 Wasser 2 nLuft nLuft 2 2 4 1 y 1 y nWasser nWasser 1 2 2 xmax y R R 4 nWasser nLuft 3 ymax xmax R 0.86238 f ( ymax ) (2 ) max 0.7420 rad ~ 42 Natürlich kommen alle x/R beim Lichteintritt in den Wassertropfen vor, aber die reflektierte Intensität ist in der Umgebung des Maximums besonders groß! Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Zweiter Regenbogen mit entgegengesetzter Farbreihenfolge! Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis 10 Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Beim Hauptregenbogen werden die Lichtstrahlen einmal reflektiert: xmax R 1 2 2 4 nWasser nLuft 3 Beim sekundären Regenbogen werden die Lichtstrahlen zweimal im Wassertropfen reflektiert: xmax R 1 2 2 9 nWasser nLuft 8 Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Optische Abbildungen G. Hiller/T. Weis optisches Gerät Bild Gegenstand Von jedem Punkt eines Gegenstandes gehen viele Lichtstrahlen in verschiedene Richtungen (z.B. Linse) Alle Strahlen, die auf einen Bildpunkt fallen, müssen von einem Gegenstandspunkt ausgegangen sein. Punkt – zu – Punkt - Abbildung Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Einfachste Abbildung: Prinzip der Lochkamera Nach dem Strahlensatz gilt: Lochblende B H G h Ein kleiner Lochdurchmesser lässt nur ein eng begrenztes Strahlenbündel durch. Dies ergibt zwar eine scharfe Abbildung, andererseits kommt aber nur wenig Licht durch, sodass das Bild sehr dunkel wird. Hier muss ein Kompromiss zwischen Helligkeit und Schärfe gefunden werden. H Bild h B Gegenstand G Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Experiment zur Lochkamera Dia Lochblende Schirm große Öffnung mittlere Öffnung Herr Knopp Original von Wilhelm Busch kleine Öffnung Vorlesung Physik III WS 2012/2013 a) Spiegel G. Hiller/T. Weis Spiegel Konstruktion des virtuellen Spiegelbildes Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis b) Hohlspiegel: Strahlengang bei einem ebenen Spiegel Spiegel 2 1 d << r M 1 2 r Quelle s F s s Q Q virtuelles Bild der Quelle f Parallele Strahlen werden durch einen Hohlspiegel im Brennpunkt F zusammengeführt. Hohlspiegel mit Krümmungsradius r. P Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Für den Strahlengang erhält man r r cos s 2s 2 cos r d << r M Man entwickelt nun ( im Bogenmaß) 1 1 cos 2 2 1 wenn 1 2 r 2 Damit erhält man s 1 2 2 r 2 f r s r 1 2 2 s F s 2 Die Brennweite f des Hohlspiegels erhält man dann zu s f und schließlich r 2 f 1 2 2 oder für achsnahe Strahlen, d.h. << 1 f r 2 P Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Experiment: Fokussierung von Lichtstrahlen durch einen Hohlspiegel parallele Lichtstrahlen Brennpunkt Hohlspiegel Vorlesung Physik III WS 2012/2013 d r1 sin 1 , 2 3 1 c) Linse (konvex): 3 Eintrittsseite 1 d G. Hiller/T. Weis 2 r1 d sin 1 , 3 1 2 r1 Nach dem Brechungsgesetz gilt 1 n Kugeloberfläche mit Krümmungsradius r1 Ein parallel zur Achse auf eine Kugeloberfläche treffender Strahl wird um den Winkel 3 zur Achse hin abgelenkt. Aus der Geometrie der Anordnung folgen die Relationen: sin 1 n sin 2 Nun betrachten wir nur achsennahe Strahlen, also d << r1, d.h. 1 << 1 und 2 << 1. Dann folgt d 1 , r1 1 d 2 1 n n r1 Damit erhält man 3 d d d 1 1 (*) r1 r1 n r1 n Vorlesung Physik III WS 2012/2013 3 n 3 1 1 4 1 4 n 3 (n 1) 1 4 r2 d G. Hiller/T. Weis Setzt man 3 aus (*) ein, erhält man: 1 4 F f n Austrittsseite Für den durch die Kugeloberfläche austretenden Strahl gilt entsprechend d r2 sin 1 d sin 1 1 r2 und nach dem Brechungsgesetz: n sin 3 1 sin 1 4 Daraus folgt für achsennahe Strahlen: d 1 d 4 n 1 n 1 r1 n r2 1 1 d n 1 r1 r2 Der gesamte Ablenkwinkel ist damit: d tan 4 4 f Es folgt die Linsenschleiferformel: 1 1 1 n 1 f r1 r2 Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Bei dieser Ableitung ist eine dünne Linse vorausgesetzt worden, bei der sich die transversale Position d des Lichtstrahls in der Linse kaum ändert. Außerdem gilt die Beziehung nur für achsennahe Strahlen, d.h. d << r1 , r2 . G. Hiller/T. Weis dünne Linse F f f F Für eine Linse mit gleichen Kugelflächen auf beiden Seiten, d.h. r1 = r2 = r, folgt sofort: r f 2n 1 Mit diesen Eigenschaften des Strahlenganges durch eine dünne Linse können die Abbildungseigenschaften beliebiger optischer Systeme ermittelt werden. Parallele Strahlen werden also in einem Punkt, dem Brennpunkt F vereinigt, der im Abstand f , Hinweis: bei konvexen Oberflächen ist der Krümmungsradius positiv, bei konkaven der Brennweite, von der Linsenfläche liegt. Oberflächen negativ! Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Beispiel: Fokussierung von Lichtstrahlen durch eine Bikonvexlinse Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Es gibt auch Zerstreuungssysteme. Das Spiegelbild an einem sphärischen Spiegel erscheint beispielsweise verkleinert. G. Hiller/T. Weis d) Sphärischer Spiegel „virtueller“ Brennpunkt f sphärischer Spiegel e) Linse (konkav) F F Die Ursache liegt in der Auffächerung der Lichtstrahlen an der Oberfläche des sphärischen Spiegels. „virtueller“ Brennpunkt f f Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Beispiel: Strahlengang am sphärischen Spiegel G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Beispiel: Strahlengang bei einer Bikonkavlinse G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Beispiel: Strahlengang bei einer bikonvexen „Luftlinse“ n=1 G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Beispiel: Strahlengang bei einer bikonkaven „Luftlinse“ n=1 G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Parallele Strahlen werden hinter einer konvexen dünnen Linse immer in einer Ebene mit dem Abstand f fokussiert, der so genannten Brennebene. Für Strahlen, die unter einem beliebigen Winkel zur optischen Achse eintreffen, gilt immer: x tan f Hinweis: Diese Beziehung gilt aber nur für achsennah einfallende Strahlen ! Fokussierung paralleler Strahlen in der Brennebene: F Brennebene Die Abbildungsgesetze G. Hiller/T. Weis optische Achse x f Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis g b 1 2 3 G G F optische Achse x F B B f f x´ Zur Abbildung müssen die drei vom Gegenstand G ausgehenden Strahlen wieder in einem Punkt des Bildes B zusammenlaufen. Ein paralleler Strahl (1) geht hinter der der Linse durch deren Brennpunkt F. Ein durch den vorderen Brennpunkt F einfallender Strahl (3) verläuft hinter der Linse parallel zur optischen Achse. Der durch das Zentrum der Linse laufende Strahl (2) bleibt unbeeinflußt. Mit diesen drei Strahlen (eigentlich sind schon zwei ausreichend) wird die Abbildung konstruiert. Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis g b 1 2 3 G G F optische Achse x F B B f Mit dem Strahlensatz für die entsprechenden Längen folgt sofort: G g x g f g 1 B b f f f f x´ Daraus ergibt sich: g b 1 b g 1 : g f 1 1 f g Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis g b 1 2 3 G G F optische Achse x Man erhält also sofort die wichtige Linsengleichung: 1 1 1 f g b F B B f f x´ Leicht folgt mit dem Strahlensatz auch noch eine andere Beziehung: G x f B f x Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis g b 1 2 3 G G F optische Achse Daraus folgt direkt die „Newton2 Gleichung“: f x x Definition der Brechkraft D einer Linse: 1 D f D 1 m 1 Dioptrie 1 dpt B B f x F f x´ Die Gesamtbrechkraft mehrerer dicht hintereinander angeordneter dünner Linsen ist: Dges D1 D2 D3 Dn 1 fges 1 f 1 1 f 2 1 f 3 1 f n Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Experiment: Versuch zum Linsengesetz Schirm Lampe Dia Linse g Das Bild auf dem Schirm, ist nur scharf, wenn: 1 1 1 f g b b Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Verwendung einer Lupe: Optische Geräte a) Die Lupe Auge G G fL s0 s0 = deutliche Sehweite, die Entfernung, unter der man normalerweise Objekte aus der Nähe betrachtet (25 cm). Der Winkel, unter dem der Gegenstand G für das normale Auge erscheint, folgt zu G tan s0 Hält man eine Linse zwischen das Auge und den Gegenstand, dann wird der G Winkel tan fL fL Die Vergrößerung eines optischen Gerätes ist wie folgt definiert: V Sehwinkel mit Gerät Sehwinkel ohne Gerät Da fL < s0 erhält man die Vergrößerung der Lupe: VLupe tan s0 25cm tan f L fL Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis b) Das Mikroskop (Betrachtungen sehr kleiner Objekte aus der Nähe) Okular Objektiv Zwischenbild D G z fobj fobj Es gelten folgende Beziehungen z D f obj GD tan , z f ok z G f obj und weiter: GD tan f ok f obj Die Vergrößerung V berechnen wir wieder über das Verhältnis der Sehwinkel, also: fok VMikroskop fok tan D s0 tan f ok f obj mit tan G s0 Die Vergrößerung ist also umso größer, je kleiner die Brennweiten von Okular und Objektiv sind. Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis c) Das astronomische Fernrohr (Betrachten von Objekten in der Ferne) Okular Objektiv Zwischenbild z fobj Für die Winkel gilt hier: z tan f ok tan z f obj fok fok Daraus folgt die Vergrößerung: VFernrohr tan f obj tan f ok Astronomische Fernrohre sollten daher eine möglichst große Brennweite des Objektivs haben. Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis d) Das Spiegelteleskop Spiegel Okular z fok fok fs Es gilt wieder: z tan , fs Daraus folgt die Vergrößerung: z tan f ok VSpiegelteleskop fs tan tan f ok Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Beispiele von Spiegelteleskopen 5 m Palomar-Teleskop Universität München Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Anwendung in der Radioastronomie für Radiowellen: Empfangsantenne = Okular Sie liegt im Brennpunkt des Hohlspiegels. Hohlspiegel Das Radioteleskop Effelsberg Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Kurze Einführung in die Linsen- und Abbildungsfehler a) Aberration Nur achsennah einfallende Strahlen werden im Brennpunkt fi fokussiert. Strahlen, die am Rand einfallen, werden stärker gebrochen und im Punkt fa gesammelt. Insgesamt werden Strahlen in den ganzen Bereich zwischen fi und fa fokussiert und nicht nur in einem Brennpunkt. Ursache ist der konstante Krümmungsradius der Linse (sphärische Aberration) fa Abhilfe: • Ausblenden der Randstrahlen (Verlust an Lichtstärke) • angepasster Krümmungsradius (teuer) Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Sphärische Abberation / achsennahe Strahlen G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Sphärische Abberation / achsenferne Strahlen G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis Beispiel: Die sphärische Abberation für eine plankonvexe Linse f Vorlesung Physik III WS 2012/2013 G. Hiller/T. Weis b) Chromatische Aberration Licht unterschiedlicher Wellenlänge wird unterschiedlich stark gebrochen. Da blaues Licht stärker als rotes gebrochen wird, ist die Brennweite fblau kleiner als frot. w e iße sLic ht f Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Chromatische Aberration G. Hiller/T. Weis Vorlesung Physik III WS 2012/2013 Ausschnitt (vergrößert) G. Hiller/T. Weis blau rot
