¨Ubungen zur Vorlesung Zufällige Fraktale Metrische Räume

Wolfgang Löhr
Sommersemester 2012
Übungen zur Vorlesung Zufällige Fraktale
Übungsblatt 1
Metrische Räume & Banach’scher Fixpunktsatz
Aufgabe 1.1 (Topologie metrischer Räume).
Sei (X, d) ein metrischer Raum A ⊆ X, x ∈ X und r > 0.
(6 Punkte)
(a) Zeige, dass die (offene) Kugel Br (x) tatsächlich offen ist.
(b) Zeige, dass A genau dann abgeschlossen ist, wenn das Komplement X \ A offen ist.
T
(c) Sei (Ai )i∈I eine beliebige Familie abgeschlossener Mengen Ai ⊆ X und A = i∈I Ai .
Zeige, dass A abgeschlossen ist.
(d) Sei X = R (mit normaler Euklidischer Metrik) und A = Q. Berechne den Abschluss A
von A in X.
(e) Sei X kompakt und f : X → Y eine stetige Funktion in einen metrischen Raum (Y, dY ).
Zeige, dass das Bild f (X) ⊆ Y von f kompakt ist.
Hinweis: Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen offen
sind. Das darf ohne Beweis verwendet werden.
Aufgabe 1.2 (Der Adressraum der Folgen mit endlichem Alphabet). (6 Punkte)
Sei S = { 1, . . . , m } und betrachte die Menge X = S N der Folgen mit Einträgen aus S.
Definiere für x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ X:
d(x, y) = 2− inf{n∈N|xn 6=yn } .
Dabei ist das Infimum der leeren Menge ∞ und 2−∞ = 0.
(a) Zeige, dass (X, d) ein metrischer Raum ist und bestimme den Durchmesser diam(X)
von X.
(b) Sei x = (xn )n∈N mit xn = 1 für alle n. Berechne die (offenen) Kugeln B 1 (x) und B 1 (x).
2
(c) Zeige, dass
(xn )n∈N
∈ X x1 = 1 sowohl offen als auch abgeschlossen ist.
3
(d) Zeige, dass eine Folge (x(k) )k∈N in (X, d) genau dann gegen x ∈ X konvergiert, wenn
gilt
∀n ∈ N ∃kn ∈ N : x(k)
n = xn ∀k ≥ kn .
(e) Zeige, dass (X, d) kompakt ist.
Aufgabe 1.3 (Banach’scher
(6 Punkte)
√ Fixpunktsatz).
(a) Sei X = R+ , f (x) = 2 + x. Bestimme die Kontraktionskonstante von f , zeige dass f
genau einen Fixpunkt hat und bestimme diesen.
(b) Sei X = [1, ∞[. Finde eine funktion f : X → X mit
f (x) − f (y) < |x − y|
∀x, y ∈ X, x 6= y,
die aber keinen Fixpunkt besitzt.
(c) Sei X = C [0, 1] = { f : [0, 1] → R | f stetig } mit der Metrik
d(f, g) = sup f (x) − g(x).
x∈[0,1]
Definiere die Funktion F : X → X durch
Z
F (f )(x) =
1
0
cos xf (t) dt.
Zeige, dass F genau einen Fixpunkt besitzt.
Abgabe bis Mi, 25.04.2012