Vorlesung “p-adische Differentialgleichungen”

Vorlesung
“p-adische Differentialgleichungen”
Münster, 2004
1
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I p-adische Analysis
3
§1 Nicht-archimedische Körper
3
§2 p-adische Körper
10
§3 Elementares über Reihen
13
§4 Elementares zur Differenzierbarkeit
13
§5 Konvergente Potenzreihen
15
§6 Analytische Funktionen auf affinoiden Bällen
20
§7 Das Wachstum analytischer Funktionen
24
§8 Fredholmoperatoren
25
Kapitel II Differentialgleichungen
30
§9 Generische Lösungen
30
§10 Der Fall ρa (D, r) < r
36
§11 Ein Beispiel
44
§12 Beschränkte analytische Funktionen
45
§13 Wann gilt ρa (D, r) = r?
48
§14 Der Robba-Ring
62
§15 Der Indexsatz
67
Referenz:
Christol G., Robba P.: Équations différentielles p-adiques.
Hermann: Paris 1994
2
Kap. I
p-adische Analysis
§1 Nicht-archimedische Körper
Sei K ein Körper.
Definition: Ein nicht-archimedischer Absolutbetrag auf K ist eine Funktion | | :
K −→ R mit
(i) |a| ≥ 0,
(ii) |a| = 0 ⇐⇒ a = 0,
(iii) |ab| = |a| · |b|,
(iv) |a + b| ≤ max(|a|, |b|)
(“strikte Dreiecksungleichung”).
Wegen (iii) ist | | : K × −→ R×
+ ein Gruppenhomomorphismus; insbesondere | ± 1| =
1.
Wir wollen stets voraussetzen, daß | | nicht-trivial ist, d. h.
(v) |a0 | =
̸ 0, 1 für ein a0 ∈ K .
Beachte: 1) |n · 1| ≤ 1 für alle n ∈ Z.
2) Für |a| ̸= |b| gilt |a + b| = max(|a|, |b|); denn:
Etwa |a| < |b|, dann |a| < |b| = |b + a − a| ≤ max(|b + a|, |a|), also |a| < |b + a| und
damit |b| ≤ |a + b| ≤ max(|a|, |b|) = |b|.
Die Menge K ist bzgl. d(a, b) := |b−a| ein metrischer Raum. Die (“abgeschlossenen”)
Bälle
Bε (a) := {b ∈ K : |b − a| ≤ ε} fürε > 0
bilden ein fundamentales Umgebungssystem für a ∈ K, ebenso die “offenen” Bälle
Bε− (a) := {b ∈ K · |b − a| < ε} .
Im Folgenden meint Bälle immer abgeschlossene Bälle!
Beachte: 1) | | : K −→ R ist stetig; denn:
Für b ∈ Bε− (a) ist | |b| − |a| |∞ = | |(b + a) − a| − |a| |∞ ≤ | max(|b − a|, |a|) − |a| |∞
<ε.
2) +, · : K × K −→ K sind stetig; denn:
−
(a0 a1 ), da
Für bi ∈ Bε− (ai ) ist b0 + b1 ∈ Bε− (a0 + a1 ) und b0 b1 ∈ Bε·max(ε|a
0 |,|a1 |)
b0 b1 − a0 a1 = (b0 − a0 )(b1 − a1 ) + (b0 − a0 )a1 + a0 (b1 − a1 ).
Lemma 1.1: i. Bε (a) ist offen und abgeschlossen;
ii. Bε (a) ∩ Bε (a′ ) ̸= ϕ =⇒ Bε (a) = Bε (a′ ) (“jeder Punkt ist Mittelpunkt”);
3
iii. für beliebige Bälle B und B ′ mit B ∩ B ′ ̸= ϕ gilt B ⊆ B ′ oder B ′ ⊆ B;
iv. K ist total unzusammenhängend.
Beweis: ii. Definiere eine Äquivalenzrelation auf K durch a ∼ b, falls |a − b| ≤ ε.
Dann sind die Bε (a) die zugehörigen Äquivalenzklassen.
i. Offensichtlich ist Bε− (a) offen und Bε (a) abgeschlossen. Für b ∈ Bε (a) gilt wegen
ii. aber auch Bε− (b) ⊆ Bε (b) = Bε (a); also ist Bε (a) offen.
iii. Sei B = Bε (a), B ′ = Bε′ (a′ ) und b ∈ B ∩ B ′ . Wegen ii. gilt B = Bε (b) und
B ′ = Bε′ (b).
iv. Sei M ⊆ K zusammenhängend mit a ∈ M . Wegen i. ist M ∩ Bε (a) offen und
abgeschlossen in M . Folglich gilt M ⊆ Bε (a) und damit M = {a}.
Beachte: Lemma 1.1.i - iii gilt analog für offene Bälle.
Warnung: Der “Radius” ε in Bε (a) ist nicht eindeutig bestimmt.
Beachte: (an )n∈N ist Cauchyfolge in K ⇐⇒ |an+1 − an | −→ 0.
Definition: Ein nicht-archimedischer Körper K ist ein Körper versehen mit einem nicht-archimedischen Absolutbetrag, so daß der zugehörige metrische Raum
vollständig ist (d. h., jede Cauchyfolge konvergiert).
Ab jetzt sei (K, | |) ein fester nicht-archimedischer Körper.
Lemma 1.2: i. o := {a ∈ K : |a| ≤ 1} ist ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K;
ii. m := {a ∈ K : |a| < 1} ist das einzige maximale Ideal in o;
iii. o× = o\m;
iv. jedes endlich erzeugte Ideal in o ist ein Hauptideal.
Der Ring o heißt der Bewertungsring oder Ring der ganzen Zahlen von K, und o/m
heißt der Restklassenkörper von K.
Übungsaufgabe: Für ε ≤ 1 ist Bε (a) die Nebenklasse eines geeigneten Ideals in o
zum Nebenklassenvertreter a.
Beispiele: A) Sei p eine fixierte Primzahl. Dann ist
m
|a|p := p−r , falls a = pr ·
mit m, n ∈ Z und p - mn
n
ein nicht-archimedischer Absolutbetrag auf Q. Die zugehörige Komplettierung Qp
ist ein nicht-archimedischer Körper – der Körper der p-adischen Zahlen. Der Bewertungsring von Qp wird mit Zp bezeichnet; sein maximales Ideal ist pZp mit
Zp /pZp = Fp . Man beachte, daß es wegen |Qp |p = pZ ∪ {0} möglich ist, daß
Bε (a) = Bδ (a) mit ε ̸= δ.
4
Faktum: (ohne Beweis) Zp ist kompakt und Qp damit lokalkompakt.
m
∑
B) Die Gaußnorm eines Polynoms Q(x) =
ai xi ∈ K[x] ist definiert durch
i=0
|Q| := max(|ai |) .
i
Auf dem Körper K(x) der rationalen Funktionen ist dann
P := |P |
Q
|Q|
ein nicht-archimedischer Absolutbetrag.
C) Der Körper C((T )) der formalen Laurentreihen über C ist nicht-archimedisch
bzgl. des Absolutbetrages
∑
an T n | := e− min{n:an ̸=0} .
|
n∈Z
Satz 1.3: (Lemma von Hensel)
Seien P, q, r ∈ o[x] Polynome mit:
(a) P ≡ qr mod m,
(b) q mod m und r mod m sind teilerfremd.
Dann existieren Polynome Q, R ∈ o[x] mit:
(i) P = QR,
(ii) Q ≡ q mod m, R ≡ r mod m,
(iii) deg(Q) = deg(q mod m).
Beweis: Setze d := deg(P ). Wir können annehmen, daß m := deg(q) = deg(q mod m)
und deg(r) = deg(r mod m) ≤ d − m. Wegen (b) gibt es Polynome u, v ∈ o[x] mit
(c) uq + vr ≡ 1 mod m.
Nach Lemma 1.2.iv erzeugen die Koeffizienten der beiden Polynome P − qr und
uq + vr − 1 ein Hauptideal πo. Für π = 0 ist insbesondere P = qr, und wir sind
fertig. Sei also π ̸= 0. Wegen (a) und (c) ist |π| < 1. Wir setzen an
Q := q + q1 π + q2 π 2 + . . . ,
R := r + r1 π + r2 π 2 + . . .
mit Polynomen qi ∈ o[x] vom Grad < m und ri ∈ o[x] vom Grad ≤ d − m. Jedenfalls
sind Q, R wohldefinierte Polynome (vgl. §3), welche (ii) und (iii) erfüllen. Iterativ
bestimmen wir
Qn := q + . . . + qn π n und Rn := r + . . . + rn π n
so, daß
5
(d) P ≡ Qn Rn mod π n+1
gilt. Im Limes folgt dann P = QR. Gilt (d) für n, so ist diese Bedingung für n + 1
wegen
P − Qn+1 Rn+1 = P − (Qn + qn+1 π n+1 )(Rn + rn+1 π n+1 )
[
]
P − Qn Rn
n+1
=
− (Qn rn+1 + Rn qn+1 + qn+1 rn+1 π ) π n+1
π n+1
äquivalent zu
Pn :=
P − Qn Rn
≡ Qn rn+1 + Rn qn+1 ≡ qrn+1 + rqn+1 mod π .
π n+1
Aus (c) folgt, daß
quPn + rvPn ≡ Pn mod π .
Per Division mit Rest in K[x] schreibe
vPn = f q + qn+1 mit deg(qn+1 ) < deg(q) = m .
Da der höchste Koeffizient von q eine Einheit in o ist, gilt f, qn+1 ∈ o[x]. Wir haben
nun
q(uPn + rf ) + rqn+1 ≡ Pn mod π .
Wegen deg(rqn+1 ) < (d − m) + m = d, deg(Pn ) ≤ d und deg(q mod π) = m muß
deg(uPn + rf mod π) ≤ d − m
gelten. Wir können deswegen
rn+1 := uPn + rf ohne Terme mit durch π teilbaren Koeffizienten
setzen.
Corollar 1.4: Hat das Polynom P (x) ∈ o[x] modulo m eine einfache Nullstelle
α ∈ o/m, so hat es auch eine einfache Nullstelle a ∈ K mit a mod m = α.
Beweis: Wende das Lemma von Hensel auf die Zerlegung
P (x) mod m = (x − α)ρ(x)
an.
Sei V ein K-Vektorraum.
Definition: Eine (nicht-archimedische) Norm auf V ist eine Funktion ∥ ∥ : V −→ R
mit
(i) ∥a · v∥ = |a| · ∥v∥,
6
(ii) ∥v + w∥ ≤ max(∥v∥, ∥w∥),
(iii) ∥v∥ = 0 =⇒ v = 0.
Der Vektorraum V heißt normiert, wenn er mit einer Norm versehen ist.
Beachte: 1) ∥0∥ = |0| · ∥0∥ = 0.
2) ∥v∥ = max(∥v∥, ∥ − v∥) ≥ ∥v − v∥ = ∥0∥ = 0.
3) ∥v + w∥ = max(∥v∥, ∥w∥), falls ∥v∥ ̸= ∥w∥.
4) d(v, w) := ∥v − w∥ ist eine Metrik auf V .
Übungsaufgabe: Addition und Skalarmultiplikation eines normierten Vektorraumes sind stetig.
Lemma 1.5: Seien (V1 , ∥ ∥1 ) und (V1 , ∥ ∥2 ) normierte K-Vektorräume; eine lineare
Abbildung f : V1 −→ V2 ist stetig genau dann, wenn eine Konstante c > 0 existiert
mit
∥f (v)∥2 ≤ c · ∥v∥1 f ür alle v ∈ V1 .
Beweis: Daß die obige Abschätzung die Stetigkeit von f impliziert, folgt sofort aus
der Betrachtung einer konvergenten Folge in V1 . Sei also umgekehrt f als stetig
angenommen. Dann existiert ein ε > 0 mit
f ({v ∈ V1 : ∥v∥1 ≤ ε}) ⊆ {w ∈ V2 : ∥w∥2 ≤ 1} .
Da | | nicht-trivial ist, finden wir ein a ̸= 0 in K mit |a| ≤ ε. Also folgt aus
∥v∥1 ≤ |a|, daß ∥f (v)∥2 ≤ 1. Zu einem beliebigen 0 ̸= v ∈ V1 wählen wir nun m ∈ Z
mit |a|m+2 < ∥v∥1 ≤ |a|m+1 . Mit c := |a|−2 erhalten wir
∥f (v)∥2 = |a|m · ∥f (a−m v)∥2 ≤ |a|m < c · ∥v∥1 .
Definition: Der normierte K-Vektorraum (V, ∥ ∥) heißt K-Banachraum, wenn V
bzgl. der Metrik d(v, w) := ∥v − w∥ vollständig ist.
Beispiele: A) K n mit ∥(a1 , . . . , an )∥ := max |ai | ist ein K-Banachraum.
i
B) Sei I eine beliebige Indexmenge. Eine Familie (ai )i∈I in K heißt beschränkt, wenn
ein c > 0 existiert mit |ai | ≤ c für alle i ∈ I. Die Menge
ℓ∞ (I) := alle beschränkten Familien (ai )i∈I in K
mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation und der Norm
∥(ai )i ∥∞ := sup |ai |
i∈I
ist ein K-Banachraum.
C) Die Teilmenge c0 (I) aller Familien (ai )i∈I ∈ ℓ∞ (I) mit der Eigenschaft, daß zu
jedem ε > 0 nur endlich viele i ∈ I mit |ai | ≥ ε existieren, ist ein abgeschlossener
7
Untervektorraum von ℓ∞ (I) und somit selbst ein K-Banachraum. Für (ai )i ∈ c0 (I)
gilt
∥(ai )i ∥∞ = max |ai | .
i∈I
Zum Beispiel ist c0 (N) der Raum aller Nullfolgen in K.
Lemma 1.6: Sei V endlich dimensional. Zu je zwei Normen ∥ ∥1 und ∥ ∥2 auf V
existiert ein c > 0, so daß
∥v∥2 ≤ c · ∥v∥1 f ür alle v ∈ V .
Insbesondere definieren ∥ ∥1 und ∥ ∥2 die gleiche Topologie auf V .
Beweis: Wir fixieren eine Basis e1 , . . . , ed von V und betrachten die Norm
∑
ai ei ∥ := max |ai | .
∥
i
i
Es genügt, ∥ ∥1 und ∥ ∥ zu vergleichen. Ersichtlich gilt
(∗)
∥v∥1 ≤ ∥v∥ · max ∥ei ∥1 für alle v ∈ V .
i
Unter der Annahme, daß kein c > 0 mit ∥v∥ ≤ c · ∥v∥1 für alle v ∈ V existiert, finden
wir eine Folge (vn )n∈N in V mit
∥vn ∥ = 1 und lim ∥vn ∥1 = 0 .
n−→∞
Wir wählen 1 ≤ m ≤ d minimal, so daß eine solche Folge im Unterraum Ke1 + . . . +
Kem existiert, und schreiben
vn = an,1 e1 + . . . + an,m em .
Wegen der Minimalität von m ist (an,m )n keine Nullfolge in K. Nach Übergang zu
einer geeigneten Teilfolge gilt deswegen
lim ∥a−1
n,m vn ∥1 = 0 .
n−→∞
−1
Die Folge (a−1
n+1,m vn+1 − an,m vn )n liegt im Unterraum Ke1 + . . . + Kem−1 . Wegen der
Minimalität von m muß dann
−1
lim ∥a−1
n+1,m vn+1 − an,m vn ∥ = 0
n−→∞
−1
gelten. Also konvergiert (a−1
n,m vn )n bzgl. ∥ ∥ gegen ein v ∈ V . Alle an,m vn und folglich
auch v liegen in Ke1 + . . . + Kem−1 + em . Wegen (∗) ist aber
∥v∥1 = lim ∥a−1
n,m vn ∥1 = 0
n−→∞
und damit v = 0 – ein Widerspruch. Die Zusatzbehauptung ergibt sich mit Hilfe
von Lemma 1.5 angewendet auf die Abbildung idV .
8
Satz 1.7: Sei K ein algebraischer Abschluß von K. Auf K existiert genau ein nichtarchimedischer Absolutbetrag, welcher den von K fortsetzt; er ist gegeben durch
|α| = |NormK(α)/K (α)|1/[K(α):K] .
Beweis: Eindeutigkeit: Sei L ⊆ K eine normale endliche Erweiterung von K, welche
α enthält. Für jedes σ ∈ Aut(L/K) sind |.| und |σ(.)| zwei Normen auf dem endlich
dimensionalen K-Vektorraum L. Wegen Lemma 1.6 finden wir also c, d > 0 mit
c|β| ≤ |σ(β)| ≤ d|β| für alle β ∈ L .
Angewandt auf β = αn ergibt sich
c1/n |α| ≤ |σ(α)| ≤ d1/n |α|
für alle n ∈ N und damit
|α| = |σ(α)| .
Folglich ist
|α|[L:K] = |NormL/K (α)| .
Existenz: Nur die Dreiecksungleichung ist nicht offensichtlich. Seien α, β ∈ K und
setze L := K(α, β). Wir können |NormL/K (α)| ≤ |NormL/K (β)| und β ̸= 0 annehmen und müssen dann
|NormL/K (α + β)| ≤ |NormL/K (β)|
(
)
zeigen. Wegen NormL/K (α+β) = NormL/K (β)· NormL/K 1 + αβ ist also |NormL/K
(
)
1 + αβ | ≤ 1 zu beweisen. Hierfür genügt es, αβ und damit 1 + αβ als ganz über o
m
∑
zu erweisen. Sei Q(x) =
ai xi das Minimalpolynom von αβ über o. Nach Annahme
i=0
( )
[L:K ( α
]
β)
α
gilt |NormL/K β | = |a0
| ≤ 1 und damit |a0 | ≤ 1. Wir haben zu zeigen,
daß alle Koeffizienten in o liegen. Andernfalls sei 1 ≤ j ≤ m der kleinste Index mit
|aj | = max |ai | > 1. Dann ist P (x) := a−1
j Q(x) ∈ o[x] mit
i
P (x) mod m = xj ρ(x) und ρ(0) ̸= 0 .
Nach Corollar 1.4 muß x also P (x) teilen – ein Widerspruch zur Irreduzibilität von Q.
b von K ist wiederum algebraisch abgeschlossen.
Satz 1.8: Die Komplettierung K
b α ∈ Ω, P (x) das Minimalpolynom
Beweis: Seien Ω ein algebraischer Abschluß von K,
b und d := deg(P ). Die Abbildung
von α über K
b ≤d := {Q ∈ K[x]
b
D : K[x]
: deg(Q) ≤ d} −→ Ω
Q 7−→ Q(α)
9
b ≤d . Da K dicht in K
b ist, ist auch K[x]≤d dicht
ist stetig bzgl. der Gaußnorm auf K[x]
b ≤d bzgl. der Gaußnorm. Wegen D(P ) = 0 finden wir also zu jedem ε > 0 ein
in K[x]
∏
Polynom Q(x) ∈ K[x]≤d mit deg(Q) = d und |D(Q)| ≤ εd . Sei Q(x) = (x − βj )
j
mit βj ∈ K. Dann ist
∏
|α − βj | ≤ εd
,
j
und es muß mindestens ein Index j0 mit |α − βj0 | ≤ ε existieren. Folglich liegt α im
b
Abschluß von K in Ω, d. h. in K.
b ist dicht in R .
Lemma 1.9: |K| = |K|
≥0
×
×
Beweis: Wir nehmen an, |K | sei nicht dicht in R×
+ . Dann ist log |K | nicht dicht in
×
R. Setze ρ := sup(log |K | ∩ (−∞, 0)). Wir behaupten zunächst, daß ρ tatsächlich
das Maximum dieser Menge ist. Andernfalls existiert eine Folge ρ1 < ρ2 < . . . in
×
×
log |K |, welche gegen ρ konvergiert. Dann ist ρi − ρi+1 eine Folge in log |K | ∩
(−∞, 0), welche gegen 0 konvergiert. Also muß ρ = 0 gelten, und wir finden zu
×
jedem ε > 0 ein σ ∈ log |K | mit −ε < σ < 0. Für ein beliebiges τ ∈ R können wir
nun ein m ∈ Z wählen mit mσ ≤ τ < (m − 1)σ und somit 0 ≤ τ − mσ < −σ < ε.
×
Folglich wäre log |K | dicht in R, was ein Widerspruch ist. Dies beweist die Maximumseigenschaft von ρ. Das bedeutet, daß das Intervall (eρ , 1) keine Elemente von
|K| enthält. Andererseits existiert aber ein a0 ∈ K mit 0 < |a0 | < 1. Für großes
1
n ∈ N ergibt sich daraus der Widerspruch |a0 | n ∈ (eρ , 1) ∩ |K|.
§2 p-adische Körper
In diesem Abschnitt sei der nicht-archimedische Körper (K, | |) p-adisch, d. h.
K ⊇ Qp mit | ||Qp = | |p .
Lemma 2.1: Seien a, b ∈ K mit |a|, |b| ≤ 1. Dann gilt:
(i) Falls |a−b| < 1, so ist |ap −bp | ≤ max(|a−b|p , |p|·|a−b|) und lim (ap −bp ) =
n−→∞
0;
n
n
(ii) falls |a − b| ≤ |p|1/(p−1) , so ist |an − bn | ≤ |n| · |a − b| für jedes n ∈ N.
()
Beweis: i. Die Ungleichung folgt wegen | pi | = |p| für 1 ≤ i < p aus der Dreiecksungleichung angewandt auf
p ( )
∑
p
a −b =
(a − b)i bp−i .
i
i=1
p
p
Setzen wir λ := max(|a − b|p−1 , |p|) < 1, so folgt dann |ap − bp | ≤ λ|a − b| und per
Induktion
n
n
|ap − bp | ≤ λn |a − b| .
10
ii. Das beweisen wir per Induktion nach n, wobei der Induktionsanfang n = 1 trivial
ist. Ist n nicht durch p teilbar, so ist |n| = 1 und somit
|an − bn | = |a − b| · |an−1 + an−2 b + . . . + bn−1 | ≤ |a − b| = |n| · |a − b| .
Andernfalls ist n = pm und nach Induktionsvoraussetzung
|am − bm | ≤ |m| · |a − b| ≤ |p|1/(p−1) < 1 .
Unter Benutzung der Aussage i. erhalten wir
|an − bn | ≤ max(|am − bm |p , |p| · |am − bm |) ≤ |p| · |am − bm | ≤ |n| · |a − b| .
Lemma 2.2: Für jedes n ∈ N gilt:
(i) |p|(n−1)/(p−1) ≤ |n!| ≤ n · |p|−1+n/(p−1) ,
(ii) |p|(n−1)/(p−1) = |n!| ⇐⇒ n = pk für ein k ≥ 0.
Beweis: Es gilt
∞ [
∑
Für n = pk ist
∞ [ ]
∑
n
ph
h=1
|n!| = |p|h=1
=
k−1
∑
pi =
i=0
n−1
,
p−1
n
ph
]
.
und es ergibt sich die in ii. behauptete
Gleichheit. Für allgemeines n gilt jedenfalls
]
∞ [
∞
∑
∑
n
n
(p − 1)
<
(p
−
1)
=n
h
h
p
p
h=1
h=1
und damit
(p − 1)
]
∞ [
∑
n
h=1
ph
≤ n − 1 bzw.
]
∞ [
∑
n
h=1
ph
≤
n−1
p−1
,
was die[ linke
in i. impliziert. Schreiben wir n = pm + r mit 0 ≤ r < p
] Ungleichung
[
]
n
m
so gilt ph = ph−1 und somit
]
∞ [
∑
n
h=1
ph
=m+
]
∞ [
∑
m
h=1
ph
≤m+
m−1
pm − 1
=
.
p−1
p−1
Für die in ii. behauptete Gleichheit ist also notwendig, daß r = 0 und daß die analoge
Gleichheit für m gilt. Iterativ folgt dann, daß n eine p-Potenz sein muß.
Es bleibt, die rechte Ungleichung in i. zu zeigen. Dazu sei k ≥ 0 diejenige ganze Zahl
mit pk ≤ n < pk+1 . Es folgt
)
] ∑
] (∑
k [
k
∞ [
∑
n
n
1 − p−k
n−p
n
=
>
−
k
=
n
−k >
−k
h
h
h
p
p
p
p−1
p−1
h=1
h=1
h=1
11
und damit
(p − 1)
]
∞ [
∑
n
h=1
ph
bzw.
≥ n − p − k(p − 1) + 1 = n − (k + 1)(p − 1)
]
∞ [
∑
n
h=1
ph
≥
n
−k−1 .
p−1
Es bleibt zu bemerken, daß |p|−k = pk ≤ n.
Nach Satz 1.7 setzt sich | |p eindeutig von Qp auf Qp und dann per Stetigkeit weiter
auf
b
Cp := Q
p
×
Q
fort. Wir bezeichnen diese Fortsetzung ebenfalls mit | |p . Dabei ist |Qp | = |C×
p| = p .
Nach Satz 1.8 ist Cp ebenfalls algebraisch abgeschlossen. Aus Dichtigkeitsgründen
besitzt jedes Element im Restklassenkörper von Cp schon einen Repräsentanten in
Qp . Sei a ∈ Qp mit |a|p ≤ 1. Im Beweis von Satz 1.7 haben wir gesehen, daß a dann
ganz über Zp ist. Folglich ist die Restklasse von a algebraisch über Fp . Hieraus ergibt
sich leicht:
Restklassenkörpervon Cp = Fp .
Bezeichne Zp den Ring der ganzen Zahlen in Qp . Die Restklassenprojektion induziert
einen Gruppenhomomorphismus
×
×
Zp −→ Fp .
×
Lemma 2.3: Sei µ′ ⊆ Zp die Untergruppe aller Einheitswurzeln von zu p primer
Ordnung. Die Restklassenprojektion schränkt sich ein zu einem Isomorphismus
∼
=
×
µ′ −→ Fp .
Beweis: Injektivität: Sei ζ ∈ µ′ mit |ζ − 1|p < 1. Nach Lemma 2.1.i konvergiert die
n
n
Folge (ζ p )n dann gegen 1. Für die ζ p gibt es nur endlich viele Möglichkeiten, so
n
daß eine konstante Teilfolge existieren muß. Folglich gibt es ein n0 ∈ N mit ζ p 0 = 1.
Da die Ordnung von ζ aber als zu p prim vorausgesetzt war, ergibt sich ζ = 1.
m
Surjektivität: Sei α ∈ F×
q mit q = p . Dann ist α eine einfache Nullstelle des Poq−1
lynoms x
− 1. Nach Corollar 1.4 besitzt das Polynom dann auch eine Nullstelle
ζ ∈ Zp , deren Restklasse gleich α ist. Ersichtlich ist ζ ∈ µ′ .
×
Ist α ∈ Fp die Restklasse von ζ ∈ µ′ , so heißt ζ der Teichmüller-Repräsentant von
α. Zusätzlich definieren wir 0 ∈ Zp als den Teichmüller-Repräsentanten von 0 ∈ Fp .
Lemma 2.4: Ist ζ der Teichmüller-Repräsentant von α ∈ Fq mit q = pm , und ist
a ∈ Cp ein beliebiges Element mit Restklasse gleich α, so gilt
n
ζ = lim aq .
n−→∞
12
Beweis: Für ζ = 0 ist |a|p < 1 und die Behauptung damit trivial. Sei also ζ ̸= 0. Wen
n
gen |ζ − a|p < 1 folgt auch Lemma 2.1.i, daß lim (ζ p − ap ) = 0 und insbesondere
n−→∞
lim (ζ q − aq ) = 0. Nach Lemma 2.3 hat aber ζ dieselbe Ordnung wie α. Also ist
n
n
n−→∞
n
ζ q = ζ.
§3 Elementares über Reihen
Von nun an sei (K, | |) ein fixierter nicht-archimedischer Körper. Weiter sei (V, ∥ ∥)
ein K-Banachraum.
Lemma 3.1: Für eine Folge (vn )n∈N in V gilt:
∞
∑
vn konvergiert genau dann, wenn lim vn = 0;
i. Die Reihe
n−→∞
n=1
ii. ist lim vn = v ̸= 0, so gilt ∥vn ∥ = ∥v∥ für großes n;
n−→∞
∞
∞
∑
∑
vn = v, so auch
vσ(n) = v.
iii. sei σ : N −→ N eine Bijektion; ist
n=1
n=1
Trivialerweise gilt (falls Konvergenz vorliegt):
-
∞
∑
avn = a ·
∞
∑
vn +
n=1
∞
∑
wn =
∞
∑
n=1
∞
∑
(vn + wn ).
n=1
n=1
Lemma 3.2: Seien
Reihe
(für a ∈ K);
vn
n=1
n=1
-
∞
∑
∞
∑
n=1
wn mit wn :=
an und
∞
∑
vn konvergente Reihen in K bzw. V ; dann ist die
n=1
∑
aℓ vm konvergent und
ℓ+m=n
∞
∑
n=1
wn =
(∞
∑
)(
an
n=1
∞
∑
)
vn
.
n=1
§4 Elementares zur Differenzierbarkeit
Sei U ⊆ K eine offene Teilmenge und f : U −→ K eine Abbildung.
Definition: f heißt im Punkte a0 ∈ U differenzierbar, falls ein f ′ (a0 ) ∈ K existiert
mit: Zu jedem ε > 0 existiert eine offene Umgebung Uε ⊆ U von a0 , so daß
|f (a) − f (a0 ) − f ′ (a0 )(a − a0 )| ≤ ε · |a − a0 | f ür alle a ∈ Uε .
Die Funktion f heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von U differenzierbar
ist.
13
Ersichtlich ist dann die Ableitung von f im Punkte a0
f ′ (a0 ) = lim
a−→a0
f (a) − f (a0 )
a − a0
eindeutig durch f und a0 bestimmt.
Erinnerungen: 1) Ist f differenzierbar in a0 , so ist f auch stetig in a0 .
2) (Kettenregel) Sei V ⊆ K eine weiter offene Teilmenge mit f (U ) ⊆ V und sei
g : V −→ K eine weitere Abbildung. Ist f bzw. g differenzierbar in a0 ∈ U bzw.
f (a0 ), so ist g ◦ f differenzierbar in a0 mit (g ◦ f )′ (a0 ) = f ′ (a0 ) · g ′ (f (a0 )).
3) (Produktregel) Seien f : U −→ K und g : U −→ K differenzierbar in a0 ∈ U .
Dann ist f · g differenzierbar in a0 mit (f · g)′ (a0 ) = f (a0 ) · g ′ (a0 ) + f ′ (a0 ) · g(a0 ).
Beobachtung I: Die Funktion f : U −→ K heißt lokalkonstant, falls f −1 (b) offen
(und abgeschlossen) ist in U für alle b ∈ K. Ersichtlich ist f dann differenzierbar
mit f ′ = 0. Da die Topologie von U nach Lemma 1.1.iv total unzusammenhängend
ist, gibt es sehr viele lokalkonstante Funktionen auf U .
Beobachtung II: Wegen Zp /pZp = Z/pZ läßt sich jedes a ∈ Zp eindeutig als
konvergente Reihe
a=
∞
∑
mit an ∈ {0, 1, . . . , p − 1}
an pn
n=0
schreiben. Dabei gilt
|a|p = p− min{n:an ̸=0} .
Betrachte nun die Funktion
f:
a=
Zp
∞
∑
−→ Qp
n
an p
7−→ f (a) :=
n=0
Seien a =
∑
n≥0
an pn und b =
∑
∞
∑
an p2n .
n=0
bn pn mit an , bn ∈ {0, . . . , p−1}, und sei etwa |a−b|p =
n≥0
p−j . Dann ist a0 = b0 , . . . , aj−1 = bj−1 , aj ̸= bj und es folgt |f (a) − f (b)|p = p−2j .
Also gilt
|f (a) − f (b)|p = |a − b|2p für alle a, b ∈ Zp .
Dies zeigt: – f ist injektiv (insbesondere nicht lokalkonstant),
– f ′ = 0.
An diesem Beispiel erkennt man auch, daß es in unserem Kontext kein Analogon
zum Mittelwertsatz der reellen Analysis gibt.
14
§5 Konvergente Potenzreihen
Eine Potenzreihe (in einer Variablen) mit Koeffizienten in K ist eine formale Reihe
∑
an X n mit an ∈ K .
f (X) =
n≥0
Ist ε > 0, so heißt f (X) ε-konvergent, falls lim |an |εn = 0.
n−→∞
Beachte: f (X) ε-konvergent =⇒ f (X) δ-konvergent für alle 0 < δ ≤ ε.
Wir definieren
Fε (K) := alle ε-konvergenten Potenzreihen .
Dies ist ein K-Vektorraum mit der Norm ∥f ∥ε := max |an |εn .
n≥0
Lemma 5.1: (Fε (K), ∥ ∥ε ) ist ein K-Banachraum.
Beweis: Dies ist eine offensichtliche Verallgemeinerung des Argumentes für c0 (N)
(vgl. auch die Diskussion weiter unten).
Übrigens: Ist ε = |c| für ein c ∈ K × , so ist
∼
=
c0 (N0 ) −→ F|c| (K)
∞
∑
(an )n 7−→
an c−n X n
n=0
eine Isometrie.
Sei Bε (a) ein Ball in K. Nach Lemma 3.1.i ist
Fε (K) −→ K-Vektorraum aller K-wertigen Funktionen auf Bε (a)
∞
∑
f (x) 7−→ f(a) (x) :=
an (x − a)n
n=0
eine wohldefinierte K-lineare Abbildung. Ihr Bild wird mit Aε (a) bezeichnet.
Konvention: Mit einer Erweiterung L/K ist im Folgenden stets ein nicht-archimedischer Körper L gemeint, welcher K enthält und dessen Absolutbetrag denjenigen
von K fortsetzt. Wir schreiben deswegen | | auch für den Absolutbetrag von L.
Wenn erforderlich präzisieren wir unsere Notation für Bälle durch
Bε (a)(L) := {b ∈ L : |b − a| ≤ ε}
und analog durch Bε− (a)(L). Ein f (X) ∈ Fε (K) liefert natürlich eine Funktion
f(a) : Bε (a)(L) −→ L
∞
∑
x 7−→
an (x − a)n
n=0
15
für jede Erweiterung L/K.
Wir betrachten nun eine konvergente Reihe f =
∞
∑
fi in dem Banachraum Fε (K),
i=0
also
∥f −
m
∑
fi ∥ε −→ 0 für m −→ ∞ .
i=0
Sei
f (X) =
∑
an X n
und fi (X) =
∑
ai,n X n .
n≥0
n≥0
Dann ist
∥f −
m
∑
fi ∥ ε = ∥
i=0
∑
(an −
m
∑
ai,n )X n ∥ε = max |an −
n≥0
i=0
n≥0
Es folgt
∞
∑
an =
m
∑
ai,n |εn .
i=0
für alle n ≥ 0 .
ai,n
i=0
Bemerkung 5.2: In der obigen Situation gilt
f(a) (x) =
∞
∑
(fi )(a) (x) f ür alle x ∈ Bε (a)(L) .
i=0
Beweis: |f(a) (x) −
m
∑
(fi )(a) (x)| ≤ ∥f −
i=0
m
∑
fi ∥ ε .
i=0
Satz 5.3: Fε (K) ist eine kommutative K-Algebra bzgl.
)
(
)(
)
(
∑
∑
∑ ∑
bn X n
cn X n =
bk cℓ X n
n≥0
n≥0
n≥0
;
k+ℓ=n
dabei gilt: i. ∥f · g∥ε = ∥f ∥ε · ∥g∥ε ;
ii. (f · g)(a) (x) = f(a) (x) · g(a) (x) .
Beweis: Setze an :=
∑
bk cℓ . Wir können annehmen, daß ∥f ∥ε ̸= 0 und ∥g∥ε ̸= 0.
k+ℓ=n
Zu jedem δ > 0 existiert dann ein N ∈ N mit
|bi |εi <
δ
∥g∥ε
und |ci |εi <
δ
∥f ∥ε
für i ≥ N . Für n ≥ 2N ergibt sich
|an |εn ≤ max |bk |εk · |cℓ |εℓ < δ .
k+ℓ=n
16
Also ist (f · g)(X) =
∑
an X n ε-konvergent. Für |y| ≤ ε ist
n≥0
(f · g)(0) (y) = lim
( s
∑
s−→∞
und
(
f(0) (y) · g(0) (y) = lim
s−→∞
s
∑
)
an y n
(
= lim
s−→∞
n=0
)(
bk y k
s
∑
k=0
bk y k cℓ y ℓ
k+ℓ≤s
(
)
cℓ y ℓ
)
∑
= lim
ℓ=0
s−→∞
∑
)
bk y k cℓ y ℓ
.
k,ℓ≤s
Die Differenz der Folgenglieder
∑
|
bk y k cℓ y ℓ | ≤ max |bk |εk |cℓ |εℓ
k,ℓ≤s
k,ℓ≤s
k+ℓ>s
k+ℓ>s
|bk |εk |cℓ |εℓ
max
(
)
k
ℓ
≤ max ∥g∥ε · max
|bk |ε , ∥f ∥ε · max
|cℓ |ε
s
s
≤
k> 2s oder ℓ> 2s
k> 2
ℓ> 2
ist eine Nullfolge. Daraus folgt die Aussage ii. Aus der Dreiecksungleichung ergibt
sich unmittelbar die Ungleichung
∥f · g∥ε ≤ ∥f ∥ε · ∥g∥ε .
Für die umgekehrte Ungleichung seinen k0 und ℓ0 die kleinsten Indizes mit
|bk0 |εk0 = ∥f ∥ε
und |cℓ0 |εℓ0 = ∥g∥ε .
Setze n0 := k0 + ℓ0 . Für n0 = k + ℓ gilt k ≤ k0 oder ℓ ≤ ℓ0 . Ist k ̸= k0 und ℓ ̸= ℓ0 ,
so folgt
|bk |εk < ∥f ∥ε oder |cℓ |εℓ < ∥g∥ε
und damit
|bk cℓ |εn0 < ∥f ∥ε · ∥g∥ε .
Also ist
∥f · g∥ε ≥ |an0 |εn0 = |bk0 |εk0 · |cℓ0 |εℓ0 = ∥f ∥ε · ∥g∥ε .
Satz 5.4: Sei g ∈ Fε (K) mit ∥g∥ε ≤ δ; dann ist
∑Fδ (K) −→ Fε (K)
∑
f (Y ) =
an Y n 7−→ f ◦ g(X) :=
an g(X)n
n≥0
n≥0
eine stetige lineare Abbildung (der Operatornorm ≤ 1); dabei gilt
(f ◦ g)(a) (x) = f(0) (g(a) (x)) .
17
Beweis: Wegen Satz 5.3 ist an g(X)n ε-konvergent mit ∥an g(X)n ∥ε ≤ |an |δ n . Da
n
f (X) δ-konvergent ist,
∑ ist alson (an g(X) )n eine Nullfolge in Fε (K). Somit ist die
Reihe (f ◦ g)(X) =
an g(X) konvergent in Fε (K) mit
n≥0
∥f ◦ g∥ε ≤ max ∥an g(X)n ∥ε ≤ max |an |δ n = ∥f ∥δ .
ε
n
Der Zusatz folgt aus Bem. 5.2 und Satz 5.3.ii.
Wenn man die Diskussion vor Bem. 5.2 und den Beweis von Satz 5.3 noch einmal
durchgeht, sieht man, daß sich die Potenzreihe f ◦ g durch “Einsetzen” von g in f
berechnet.
Warnung: Für g ∈ Fε (K) gilt stets
sup |g(0) (x)| ≤ ∥g∥ε ,
x∈Bε (0)
aber im Allgemeinen keine Gleichheit. Deswegen kann g(0) (Bε (0)) ⊆ Bδ (0) erfüllt
sein, so daß f(0) ◦ g(0) existiert, ohne daß f ◦ g definiert ist. Ein Beispiel dafür
(Übungsaufgabe) sind die Potenzreihen
∑
f (Y ) :=
Y n ∈ F 1 (Qp ) und g(X) := X p − X ∈ F1 (Qp ) .
p
n≥0
Corollar 5.5: (Verschiebung des Entwicklungspunktes)
Sei f ∈ Fε (K) und b ∈ Bε (a); dann existiert ein fa−b ∈ Fε (K) mit ∥fa−b ∥ε = ∥f ∥ε
und f(a) = (fa−b )(b) .
Beweis: Wende Satz 5.4 an auf g(X) := X + b − a ∈ Fε (K) mit ∥g∥ε ≤ ε. Das
zeigt die Existenz von fa−b (X) := (f ◦ g)(X) ∈ Fε (K) mit ∥fa−b ∥ε ≤ ∥f ∥ε und
(fa−b )(b) = f(0) ◦ g(b) = f(a) . Aus Symmetriegründen gilt (fa−b )b−a = f und damit
∥f ∥ε ≤ ∥fa−b ∥ε .
Sei f (X) =
∑
an X n ε-konvergent. Die formale Ableitung
n≥0
∑
∑
df
(X) :=
nan X n−1 =
(n + 1)an+1 X n
dX
n≥1
n≥0
ist dann ebenfalls ε-konvergent. Also ist
d
: Fε (K) −→ Fε (K)
dX
eine stetige lineare Abbildung mit Operatornorm ≤ 1. Induktiv ergibt sich
((
)n )
d
n! · an =
f
(0)
dX
(0)
18
und, falls K die Charakteristik 0 hat,
((
)n )
1
d
an =
f
(0) .
n!
dX
(0)
( df )
Satz 5.6: Sei f ∈ Fε (K), dann ist f(a) differenzierbar auf Bε (a) mit f(a) ′ = dX
.
(a)
Beweis: Die übliche Standardrechnung zeigt, daß f(b) differenzierbar ist im Punkt b
mit f(b) ′ (b) = a1 . Für einen Punkt b ∈ Bε (a) wenden wir das an auf die Potenzreihe
fa−b aus Corollar 5.5. Wegen f(a) (x) = (fa−b )(b)∑
(x) folgt, daß f(a) differenzierbar ist
im Punkt b mit f(a) ′ (b) = c1 , falls fa−b (X) =
cn X n . Aber fa−b (X) entsteht aus
n≥0
f (Y ) durch Einsetzen von X + b − a, d. h.
∑
∑
cn X n =
an (X + b − a)n .
n≥0
n≥0
Koeffizientenvergleich ergibt
c1 =
∑
(
nan (b − a)
n−1
n≥1
=
df
dX
)
(b) .
(a)
Corollar 5.7: (Taylor-Formel)
Sei char(K) = 0 und f (X) ∈ Fε (K); dann gilt
)
∑ 1 (( d )n
f (X) =
f(0) (0)X n .
n!
dx
n≥0
Corollar 5.8: (Identitätssatz für Potenzreihen)
(Sei char(K) = 0.) Für f ∈ Fε (K) gilt: Ist f(a) = 0 für ein a, so ist f = 0.
Das letzte Corollar gilt mit einem anderen, komplizierteren Beweis auch in positiver
Charakteristik.
Zusammenfassend können wir feststellen: Die Abbildung
∼
=
Fε (K) −→ Aε (a) ⊆ differenzierbare Funktionen auf Bε (a)
f 7−→ f(a)
ist eine K-lineare und multiplikative Bijektion, bezüglich welcher die formale Ableitung auf Fε (K) der Differentiation auf Aε (a) entspricht. Außerdem gilt Aε (b) =
Aε (a) für alle b ∈ Bε (a).
Wir werden deswegen die Notation f(a) (x) aufgeben und einfach f (x − a) schreiben.
19
§6 Analytische Funktionen auf affinoiden Bällen
Ein Ball B bzw. ein offener Ball B − heißt affinoid, falls ein a ∈ K und ein r ∈ |K × |
existieren, so daß B = Br (a) bzw. B − = Br− (a).
Bemerkung 6.1: i. Ist Br (a) = Br′ (a′ ) mit r, r′ ∈ |K × |, so gilt r = r′ ;
ii. ist Br− (a) = Br−′ (a′ ) mit r, r′ ∈ |K × |, so gilt r = r′ .
Beweis: i. Nach Lemma 1.1.ii ist Br′ (a′ ) = Br′ (a). Sei etwa r ≤ r′ , und sei c ∈ K
mit |c| = r′ . Dann ist a + c ∈ Br′ (a) = Br (a), und es folgt r′ = |c| ≤ r.
ii. Wieder ist Br−′ (a′ ) = Br−′ (a), und wieder sei etwa r ≤ r′ . Wir nehmen an, es gelte
r < r′ und wählen ein c ∈ K mit |c| = r. Dann ist a + c ∈ Br−′ (a) = Br− (a), was zu
dem Widerspruch |c| < r führt.
Für einen affinoiden Ball B = Br (a) ist der Ring
A(B) := Ar (a)
also unabhängig von der Wahl von a und r. Er heißt der Ring der analytischen
Funktionen auf B.
Lemma 6.2: Seien B ⊆ B ′ zwei affinoide Bälle; dann ist die Einschränkungsabbildung A(B ′ ) −→ A(B) wohldefiniert, injektiv und stetig.
Beweis: Wir finden ein a ∈ K und r ≤ r′ in |K × |, so daß B = Br (a) ⊆ Br′ (a) = B ′ .
Unter den Isomorphismen Ar (a) ∼
= Fr (K) und Ar′ (a) ∼
= Fr′ (K) entspricht die Einschränkungsabbildung der Inklusion Fr′ (K) ⊆ Fr (K). Diese ist stetig nach Lemma
1.5, da ihre Operatornorm ≤ 1 ist.
Der Ring der analytischen Funktionen auf einem affinoiden offenen Ball B − = Br− (a)
ist definiert als
∩
A(B − ) :=
Aε (a) .
ε<r
Wieder ist die Definition unabhängig von der Wahl von a und r: Sei nämlich
Br− (a) = Br−′ (b). Nach Bem. 6.1.ii gilt r = r′ . Und für |a − b| ≤ ε < r ist
Aε (a) = Aε (b).
Bemerkung 6.3: Mittels f 7−→ f (x − a) ist A(B − ) isomorph zum Ring aller Potenzreihen, welche ε-konvergent sind für alle 0 < ε < r.
Warnung: Auf A(B − ) gibt es keine einzelne ausgezeichnete Norm mehr, sondern
nur die Familie aller Normen ∥ ∥ε für 0 < ε < r (mittels des Isomorphismus aus
Bem. 6.3). Deswegen ist A(B − ) kein Banachraum mehr, sondern ein Fréchetraum.
Ausblick: Seien P, Q ∈ K[X] zwei vorgegebene Polynome und sei B ein affinoider
Ball. Wir werden später Differentialgleichungen der Form
P·
df
=Q·f
dx
mit f ∈ A(B)
20
studieren.
Wegen Bem. 6.1 ist für jeden affinoiden Ball B = Br (a) (bzw. jeden affinoiden
offenen Ball B − = Br− (a)) und jede Erweiterung L/K der Ball in L
B(L) := Br (a)(L) (bzw. B − (L) := Br− (a)(L))
unabhängig von der Wahl von a und r definiert. Auf A(B) erhalten wir deswegen
eine natürliche Norm
b .
∥f ∥B := sup{|f (x)| : x ∈ B(K)}
Lemma 6.4: (Maximumprinzip)
Sei B = Br (a) ein affinoider Ball; für f ∈ A(B) und F ∈ Fr (K) mit f (x) = F (x−a)
gilt
∥f ∥B = max |f (x)| = max |f (x)| = ∥F ∥r .
b
x∈B(K)
x∈K
|x−a|=r
Beweis: Natürlich können wir F ̸= 0 annehmen. Sei F (X) =
∑
an X n . Mit r liegt
n≥0
auch ∥F ∥r in |K × |, also r = |c| und ∥F ∥r = |a| für geeignete a, c ∈ K × . Die
Potenzreihe
∑
G(X) :=
cn X n mit cn := a−1 an cn
n≥0
ist 1-konvergent mit ∥G∥1 = 1. Folglich ist G(X) := G(X) mod m ein Polynom
̸ 0 über den Restklassenkörper k von K. Da der algebraische Abschluß k von k
=
×
unendlich ist, existiert ein β ∈ k mit G(β) ̸= 0. Wir wählen ein b ∈ K mit |b| = 1,
dessen Restklasse gleich β ist. Nach Konstruktion ist dann |G(b)| = 1. Wir haben
somit gezeigt, daß
max |G(x)| =
x∈K
|x|=1
max
b
x∈B1 (0)(K)
|G(x)| = ∥G∥B1 (0) = 1 = ∥G∥1
gilt. Daraus folgt aber die Behauptung wegen
max |f (x)| = max |F (x)| = max |F (cx)| = max |aG(x)| = |a| .
|x−a|=r
|x|=r
|x|=1
|x|=1
Corollar 6.5: Für jeden affinoiden Ball B ist (A(B), ∥ ∥B ) ein K-Banachraum mit
multiplikativer Norm ∥ ∥B .
Beweis: Lemma 6.4 und Satz 5.3.
Lemma 6.6: Sei B = Br (a) ein affinoider Ball und sei c ∈ K mit |c| = r; dann ist
∼
=
A(B) −→ A(B1 (0))
f 7−→ f (cx + a)
21
ein isometrischer Algebrenisomorphismus.
Beweis: Dies folgt aus Satz 5.4 angewendet auf g(X) := cX. Die Isometrie erkennt
man auch direkt, da
b −→ B(K)
b
B1 (0)(K)
x 7−→ cx + a
eine Bijektion ist.
Auf Grund dieses Tatsache gelten alle ringtheoretischen Sätze über A1 := A(B1 (0))
automatisch für alle A(B) zu affinoiden Bällen B.
Weierstrass’scher Divisionssatz 6.7: Sei 0 ̸= f (x) =
∑
an xn ∈ A1 , und sei
n≥0
d ≥ 0 der größte Index mit ∥f ∥1 = |ad |; für jedes g ∈ A1 existieren eindeutig
bestimmte Elemente q ∈ A1 und R ∈ K[x] vom Grade < d mit
g = qf + R ;
dabei gilt ∥g∥1 = max(∥qf ∥1 , ∥R∥1 ).
Beweis: Existenz: Mittels Skalierung (der Fall g = 0 ist trivial) können wir ∥f ∥1 =
∥g∥1 = 1 annehmen. Dann ist f mod m ein Polynom vom Grade d. Genauer existiert
ein c ∈ K × mit max |an | = |c| =: r < 1. Der Ball n := Br (0) ist ein in m enthaltenes
n>d
Ideal von o. Ersichtlich ist f mod n ein Polynom vom Grade d, dessen höchster
Koeffizient eine Einheit in o/n ist; somit ist es im Ring o/n[x] zur Polynomdivision
geeignet. Dies ausnutzend werden wir Folgen (gi )i≥0 , (qi )i≥0 in A1 und (Ri )i≥0 in
K[x] mit folgenden Eigenschaften konstruieren:
g0 = g, gi+1 = gi − qi f − Ri ,
deg(Ri ) < d,
max(∥gi ∥1 , ∥qi ∥1 , ∥Ri ∥1 ) ≤ ri .
∑
∑
Ri in K[x] mit deg(R) < d und
qi in A1 und R :=
Dann existieren q :=
i≥0
i≥0
g = g0 =
∑
i≥0
(gi − gi+1 ) =
∑
(qi f + Ri ) = qf + R .
i≥0
Außerdem gilt max(∥q∥1 , ∥R∥1 ) ≤ 1 = ∥g∥1 per Konstruktion. Die umgekehrte
Ungleichung ∥g∥1 ≤ max(∥qf ∥1 , ∥R∥1 ) = max(∥q∥1 , ∥R∥1 ) ist klar.
Wir nehmen an, qi−1 , Ri−1 und gi seien schon konstruiert. Durch Polynomdivision
finden wir ein q̃i ∈ A1 mit ∥q̃i ∥1 ≤ 1 und ein R̃i ∈ o[x] vom Grade < d mit
c−i gi ≡ q̃i f + R̃i mod n .
Dann gilt also ∥c−i gi − q̃i f − R̃i ∥1 ≤ r. Wir setzen qi := ci q̃i , Ri := ci R̃i und
gi+1 := gi − qi f − Ri = ci (c−i gi − q̃i f − R̃i ).
Eindeutigkeit: Sei 0 = qf + R mit q ∈ A1 und R ∈ K[x] vom Grade < d. Wäre
R ̸= 0, so könnten wir durch Skalierung ∥R∥1 = ∥q∥1 = 1 annehmen. Das würde
qf ≡ −R ̸≡ 0 mod m
22
bedeuten, was aus Gradgründen unmöglich ist. Also ist R = 0 und qf = 0. Wegen
∥q∥1 · ∥f ∥1 = ∥qf ∥1 = 0 und f ̸= 0 ist dann auch q = 0.
Weierstrass’scher Vorbereitungssatz 6.8: Seien f und d wie im letzten Satz;
dann existieren genau ein normiertes Polynom P ∈ o[x] vom Grade d und genau
ein u ∈ A×
1 , so daß
f = uP .
Beweis: Wir wenden den Divisionssatz auf xd an und erhalten
xd = qf + R
mit R ∈ o[x] vom Grade < d. Mit P := xd − R ergibt sich
qf = P .
Eine nochmalige Anwendung des Divisionssatzes führt zu
f = uP + R0
mit R0 ∈ K[x] vom Grade < d. Einsetzen ergibt f = uqf + R0 bzw. 0 = (uq − 1)f +
R0 . Aus der Eindeutigkeit der Division folgt schließlich R0 = 0 und uq = 1.
Satz 6.9: Sei B ein affinoider Ball; dann gilt:
i. Jedes 0 ̸= f ∈ A(B) besitzt in jeder Erweiterung L/K nur endlich viele Nullstellen, und diese sind algebraisch über K;
ii. A(B) ist ein Hauptidealring; jedes Ideal wird von einem Polynom erzeugt;
iii. für ein f ∈ A(B) sind äquivalent:
a. f ∈ A(B)× ,
b
b. f besitzt keine Nullstelle in B(K),
b
c. es existiert ein r ∈ |K × | mit |f (x)| = r für alle x ∈ B(K).
Beweis: Nach Lemma 6.6 genügt es, den Ring A1 zu behandeln. i. Dies folgt unmittelbar aus dem Vorbereitungssatz. ii. Wegen der Multiplikativität von ∥ ∥1 ist A1
ein Integritätsbereich. Das Weitere folgt ebenfalls aus dem Vorbereitungssatz und
der Tatsache, daß K[x] ein Hauptidealring ist. iii. Die Implikation von a. nach b.
ist trivial. Die Umkehrung folgt aus dem Vorbereitungssatz. Dazu beachte man, daß
die Nullstellen eines normierten Polynoms über o alle einen Betrag ≤ 1 haben. Aus
c. folgt natürlich b. und damit a. Betrachte also umgekehrt ein f ∈ A(B)× . Wegen
der Multiplikativität von ∥ ∥B gilt ∥ f1 ∥B = ∥f ∥−1
B und damit
1
1
sup | (x)| = ( sup |f (x)|)−1 = inf
.
|x|≤1 |f (x)|
|x|≤1 f
|x|≤1
b
Das bedeutet natürlich, daß |f (x)| konstant ist auf B1 (0)(K).
23
§7 Das Wachstum analytischer Funktionen
Sei B − = Br− (a) ein affinoider offener Ball. Zu jedem 0 < ε < r haben wir auf Grund
von Satz 5.3 die multiplikative Norm
∼
=
⊆
∥ ∥ε
| |a (ε) : A(B − ) −→ Aε (a) −→ Fε (K) −→ R≥0
auf A(B − ). Für |b − a| ≤ ε ist Aε (b) = Aε (a) und wegen Corollar 5.5 gilt
| |b (ε) = | |a (ε) .
Die Einschränkung von | |a (ε) auf A(B) erfüllt die Ungleichung
| |a (ε)|A(B) ≤ ∥ ∥B .
Lemma 7.1: Sei char(K) = 0; dann gilt
( )i
d
|
f |a (ε) ≤ ε−i · |i!| · |f |a (ε) .
dx
∑
an (x − a)n auf Bε (a). Dann ist |f |a (ε) = max |an |εn . Die
Beweis: Sei f (x) =
n≥0
n≥0
behauptete Ungleichung folgt damit sofort aus
(( ) )
i
∑ (n)
d
f (x) = i! ·
an (x − a)n−1 .
dx
i
n≥i
Für ein festes 0 ̸= f ∈ A(B − ) ist
|f |a (.) : (0, r) −→ R>0
ersichtlich eine monoton steigende Funktion in ε.
Lemma 7.2: Sei L/K eine Erweiterung, und sei 0 < ε < r mit ε ∈ |L|; dann gilt
|f |a (ε) = max |f (x)| .
b
x∈L
|x−a|=ε
Beweis: Das folgt sofort aus dem Maximumprinzip 6.4 mit L als Grundkörper.
Aus diesen Gründen beschreibt die Funktion |f |a (.) das Wachstum von f . Es ist
allerdings zweckmäßiger, die durch das kommutative Diagramm
(0, r)
|f |a (.)
O
/ R>0
exp
(−∞, log r)
log
v(f )a (.)
24
/R
definierte Funktion v(f )a (.) zu betrachten.
Satz 7.3: Für 0 ̸= f ∈ A(B − ) gilt:
i. Die Funktion v(f )a (.) ist stetig, stückweise linear und konvex;
b von f mit t ≤ log |x−a| ≤
ii. für t1 ≤ t2 < log r ist die Anzahl der Nullstellen x ∈ K
1
t2 (und gezählt mit Multiplizitäten) gleich
rechtseitige Steigung von v(f )a in t2 − linkseitige Steigung von v(f )a in t1 .
Beweis: (Auf Grund des Vorbereitungssatzes 6.8 ist die Multiplizität einer Nullstelle
von f in naheliegender Weise definiert.) Mit einem zu Lemma 6.6 analogen Argument
genügt es, den Fall B − = B1− (0) zu betrachten (es gilt nämlich v(f )a (t) = v(f (cx +
b können wir K außerdem als algebraisch
a)) (t−log r)). Durch Übergang von K zu K
0
abgeschlossen annehmen. Dann gibt es eine Folge 0 < r1 < . . . < rj < . . . < 1 in
|K|, welche gegen 1 konvergiert. Es genügt offensichtlich, die Behauptung für alle
Einschränkungen f |Brj (0) zu beweisen. Wie eben reduziert sich das aber auf den
Fall f ∈ A(B1 (0)) = A1 . Nach dem Vorbereitungssatz 6.8 ist
f = uP
mit u ∈ A×
1 und P ∈ o[x] normiert .
Nach Satz 6.9.iii und Lemma 7.2 ist v(u)0 (.) konstant. Wegen v(f )0 = v(u)0 + v(P )0
genügt es also, die Behauptung für P zu beweisen. Da K algebraisch abgeschlossen ist, reduziert die gleiche Additivitätseigenschaft uns weiter auf den Fall eines
einzelnen Linearfaktors x − b mit b ∈ o. Da rechnet man nach, daß
v(x − b)0 (t) = max(t, log |b|)
gilt.
Corollar 7.4: (Schwarzsche Ungleichung)
Sei 0 ̸= f ∈ A(B − ), seien 0 < ε1 < ε2 < r und bezeichne λ die rechtseitige Steigung
b
von v(f ) in log ε und N die Anzahl der Nullstellen (mit Multiplizitäten) x ∈ K
a
1
von f mit ε1 < |x − a| < ε2 ; dann gilt
( )λ+N
( )λ
ε2
ε2
· |f |a (ε1 ) ≤ |f |a (ε2 ) ≤
· |f |a (ε1 )
ε1
ε1
und
b .
λ = Anzahl der N ullstellen von f in Bε1 (a)(K)
§8 Fredholmoperatoren
Definition: Sei f : V −→ W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Sind ker(f ) und coker(f ) endlich dimensional, so sagt man, daß f endlichen
Index
ind(f ) := dim ker(f ) − dim coker(f )
25
hat.
Lemma 8.1: Sei
0
/ V1
0
/ V2
f1
/ W1
/ V3
f2
/ W2
/0
f3
/ W3
/0
ein kommutatives Diagramm von linearen Abbildungen mit exakten Zeilen. Haben
zwei der Abbildungen f1 , f2 , f3 endlichen Index, so auch die dritte, und es gilt
ind(f2 ) = ind(f1 ) + ind(f3 ) .
Beweis: Das ist eine einfache Folgerung aus dem Schlangenlemma.
Lemma 8.2: Seien g : U −→ V und f : V −→ W lineare Abbildungen. Haben zwei
der Abbildungen g, f, f ◦ g endlichen Index, so auch die dritte, und es gilt
ind(f ◦ g) = ind(f ) + ind(g) .
Beweis: Wende Lemma 8.1 an auf das Diagramm
0
/U
(idU ,g)
g
0
/V
(f,idV )
g−idV
/U ⊕V
f ◦g⊕idV
/W ⊕V
idW −f
/V
/0
f
/W
/0 .
Lemma 8.3: Für eine lineare Abbildung f : V −→ W sind äquivalent:
(a) f ist injektiv und hat endlichen Index;
(b) f besitzt ein Linksinverses f˜, welches endlichen Index hat.
In diesem Fall gilt ind(f˜) = −ind(f ).
Beweis: Es gelte zunächst (a). Wir wählen einen Unterraum W0 ⊆ W , so daß W =
im(f ) ⊕ W0 . Und wir definieren die lineare Abbildung f˜ : W −→ V durch f˜|W0 := 0
und f˜|im(f ) := f −1 . Ersichtlich ist f˜ linksinvers zu f . Außerdem ist f˜ surjektiv mit
ker(f˜) = W0 . Also gilt
ind(f˜) = dim W0 = dim coker(f ) = ind(f ) .
Nun gelte umgekehrt (b). Aus der Identität f˜ ◦ f = idV folgt sofort, daß f injektiv
ist. Weiter wende Lemma 8.2 auf f, f˜ und f˜ ◦ f = idV an.
Ohne Beweis sei folgender fundamentaler Satz aus der Funktionalanalysis angegeben.
Satz vom offenen Operator: Jede stetige lineare Surjektion f : V −→ W zwischen Banachräumen (bzw. allgemeiner Frécheträumen) ist offen.
26
Lemma 8.4: Sei (V, ∥ ∥) ein K-Banachraum und V = V0 ⊕ V1 eine Zerlegung
in Untervektorräume, wobei V0 abgeschlossen und V1 endlich dimensional ist; dann
existiert eine Konstante c > 0, so daß für alle v = v0 + v1 in V gilt
max(∥v0 ∥, ∥v1 ∥) ≤ c · ∥v∥ .
Beweis: Die mit der jeweiligen Einschränkung von ∥ ∥ normierten Vektorräume V0
und V1 sind wiederum Banachräume – ersterer wegen seiner Abgeschlossenheit und
letzterer wegen seiner endlichen Dimension und Lemma 1.6. Also ist V0 ⊕ V1 mit
der Norm ∥(v0 , v1 )∥′ := max(∥v0 ∥, ∥v1 ∥) ein Banachraum. Wegen der Dreiecksungleichung für ∥ ∥ und Lemma 1.5 ist dann
V0 ⊕ V1 −→ V
(v0 , v1 ) 7−→ v0 + v1
eine stetige lineare Bijektion zwischen Banachräumen und damit nach dem Satz vom
offenen Operator ein Homöomorphismus. Die Konstante in der Behauptung erhalten
wir nun, indem wir Lemma 1.5 auf die stetige Umkehrabbildung anwenden.
Satz 8.5: Sei f : V −→ W eine stetige lineare Abbildung zwischen Banachräumen
(bzw. allgemeiner Frécheträumen). Ist coker(f ) endlich dimensional, so ist der Untervektorraum im(f ) in W abgeschlossen.
Beweis: Wir wählen einen Untervektorraum W0 ⊆ W mit W = im(f ) ⊕ W0 . Dann
ist V × W0 bezüglich der Norm ∥(v, w0 )∥′ := max(∥v∥, ∥w0 ∥) ein Banachraum. Die
lineare Abbildung
F : V × W0 −→ W
(v, w0 ) 7−→ f (v) + w0
ist stetig und surjektiv; nach dem Satz vom offenen Operator also offen. Folglich ist
F (V × W0 \{0}) offen in W . Das zugehörige abgeschlossene Komplement ist gleich
F (V × {0}) = im(f ).
In der Situation des obigen Satzes ist also der endlich dimensionale Vektorraum
coker(f ) = W/im(f ) versehen mit der Quotiententopologie hausdorffsch.
Definition: Ein stetiger linearer Endomorphismus f : V −→ V eines Banachraumes (bzw. allgemeiner eines Fréchetraumes) heißt Fredholmoperator, wenn er
endlichen Index hat.
An dieser Stelle holen wir die Definition der Operatornorm einer stetigen linearen
Abbildung f : V −→ W zwischen zwei normierten Vektorräumen nach:
{
}
∥f (v)∥
∥f ∥ := sup
: v ∈ V \{0}
∥v∥
{
= sup
∥f (v)∥
: v ∈ V mit 0 < ∥v∥ ≤ 1
∥v∥
27
}
.
Nach Lemma 1.5 existiert dieses Supremum.
Übungsaufgabe: 1) Der Vektorraum L(V, W ) aller stetigen linearen Abbildungen
von V nach W ist bezüglich der Operatornorm ein normierter Vektorraum. Ist W
ein Banachraum, so ist es auch L(V, W ).
2) Für g ∈ L(U, V ) und f ∈ L(V, W ) gilt ∥f ◦ g∥ ≤ ∥f ∥ · ∥g∥.
Bemerkung 8.6: Sei V ein Banachraum und f ∈ L(V, V ); ist ∥f ∥ < 1, so besitzt
idV + f ein Inverses
V ) und ∥(idV + f )−1 ∥ = 1.
∑ in L(V,
Beweis: Betrachte (−f )i .
i≥0
Satz 8.7: Seien V ̸= 0 ein Banachraum und f ∈ L(V, V ) ein injektiver Fréchetoperator; dann gilt:
i. f besitzt ein Linksinverses f˜ ∈ L(V, V );
ii. für jedes g ∈ L(V, V ) mit ∥g∥ < ∥f˜∥−1 gilt:
- f + g ist ein injektiver Fredholmoperator mit ind(f + g) = ind(f )
- f + g besitzt ein Linksinverses h ∈ L(V, V ) mit ∥h∥ ≤ ∥f˜∥.
Beweis: i. Nach Satz 8.5 ist im(f ) abgeschlossen in V und damit selbst ein Banachraum. Der Satz vom offenen Operator impliziert dann, daß f : V −→ im(f )
ein Homöomorphismus und damit f −1 : im(f ) −→ V stetig ist. Wählen wir einen
Untervektorraum V0 ⊆ V mit V = im(f ) ⊕ V0 , so ist die Projektionsabbildung
pr : V = im(f ) ⊕ V0 −→ im(f )
stetig wegen Lemma 8.4 und damit f˜ := f −1 ◦ pr ein stetiges Linksinverses zu f .
ii. Wir schreiben
f + g = (idV + g ◦ f˜) ◦ f .
Nach Annahme gilt ∥g ◦ f˜∥ ≤ ∥g∥ · ∥f˜∥ < 1. Deswegen (Bem. 8.6) besitzt idV + g ◦ f˜
ein stetiges Inverses, und
h := f˜ ◦ (idV + g ◦ f˜)−1
ist ein stetiges Linksinverses zu f + g mit ∥h∥ ≤ ∥f˜∥ · ∥(idV + g ◦ f˜)−1 ∥ = ∥f˜∥.
Insbesondere ist f + g injektiv. Da eine bijektive Abbildung natürlich den Index 0
hat, folgt aus Lemma 8.2, daß h den Index ind(h) = ind(f˜) und f + g nach Lemma
8.3 somit den Index
ind(f + g) = −ind(h) = −ind(f˜) = ind(f )
hat.
Satz 8.8: Sei
V
f
h
/W
g
V
k
/W
ein kommutatives Quadrat stetiger linearer Abbildungen zwischen Banachräumen
(bzw. allgemeiner Frécheträumen); dabei seien f und g Fredholmoperatoren, h sei
28
injektiv und k habe dichtes Bild; dann gilt:
i. ind(f ) ≤ ind(g);
ii. ist ind(f ) = ind(g), so induziert h bzw. k einen Isomorphismus ker(f ) ∼
= ker(g)
bzw. coker(f ) ∼
coker(g).
=
Beweis: Wir betrachten das kommutative Diagramm mit exakten Zeilen
0
/ ker(f )
h0
0
/ ker(g)
f
/V
h
/V
k
/W
g
/W
/ coker(f )
/0
k0
/ coker(g)
/0 .
Mit h ist auch seine Einschränkung h0 injektiv. Damit gilt
dim ker(f ) ≤ dim ker(g) .
Mit dem Bild von k in W ist auch im(k0 ) dicht in coker(g) bezüglich der Quotiententopologie. Nach Satz 8.5 ist die Quotiententopologie auf coker(g) aber hausdorffsch. Also ist der endlich dimensionale Untervektorraum im(k0 ) wegen Lemma
1.6 vollständig und damit abgeschlossen in coker(g). Es folgt die Surjektivität von
k0 , d. h.
dim coker(f ) ≥ dim coker(g) .
Beispiele: I) Sei B ein affinoider Ball. Für jedes Polynom 0 ̸= Q ∈ K[x] ist die
Multiplikation mit Q
Q·
A(B) −→ A(B)
ein injektiver Fredholmoperator mit
b .
−ind(Q·) = Anzahl der Nullstellen (mit Multiplizität) von Q in B(K)
Beweis: Wegen Lemma 6.6 brauchen wir nur den Fall B = B1 (0) zu betrachten.
Außerdem können wir Q sicherlich als normiert voraussetzen. Nach dem Vorbereitungssatz 6.8 besitzt jede Funktion ̸= 0 in A(B) höchstens endlich viele Nullstellen.
Also ist der betrachtete Operator injektiv. Wegen Lemma 8.2 können wir Q als
b so folgt aus Satz 6.9,
irreduzibel annehmen. Besitzt Q keine Nullstellen in B(K),
×
daß Q ∈ A(B) ; also ist ind(Q·) = 0. Betrachten wir den anderen Fall. Wegen der
Irreduzibilität von Q und Satz 1.7 liegen dann sämtliche Nullstellen von Q (sie sind
b Einerseits ist also
konjugiert über K) in B (0)(K).
1
dim coker(Q·) = deg(Q)
zu zeigen. Andererseits ist Q nun aber ein normiertes Polynom in o[x]. Die im
Divisionssatz 6.7 auftretende Zahl d ist deswegen gleich dem Grad von Q. Es folgt
nun aus dem Divisionssatz, daß die natürliche Abbildung
∼
=
K[x]/QK[x] −→ A1 /QA1 = coker(Q·)
29
bijektiv ist. Bekanntermaßen ist die linke Seite eine Körpererweiterung von K vom
Grade deg(Q).
II) Sei K algebraisch abgeschlossen, 0 ̸= Q ∈ K[x] und B − ein affinoider offener
Q·
Ball. Dann ist A(B − ) −→ A(B − ) ebenfalls ein injektiver Fredholmoperator mit
−ind(Q·) = Anzahl der Nullstellen von Q in B − .
Beweis: Sei etwa B − = Br− (a). Wähle eine Folge r1 < . . . < rj < . . . < r in |K × |,
welche gegen r konvergiert. Die Multiplikation mit Q ist auf allen Arj (a) und damit
auf A(B − ) injektiv. Wegen Lemma 8.2 können wir annehmen, daß Q(x) = x − β
ein Linearfaktor ist. Für β ̸∈ B − ist Q eine Einheit in allen Arj (a) und damit auch
in A(B − ). Für β ∈ B − induziert f 7−→ f (β) einen Isomorphismus
A(B − )/QA(B − ) = A(Br− (β))/(x − β)A(Br− (β)) ∼
=K .
Kap. II
Differentialgleichungen
In diesem Kapitel ist K ein fixierter nicht-archimedischer Körper der Charakteristik
0. Wir fixieren außerdem einen affinoiden Ball B = Br (a) und Polynome P ̸= 0 und
Q in K[x]. Ziel dieses Kapitels ist das Studium des Differentialoperators
D = DP,Q : A(B) −→ A(B)
df
f 7−→ P ·
−Q·f .
dx
§9 Generische Lösungen
Sei L/K eine Erweiterung von K.
Erinnerung: Die formalen Potenzreihen f (X) =
∑
cn X n mit Koeffizienten cn ∈ L
n≥0
bilden einen Ring L[[X]]. Die Reihe f (X) ist eine Einheit in L[[X]] genau dann, wenn
c0 = f (0) ̸= 0.
Definition:
Der Konvergenzradius 0 ≤ εf ≤ ∞ der formalen Potenzreihe f (X) =
∑
n
cn X ∈ L[[X]] ist
n≥0
εf := sup{ε ≥ 0 : lim |cn |εn = 0} .
n−→∞
30
Lemma 9.1: i. εf = sup{ε ≥ 0 : sup |cn |εn < ∞};
n≥0
1
n
−1
ii. εf = ( lim |cn | ) .
n−→∞
Beweis: i. Bezeichne ε̃f die rechte Seite der Behauptung. Trivialerweise gilt εf ≤ ε̃f .
Sei also ε ≥ 0 so, daß {|cn |εn }n≥0 beschränkt ist. Für jedes 0 ≤ ε′ < ε gilt dann
lim |cn |ε′n = 0. Damit ist ε′ ≤ εf , folglich ε ≤ εf und somit ε̃f ≤ εf .
n−→∞
ii. Bezeichne rf die rechte Seite der Behauptung. Für ε > rf gilt
1
1
lim sup(|ck |εk ) k = ε · lim sup |ck | k =
n−→∞ k≥n
n−→∞ k≥n
ε
>1.
rf
1
Folglich sind die Glieder der monoton fallenden Folge (sup(|ck |εk ) k )n≥0 sämtlich > 1
k≥n
und damit |ck |εk > 1 für unendlich viele k. Also ist (|cn |εn )n≥0 keine Nullfolge, was
ε ≥ εf und folglich εf ≤ rf bedeutet. Sei nun andererseits 0 ≤ ε < rf . Dann ergibt
sich umgekehrt, daß ein N ∈ N existiert mit
1
sup (|ck |εk ) k < 1 .
k≥N
Folglich ist die Folge (|cn |εn )n≥0 beschränkt, was wegen i. aber ε ≤ εf und somit
εf ≥ rf bedeutet.
Wir fixieren einen Punkt y ∈ L mit P (y) ̸= 0. Offensichtlich macht D auch Sinn
als Operator auf den formalen Potenzreihen L[[X − y]]. Wann genügt ein 0 ̸= u ∈
L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0?
Die formale Taylorformel besagt
∑ 1 (( d )n )
u=
u (y) · (X − y)n .
n!
dx
n≥0
Wegen P (y) ̸= 0 liegt die rationale Funktion R1 :=
D(u) = 0 ist also gleichbedeutend mit
Q
P
in L[[X − y]]. Die Gleichung
du
= R1 · u .
dX
Wir definieren rekursiv rationale Funktionen Rn ∈ K(X) für n ≥ 0 durch
)
(
1
dRn
R0 := 1, Rn+1 :=
+ Rn · R1 .
n + 1 dX
Kein Rn besitzt einen Pol in y. Aus der Gleichung D(u) = 0 folgt deswegen induktiv,
daß gilt
((
)n )
d
1
·
u = Rn · u
n!
dX
für alle n ≥ 0. Damit haben wir folgendes bewiesen.
31
Lemma 9.2: Die Lösungen in L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0 sind genau die
skalaren Vielfachen der Potenzreihe
∑
uy :=
Rn (y) · (X − y)n .
n≥0
Übungsaufgabe: εuy > 0.
Demnach ist
ε(D, .) : {y ∈ L : P (y) ̸= 0} −→ (0, ∞]
1
y 7−→ εuy = ( lim |Rn (y)| n )−1
n−→∞
eine wichtige dem Differentialoperator zugeordnete Funktion. Es ist allerdings zweckmäßig, eine Modifikation dieser Funktion einzuführen. Wir bemerken zunächst, daß
wegen der Multiplikativität von |.|a (ε) die Zahl
|S|a (ε)
S
| |a (ε) :=
T
|T |a (ε)
für jedes ε > 0 und jede rationale Funktion TS ∈ K(X) wohldefiniert ist. Wir definieren nun die Konvergenzradiusfunktion des Differentialoperators D durch
ρa (D, .) : [0, ∞) −→ [0, ∞)
1
ε 7−→ min(ε, ( lim |Rn |a (ε) n )−1 ) .
n−→∞
Lemma 9.3: Sei I ⊆ R ein Intervall, und sei {ϕk : I −→ R}k∈N eine Familie von
stetigen, stückweise linearen Funktionen, deren sämtliche Steigungen eine beschränkte Menge bilden; dann ist ϕ(t) := inf ϕk (t) eine stetige Funktion ϕ : I −→ [−∞, ∞).
k∈N
Beweis: Wir wählen eine Konstante C > 0, so daß sämtliche Steigungen der ϕk zwischen −C und C liegen. Für beliebige Punkte t1 < t2 in I und beliebiges k ∈ N gilt
dann
ϕk (t1 ) − ϕk (t2 )
−C ≤
≤C .
t1 − t2
1. Fall: ϕ(t) > −∞ für alle t ∈ I. Für beliebiges t1 < t2 in I haben wir dann
ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )
ϕk (t1 ) − ϕ(t2 )
ϕk (t1 ) − ϕk (t2 ) ϕk (t2 ) − ϕ(t2 )
≥
=
+
t1 − t2
t1 − t2
t1 − t2
t1 − t2
≥ −C +
ϕk (t2 ) − ϕ(t2 )
t1 − t2
und
ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )
ϕ(t1 ) − ϕk (t2 )
ϕ(t1 ) − ϕk (t1 ) ϕk (t1 ) − ϕk (t2 )
≤
=
+
t1 − t2
t1 − t2
t1 − t2
t1 − t2
≤
ϕ(t1 ) − ϕk (t1 )
+C .
t1 − t2
32
Da k so gewählt werden kann, daß ϕk (t2 ) bzw. ϕk (t1 ) beliebig nahe bei ϕ(t2 ) bzw.
ϕ(t1 ) liegt, folgt
|ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ≤ C · |t1 − t2 | ,
was insbesondere die Stetigkeit von ϕ bedeutet.
2. Fall: ϕ(t0 ) = −∞ für ein t0 ∈ I. Zu jedem N ∈ N existiert dann ein k ∈ N mit
ϕk (t0 ) ≤ −N . Für jedes fixierte t ̸= t0 in I erhalten wir
ϕk (t) = ϕk (t) − ϕk (t0 ) + ϕk (t0 ) ≤ C · |t − t0 | − N .
Daraus folgt ϕ(t) = −∞.
Satz 9.4: Die Funktion ρa (D, .) ist stetig.
Beweis: Wegen 0 ≤ ρa (D, ε) ≤ ε für ε > 0 ist die Funktion natürlich stetig in 0. Wir
setzen
d := max(deg(P ) − 1, deg(Q)) .
Aus
P
n+1
Rn+1
1
=
n+1
(
)
d(P n Rn )
dP
n
n
P·
−n
· P Rn − P R1 P Rn
dX
dX
folgt induktiv, daß P n Rn ein Polynom vom Grade ≤ nd ist. Deswegen impliziert
Satz 7.3, daß die Steigungen der stetigen, stückweise linearen und konvexen Funktion
v(P n Rn )a zwischen 0 und nd liegen; dabei beachte man, daß die “Anfangssteigung”
von v(P n Rn )a gleich der Multiplizität von a als Nullstelle von P n Rn ist. Analog
liegen die Steigungen von v(P n )a zwischen 0 und n(d + 1). Folglich ist die Funktion
−1
log(|Rn |a n (exp(.))) auf R stetig und stückweise linear mit Steigungen zwischen −d
und d + 1. Aus Lemma 9.3 ergibt sich weiter, daß für jedes n ≥ 0 die Funktion
−1
inf log(|Rk |a k (exp(.))) auf R und damit die Funktion
k≥n
−1
ψn := inf |Rk |a k
k≥n
auf (0, ∞) stetig sind. Die Funktionenfolge (ψn )n≥0 ist monoton wachsend mit
ρa (D, .) = min(id, lim ψn ) = lim min(id, ψn ) .
n−→∞
n−→∞
Folglich ist ρa (D, .) stetig auf (0, ∞).
Im Folgenden sei B − := Br− (a).
b so gilt
Lemma 9.5: Hat P keine Nullstelle in B − (K),
ε(D, a) ≥ ρa (D, r) .
Beweis: Im Beweis von Satz 9.4 haben wir gesehen, daß Rn =
gilt. Also ist
|Qn (a)|
.
|Rn (a)| =
|P (a)|n
33
Qn
Pn
mit Qn ∈ K[X]
b besitzt, folgt
Trivialerweise gilt |Qn (a)| ≤ |Q|a (r). Da P keine Nullstelle in B − (K)
b daß die Funktion |P (.)| konstant ist auf
auch Satz 6.9.iii (für den Grundkörper K),
b mit Wert |P (a)|. Aus Lemma 7.2 folgt weiter, daß |P | (.) konstant ist auf
B − (K)
a
(0, r) mit Wert |P (a)|. Da die Funktion |P |a (.) nach Satz 7.3 stetig ist auf (0, ∞),
ergibt sich schließlich
|P |a (r) = |P (a)| .
Also erhalten wir
|Q|a (r)
= |Rn |a (r) .
|P |a (r)n
Lemma 9.6: Zu jedem ε > 0 existiert eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung
L/K und ein y ∈ L mit |y − a| = ε, so daß alle Punkte des offenen Balles Bε− (y)(L)
transzendent über K sind.
Beweis: Wir verwenden ohne Beweis die Tatsache, daß eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung L/K existiert mit |L| = R≥0 und so, daß der Restklassenkörper
b ist.
kL von L eine echte Erweiterung des Restklassenkörpers k von K
b Nach Wahl von L existiert ein y ∈ L mit |y − a| = ε. Jedes
1. Fall: Es gilt ε ̸∈ |K|.
|Rn (a)| ≤
b liegen.
x ∈ Bε− (y)(L) erfüllt |x − a| = ε und kann deswegen nicht in K
b mit |c| = ε. Nach Wahl von L existiert ein b ∈ L mit
2. Fall: Es existiert ein c ∈ K
|b| = 1 und so, daß das Bild b von b in kL nicht in k enthalten ist. Sei y ∈ L mit
|y − a − bc| < ε = |c| = |bc|. Dann ist |y − a| = |bc| = ε. Für jedes x ∈ Bε− (y)(L)
ist |x − a − bc| < ε = |c| und damit | x−a
− b| < 1. Also ist das Bild von x−a
in kL
c
c
b liegen.
gleich b und somit in k enthalten. Folglich kann x nicht in K
Ein Paar (L, y) wie im obigen Lemma heißt ein generischer Punkt des Balles Bε (a).
Natürlich gilt y ∈ Bε (a)(L). Ein Polynom 0 ̸= S ∈ K[X] kann keine Nullstellen in
Bε− (y)(L) haben (da alle Nullstellen algebraisch über K sind). Wie im Beweis von
Lemma 9.5 folgt daraus
|S|a (ε) = |S|y (ε) = |S(y)| .
Insbesondere gilt
|Rn |a (ε) = |Rn (y)|
für alle n ≥ 0, was die nachfolgende Aussage beweist.
Lemma 9.7: Sei ε > 0, und sei (L, y) ein generischer Punkt von Bε (a); dann gilt
ρa (D, ε) = min(ε, ε(D, y)) .
Satz 9.8: Ist ker(D|A(B − )) ̸= 0, so gilt:
i. ker(D|A(B − )) = K · v für ein v ∈ A(B − );
ii. jede Nullstelle von v (in einer beliebigen Erweiterung von K) ist auch eine Nullstelle von P ;
34
iii. ρa (D, r) = r .
Beweis: Wir fixieren ein 0 ̸= v ∈ ker(D|A(B − )). Sei (L, y) ein beliebiges Paar mit
y ∈ B − (L) und P (y) ̸= 0. Wir können v als eine Lösung von D(u) = 0 in L[[X − y]]
mit Konvergenzradius ≥ r auffassen. Nach Lemma 9.2 muß v = v(y) · uy gelten. Also
ist einerseits v(y) ̸= 0, und andererseits hat uy einen Konvergenzradius ε(D, y) ≥ r.
Im Spezialfall L = K ergibt sich somit
ker(D|A(B − )) = K · uy = K · v .
Ist hingegen (L, y) ein generischer Punkt von Bε (a) mit ε = |y −a| < r, so folgt dann
aus Lemma 9.7, daß ρa (D, ε) = ε. Die Stetigkeitsaussage des Satzes 9.4 impliziert
schließlich ρa (D, r) = r.
b so sind äquivalent:
Satz 9.9: Hat P keine Nullstelle in B − (K),
i. ker(D|A(B − )) ̸= 0;
ii. ker(D|A(B − )) = K · v für ein v ∈ A(B − )× ;
iii. ρa (D, r) = r.
Beweis: Die Implikation von i. nach iii. und die Äquivalenz von i. und ii. sind in
Satz 9.8 enthalten. Zu Letzterer ist nur noch zu bemerken, daß jedes v ∈ A(B − ),
b besitzt, notwendigerweise invertierbar ist. Wewelches keine Nullstelle in B − (K)
b × . Wegen v(a) ̸= 0 haben wir aber auch
gen Satz 6.9 gilt sicherlich v ∈ A(B − (K))
b ∩ K[[X − a]] = A(B − ). Es bleibt die
v ∈ K[[X − a]]× . Also ist v −1 ∈ A(B − (K))
Implikation von iii. nach i. zu zeigen. Auf Grund der zusätzlichen Voraussetzung
folgt mit Lemma 9.5 aus iii., daß ε(D, a) ≥ r. Damit liegt die Reihe ua aus Lemma
9.2 in ker(D|A(B − )) und ist ̸= 0 wegen ua (a) = 1.
Satz 9.10: ρa (DP,Q , .) = ρa (DP,−Q , .).
Beweis: Sei ε > 0 und sei (L, y) ein generischer Punkt von Bε (a). Die Lösung
(P,Q)
∈ L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0 aus Lemma 9.2 hat den Konvergenzrauy
(P,Q)
(P,Q)
dius ε(DP,Q , y). Wegen uy (y) = 1 existiert (uy )−1 ∈ L[[X − y]]. Man rechnet
sofort nach, daß
DP,−Q ((u(P,Q)
)−1 ) = 0
y
gilt. Aus der Eindeutigkeitsaussage in Lemma 9.2 folgt dann
(u(P,Q)
)−1 = u(P,−Q)
.
y
y
(P,Q)
Nach Lemma 9.7 ist ρ := ρa (DP,Q , ε) = min(ε, ε(DP,Q , y)). Mit P hat auch uy
keine Nullstellen in Bρ− (y)(L) (vgl. den Beweis von Satz 9.8). Aus Satz 6.9 (ange(P,Q)
wendet auf L als Grundkörper) ergibt sich deswegen, daß uy
in A(Bρ− (y)(L))
(P,−Q)
invertierbar ist. Somit genügt der Konvergenzradius von uy
der Ungleichung
ε(DP,−Q , y) ≥ ρ = ρa (DP,Q , ε) .
Nocheinmal mit Lemma 9.7 folgern wir daraus, daß
ρa (DP,−Q , ε) = min(ε, ε(DP,−Q , y)) ≥ ρa (DP,Q , ε) .
35
Aus Symmetriegründen muß dann aber schon Gleichheit gelten.
Lemma 9.11: Sei ε > 0, und sei (L, y) ein generischer Punkt von Bε (a); dann gilt
ρa (D, ε) ≤ |Rn (y)|− n = |Rn |a (ε)− n
1
1
f ür alle n ≥ 1 .
Beweis: Wir kürzen ρ := ρa (D, ε) ab und betrachten die Lösung
∑
uy =
Rn (y)(X − y)n
n≥0
in L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0 aus Lemma 9.2. Ganz analog wie im letzten Beweis stellen wir fest, daß uy keine Nullstellen in Bρ− (y)(L) besitzt, und daß
deswegen aus Satz 6.9
|uy (x)| = |uy (y)| = 1 für alle x ∈ Bρ− (y)(L)
folgt. Das Maximumprinzip 6.4 impliziert dann
max |Rn (y)| · δ n = 1
n≥0
für alle 0 < δ < ρ, also δ n ≤ |Rn (y)|−1 und damit ρ ≤ |Rn (y)|− n . Die Identität
|Rn (y)| = |Rn |a (ε) hatten wir schon vor Lemma 9.7 diskutiert.
1
§10 Der Fall ρa (D, r) < r
Bemerkung 10.1: Die rationale Funktion 0 ̸=
dann besitzt der Multiplikationsoperator
S
S
T
b
∈ K(X) habe keinen Pol in B(K);
·
T
A(B)
A(B) −→
S
−1
ein stetiges Linksinverses der Operatornorm ∥ TS ∥−1
B = | T |a (r) .
b besitzt. Nach Satz
Beweis: Wir können annehmen, daß T keine Nullstellen in B(K)
6.9 ist dann T ∈ A(B)× , also TS ∈ A(B), und damit der Multiplikationsoperator TS ·
wohldefiniert und injektiv auf A(B). Wegen des Maximumprinzips 6.4 und Corollar
6.5 gilt
∥
S
S
S
· f ∥B = ∥ ∥B · ∥f ∥B = | |a (r) · ∥f ∥B
T
T
T
und damit
für alle f ∈ A(B)
S
S
S
· ∥ = ∥ ∥B = | |a (r) .
T
T
T
Ist nun ı ein beliebiges stetiges Linksinverses zu TS ·, so haben wir wegen ∥ı∥ · ∥ TS · ∥ ≥
∥idA(B) ∥ = 1 jedenfalls
S
.
∥ı∥ ≥ ∥ ∥−1
T B
∥
36
Also genügt es, ein stetiges Linksinverses ı mit ∥ı∥ ≤ ∥ TS ∥−1
B zu konstruieren. Wegen
Lemma 6.6 genügt es außerdem, dieses im Spezialfall B = B1 (0) zu tun. Aus dem
Divisionssatz 6.7 erhalten wir dann für jedes f ∈ A1 eindeutig bestimmte q(f ) ∈ A1
und R(f ) ∈ K[X] vom Grade < d mit f = q(f )·S +R(f ) und ∥f ∥B = max(∥q(f )∥B ·
∥S∥B , ∥R(f )∥B ). Also ist
ı0 : A1 −→ A1
f 7−→ q(f )
linksinvers zu S· mit Operatornorm ≤ ∥S∥−1
B . Schließlich ist ı := ı0 ◦ (T ·) linksinvers
zu TS · mit Operatornorm
S −1
≤ ∥S∥−1
B · ∥T ∥B = ∥ ∥B .
T
In diesem Abschnitt setzen wir stets ρa (D, r) < r voraus! Die zu dem Differentialoperator D∗ := DP,−Q gehörigen rationalen Funktionen Rn∗ ∈ K(X) sind rekursiv
gegeben durch
( ∗
)
dRn
Q
1
∗
∗
∗
∗
∗
R0 := 1, R1 := − , Rn+1 :=
+ Rn · R1 .
P
n + 1 dX
Im Beweis von Satz 9.4 haben wir gesehen, daß gilt
Rn∗ =
Q∗n
Pn
mit Q∗n ∈ K[X] .
Für jedes m ∈ N betrachten wir den Differentialoperator
(
)i
m
∑
d
1 i ∗
P Qm−i ·
Dm :=
i!
dX
i=0
auf A(B). Ersichtlich ist D1 = D = DP,Q . Allgemein gilt
(∗)
Dm =
P m · (P −1 D)m
.
m!
Dies folgt per Induktion aus der Rechnung
( m
(
)i )
d
(P −1 · D)m+1
P −1 · D ∑ 1 ∗
·
=
R
(m + 1)!
m+1
i! m−i
dX
i=0
37
[ m
(
(
)i
(
)i+1
(
)i )]
∗
∑ 1 dRm−i
1
d
d
d
∗
∗
=
·
+ Rm−i
·
+ R1∗ Rm−i
·
m + 1 i=0 i!
dX
dX
dX
dX
[ m
(
(
)i
(
)i+1 )]
∑1
1
d
d
∗
∗
=
(m + 1 − i) Rm+1−i ·
+ Rm−i ·
m + 1 i=0 i!
dX
dX
[m+1
(
(
)i m+1
)i ]
∑ m+1−i
∑
d
d
1
1
∗
∗
·
·
Rm+1−i
+
Rm+1−i
=
m + 1 i=0
i!
dX
(i
−
1)!
dX
i=1
[m+1
(
)i m+1
(
)i ]
∑ m+1−i
∑ i
1
d
d
∗
∗
=
Rm+1−i
·
+
Rm+1−i
·
m + 1 i=0
i!
dX
i!
dX
i=0
=
m+1
∑
i=0
= P
1 ∗
R
·
i! m+1−i
−(m+1)
·
m+1
∑
i=0
(
d
dX
)i
1 i ∗
P Qm+1−i ·
i!
(
d
dX
)i
= P −(m+1) Dm+1 .
Im Beweis des nachfolgenden Lemmas werden wir sehen, daß auf Grund unserer
Voraussetzung Rn∗ ̸= 0 und damit Q∗n ̸= 0 gilt für alle n ≥ 1.
Lemma 10.2: Im Falle ρa (D, r) < r haben wir:
i. D ist ein injektiver Fredholmoperator;
∗
ii. es existiert ein m ≥ 1 mit |Rm
|a (r)rm > max |Ri∗ |a (r)ri ;
0≤i<m
iii. für jedes m wie in ii. gilt
ind(D|A(B)) = −
1
b .
· (Anzahl der Nullstellen von Q∗m in B(K))
m
Beweis: Wegen Satz 9.10 ist ρa (D∗ , r) = ρa (D, r) < r und somit
( lim |Rn∗ |a (r) n )−1 < r .
1
n−→∞
∗
= 0 auch Rn∗ = 0 für alle n ≥ m gelten würde, ergibt sich einerseits
Da mit Rm
Rn∗ ̸= 0 für alle n ≥ 0 .
Andererseits folgt
sup |Rn∗ |a (r)rn = ∞ .
n≥0
38
Also muß es ein m ≥ 1 mit der in ii. behaupteten Eigenschaft geben, und wir halten
( d )i
ein solches m fest. Wie in Lemma 7.1 sieht man, daß der Differentialoperator i!1 dX
auf A(B) eine Operatornorm ≤ r−i besitzt. Also ist
(
)i
m
∑
1 i ∗
d
∗
P Qm−i ·
∥
∥ ≤ max |P m Rm−i
|a (r) · r−i
1≤i≤m
i!
dX
i=1
max ri−m · |Ri∗ |a (r) · |P m |a (r)
=
0≤i<m
∗
< |Rm
|a (r) · |P m |a (r) = |Q∗m |a (r) .
Der Operator Dm auf A(B) zerlegt sich folglich in
Dm = Q∗m + D̃m
mit ∥D̃m ∥ < ∥Q∗m · ∥. Wegen Q∗m ̸= 0 ist Q∗m · nach §8 Beispiel I) ein injektiver
Fredholmoperator mit
b .
−ind(Q∗m ·) = Anzahl der Nullstellen von Q∗m in B(K)
Wegen Bemerkung 10.1 können wir nun Satz 8.7 anwenden und erhalten jedenfalls,
daß Dm ein injektiver Fredholmoperator ist mit
b .
−ind(Dm ) = −ind(Q∗m ·) = Anzahl der Nullstellen von Q∗m in B(K)
Auf Grund der Voraussetzung ρa (D, r) < r und Satz 9.8 muß D injektiv sein. Aus
(∗) folgt
m · Dm = P m−1 DP −(m−1) ◦ Dm−1
und P m−1 DP −(m−1) = DP,(m−1) dP +Q .
dX
Da Dm schon als Fredholmoperator erkannt ist, ist der Cokern von Dm und damit auch der Cokern von P m−1 DP −(m−1) endlich dimensional. Andererseits hat
der Kern von DP,(m−1) dP +Q wegen Lemma 9.2 höchstens die Dimension 1. Also
dX
ist P m−1 DP −(m−1) ein Fredholmoperator, wobei offensichtlich
ind(P m−1 DP −(m−1) ) = ind(D|P −(m−1) A(B))
gilt. Nach §8 Beispiel I) ist A(B)/P A(B) endlich dimensional. In dem kommutativen
Diagramm
0
/ A(B)
D
0
/ A(B)
⊆
/ P −(m−1) A(B)
D
⊆
/ P −(m−1) A(B)
/ P −(m−1) A(B)/A(B)
/0
/ P −(m−1) A(B)/A(B)
/0
hat also die rechte senkrechte Abbildung den Index 0. Also folgt aus Lemma 8.1,
daß
ind(P m−1 DP −(m−1) ) = ind(D|P −(m−1) A(B)) = ind(D)
39
gilt. Wegen Lemma 8.2 ist damit auch Dm−1 ein Fredholmoperator mit
ind(D) + ind(Dm−1 ) = ind(Dm ) .
Daraus ergibt sich induktiv, daß D ein Fredholmoperator ist mit
b .
m · ind(D) = ind(Dm ) = − Anzahl der Nullstellen von Q∗m in B(K)
Lemma 10.3: Für i = 0, 1 seien ri ∈ |K × | mit ρa (D, ri ) < ri und
j := ind(D|Ar0 (a)) = ind(D|Ar1 (a)) ;
b : min(r , r ) < |x − a| < max(r , r )};
außerdem habe P keine Nullstellen in {x ∈ K
0 1
0 1
b
bezeichnet ℓ die Anzahl der Nullstellen von P in B
(a)(K), so gilt
min(r0 ,r1 )
−(j+ℓ)
ρa (D, r0 )r0
−(j+ℓ)
= ρa (D, r1 )r1
.
Beweis: Wegen Lemma 10.2 ist j jedenfalls definiert. Aus Symmetriegründen genügt
es, die Ungleichung
−(j+ℓ)
−(j+ℓ)
ρa (D, r0 )r0
≥ ρa (D, r1 )r1
zu beweisen. Dazu führen wir die Annahme
(
ρa (D, r0 ) < ρa (D, r1 )
r0
r1
)j+ℓ
=: ρ
zum Widerspruch. Mit Satz 9.10 gilt dann
ρa (D∗ , r0 ) = ρa (D, r0 ) < min(r0 , ρ) =: s
und somit
sup |Rn∗ |a (r0 )sn = ∞ .
n≥0
Also existiert ein m ≥ 1 mit
∗
|Rm
|a (r0 )sm > max |Ri∗ |a (r0 )si .
0≤i<m
Es folgt
∗
|a (r0 )ρm > max |Ri∗ |a (r0 )ρi ≥ 1
|Rm
0≤i<m
und
∗
|a (r0 )r0m > max |Ri∗ |a (r0 )r0i .
|Rm
0≤i<m
Nach Lemma 10.2 impliziert letztere Ungleichung, daß
b .
−mj = Anzahl der Nullstellen von Q∗m in Br0 (a)(K)
40
Erstere Ungleichung bedeutet
(
∗
|Rm
|a (r0 )ρa (D, r1 )m
r1
r0
)−m(j+ℓ)
∗
= |Rm
|a (r0 )ρm > 1 .
Aus der Schwarzschen Ungleichung 7.4 folgt
(
|Q∗m |a (r1 )
≥
|Q∗m |a (r0 )
r1
r0
)−mj
.
Für P m ergibt sich auf Grund unserer Voraussetzung genauer
(
|P |a (r1 ) = |P |a (r0 )
m
m
∗
|a (r1 )
|Rm
∗
|Rm
|a (r0 )
Wir erhalten
(
und damit
≥
r1
r0
r1
r0
)mℓ
.
)−m(j+ℓ)
∗
|Rm
|a (r1 )ρa (D, r1 )m > 1 .
Wegen Satz 9.10 ist einerseits ρa (D, r1 ) = ρa (D∗ , r1 ). Andererseits sei (L, y) ein
∗
∗
generischer Punkt von Br1 (a); dann gilt |Rm
|a (r1 ) = |Rm
(y)|. Also folgt
∗
|Rm
(y)|ρa (D∗ , r1 )m > 1 ,
was ein Widerspruch zu Lemma 9.11 (für D∗ ) ist.
Es ist zweckmäßig, die logarithmische Version der Konvergenzradiusfunktion
va (D, .) := log(ρa (D, exp(.))) : R −→ R
einzuführen. Sie ist natürlich stetig mit va (D, t) ≤ t. Wir schreiben d+ va (D, t) bzw.
d− va (D, t) für die rechts- bzw. linksseitige Ableitung von va (D, .) im Punkte t (falls
sie existiert).
Satz 10.4: Im Falle ρa (D, r) < r existiert die rechtsseitige Ableitung der Funktion
va (D, .) im Punkte log r und ist gleich
b .
d+ va (D, log r) = ind(D|A(B)) + (Anzahl der N ullstellen von P in B(K))
Beweis: Wähle ein m ≥ 1 wie in Lemma 10.2.ii. Auf Grund der Stetigkeit der
Funktionen ρa (D, .) (Satz 9.4) und |Rn∗ |a (.) (Satz 7.3) finden wir ein ε0 > 0, so daß
gilt:
- ρa (D, ρ) < ρ für alle ρ ∈ [r, r + ε0 ];
∗
|a (ρ)ρm > max |Ri∗ |a (ρ)ρi für alle ρ ∈ [r, r + ε0 ];
- |Rm
0≤i<m
41
b : r < |x − a| < r + ε };
- P hat keine Nullstellen in {x ∈ K
0
b
∗
- Q hat keine Nullstellen in {x ∈ K : r < |x − a| < r + ε }.
0
m
Betrachte zunächst ein r1 ∈ [r, r + ε0 ] ∩ |K|. Aus Lemma 10.2 folgt, daß D|Ar1 (a)
ein Fredholmoperator ist mit
ind(D|A1 (a)) = −
= −
1
b
· (Anzahl der Nullstellen von Q∗m in Br1 (a)(K))
m
1
b
· (Anzahl der Nullstellen von Q∗m in B(K))
m
= ind(D|A(B)) .
Also können wir Lemma 10.3 anwenden und erhalten
( r )k
1
ρa (D, r1 ) = ρa (D, r)
r
mit
b .
k := ind(D|A(B)) + (Anzahl der Nullstellen von P in B(K))
b nicht
Da sich die Konvergenzradiusfunktion ρa (D, .) beim Übergang von K zu K
b d. h. für alle r ∈ [r, r + ε ] ∩ |K|
b
ändert, können wir dieses Argument über K,
1
0
b dicht in [r, r + ε ]. Wegen
wiederholen. Nach Lemma 1.9 liegt aber [r, r + ε ] ∩ |K|
0
0
der Stetigkeit von ρa (D, .) haben wir deswegen
ρa (D, ε) =
ρa (D, r) k
ε
rk
für alle ε ∈ [r, r + ε0 ] .
Das bedeutet
va (D, t) = va (D, log r) + k(t − log r) für alle t ∈ [log r, log(r + ε0 )] .
Lemma 10.5: i. In jedem Punkt t ∈ R mit va (D, t) < t existiert sowohl die linkswie die rechtsseitge Ableitung von va (D, .); ist m ≥ 1 zu ε := exp t wie in Lemma
10.2.ii gewählt, so ist
1
b
· (Anzahl der N ullstellen von Q∗m in Bε (a)(K))
m
b
+ (Anzahl der N ullstellen von P in Bε (a)(K))
d+ va (D, t) = −
und
1
b
· (Anzahl der N ullstellen von Q∗m in Bε− (a)(K))
m
b ;
+ (Anzahl der N ullstellen von P in Bε− (a)(K))
d− va (D, t) = −
außerdem sind beide Ableitungen ganze Zahlen ≤ deg(P );
ii. seien t0 < t1 in R mit va (D, t) < t für alle t0 ≤ t ≤ t1 ; dann ist die Funktion
va (D, .) auf dem Intervall [t0 , t1 ] stückweise linear;
42
iii. seien t0 < t1 in R mit va (D, t) < t für alle t0 < t < t1 und so, daß P keine
b : exp t < |x − a| < exp t } besitzt; dann ist die Funktion
Nullstellen in {x ∈ K
0
1
va (D, .) auf (t0 , t1 ) konkav.
Beweis: Durch Übergang zu einer Erweiterung können wir |K| = R≥0 annehmen. Im
Beweis von Satz 10.4 wurde gezeigt, daß va (D, .) auf einem geeigneten Intervall [t, τ1 ]
linear ist mit einer Steigung, welche der behaupteten Formel genügt. Außerdem ist
der erste Summand in dieser Formel als Index eines injektiven Fredholmoperators
(Lemma 10.2) eine ganze Zahl ≤ 0. In einem Intervall [t0 , t1 ] wie in ii. besitzt also
jeder Punkt t eine offene Umgebung Ut , auf welcher va (D, .) stückweise linear ist.
Die Ut bilden eine offene Überdeckung von [t0 , t1 ]. Die Existenz einer endlichen
Teilüberdeckung impliziert dann, daß va (D, .) auf [t0 , t1 ] stückweise linear ist. Unter
der Voraussetzung an P in iii. folgt aus den expliziten Formeln in i. sofort, daß in
jedem Punkt t ∈ (t0 , t1 ) gilt
d− va (D, t) ≥ d+ va (D, t) .
b dann
Satz 10.6: Es gelte ρa (D, r) < r, und P besitze keine Nullstellen in B − (K);
haben wir:
i. d := d− va (D, log r) ≤ 0;
(
) d
ρa (D,r) 1−d
ii. ρa (D, r) ≤ ε(D, a) ≤ ρa (D, r) ·
;
r
iii. ρa (D, r) = ε(D, a) genau dann, wenn d = 0.
Beweis: Wieder können wir |K| = R≥0 annehmen. i. Wir haben d− va (D, log r) =
d+ va (D, log r0 ) für ein geeignetes r0 < r mit ρa (D, r0 ) < r0 . Auf Grund der Voraussetzung und Satz 10.4 gilt also
d− va (D, log r) = ind(D|Ar0 (a)) .
Nach Lemma 10.2.i ist der rechte Index ≤ 0. ii. und iii. Die linke Ungleichung in ii.
wurde in Lemma 9.5 bewiesen. Nach Satz 9.9 hat D(u) = 0 keine Lösung in A(B − ).
Also muß
ρ := ε(D, a) < r
gelten. Wegen unserer Voraussetzung an P und Lemma 9.2 ist aber ua eine Lösung
von D(u) = 0 in A(Bρ− (a)). Nach Satz 9.8 gilt also
ρa (D, ρ) = ρ .
Andererseits haben wir keine Lösung in A(Br−′ (a)) für alle ρ < r′ ≤ r. Wieder nach
Satz 9.9 erhalten wir folglich
ρa (D, r′ ) < r′
für alle ρ < r′ ≤ r .
Wegen Lemma 10.5 ist die Funktion va (D, .) auf (log ρ, log r) stückweise linear und
konkav. Außerdem können wir das Argument in i. für alle ρ < r′ ≤ r wiederholen
und erhalten, daß alle Steigungen von va (D, .) auf (log ρ, log r) ganze Zahlen ≤ 0
43
sind. Also tritt der Fall d = 0 genau dann ein, wenn va (D, .) konstant auf [log ρ, log r]
ist bzw. ρa (D, .) konstant auf [ρ, r] ist bzw.
ε(D, a) = ρ = ρa (D, ρ) = ρa (D, r)
gilt. Damit ist iii. gezeigt. Die rechte Ungleichung in ii. ist äquivalent zu
log ρ ≤ va (D, log r) +
d
(va (D, log r) − log r)
1−d
bzw.
d(log r − log ρ) ≤ va (D, log r) − va (D, log ρ) .
Letzteres ist klar auf Grund der genannten Eigenschaften der Funktion va (D, .).
§11 Ein Beispiel
Sei K = Cp . Wir fixieren ein ℓ ∈ N und ein π ∈ Cp mit |π|p−1 = |p| und betrachten
den Differentialoperator
d
D :=
− πℓxℓ−1 .
dx
Offensichtlich gilt D(u0 ) = 0 für die Potenzreihe
u0 := exp(πX ℓ ) =
∑ πn
n≥0
n!
X ℓn .
Also ist u0 die Potenzreihe aus Lemma 9.2. Nach Lemma 2.2.i haben wir
n− ℓn · |p| ℓn ≤ |
1
1
1
1
1
πn 1
| ℓn = |p| ℓ(p−1) · |n!|− ℓn ≤ |p| ℓn(p−1) .
n!
Somit hat die Reihe u0 den Konvergenzradius
ε(D, 0) = 1 .
Aus Satz 9.9 folgt, daß
{
ρ0 (D, ε)
= ε für ε ≤ 1,
< ε für ε > 1.
Sei (L, y) ein generischer Punkt für Bε (0); insbesondere ist |y| = ε. Es gilt
uy
′′
= exp(πy ℓ )−1 exp(π((X − y) + y)ℓ )′′
ℓ ( )
∑
ℓ ℓ−i
′′
= exp(πy ℓ )−1 exp(π(
y (X − y)i ))′′
i
i=0
(
)
ℓ
∏
ℓ ℓ−i
=
exp(π
y (X − y)i ) .
i
i=1
44
Da der Konvergenzradius von exp(πX) gleich 1 ist, haben wir
( )
ℓ ℓ−i
εi := Konvergenzradius von exp(π
y (X − y)i )
i
( )
( )
ℓ
1
ℓ ℓ−i − 1
ℓ
= |
y | i = ε1− i |
|− i .
i
i
Außerdem ist
ε(D, y) ≥ min(ε1 , . . . , εℓ )
mit Gleichheit, falls das Minimum genau einmal angenommen wird.
1. Fall: 1 ≤ ℓ ≤ p − 1 und ε > 1.
ℓ
Dann sind die εi = ε1− i paarweise verschieden und damit
ε(D, y) = ε1−ℓ .
Aus Lemma 9.7 folgt dann, daß
ρ0 (D, ε) = ε1−ℓ
für ε ≥ 1 ,
und aus Satz 10.4, daß
ind(D|Ar (0)) = −(ℓ − 1) für r ∈ (1, ∞) ∩ pQ .
2. Fall: ℓ = p und ε > 1.
Dann sind εp = 1 und εi = ε
1− pi
1
i
·p =ε
{
ε(D, y) =
( p ) 1i
εp
für 1 ≤ i ≤ p − 1 und damit
1
1
für 1 < ε < p p−1 ,
1
pε1−p für ε > p p−1 .
Aus Stetigkeitsgründen folgt dann, daß
{
1
1
für 1 ≤ ε ≤ p p−1 ,
ρ0 (D, ε) =
1
pε1−p für ε ≥ p p−1 ,
und daß für r ∈ pQ gilt
ind(D|Ar (0)) =
{
1
0
für 1 < r < p p−1 ,
1
−(p − 1) für r ≥ p p−1 .
§12 Beschränkte analytische Funktionen
Sei K ein beliebiger nicht-archimedischer Körper und B − = Br− (a) ein affinoider
offener Ball.
45
∑
Lemma 12.1: Für f (x) =
i.
sup |an |rn < ∞;
n≥0
ii.
sup
b
x∈B − (K)
an (x − a)n ∈ A(B − ) sind äquivalent:
n≥0
|f (x)| < ∞;
iii. die Funktion |f |a (.) : (0, r) −→ R>0 ist beschränkt.
Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt
∥f ∥r := sup |an |rn =
n≥0
sup
b
x∈B − (K)
|f (x)| = sup |f |a (ε) .
0<ε<r
b welche gegen r
Beweis: Wir wählen eine Folge 0 < r1 < . . . < rj < . . . < r in |K|,
konvergiert. Nach dem Maximumprinzip 6.4 gilt
sup |an |rjn = |f |a (rj ) =
n≥0
sup
b
x∈Brj (a)(K)
|f (x)|
für alle j ≥ 1. Daraus folgen die Behauptungen durch Übergang zum Limes.
Definition: Eine Funktion f ∈ A(B − ), welche die äquivalenten Bedinungen aus
Lemma 12.1 erfüllt, heißt beschränkt. Wir setzen
Ab (B − ) := {f ∈ A(B − ) : f ist beschränkt} .
Nach §1 Beispiel B ist (Ab (B − ), ∥ ∥r ) ein K-Banachraum. Da die Funktionen |f |a (.)
monoton steigend und stetig sind, ist mit jedem | |a (ε) auch das Supremum ∥ ∥r
multiplikativ auf Ab (B − ).
b dann ist
Lemma 12.2: Die Funktion f ∈ A(B − ) habe keine Nullstellen in B − (K);
f beschränkt.
b als Grundkörper).
Beweis: Dies folgt aus Satz 6.9 (mit K
d
Wegen Lemma 12.1.i ist die Ableitung dx
auf Ab (B − ) wohldefiniert mit Operatornorm ≤ 1. Insbesondere ist auch unser Differentialoperator
DP,Q : Ab (B − ) −→ Ab (B − )
wohldefiniert.
Satz 12.3: Der Körper K habe die Charakteristik 0, und P habe keine Nullstellen
b dann sind äquivalent:
in B − (K);
i. ρa (D, r) = r;
ii. ker(D|Ab (B − )) ̸= 0,
Beweis: Dies folgt aus Satz 9.9 und Lemma 12.2.
46
Satz 12.4: Der Körper K sei p-adisch; ist ker(D|Ab (B − )) ̸= 0, so ist D|Ab (B − )
kein Fredholmoperator.
Beweis: Sei c ∈ K × mit |c| = r−1 . Für jedes k ∈ N setzen wir
∑
kn
kn
uk (x) :=
p−kn cp (x − a)p .
n≥1
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist ( lim pkn/p r−1 )−1 = r. Also gilt
kn
n−→∞
uk ∈ A(B − ) .
Wir behaupten, daß die {uk }k∈N linear unabhängig sind modulo Ab (B − ). Sei also
I ⊆ N eine endliche nichtleere Teilmenge, und seien λk ∈ K × für k ∈ I. Zu zeigen
ist, daß die Linearkombination
∑
∑
λk uk =
bi (x − a)i
k∈I
i≥1
nicht in Ab (B − ) liegt. Sei dazu k0 die kleinste Zahl in I und setze m :=
∏
k.
k0 ̸=k∈I
Jede natürliche Zahl der Form
n = k0 (mℓ + 1) mit ℓ ∈ N
ist durch k0 , aber durch kein anderes k ∈ I teilbar. Folglich sind die Werte
|bpn |rp = |λk0 p−n cp |rp = |λk0 |pn
n
n
n
unbeschränkt. Hingegen liegen die Ableitungen
u′k =
duk ∑ pkn
kn
=
c (x − a)p −1
dx
n≥1
offensichtlich in Ab (B − ). Sei nun 0 ̸= u ∈ ker(D|Ab (B − )). Dann gilt
(
)
du
′
D(uk u) = P uk u + uk
− Quk u = P u′k u ∈ Ab (B − ) .
dx
Wir zeigen schließlich, daß die {D(uk u)}k∈N linear unabhängig sind modulo D(Ab (B − )).
Seien dazu λk ∈ K für k ∈ I und f ∈ Ab (B − ), so daß
(
)
∑
∑
D
λk uk u =
λk D(uk u) = D(f )
k∈I
k∈I
gilt. Wegen Satz 9.8 haben wir dann
∑
λk uk u = µu + f
k∈I
47
für ein µ ∈ K. Also ist
(−µ +
∑
λk uk )u = f .
k∈I
Nun sind
beschränkt. Aus Lemma 12.1.iii folgt leicht, daß auch
∑ u und f aber ∑
−µ +
λk uk und damit
λk uk beschränkt sind. Nach dem zuvor Gezeigten imk∈I
k∈I
pliziert das λk = 0 für alle k ∈ I.
§13 Wann gilt ρa (D, r) = r?
Es treten wieder unsere Standardvoraussetzungen vom Anfang dieses Kapitels in
Kraft.
Lemma 13.1: Sei ρa (DP,Q , r) < r; dann existiert ein δ > 0, so daß für alle TS ∈
K(X) mit | TS − Q
| (r) < δ ebenfalls ρa (DS,T , r) < r gilt.
P a
Beweis: Wir können K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Sei m ≥ 1 wie in
Lemma 10.2.ii gewählt. Im dortigen Beweis hatten wir eine Zerlegung
Dm = Q∗m + D̃m
mit ∥D̃m ∥ < ∥Q∗m · ∥ = |Q∗m |a (r) als Operatoren auf A(B) etabliert. Man prüft nach,
daß dasselbe auch im Sinne von Operatoren auf (Ab (B − ), ∥ ∥r ) gilt. Wir wollen
nun wiederum Satz 8.7 anwenden und müssen uns dazu zuerst überlegen, daß der
injektive Multiplikationsoperator
Q∗ ·
Ab (B − ) −−m→ Ab (B − )
(im Beweis von Lemma 10.2 wurde Q∗m ̸= 0 gezeigt) ein stetiges Linksinverses der
Operatornorm |Q∗m |a (r)−1 besitzt. Wie im Beweis von Bemerkung 10.1 genügt es,
ein stetiges Linksinverses der Operatornorm ≤ |Q∗m |a (r)−1 zu konstruieren. Da K
algebraisch abgeschlossen ist, können wir Q∗m in Linearfaktoren zerlegen, und es
genügt einen Multiplikationsoperator der Form
(x−b)·
Ab (B − ) −−−→ Ab (B − )
zu betrachten. Im Falle b ̸∈ B − liegt wegen Lemma 12.2 ein topologischer Isomorphismus vor, und die inverse Abbildung leistet das Gewünschte. Sei also |b − a| < r.
Durch Verschiebung des Entwicklungspunktes können wir dann jede Funktion f ∈
Ab (B − ) entwickeln in
∑
f (x) =
an (x − b)n
n≥0
mit sup |an |r < ∞. Die Abbildung
n
n≥0
ιb :
Ab (B − ) −→ Ab (B − )
∑
∑
f (x) − f (b)
f (x) =
an (x − b)n 7−→
an (x − b)n−1 =
x−b
n≥0
n≥1
48
ist offensichtlich ein stetiges Linksinverses mit
∥ιb (f )∥r =
∥f − f (b)∥r
≤ |x − b|a (r)−1 · ∥f ∥r .
∥x − b∥r
Also können wir Satz 8.7 in der Tat anwenden und erhalten, daß
Dm =
P m · (P −1 D)m
P m · (P −1 D)m−1 · P −1
=
◦D
m!
m!
und damit auch D ein stetiges Linksinverses besitzt. Bevor wir dies ausnutzen,
gehen wir aber zu einem generischen Punkt (L, y) von B über (also insbesondere
Br (a)(L) = Br (y)(L)) und wenden obige Überlegungen auf D als Operator auf
(Ab (Br− (y)(L)), ∥ ∥r )
an. Da P keine Nullstellen in Br− (y)(L) besitzt, ist es nach Lemma 12.2 invertierbar
in Ab (Br− (y)(L)). Also ist der Operator P −1 D wohldefiniert. Mit D besitzt auch
P −1 D ein stetiges Linksinverses. Bezeichne D̃ ein letzteres und sei δ := ∥D̃∥−1 .
Unter unserer Voraussetzung folgt
∥P −1 DP,Q − S −1 DS,T ∥ = |
Q T
Q T
− |y (r) = | − |a (r) < δ = ∥D̃∥−1
P
S
P
S
in der Operatornorm auf Ab (Br− (y)(L)). Wiederum können wir jetzt Satz 8.7 anwenden und erhalten, daß S −1 DS,T ein Linksinverses besitzt. Insbesondere ist S −1 DS,T
und damit auch DS,T injektiv auf Ab (Br− (y)(L)). Mit Satz 12.3 (für L als Grundkörper)
folgt daraus ρa (DS,T , r) < r.
Bemerkung 13.2: Zu endlich vielen gegebenen Punkten x1 , . . . xℓ ∈ B existiert ein
b so daß x , . . . , x ̸∈ B − (b)(K).
b
b ∈ B(K),
1
ℓ
r
Beweis: Sei c ∈ K mit |c| = r. Mittels der Transformation x 7−→ x−a
reduziert sich
c
die Behauptung auf den Spezialfall a = 0 und r = 1. Da der Restklassenkörper k
b unendlich ist, finden wir ein b ∈ B(K),
b dessen Restklasse in k verschieden
von K
ist von den Restklassen der x1 , . . . , xℓ .
Satz 13.3: Ist K p-adisch, so sind äquivalent:
i. ρa (D, r) = r;
′
un
b
mit lim | Q
−
| (r) = 0.
ii. es existiert eine Folge {un }n∈N in K(X)
un a
n−→∞ P
Beweis: Wir können K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Zunächst gelte ii.
′
′
′
′
′
n Sn
Sei un = STnn und damit uunn = TTnn − SSnn = Tn SSnn−T
. Weiter sei (L, y) ein geTn
−
nerischer Punkt von B. Dann ist un ∈ A(Br (y)(L)) eine Lösung von D(n) (u) =
0 für D(n) := DSn ,Tn ,Tn′ Sn −Tn Sn′ . Aus Satz 9.8 (für L als Grundkörper) folgt also
ρa (D(n) , r) = ρy (D(n) , r) = r für alle n ∈ N. Wegen Lemma 13.1 muß dann auch
ρa (D, r) = r gelten.
Nun nehmen wir umgekehrt i. an. Wegen Bemerkung 13.2 finden wir ein b ∈ B, so
49
daß P keine Nullstellen und damit alle Ri∗ keine Pole in Br− (b) haben. Nach Satz
9.10 und Lemma 9.11 gilt
|Ri∗ |b (r)ri = |Ri∗ |a (r)ri ≤ 1 für alle i ∈ N .
Wir definieren
un :=
n
∑
(b − .)i Ri∗ ∈ K(X) .
i=0
Aus der Relation
∗
(i + 1)Ri+1
= (Ri∗ )′ + Ri∗ R1∗
folgt
R1∗ un
′
+ un =
n
∑
(b − .)
i
(R1∗ Ri∗
(Ri∗ )′ )
+
i=0
∗
= (n + 1)(b − .)n Rn+1
−
n
∑
i(b − .)i−1 Ri∗
i=1
und damit
′
Q u
|n + 1|
∗
|un |b (r) · | − + n |b (r) = |n + 1||Rn+1
|b (r)rn ≤
.
P
un
r
Nun ist sicherlich
|un |b (r) ≤ max |Ri∗ |b (r)ri ≤ 1
i
und
un (b) = R0∗ (b) = 1 .
Da un keinen Pol in Br− (b) besitzt, muß also |un |b (r) = 1 gelten (vergleiche den
Beweis von Lemma 9.5). Somit erhalten wir
′
′
Q u
|n + 1|
Q u
.
| − n |a (r) = | − n |b (r) ≤
P
un
P
un
r
Die Teilfolge {upj −1 }j∈N erfüllt ii.
Bevor wir dieses Resultat ausnutzen können, müssen wir ein paar Dinge über rationale Funktionen bereit stellen. Sei K jetzt algebraisch abgeschlossen. Die rationale
Funktion 0 ̸= R ∈ K(X) habe die Pole a1 , . . . , aℓ ∈ K mit den Multiplizitäten
m1 , . . . , mℓ > 0. Nach dem Satz von der Partialbruchzerlegung existiert eine eindeutig bestimmte Darstellung der Form
R = λ + R∞ +
mj
ℓ ∑
∑
cij (X − aj )−i
j=1 i=1
mit λ ∈ K, R∞ ∈ XK[X] und cij ∈ K. Wir setzen
Raj :=
mj
∑
cij (X − aj )−i
i=1
50
und resaj (R) := c1j .
Für den affinoiden Ball B − = Br− (a) definieren wir ferner
∑
resB − (R) :=
resaj (R) .
aj ∈B −
′
Bemerkung 13.4: resB − ( RR ) ∏
∈ Z.
Beweis: Schreiben wir R = b · (X − bk )nk mit b, bk ∈ K und nk ∈ Z\{0}, so gilt
k
R′ ∑
=
nk (X − bk )−1
R
k
′
und damit resB − ( RR ) =
∑
bk ∈B −
nk ∈ Z.
Wir fassen nun in obiger Partialbruchzerlegung die Terme
∑
RB − :=
Raj ,
aj ∈B −
R̃B − := (R∞ − R∞ (a)) +
µ := λ +
∑
∑ (
)
Raj − Raj (a) ,
aj ̸∈B −
Raj (a)
aj ̸∈B −
zusammen und erhalten die Zerlegung
R = µ + RB − + R̃B −
mit RB − (∞) = 0 und R̃B − (a) = 0 .
Lemma 13.5: |R|a (r) = max(|µ|, |RB − |a (r), |R̃B − |a (r)).
Beweis: Die obige Zerlegung ändert sich nicht, wenn wir B − durch Br−′ (a) ersetzen,
so lange r′ < r genügend nahe bei r ist. Da beide Seiten in der Behauptung stetige
Funktionen in r sind (Satz 7.3), genügt es also, die analoge Behauptung für Br−′ (a)
zu beweisen. Auf diese Weise können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
zusätzlich annehmen, daß alle Pole |aj | ̸= r erfüllen. Ist c ∈ K × mit |c| = r,
so läßt sich der Fall Br− (a) durch die Variablensubstitution cX + a auf den Fall
B1− (0) zurückführen. Im Folgenden nehmen wir also a = 0, r = 1 und |aj | ̸= 1 an.
Trivialerweise gilt
|R|0 (1) ≤ max(|µ|, |RB − |0 (1), |R̃B − |0 (1)) .
Im Falle, daß |RB − |0 (1) und |R̃B − |0 (1) beide < |µ| sind, ist auch die umgekehrte
Ungleichung trivial.
1. Fall: Es gelte
|RB − |0 (1) ≥ max(|µ|, |R̃B − |0 (1)) .
51
Durch Skalierung von R können wir |RB − |0 (1) = 1 annehmen. Zu zeigen ist dann,
daß |R|0 (1) = 1 gilt. In dieser Situation können wir aber alle beteiligten rationalen Funktionen modulo m reduzieren zu rationalen Funktionen in k(X) über dem
Restklassenkörper k von K. In k(X) erhalten wir die Zerlegung
R mod m = (µ mod m) + (RB − mod m) + (R̃B − mod m) .
Ersichtlich hat RB − mod m nur in 0 ∈ k einen Pol, während R̃B − mod m da gerade
keinen Pol besitzt (im Hauptnenner von R̃B − hat der konstante Koeffizient maximalen Betrag). Also ist R mod m ̸= 0, d. h. |R|0 (1) = 1, falls RB − mod m ̸= 0 gilt.
Letzteres ist aber wegen |RB − |0 (1) = 1 der Fall.
2. Fall: Es gelte
|R̃B − |0 (1) ≥ max(|µ|, |RB − |0 (1)) .
Wir setzen Q := R(X −1 ). Wegen QB − (X) = R̃B − (X −1 ) und Q̃B − (X) = RB − (X −1 )
ist dieser Fall äquivalent zum ersten Fall für die rationale Funktion Q.
Lemma 13.6: |resB − (R)| ≤ r · |R|a (r) .
Beweis: Sei c ∈ K × mit |c| = r. Es gilt
|R|a (r) = |R(cX + a)|0 (1) und resB − (R) = c · resB1− (0) (R(cX + a)) .
Also brauchen wir nur den Fall a = 0 und r = 1 zu betrachten. Wegen Lemma∑13.5
genügt es |resB − (R)| ≤ |RB − |0 (1) zu zeigen. Mit J := {j : aj ∈ B − } und e :=
mj
j∈J
gilt
(
RB − =
∑
)
c1j
X e−1 + . . .
j∈J
∏
(X − aj )mj
.
j∈J
Wegen |aj | < 1 für alle j ∈ J ist |Nenner|0 (1) = 1. Also ergibt sich
∑
|resB − (R)| = |
c1j | ≤ |Zähler|0 (1) = |RB− |0 (1) .
j∈J
b definiert. Man
Ist K nicht algebraisch abgeschlossen, so ist jedenfalls resB − (R) ∈ K
prüft nach, daß in der Tat resB − (R) ∈ K gilt.
) ∈ Zp .
Corollar 13.7: Sei K p-adisch; gilt ρa (D, r) = r, so ist resB − ( Q
P
b
Beweis: Nach Satz 13.3 finden wir eine Folge {un }n∈N in K(X) mit lim | Q
−
P
u′n
| (r)
un a
n−→∞
= 0. Aus Lemma 13.6 folgt dann
( )
( ′)
Q
un
resB −
.
= lim resB −
n−→∞
P
un
52
Wegen Bemerkung 13.2 liegt die rechte Seite im Abschluß von Z in K, also in Zp .
Satz 13.8: Sei K p-adisch, und sei α ∈ K; für den Differentialoperator D = DX−a,α
sind äquivalent:
i. ρa (D, r) = r;
ii. α ∈ Zp .
Beweis: Die Implikation von i. nach ii. ist ein Spezialfall von Corollar 13.7. Umgekehrt sei α ∈ Zp . Dann finden wir ein Folge {mn }n∈N in Z mit lim mn = α. Für
un := (X − a)mn gilt ersichtlich
u′n
un
n−→∞
=
mn
X−a
und damit
′ α
u
lim − n (r) = 0 .
n−→∞ X − a
un a
Also folgt i. aus Satz 13.3.
Von jetzt an sei K stets p-adisch! Wann ist der Differentialoperator DX−a,α auf A(B)
ein Fredholmoperator? Wegen Satz 13.8 und Lemma 10.2 ist das sicherlich der Fall
für α ̸∈ Zp . Zu jedem α ∈ K definieren wir
1
λ(α) := lim |α − n| n .
n−→∞
Wegen |α − n| ≤ max(|α|, 1) gilt stets
λ(α) ≤ 1 .
Da Zp kompakt ist, gilt für α ̸∈ Zp sicherlich inf |α − n| > 0 und damit
n∈N
λ(α) = 1 .
Definition: Ein α ∈ Zp mit λ(α) < 1 heißt Liouville-Zahl.
Satz 13.9: Sei K p-adisch, und sei α ∈ K; für den Differentialoperator D = DX−a,α
sind äquivalent:
i. D|A(B − ) ist ein Fredholmoperator;
ii. λ(α) = 1 .
Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt
ind(D|A(B − )) = 0 .
∑
∑
Beweis: Seien f (x) =
an (x − a)n und g(x) =
bn (x − a)n in K[[x − a]] mit
n≥0
n≥0
D(f ) = g. Also ist
∑
(n − α)an (x − a)n =
n≥0
∑
n≥0
53
bn (x − a)n ,
d. h.
bn
für alle n ̸= −α .
n−α
Für die Konvergenzradien ergibt sich die Ungleichung
an =
εf ≥ λ(α)εg .
Es gelte nun zunächst λ(α) = 1. Dann liegt also mit g auch f in A(B − ). Ist α ̸∈ Z≤0 ,
so bedeutet dies die Bijektivität von D. ist α = −n0 ∈ Z≤0 , so ist
ker(D|A(B − )) = K · (x − a)n0
und
∼
=
−
A(B ∑
)/D(A(B − )) −→ K
bn (x − a)n 7−→ bn0 .
n≥0
Jetzt nehmen wir λ(α) < 1 an und müssen unendlich viele Funktionen gi ∈ A(B − )
konstruieren, welche modulo D(A(B − )) linear unabhängig sind. Dazu fixieren wir
ein ε ∈ R mit λ(α) < ε < 1 und ein c ∈ K × mit |c| = r. Nach Annahme ist die
Menge
1
N := {n ≥ 0 : 0 < |n − α| n < ε}
unendlich. Wir schreiben N als unendliche disjunkte Vereinigung
N=
·
∪
Ni
i∈I
von unendlichen Teilmengen Ni und setzen
∑
c−n (x − a)n .
gi (x) :=
n∈Ni
Offensichtlich ist gi ∈ Ab (B − ). Seien i1 , . . . , iℓ ∈ I und λ1 , . . . , λℓ ∈ K × mit
λ1 gi1 + . . . + λℓ giℓ = D(f )
für ein f (x) =
∑
an (x − a)n in A(B − ). Dann gilt insbesondere
n≥0
(n − α)an = λ1 c−n
und
1
1
n
|an | =
1
|λ1 | n
1
r · |n − α| n
|λ1 | n
>
rε
für alle n ∈ Ni1 . Es ergibt sich der Widerspruch
1
1
1
1
≥ ε−1
> .
lim |an | n ≥
f = n−→∞
r
rε
r
54
2
1
1
Lemma 13.10: Sei K p-adisch, und seien Q
= (Q
) − und Q
= Q
− Q
; gilt
P1
P B
P2
P
P1
ρa (D, r) = r, so auch ρa (DP1 ,Q1 , r) = ρa (DP2 ,Q2 , r) = r.
Beweis: (Übrigens gilt in jedem Falle ( Q
) − ∈ K(X).) Nach Satz 13.3 haben wir
P B
b
eine Folge {u }
in K(X)
mit
n n∈N
lim |
n−→∞
Q u′n
− |a (r) = 0 .
P
un
Wir zerlegen jedes un = vn wn in ein Produkt von rationalen Funktionen vn , wn ∈
b
K(X),
so daß:
b
- Alle Nullstellen und Pole von v liegen in B − (K);
n
b
- wn hat keine Nullstellen und Pole in B − (K).
Dann ist
( ′)
( ′)
wn′
vn′
un
u′n
un
und
.
=
=
−
vn
un B −
wn
un
un B −
Lemma 13.5 besagt deswegen, daß
(
)
Q1 vn′
Q2 wn′
Q u′
max |
− |a (r), |
−
|a (r) = | − n |a (r) .
P1
vn
P2
wn
P
un
Also folgt die Behauptung aus Satz 13.3.
Satz 13.11: Sei K p-adisch; für den Differentialoperator D = DP,Q gelte ρa (D, r) =
b und diese sei einfach; dann
r; außerdem besitze P genau eine Nullstelle c ∈ B − (K),
sind äquivalent:
i. D|A(B − ) ist ein Fredholmoperator;
ii. resc ( Q
) ist keine Liouville-Zahl.
P
Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt
ind(D|A(B − )) = 0 .
Beweis: Notwendigerweise gilt c ∈ B − , und wir können ohne Beschränkung der
) ∈ K. Dann ist
Allgemeinheit c = a annehmen. Sei α := resa ( Q
P
( )
Q
α
.
=
P B−
X −a
Nach Lemma 13.10 gilt also
ρa (DX−a,α , r) = ρa (DP2 ,Q2 , r) = r ,
wobei
Q2
Q
α
= −
.
P2
P
X −a
55
Die Bedinung ii. ist wegen Satz 13.9 dazu äquivalent, daß DX−a,α |A(B − ) ein Fredholmoperator mit Index 0 ist. Andererseits kann auf Grund unserer Voraussetzungen
b gewählt werden. Nach Satz 9.9 existiert dann ein
P2 ohne Nullstellen in B − (K)
v ∈ A(B − )× mit DP2 ,Q2 (v) = 0. Man prüft nach, daß das Diagramm
A(B − )
DX−a,α
v· ∼
=
/ A(B − )
∼
=
A(B − )
DP,Q
P
v·
X−a
/ A(B − )
kommutativ ist.
Übungsaufgabe: Es gelte ρa (D, r) = r; besitzt das Polynom P keine Nullstelle in
b so ist D|A(B − ) ein Fredholmoperator mit Index 1.
B − (K),
Der in Satz 13.11 betrachtete Spezialfall ist nicht so weit von dem allgemeinen Fall
“ρa (D, r) = r” entfernt, wie man auf den ersten Blick denken mag. In der folgenden
Diskussion nehmen wir an, daß ρa (D, r) = r gilt. Wir schreiben
( )
Q
Q1
=
,
P B−
P1
b liegen mögen. Nach Lemma 13.10 gilt
wobei alle Nullstellen von P1 in B − (K)
ρa (DP1 ,Q1 , r) = r. Wegen Corollar 13.7 haben wir ferner
( )
( )
Q1
Q
= resB −
∈ Zp .
α := resB −
P
P1
b
1
Einerseits existiert also nach Satz 13.3 eine Folge {vn }n in K(X)
mit lim | Q
−
P1
′
vn
| (r)
vn a
n−→∞
= 0. Andererseits finden wir wie im Beweis von Satz 13.8 eine Folge {un }n
α
|−
in K(X) mit lim | x−a
(vn /un )′
| (r)
vn /un a
n−→∞
u′n
| (r)
un a
= 0. Für
Q2
P2
:=
Q1
P1
−
α
X−a
2
ist also lim | Q
−
P2
n−→∞
= 0, und wir können wieder mit Satz 13.3 schließen, daß auch
ρa (DP2 ,Q2 , r) = r
gilt. Genauer setzen wir P2 (X) := (X − a)P1 (X) und Q2 (X) := (X − a)Q1 (X) −
b liegen, sondern
αP (X). Man beachte, daß nicht nur alle Nullstellen von P in B − (K)
1
2
daß wegen deg(Q1 ) < deg(P1 ) auch
Q2 (x)
=0
x−→∞ P2 (x)
lim
2
gilt. Dies besagt sozusagen, daß die rationale Funktione Q
keine Pole in dem “affiP2
noiden Ball”
b := {x ∈ K
b : |x − a| ≥ r} ∪ {∞}
B 1 (∞a )(K)
r
56
besitzt. Wir formalisieren diese Feststellung, in dem wir die Bijektion
∼
b −→
b
B 1 (∞a )(K)
B 1 (0)(K)
r
r
1
x 7−→
x−a
betrachten und definieren
{ (
A 1 (∞a ) := f
r
Der Ableitung
d
dx
1
x−a
)
}
: f ∈ A 1 (0)
r
.
auf A 1 (∞a ) entspricht unter dem Isomorphismus
r
∼
=
A 1 (0) −→ A 1 (∞a )
r
r
)
(
1
f (x) 7−→ f
x−a
df
der Operator f (x) 7−→ −x2 dx
. Wie im Beweis von Lemma 13.6 diskutiert wurde,
können wir die führenden Koeffizienten der Polynome P1 und Q1 als
P1 (X) = X d + . . .
Q1 (X) = αX d−1 + . . .
und
voraussetzen. Dann sind
(
S(X) := −X
(
und
T (X) := −X
d−1
Q1
d+1
P1
1
+a
X
)
)
)
(
1
1
d
+ a + αX P1
+a
X
X
b nämlich eine einfache
Polynome; dabei besitzt S genau eine Nullstelle in B 1 (0)(K),
r
Nullstelle in X = 0, und T besitzt ebenfalls eine Nullstelle bei X = 0. Folglich hat
die rationale Funktion
(
)
( )(
)
Q1 X1 + a
T
α
1
Q2
1
)−
(X) := 2 ( 1
= 2·
+a
S
X
X
P2
X
X P1 X + a
b
b Ist {u } eine Folge in K(X)
2
keine Pole in B 1 (0)(K).
mit lim | Q
−
n n
P2
n−→∞
r
so setzen wir vn (X) :=
1
1
un ( X
+a)
und erhalten
vn′
1
(X) = 2 ·
vn
X
und somit
T
v′
lim | − n |0
n−→∞ S
vn
(
u′n
un
)(
1
+a
X
)
( )
1
Q2 u′n
− |a (r) = 0 .
= r2 · lim |
n−→∞ P2
r
un
57
u′n
| (r)
un a
= 0,
Nach Satz 13.3 gilt folglich
(
)
1
1
ρ0 DS,T ,
= .
r
r
Damit können wir Satz 9.9 anwenden und erhalten die Existenz einer Funktion
′
×
mit DX −1 S,X −1 T (v) = 0, d. h. vv = TS . Definieren wir
v ∈ A(B −
1 (0))
r
{ (
A(B 1 (∞a )) := f
−
r
1
x−a
)
}
: f ∈ A(B 1 (0)) ,
−
r
1
×
so liegt u(x) := v( x−a
und erfüllt
) in A(B −
1 (∞a ))
r
( ′)(
)
( )
u′
1
v
1
Q2
Q1
α
(x) = −
·
=−
(x) = − (x) +
2
u
(x − a)
v
x−a
P2
P1
x−a
und damit
Q u′
α
Q Q1
+ = −
+
.
P
u
P
P1
x−a
Wir fassen zusammen.
×
Bemerkung 13.12: Gilt ρa (D, r) = r, so existiert ein u ∈ A(B −
mit:
1 (∞a ))
– R :=
Q
P
+
u′
u
r
∈ K(X);
b nämlich a,
– der Nenner von R besitzt keine oder genau eine Nullstelle in B − (K),
und diese ist dann einfach;
– resB − (R) = resB − ( Q
) ∈ Zp .
P
Wirklich brauchbar wird diese Beobachtung erst nach einer Verschärfung der Voraussetzung. Um das Ergebnis zu formulieren zu können, benötigen wir den Raum
der überkonvergenten Funktionen
∪
A† (B) := A†r (a) :=
Aε (a) .
ε>r
Dies ist ein Unterring von A(B), welcher isomorph ist zum Ring aller Potenzreihen
in x − a, welche ε-konvergent sind für ein ε > r bzw. deren Konvergenzradius > r
ist. Außerdem definieren wir
{ (
)
}
1
†
†
A 1 (∞a ) := f
: f ∈ A 1 (0) .
r
r
x−a
Satz 13.13: Sei K p-adisch; es existiere ein 0 < ε0 < r, so daß ρa (D, ε) = ε gilt
für alle ε0 ≤ ε ≤ r; dann gibt es ein u ∈ A†1 (∞a )× mit:
i. R :=
Q
P
+
u′
u
r
∈ K(X);
b nämlich a,
ii. der Nenner von R besitzt keine oder genau eine Nullstelle in B − (K),
und diese ist dann einfach;
) ∈ Zp .
iii. resB − (R) = resB − ( Q
P
58
×
Beweis: Die Funktion v ∈ A(B −
aus obiger Diskussion ist bis auf skalare
1 (0))
r
Vielfache eindeutig bestimmt. Es genügt zu zeigen, daß v in A(Bδ (0))× liegt für
ein δ > 1r . Dazu können wir K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Dann
finden wir ein r0 ∈ |K × | mit ε0 ≤ r0 < r und so, daß P keine Nullstellen in
b : r ≤ |x − a| < r} besitzt. Nun wiederhole man obige Diskussion für r
{x ∈ K
0
statt r (wobei sich α und
Q1
P1
−
×
nicht ändern). Wir erhalten v ∈ A(B 1 (0)) .
0
r0
Wir führen folgende Redeweisen ein.
Definition: i. Zwei rationale Funktionen R und R̃ in K(X) heißen (a, r)-äquiva′
lent, falls ein u ∈ A†1 (∞a )× existiert mit R̃ − R = uu .
r
ii. Der Differentialoperator DP,Q heißt (a, r)-singulär-regulär, falls gilt:
- ρa (DP,Q , r) = r;
- Q
ist (a, r)-äquivalent zu einer rationalen Funktion in K(X), welche keine oder
P
b besitzt, die dann außerdem einfach ist.
genau eine Polstelle in B − (K)
Wegen
(uv)′
uv
=
u′
u
+
v′
v
ist die (a, r)-Äquivalenz wirklich eine Äquivalenzrelation.
1
Lemma 13.14: Für Q
und Q
in K(X) gilt:
P
P1
Q1
Q
v′
1. Ist P1 − P = v für ein v ∈ A(B − )× , so ist
ρa (DP1 ,Q1 , ε) = ρa (DP,Q , ε) f ür alle 0 ≤ ε ≤ r ;
ii. ist
Q1
P1
−
Q
P
=
v′
v
für ein v ∈ A†1 (∞a )× , so existiert ein 0 < ε0 < r mit
r
ρa (DP1 ,Q1 , ε) = ρa (DP,Q , ε) f ür alle ε0 ≤ ε ≤ r .
b : ε ≤ |x − a| < r} konvergieBeweis: Wir wählen 0 ≤ ε0 < r so, daß v ±1 auf {x ∈ K
0
ren. Wegen der Stetigkeit von ρa in ε (Satz 9.4) brauchen wir die behauptete Gleichheit nur für ε0 < ε < r zu zeigen. Sei (L, y) ein generischer Punkt von Bε (a). Wegen
|y − a| = ε ist Bε− (y) ⊆ {x ∈ L : ε0 ≤ |x − a| < r} und damit v ∈ A(Bε− (y)(L))× .
Seien uy bzw. u1,y die Lösungen von DP,Q (u) = 0 bzw. DP1 ,Q1 (u) = 0 aus Lemma
9.2. Also
u′y v ′
u′1,y
Q1
Q v′
(uy v)′
=
= + =
+ =
u1,y
P1
P
v
uy
v
uy v
und damit cu1,y = uy v mit einem geeigneten Skalar c ∈ K × . Daraus folgt sofort
min(ε, ε(DP1 ,Q1 , y)) = min(ε, ε(DP,Q , y))
und mit Lemma 9.7 die Behauptung.
Lemma 13.15: Sei K p-adisch; der Differentialoperator DP,Q sei (a, r)-singulärregulär; die rationale Funktion Q
ist dann (a, r)-äquivalent zu einer rationalen FunkP
b ist, und welche
tion in K(X), für welche a die einzige eventuelle Polstelle in B − (K)
59
dann zudem einfach ist.
Beweis: Auf Grund der Voraussetzung und Lemma 13.14.ii können wir annehmen,
daß
( )
Q
α
=
P B−
X −c
gilt für ein c ∈ B − . Nach Corollar 13.7 ist α = resB − ( Q
) ∈ Zp . Da Z dicht in Zp ist,
P
liegen die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten
( )
α(α − 1) . . . (α − i + 1)
α
:=
i
i!
für i ≥ 0 wiederum in Zp . Also hat die Potenzreihe
∞ ( )
∑
α i
(1 + x) :=
x
i
i=0
α
den Konvergenzradius 1 und liegt in A(B1− (0))× . Somit ist (1 + (a − c)x)α ∈ A†1 (0)×
r
und
(
)α
x−c
1 α
u(x) := (1 + (a − c)
) =
∈ A†1 (∞a )× .
r
x−a
x−a
Wegen
u′
u
=
α
x−c
−
α
x−a
hat
Q
P
−
u′
u
höchstens einen (einfachen) Pol in a.
Satz 13.16: Sei K p-adisch; dann sind äquivalent:
i. Es existiert ein 0 < ε0 < r, so daß ρa (DP,Q , ε) = ε für alle ε0 ≤ ε ≤ r;
ii. DP,Q ist (a, r)-singulär-regulär.
Beweis: Die Implikation von i. nach ii. ist Satz 13.13. Sei also umgekehrt DP,Q nun
(a, r)-singulär-regulär. Nach Lemma 13.15 existiert ein u ∈ A†1 (∞a )× , so daß die
r
b
Q
Q1
u′
:= + als eventuelle einzige (einfache) Polstelle in B − (K)
rationale Funktion
P1
P
u
den Punkt a besitzt. Aus Lemma 13.14.ii folgt einerseits
ρa (DP1 ,Q1 , r) = ρa (DP,Q , r) = r
und andererseits, daß es genügt, die Aussage i. für DP1 ,Q1 statt DP,Q zu beweisen.
1
). Nach Corollar 13.7 gilt α ∈ Zp . Im Beweis von Satz 13.11 bzw.
Sei α := resB − ( Q
P1
in Satz 9.9 haben wir gesehen, daß ein v ∈ A(B − )× existiert mit
DP2 ,Q2 (v) = 0 für
Q1
α
Q2
:=
−
.
P2
P1
X −a
Also ist
α
v′
Q1
=
+
P1
X −a
v
und Lemma 13.14.i reduziert uns auf den Beweis von i. für den Differentialoperator
DX−a,α . Wegen α ∈ Zp ist Letzteres aber in Satz 13.8 enthalten.
60
b es gelte
Bemerkung 13.17: Sei K p-adisch, und sei 0 < r0 < r mit r0 ∈ |K|;
b : r ≤
ρ (D , r ) = r und ρ (D , r) = r; besitzt Q keine Pole in {x ∈ K
a
P,Q
0
0
a
|x − a| < r}, so ist
P,Q
0
P
ρa (DP,Q , ε) = ε f ür alle r0 ≤ ε ≤ r .
Beweis: Wir können K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Wenn man den
Beweis von Satz 13.13 nocheinmal durchgeht, sieht man, daß nur die gegenwärtigen
Voraussetzungen benötigt wurden, um die Existenz eines u ∈ A(B −1 (∞a ))× zu
zeigen, so daß
Q1
P1
:=
Q
P
+
u′
u
r0
eine rationale Funktion mit höchstens einer (einfachen)
b bei a ist. Unter Benutzung von Lemma 13.14.ii und der Stetigkeit
Polstelle in B − (K)
von ρa folgt daraus
ρa (DP,Q , ε) = ρa (DP1 ,Q1 , ε) für alle r0 ≤ ε ≤ r .
Nun kann man wie im zweiten Teil des Beweises von Satz 13.16 weiterargumentieren.
Auf A 1 (0) haben wir die Norm ∥f ∥ 1 = |f |0 ( 1r ) =
r
r
haben wir auf A 1 (∞a ) die Norm |f |a (r) =
r
max
x∈K,|x|= r1
max
x∈K,|x−a|=r
|f (x)|. Dementsprechend
|f (x)|. Die Polynome und also
b liegen dicht in dem Baerst recht die rationalen Funktionen ohne Pole in B 1 (0)(K)
r
b
nachraum A 1 (0). Folglich liegen die rationalen Funktionen ohne Pole in B 1 (∞ )(K)
dicht in A 1 (∞a ) bezüglich | |a (r).
r
r
Lemma 13.18: Sei R ∈ K(X); existiert ein u ∈ A 1 (∞a )× mit R =
r
resB − (R) = 0.
u′
,
u
a
r
so gilt
b
Beweis: Wir finden eine Folge {un }n rationaler Funktionen ohne Pole in B 1 (∞a )(K)
r
′
mit lim |u − un |a (r) = 0. Wegen Lemma 13.6 gilt resB − (R) = lim resB − ( uunn ).
n−→∞
n−→∞
′
Aus Bemerkung 13.4 wissen wir, daß resB − ( uunn ) gleich der Differenz aus der Anzahl der Nullstellen und der Anzahl der Polstellen (jeweils mit Multiplizitäten) von
b ist. Da eine rationale Funktion genauso viele Null- wie Polstellen
u in B − (K)
n
b ∪ {∞} besitzt, folgt, daß −res − ( u′n ) gleich der Anzahl der Nullstellen von
in K
B
un
b
un in B 1 (∞a )(K) ist. Für genügend großes n ist |u − un |a (r) < |u|a (r). Dann ist
r
∑ u−un i
1
n
( u ) konvergent in A 1 (∞a ). Somit ist 1 − u−u
und damit auch
u−un =
u
1−
u
r
i≥0
un = u − (u − un ) = u(1 −
für genügend großes n.
u−un
)
u
′
eine Einheit in A 1 (∞a ). Also folgt resB − ( uunn ) = 0
r
Corollar 13.19: Sind R, R̃ ∈ K(X) (a, r)-äquivalent, so gilt
resB − (R̃) = resB − (R) .
61
§14 Der Robba-Ring
Eine Laurentreihe (in einer Variablen) mit Koeffizienten in K ist eine formale Reihe
∑
F (X) =
an X n mit an ∈ K .
n∈Z
Sind 0 < δ ≤ ε, so heißt F (X) (δ, ε)-konvergent, falls
lim |a−n |δ −n = lim |an |εn = 0 .
n−→∞
n−→∞
Parallel dazu betrachten wir für ein a ∈ K und eine beliebige Erweiterung L von K
den Kreisring
Bδ,ε (a)(L) := {x ∈ L : δ ≤ |x − a| ≤ ε} .
Für jede (δ, ε)-konvergente Laurentreihe F konvergiert die Funktion f (x) = F (x−a)
auf Bδ,ε (a)(L). Den Vektorraum aller solchen Funktionen auf Bδ,ε (a) bezeichnen wir
mit Aδ,ε (a). Dies ist ein Ring, welcher Aε (a) und A 1 (∞a ) als Unterringe enthält.
δ
Für jedes δ ≤ ε′ ≤ ε ist
|f |a (ε′ ) := max |an |ε′n
n∈Z
eine Norm auf Aδ,ε (a) .
Bezeichne B = Br (a) weiterhin unseren affinoiden Ball mit zugehörigem affinoiden
offenen Ball B − = Br− (a). Der Robba-Ring von B − ist der Ring
∪
∩
Aδ,ε (a)
R(B − ) : =
0<δ<r δ≤ε<r
= alle Laurentreihen in x − a, welche (δ, ε)-konvergent
sind für ein 0 < δ < r und alle δ ≤ ε < r .
Zu jedem einzelnen f ∈ R(B − ) existiert ein 0 < δ < r, so daß f auf {x ∈ L :
δ ≤ |x − a| < r} konvergiert. Aber es gibt keinen Punkt, in dem alle Funktionen in
R(B − ) konvergieren. Wie die Notation schon andeutet, ist R(B − ) unabhängig von
der Wahl des Punktes a ∈ B − . Ist nämlich b ∈ B − , so gilt
Aδ,ε (b) = Aδ,ε (a) für |a − b| < δ ≤ ε .
Offensichtlich sind A(B − ) und A†1 (∞a ) Unterringe von R(B − ). Aber wir haben
r
auch die exakte Sequenz
⊆
γa
0 −→ A(B − ) −→ R(B − ) −→
(
wobei
γa
∑
1
A†1 (∞a ) −→ 0 ,
x−a r
)
an (x − a)n
:=
∑
n<0
n∈Z
natürlich kein Ringhomomorphismus ist.
62
an (x − a)n
Bemerkung 14.1: Jede rationale Funktion ̸= 0 in K(X) ist invertierbar in R(B − ).
Beweis: Es genügt zu zeigen, daß jedes Polynom S ̸= 0 invertierbar in R(B − ) ist.
Dazu zerlegen wir S = S0 S1 in ein Produkt von Polynomen S0 und S1 so, daß
b besitzt. Wir wissen
S0 bzw. S1 alle Nullstellen bzw. keine Nullstellen in B − (K)
schon (vgl. den Beweis von Satz 9.9), daß S1 invertierbar in A(B − ) ist. Andererb Ein analoges
seits hat das Polynom X deg(S0 ) S ( 1 + a) keine Nullstelle in B 1 (0)(K).
Argument liefert daher, daß X
0 X
deg(S0 )
r
S0 ( X1 + a) invertierbar in A†1 (0) ist. Folglich ist
r
(X − a)− deg(S0 ) S0 invertierbar in A†1 (∞a ) .
r
Die Ableitung
∑
∑
d
nan (x − a)n−1
: f (x) =
an (x − a)n 7−→ f ′ (x) :=
dx
n∈Z
n∈Z\{0}
ist wohldefiniert auf allen Aδ,ε (a) und damit auch auf R(B − ). Wir sehen also, daß
der Differentialoperator
DP,Q : R(B − ) −→ R(B − )
wohldefiniert ist.
Lemma 14.2: Hat DP,Q |R(B − ) endlichen Index, so ist DP,Q |A(B − ) ein Fredholmoperator.
Beweis: Das Diagramm
0
/ A(B − )
⊆
/ R(B − )
DP,Q
0
/ A(B )
−
γa
⊆
/ R(B )
−
1
A†1 (∞a )
x−a r
/0
DP,Q
/
γa
1
/
A†1 (∞a )
x−a r
/0
ist kommutativ mit exakten Zeilen. Wegen des Schlangenlemmas genügt es also zu
zeigen, daß der Kern des gestrichelten Pfeiles endlich dimensional ist. Da γa ein
1
Projektor auf x−a
A†1 (∞a ) ist, ist der gestrichelte Pfeil gleich dem Kompositum
r
DP,Q
1
1
γa
⊆
A†1 (∞a ) −→ R(B − ) −−−→ R(B − ) −→
A†1 (∞a ) .
x−a r
x−a r
Es existiert ein N ∈ N, so daß sich dieses Kompositum schreiben läßt als
DP,Q
1
1
γa
A†1 (∞a ) −−−→ (x − a)N A†1 (∞a ) −→
A†1 (∞a ) .
r
x−a r
x−a r
Der Kern der linken Abbildung ist endlich dimensional nach Voraussetzung. Der
Kern der rechten Abbildung hat die Dimension N + 1. Also ist der Kern des Kompositums endlich dimensional.
63
Ohne Beweis zitieren wir die sogenannte Motzkin-Zerlegung (Ann. Inst. Fourier 27
(1), S. 67 - 82, 1977).
Satz 14.3: Jede Einheit f ∈ R(B − )× besitzt eine Produktzerlegung
f = (x − a)m gh
mit m ∈ Z, g ∈ A(B − )× und h ∈ A†1 (∞a )× ; dabei ist µ(f ) := m eindeutig durch f
r
bestimmt.
Definition: Zwei rationale Funktionen R und R̃ in K(X) heißen B − -äquivalent,
′
falls ein f ∈ R(B − )× existiert mit R̃ − R = ff .
Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir für ein Polynom 0 ̸= S ∈ K[X]
im Folgenden mit nB − (S) die Anzahl der Nullstellen von S (mit Multiplizität) in
b
B − (K).
1
und Q
zwei B − -äquiSatz 14.4: Sei K algebraisch abgeschlossen, und seien Q
P
P1
valente rationale Funktionen in K(X); hat DP,Q |R(B − ) endlichen Index, so auch
DP1 ,Q1 |R(B − ), und es gilt
ind(DP,Q |R(B − )) = ind(DP1 ,Q1 |R(B − ))
und
ind(DP,Q |A(B − )) + nB − (P ) = ind(DP1 ,Q1 |A(B − )) + nB − (P1 ) .
Beweis: Sei
Q1
P1
−
Q
P
=
f′
f
mit f ∈ R(B − )× . Das kommutative Diagramm
R(B − )
DP,Q
f· ∼
=
∼
=
R(B − )
/ R(B − )
DP1 ,Q1
P1
f·
P
/ R(B − )
(beachte Bemerkung 14.1) zeigt, daß mit DP,Q |R(B − ) auch DP1 ,Q1 |R(B − ) den gleichen endlichen Index hat. Nach Lemma 14.2 sind ferner DP,Q |A(B − ) und PP1 ,Q1 |A(B − )
beides Fredholmoperatoren. Es bleibt also, die behauptete Identität für ihre Indizes
zu zeigen. Wegen Lemma 8.2 und §8 Beispiel II) ist diese äquivalent zu
ind(P1 DP,Q |A(B − )) = ind(P DP1 ,Q1 |A(B − )) .
Sei f = (x − a)m gh eine Motzkin-Zerlegung von f . Es genügt, die beiden Fälle
f = (x − a)m und f = gh zu betrachten.
1. Fall: Sei f = (x − a)m . Dann haben wir das kommutative Diagramm
A(B − )
(x−a)m ·
P1 DP,Q
A(B − )
/ A(B − )
P DP1 ,Q1
64
(x−a)m ·
/ A(B − ) .
Die Identität folgt also wiederum mit Lemma 8.2 und §8 Beispiel II).
2. Fall: Sei f = gh. Zunächst haben wir das kommutative Diagramm
P1 DP,Q
A(B − )
/ A(B − )
g· ∼
=
∼
= g·
A(B − )
P1 DP,Q −P1 P
g′
/ A(B − )
g
und ein analoges auf R(B − ). Außerdem gilt
P1 DP,Q − P1 P
g′
h′
= P DP1 ,Q1 + P P1 .
g
h
Also reduziert sich die behauptete Identität auf
h′
|A(B − )) = ind(P DP1 ,Q1 |A(B − )) .
h
Wegen Bemerkung 14.1 haben wir andererseits
ind(P DP1 ,Q1 + P P1
ind(P DP1 ,Q1 |R(B − )) = ind(DP1 ,Q1 |R(B − )) = ind(DP,Q |R(B − ))
g′
= ind(P1 DP,Q |R(B − )) = ind(P1 DP,Q − P1 P |R(B − ))
g
′
h
= ind(P DP1 ,Q1 + P P1 |R(B − )) .
h
Unter Verwendung der kurzen exakten Sequenz
1
A†1 (∞a ) −→ 0
x−a r
und Lemma 8.1 folgt, daß die gesuchte Identität gleichbedeutend ist mit
⊆
γa
0 −→ A(B − ) −→ R(B − ) −→
1
h′
1
)|
A†1 (∞a )) = ind(γa ◦ P DP1 ,Q1 |
A†1 (∞a )) .
h x−a r
x−a r
Nun existiert aber ein N ∈ N mit
h′
1
1
(P DP1 ,Q1 + P P1 )(
A†1 (∞a )) + P DP1 ,Q1 (
A†1 (∞a )) ⊆ (x − a)N A†1 (∞a ) .
r
h x−a r
x−a r
Deswegen genügt es schließlich zu zeigen, daß die beiden Operatoren
ind(γa ◦ (P DP1 ,Q1 + P P1
1
h′
und P DP1 ,Q1 :
A†1 (∞a ) −→ (x − a)N · A†1 (∞a )
r
h
x−a r
den gleichen Index haben. Dies ist aber klar auf Grund des kommutativen Diagrammes
′
P DP1 ,Q1 +P P1 hh
1
†
/ (x − a)N A†1 (∞a )
A 1 (∞a )
r
x−a r
P DP1 ,Q1 + P P1
=
h· ∼
∼
= h·
1
A†1 (∞a )
x−a r
P DP1 ,Q1
65
/ (x − a)N A†1 (∞a ) .
r
1
Satz 14.5: Seien Q
und Q
zwei B − -äquivalente rationale Funktionen in K(X);
P
P1
dann gilt:
i. Es existiert ein 0 < ε0 < r mit
ρa (DP1 ,Q1 , ε) = ρa (DP,Q , ε)
f ür alle ε0 ≤ ε ≤ r ;
′
1
1
ii. resB − ( Q
) = resB − ( Q
) + µ(f ), falls Q
−Q
= ff mit f ∈ R(B − )× .
P1
P
P1
P
Beweis: i. Man wiederhole den Beweis von Lemma 13.14. ii. (Skizze) Die Abbildung
resB − : K(X) −→ K
setzt sich fort zu der Linearform
res : ∑
R(B − ) −→ K
an (x − a)n 7−→ a−1 .
n∈Z
Es genügt also zu zeigen, daß gilt
( ′)
f
res
= µ(f ) für alle f ∈ R(B − ) .
f
Sei f = (x − a)m gh eine Motzkin-Zerlegung von f . Dann ist
( ′)
(
)
( ′)
( ′)
( ′)
f
m
g
h
h
res
= res
+ res
+ res
= µ(f ) + res
,
f
x−a
g
h
h
da trivialerweise res|A(B − ) = 0. In Verallgemeinerung des Argumentes im Beweis
von Lemma 13.18 zeigt man, daß
( ′)
h
res
= 0 für alle h ∈ A†1 (∞a )× .
r
h
Die B − -Äquivalenz ist am besten in dem folgenden allgemeinen algebraischen Kontext zu verstehen.
Definition: Ein R(B − )-Differentialmodul ist ein Paar (M, D) bestehend aus einem freien R(B − )-Modul M von endlichem Rang und einem K-linearen Operator
D : M −→ M , für welchen gilt
D(f m) = f ′ m + f D(m) f ür alle f ∈ R(B − ) und m ∈ M .
Natürlich heißen zwei R(B − )-Differentialmoduln (M1 , D1 ) und (M2 , D2 ) isomorph,
wenn es einen R(B − )-linearen Isomorphismus
∼
=
α : M1 −→ M2
mit D2 ◦ α = α ◦ D1
66
gibt. Die Differentialmoduln von Rang 1 sind bis auf Isomorphie von der Form
(R(B − ), D). Dabei sind (R(B − ), D1 ) und (R(B − ), D2 ) genau dann isomorph, wenn
ein f ∈ R(B − )× existiert mit
( ′ )
f
D1 − D2 =
· .
f
Als Ausblick sei das folgende Theorem von Christol/Mebkhout (vormals die sogenannte Robba-Vermutung) erwähnt.
d
Theorem: Hat der Differentialoperator D ∈ K[x, dx
] auf R(B − ) einen Index, so
ist dieser = 0.
§15 Der Indexsatz
Sei K p-adisch und algebraisch abgeschlossen. Sei B = Br (a) ein affinoider Ball,
B − = Br− (a), D := DP,Q und nB − (P ) die Anzahl der Nullstellen von P in B − .
Satz 15.1: Es liege nicht der Fall vor, daß D (a, r)-singular-regulär ist mit einer
); dann gilt:
Liouville-Zahl resB − ( Q
P
−
i. D|A(B ) ist ein Fredholmoperator;
ii. die linksseitige Ableitung der Funktion va (D, .) im Punkte log r existiert;
iii. ind(D|A(B − )) = d− va (D, log r) − nB − (P ).
Beweis: 1. Fall: D sei (a, r)-singulär-regulär, aber α := resB − ( Q
) sei keine LiouvilleP
Q
α
−
Zahl. Im Beweis von Satz 13.16 haben wir gesehen, daß P B -äquivalent zu X−a
ist
(beachte dabei auch Corollar 13.19). Eine leichte Verallgemeinerung des Beweises
von Satz 13.9 ergibt, daß DX−a,α sowohl auf R(B − ) wie auf A(B − ) den Index 0
hat. Also folgt aus Satz 14.4, daß DP,Q auf R(B − ) den Index 0 und auf A(B − ) den
Index 1 − nB − (P ) hat. Nach Satz 14.5.i und Satz 13.8 existiert ein 0 < ε0 < r, so
daß ρa (D, ε) = ε für alle ε0 ≤ ε ≤ r. Also ist d− va (D, log r) = 1.
2. Fall: Es existiere eine Folge 0 < ε1 < . . . < εn < . . . < r, welche gegen r
konvergiert, und so daß ρa (D, εn ) = εn für alle n ∈ N gilt. Wegen der Stetigkeit von
ρa (D, .) ist dann auch ρa (D, r) = r. Wir können sicherlich ein n0 ∈ N so wählen,
daß P keine Nullstellen in {x : εn0 ≤ |x − a| < r} besitzt. Wenden wir Bemerkung
13.17 auf eine Erweiterung L von K mit |L× | = R>0 an, so erhalten wir ρa (D, ε) = ε
für alle εn0 ≤ ε ≤ r. Nach Satz 13.13 sind wir damit aber im ersten Fall.
3. Fall: Es existiere ein 0 < ε0 < r, so daß ρa (D, ε) < ε gilt für alle ε0 ≤ ε < r. Wir
können dann zusätzlich annehmen, daß P keine Nullstellen in {x : ε0 ≤ |x − a| < r}
besitzt. Nach Lemma 10.5 ist die Funktion va (D, t) auf [log ε0 , log r) stückweise
linear und konkav, und alle links- wie rechtsseitigen Ableitungen sind ganze Zahlen.
Genauer ist
1
∗
−
d− va (D, t) = nB − (P ) − nBexp
(a) (Qm )
t
m
für ein m ∈ N, welches von t ∈ [log ε0 , log r) abhängt. Mit ε := exp t ergibt sich also
∗
∗
)))
)) − nBε− (a) (Nenner(Rm
d− va (D, t) = − m1 (nBε− (a) (Zähler(Rm
1
∗
≥ − m · Anzahl der Polstellen von Rm in B 1 (∞a ) .
ε
67
∗
Aus der Rekursionsformel für Rm
folgt aber
∗
Anzahl der Polstellen von Rm
in B 1 (∞a )
ε
≤ m · Anzahl der Polstellen von
Q
in B 1 (∞a ) .
ε
P
Somit erhalten wir
d− va (D, t) ≥ − Anzahl der Polstellen von
≥ − Anzahl der Polstellen von
Q
P
Q
P
in B 1 (∞a )
ε
in B 1 (∞a ) ,
ε0
wobei der letzte Term unabhängig von t ist. Folglich existiert ein ε0 ≤ ε1 < r, so
daß va (D, t) auf [log ε1 , log t) und damit auf [log ε1 , log r] linear ist. Nach Satz 10.4
ist dann
ind(D|Aρ (a)) = d− va (D, log r) − nB − (P )
für alle ρ ∈ [ε1 , r) ∩ |K|. Wir wählen eine Folge ε1 ≤ ρ1 < . . . < ρi < . . . < r in |K|,
welche gegen r konvergiert. Dann ist
Aρ1 (a) ⊇ . . . ⊇ Aρ1 (a) ⊇ . . .
eine absteigende Folge von Banachräumen mit
∩
A(B − ) =
Aρi (a) .
i∈N
Die absteigende Folge der endlich dimensionalen Kerne ker(D|Aρi (a)) muß konstant
werden. Also folgt
ker(D|A(B − )) = ker(D|Aρi (a)) für großes i .
Da der Index ind(D|Aρi (a)) nicht von i abhängt, wird auch die Folge der Dimensionen der Vektorräume coker(D|Aρi (a)) konstant. Alle Inklusionen Aρi+1 (a) ⊆ Aρi (a)
haben dichtes Bild, da in allen diesen Räumen die Polynome dicht liegen. Nach
Satz 8.8 sind also für großes i die äußeren senkrechten Pfeile in dem kommutativen
Diagramm
0
/ ker(D|Aρ (a))
i+1
∼
=
0
/ ker(D|Aρ (a))
i
/ Aρ (a)
i+1
⊆
/ Aρ (a)
i
/ Aρ (a)
i+1
D
⊆
/ Aρ (a)
i
D
/ coker(D|Aρ (a))
i+1
/0
∼
=
/ coker(D|Aρ (a))
i
/0
Isomorphismen von endlich dimensionalen Vektorräumen. Mit Hilfe der sogenannten
Mittag-Leffler-Bedingung (EGA III 0.13.2.4) folgert man, daß die durch Übergang
zum projektiven Limes entstehende Sequenz ebenfalls exakt ist. Das bedeutet insbesondere
coker(D|A(B − )) ∼
= lim coker(D|Aρi (a)) .
←−
i
68
Für großes i ist die rechte Seite aber isomorph zu coker(D|Aρi (a)) und damit
ind(D|A(B − )) = ind(D|Aρi (a)) = d− va (D, log r) − nB − (P ) .
Bemerkung 15.2: Es gelte ρa (D, r) = r. Ist D (a, r)-singulär-regulär und resB − ( Q
)
P
keine Liouville-Zahl, so ist
d− va (D, log r) = 1 .
Ist D nicht (a, r)-singulär-regulär, so zeigen die Argumente im 3. Fall des obigen
Beweises, daß
d− va (D, log r) > 1 .
69