Additive Zahlentheorie

Additive Zahlentheorie
Christoph Weiß
Iffeldorf
6.1.2005–9.1.2005
1
Definitionen und Notationen
• Sei A ⊂ Z Folge ganzer Zahlen. Dann heißt
A(n) := |{a ∈ A : 1 ≤ a ≤ n}|
Zählfunktion von A,
A(n)
n∈N n
σA := inf
heißt (Schnirelmann-)Dichte von A.
Es gilt: (i)
(ii)
σA = 1 ⇔ N ⊂ A
∀n ∈ N : n σA ≤ A(n)
• Sind A, B ⊂ Z, so bezeichnet
A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
und
mA := A
. . + A}
| + .{z
m−mal
Lemma. Sei 0 ∈ A ∩ B, A(n) + B(n) ≥ n. Dann gilt
n ∈ A + B.
Beweis. Ist n ∈ A oder n ∈ B, so ist wegen 0 ∈ B bzw. 0 ∈ A auch n ∈ A + B.
Sei also n 6∈ A, B. Somit ist A(n) = A(n − 1), B(n) = B(n − 1), also
A ∩ [1, n − 1] = {a1 , . . . , aA(n) },
a1 < . . . < aA(n) ,
B ∩ [1, n − 1] = {b1 , . . . , bB(n) },
b1 < . . . < bB(n) .
sowie
Da
|{a1 , . . . , aA(n) , n − b1 , . . . , n − bB(n) }| ≤ n − 1,
aber
A(n) + B(n) ≥ n > n − 1,
folgt nach dem Dirichletschen Schubfachprinzip, dass
∃i, j :
ai = n − bj ,
also
n = ai + bj ∈ A + B.
Korollar. Ist 0 ∈ A, σA ≥ 12 , so gilt
2A ⊃ N.
Beweis. Folgt sofort aus dem obigen Lemma, da
∀n ∈ N :
A(n) + A(n) = 2A(n) ≥ 2n σA ≥ n.
Satz. Sei 0 ∈ A ∩ B. Dann gilt
σ(A + B) ≥ σA + σB − σAσB.
Beweis. Wir betrachten wieder
A ∩ [1, n] = {a1 , . . . , aA(n) },
a1 < . . . < aA(n) .
Wir definieren die Größe der Lücken“ li als
”
li := ai+1 − ai − 1.
Damit gilt dann
X
(A + B)(n) ≥ A(n) +
X
A(n)−1
A(n)−1
B(li ) ≥ A(n) + σB
li =
i=1
i=1
= A(n) + σB(n − A(n)) ≥ n σA − n σB − n σAσB
Folglich also
(A + B)(n)
≥ σA + σB − σAσB,
n
∀n ∈ N :
und somit die Behauptung.
Folgerung. Es gilt also
1 − σ(A + B) ≤ (1 − σA)(1 − σB),
und damit (induktiv)
1 − σ(nA) ≤ (1 − σA)n .
Daraus folgt zusammen mit dem Korollar:
σA > 0 ⇒ ∃n ∈ N : N ⊂ nA.
Bemerkung 1. Die Ungleichung aus dem Satz zuvor läßt sich verschärfen zu
σ(A + B) ≥ σA + σB,
dem Satz von Mann.
Bemerkung 2. Man kann zeigen:
σ({0, 1} ∪ 2P) > 0
Mit vorherigen Folgerung folgt daraus
∃N ∈ N : N({0, 1} ∪ 2P) ⊃ N.
Durch einfache Umformung (Tipp: Einsen in der Summe darstellen als Summe von
Zweien und ggf. einer Drei) gewinnt man daraus:
∃C ∈ N : C(P ∪ {0}) ⊃ N \ {1}