2 Borels starkes Gesetz der großen Zahlen

2
Borels starkes Gesetz der großen
Zahlen
7. Satz Sei (Zi )i∈N iid mit Z1
P
∼ B(1, p). Dann
ω ∈ Ω : lim 1/n ·
n→∞
n
X
Zi (ω) = p
i=1
Beweis. Skiizze P ROJEKTOR, Details T UTORIUM
= 1.
Siehe auch Satz VI.34. Sprechweise: eine Eigenschaft gilt für fast alle ω
bzw. fast sicher, falls sie für alle ω aus einer Menge A
∈ A mit P (A) = 1
gilt.
8. Beispiel Unabhängige, unendliche Folge von Münzwürfen.
121/1
9. Beispiel Simulationsbeispiele
Z1 ∼ B(1, 0.7), n = 50.
n=50
1
0.9
0.8
0.7
0.5
n
S (ω)/n
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
n
30
35
40
45
50
122/1
Z1 ∼ B(1, 0.7), n = 100.
n=100
1
0.9
0.8
0.7
0.5
n
S (ω)/n
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
n
123/1
Z1 ∼ B(1, 0.7), n = 1000.
n=1000
1
0.9
0.8
0.7
0.5
n
S (ω)/n
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
n
124/1
10. Korollar Sei (Xi )i∈N iid und M
alle ω
lim 1/n ·
n→∞
Beweis. Für
n
X
i=1
∈ M. Dann gilt für fast
1M (Xi (ω)) = P ({X1 ∈ M })
Zi := 1M ◦ Xi
gilt (Zi )i∈N iid mit Z1
∼ B(1, p) und p = P ({X1 ∈ M }),
siehe Ü BUNG M:H8, WInf:G6. Wende Satz 7 an.
125/1
11. Bemerkung Damit
• bei Problem A: stochastische Simulation liefert für fast
alle ω für große“ Anzahl n von Wiederholungen gute“
”
”
Näherung. Genauer gilt für eine Menge A ∈ A mit
P (A) = 1
∀ω ∈ A ∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ω, ε) . . .
• bei Problem B: theoretisches Gegenstück zur
beobachteten Konvergenz.
126/1