i≥1 eine Folge von iid Zufallsgrössen mit

EINFÜHRUNG IN DIE STATISTIK–BLATT 9
UNIVERSITÄT BASEL HS2015
ABGABE DI. 1.12.15 UM 16.00
BITTE DEN NAMEN IHRES ASSISTIERENDEN AUF DAS BLATT SCHREIBEN
Must
Übung 1. Sei (Xi )i≥1 eine Folge von iid Zufallsgrössen mit Verteilung
P [X1 = −1] =
P
P [X1 = 1] = 0.5 (Bernoulli). Wir definieren S0 := 0 und Sn := ni=1 Xi . Simulieren Sie
auf R die folgenden Situationen 10 mal (ntimes”) mit n = 100 000 (npoints”). Die Funktionen holen Sie von www.luchsinger-mathematics.ch/Sn.txt und kopieren Sie einfach
in’s R-Command-Tool. Betrachten Sie:
√
Sn , Sn / n und Sn /n.
Standard
Übung 2. (3 Punkte) Der bekannte Automobilhersteller “Ferrami” stellt jede Woche
eine Anzahl X an Autos her. X hat Mittelwert 100.
(1) Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma “Ferrami” mehr als 100 Autos
in einer Woche herstellt?
(2) Nehmen wir an, dass V [X] = 20. Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Firma
“Ferrami” n Autos in einer Woche herstellt, wobei n ∈ [90, 110]?
[Es reich, nicht triviale Schranken anzugeben]
Übung 3. (3 Punkte) Sei {Xk }k∈N eine Folge P
von iid Zufallsgrössen mit E[X1 ] = µ
und 0 < V [X1 ] = σ 2 < ∞ (mit σ > 0). Sei Sn = nk=1 Xk . Nehmen wir an, dass ∀a ∈ R
(fest aber beliebig) gilt
Sn − nµ
√
(CLT)
lim P
≤ a = P [N (0, 1) ≤ a]
n→∞
nσ
wenn n → ∞. Beweisen Sie, dass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(1) ∀ > 0, gilt
√
Sn − nµ Sn
n
n − µ > ⇔ √nσ > σ .
(2) ∀ > 0 und ∀a > 0 ∃n,a ∈ N, s.d.
Sn
Sn − nµ
Sn − nµ
√
√
P − µ > ≤ 1 − P
<a +P
< −a ∀n ≥ n,a .
n
nσ
nσ
1
(3)
Sn
− µ > = 0
lim P n→∞
n
(Nach (1), (2), lima→∞ P [N (0, 1) ≤ a] = 1 und lima→∞ P [N (0, 1) ≤ −a] = 0).
[Diese Übung 3 zeigt, dass CLT ⇒ LLT]
Extra
Übung 4. a) Zeigen Sie: Wenn für jedes 1 > 0 gilt:
X
1 n
lim P Xi − E[X1 ] ≥ 1 = 0,
n→∞
n
i=1
dann auch für jedes 2 > 0
X
2
1 n
2
lim P Xi − (E[X1 ]) ≥ 2 = 0.
n→∞
n
i=1
b); viel einfacher als a) Zeigen Sie: Wenn für jedes 1 > 0 gilt:
2
X
1 n
2
Xi − (E[X1 ]) ≥ 1 = 0
lim P n→∞
n
i=1
und für jedes 2 > 0:
X
1 n
2
2 Xi − E[X1 ] ≥ 2 = 0,
lim P n→∞
n
i=1
dann auch für jedes > 0 :
X
X
2 n
1 n
1
2
2
2 Xi −
Xi − E[X1 ] − (E[X1 ]) ≥ = 0.
lim P n→∞
n
n
i=1
i=1
2