6-Stat. Erzw. Loesungen

BA Erziehungswissenschaft KM 2: Quantitative Forschungsmethoden Seminar Statistik I
Übungsserie Nr. 6
1
Welche 6 Arbeitsschritte gehören aus formaler Sicht, zu jedem prüfstatistischen
Verfahren, mit dem z. B. ein Unterschied in der zentralen Tendenz der Daten
nachgewiesen werden soll?
a. Inhaltliche Fragestellung
b. Statistisch bearbeitbare Fragestellung
c.
Prüfgrösse
d. Arbeitshypothese H0 und Alternativhypothese H1
e. Prüfen der Über- bzw. Unterschreitungswahrscheinlichkeit entsprechend der zuvor
definierten Signifikanzniveaus.
f.
2
Interpretation des Ergebnisses
Zwei Stichproben von Berufsschülerinnen und -schülern wurden mit einem genormten
Konzentrationstest untersucht. Die Jugendlichen aus Stichprobe A sind in einer
grossstädtischen, diejenigen aus Stichprobe B in einer eher ländlichen Umgebung
aufgewachsen. Die in den beiden Stichproben erhobenen Testleistungen können wie folgt
charakterisiert werden:
nA = 22; x A = 65; sA = 11,0
nB = 12; x B = 75; sB = 10,0
2a
Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die beiden Stichproben bezüglich
der Stichprobenmittelwerte und der Stichprobenvarianzen verglichen werden können?
Das interessierende Merkmal, in diesem Fall die Leistung im Konzentrationstest, muss
zumindest intervallskaliert und in den Populationen vergleichbarer Jugendlicher näherungsweise normalverteilt sein.
2b
Welches Testverfahren würden Sie wählen, um die beiden Stichproben hinsichtlich der
zentralen Tendenz zu vergleichen und was haben Sie dabei zu berücksichtigen?
a. Da es sich um intervallskalierte Daten handelt wählt man den t-Test für unabhängige
Stichproben.
b. Anhand des F-Tests prüfen Sie, ob die beiden zu vergleichenden Stichproben aus
Populationen mit heterogener oder homogener Varianz der Merkmalsausprägungen
stammen.
2c
Formulieren Sie die Arbeitshypothese und die Alternativhypothese für den Fall, dass wir
prüfen wollen, inwieweit das bessere Resultat der Stichprobe B auch zufällig zustande
gekommen sein kann.
Arbeitshypothese H0: Die beiden Stichproben stammen aus zwei Populationen, die sich
hinsichtlich der durchschnittlichen Konzentrationsfähigkeit nicht signifikant unterscheiden: H0: µA
= µB
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Alternativhypothese H1: Die Stichprobe B stammt aus einer Population, die hinsichtlich der
durchschnittlichen Konzentrationsfähigkeit besser ist als die Population aus der die Stichprobe
A stammt: H1: µB > µA; Wir wählen eine gerichtete Alternativhypothese, weil wir uns für die
bessere mittlere Leistung von Stichprobe B interessieren.
2d
Die Berechnung mit SPSS hat ergeben, dass die Arbeitshypothese H0 mit einer
Irrtumswahrscheinlichkeit p < 1% zugunsten der Alternativhypothese H1 abgelehnt werden
kann.
Was bedeutet dieses Resultat bezüglich der inhaltlichen Fragestellung der
Untersuchung?
Die Tatsache, dass H0 zu Gunsten der gerichteten Alternativhypothese abgelehnt wird,
bedeutet, dass bei der Interpretation des besseren Leistungsmittelwertes der Stichprobe B von
+10 Punkten der Zufall mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit p < 1% ausgeschlossen werden
kann.
Auf was dieser bessere Mittelwert der Stichprobe B zurückzuführen ist, kann mit statistischen
Mitteln nicht entschieden werden. Plausibel ist wohl eine Interpretation bezüglich des
sozioökonomischen Umfeldes der beiden Stichproben; belegt werden kann dies indessen nicht.
3
In einer einfachen Untersuchung soll nachgewiesen werden, dass bei einer wiederholten
Durchführung eines Aufmerksamkeitstests bei den Probanden ein Lernprozess stattfindet, d.h.
dass sie beim wiederholten Absolvieren des Tests eine höhere Punktzahl erreichen. Zu diesem
Zweck wurde einer Stichprobe von 73 Probandinnen und Probanden ein entsprechender Test
im Abstand von zwei Stunden zweimal vorgelegt. Da angenommen werden darf, dass das
Merkmal 'Aufmerksamkeit' in der Population näherungsweise normalverteilt ist, wurden die
Daten der beiden Erhebungen mit SPSS ausgewertet, wobei sich der folgende
Computerausdruck ergab:
Paired Samples Statistics
Mean
Pair 1
DURCHG_1 Resultat im Durchgang 1
DURCHG_2 Resultat im Durchgang 2
67,0685
72,8082
N
Std. Std. Error
Deviation
Mean
73
21,4323
2,5085
73
19,3826
2,2686
Paired Samples Test
Paired Differences
Mean
Pair 1
DURCHG_1 Resultat
im Durchgang 1 DURCHG_2 Resultat
im Durchgang 2
-5,7397
t
df
Sig.
(2-tailed)
-4,75
72
,000
Std. Std. Error
Deviation
Mean
10,3186
1,2077
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3a
Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann von einer signifikanten Veränderung im
Mittelwert ausgegangen werden?
SPSS nennt die zweiseitige Überschreitungswahrscheinlichkeit des Ausprägungsgrades der
Prüfgrösse x d (Mean: -5,7397). Sie ist kleiner 0,000% [Sig. (2-tailed): .000].
Da wir eine gerichtete Fragestellung untersuchen, muss die einseitige
Unterschreitungswahrscheinlichkeit der Prüfgrösse ermittelt werden. Für normal- und t-verteilte
Prüfgrössen erhalten wir diese durch Halbierung der zweiseitigen
Überschreitungswahrscheinlichkeit, da Normalverteilungen und t-Verteilungen symmetrisch
sind. Die gesuchte einseitige Unterschreitungswahrscheinlichkeit ist kleiner als 0,1%.
H0 wird zugunsten der H1 abgelehnt.
3b
Warum wird die Homogenität der Stichprobenvarianzen nicht geprüft?
Bei abhängigen Stichproben geht man davon aus, dass die Standardabweichungen homogen
sind.
4
Im Rahmen des Kurses „Statistik I“ wurde zu zwei Zeitpunkten den Studierenden ein
Fragebogen zum Ausfüllen unterbreitet. Ein Item bezog sich auf das Körpergewicht.
Der nachfolgend abgedruckte Ausdruck gibt das Ergebnis einer explorativen Datenanalyse
wieder.
N
Gültig
Fehlend
Zeitpunkt t1
Körpergewicht
Zeitpunkt t2
Körpergewicht
66
55
0
11
Mittelwert
59.4470
59.8364
Median
58.0000
58.0000
Modus
58.00
60.00
8.93314
9.77480
Varianz
79.801
95.547
Schiefe
1.724
1.759
.295
.322
4.619
3.872
.582
.634
Spannweite
50.00
48.00
Minimum
45.00
45.00
Maximum
95.00
93.00
Standardabweichung
Standardfehler der Schiefe
Kurtosis
Standardfehler der Kurtosis
Summe
Perzentile
3923.50
3291.00
25
54.0000
54.0000
50
58.0000
58.0000
75
63.0000
64.0000
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Beantworten Sie folgende Fragen mit richtig oder falsch und begründen Sie die Antworten:
a. Die Studierenden sind im Durchschnitt 0.3894 kg schwerer geworden.
Richtig. Der arithmetische Mittelwert liegt in der zweiten Messung um 0.3894 kg höher als
in der ersten Messung.
b. SPSS hat bei der Berechnung einen Fehler gemacht. Es ist gar nicht möglich, dass bei der
geringeren Spannweite der zweiten Messung eine grössere Standardabweichung als in der
ersten Messung vorkommen kann.
Falsch. Die Spannweite gibt Auskunft über die Differenz zwischen dem minimalen und
dem maximalen Ausprägungsgrad des erhobenen Merkmals. Die Standardabweichung
gibt Auskunft über den Abstand der einzelnen Ausprägungsgrade vom arithmetischen
Mittelwert.
c.
Die Werte der Kurtosis der ersten und der zweiten Erhebung wurden verwechselt. Bei einer
geringeren Varianz muss auch die Kurtosis geringer sein.
Falsch. Je grösser die Varianz bzw. die Standardabweichung, um so eher handelt es sich
um eine „breitgipflige“ Verteilung. Wenn die Kurtosis 0 und die Skewness auch 0 beträgt,
so liegt die Form einer Standardnormalverteilung vor. Somit ist es richtig, dass bei
zunehmender Varianz die Kurtosis „abflacht“ und sich gegen 0 bzw. in den Minusbereich
bewegt.
d. Die geringere Summe des gesamten Körpergewichts ergibt sich dadurch, dass 11
Studierende weniger den Fragebogen ausgefüllt haben.
Richtig.
e. Am häufigsten kommt in der ersten Erhebung das Gewicht 58 kg und in der zweiten
Erhebung das Gewicht 60 kg vor.
Richtig. Der Modus beträgt in der ersten Erhebung 58 kg und in der zweiten Erhebung
60 kg.
f.
In der ersten Erhebung und in der zweiten Erhebung sind 25% der Studierenden leichter
oder genau 54 kg schwer.
Richtig.