Festkörperelektronik 2008 Übungsblatt 5 Lichttechnisches - KIT

Festkörperelektronik 2008
Übungsblatt 5
Lichttechnisches Institut
Universität Karlsruhe (TH)
Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer
Dipl.-Phys. Alexander Colsmann
Engesserstraße 13
76131 Karlsruhe
Festkörperelektronik
5. Übungsblatt
26. Juni 2008
Musterlösungen
29. Kristalle
(a) Wann ist ein Festkörper kristallin? Welche Informationen benötigt man, um
einen Kristall eindeutig zu beschreiben? (?)
Ein Kristall zeichnet sich durch vollkommene Translationssymmetrie in allen
Raumrichtungen aus. Das bedeutet, das durch das Aneinanderreihen identischer Bausteine der Raum lückenlos gefüllt wird. Diesen elementaren „Baustein“ bezeichnet man als Einheitszelle des Kristalls. Gleichwertig hiermit ist
die Definition von drei linear unabhängigen Vektoren, die die Einheitszelle aufspannen. Bewegt man sich um ein ganzzahliges Vielfaches dieser Vektoren im
Kristall, erreicht man immer eine zum Ausgangspunkt gleichartige Position
(Hier ist wie häufig die Annahme vorausgesetzt, dass der Kristall unendlich
ausgedehnt ist.)
Durch Angabe der Einheitszelle oder der Gittervektoren wird eine Anordnung
von Punkten im Raum, das Kristallgitter, definiert. Um den materiellen Kristall komplett zu beschreiben, benötigt man noch die Angabe der Basis. Hierbei
handelt es sich um das Objekt, das gemäß der räumlichen Ordnung des Kristallgitters angeordnet wird. Bei der Basis kann es sich um einzelne Atome,
um Gruppen von Atomen bis hin zu komplexen Molekülen bestehend aus vielen Millionen von Atomen handeln. Im Falle des Silizium-Kristalls besteht die
Basis zum Beispiel aus zwei Silizium-Atomen. Die Einheitszelle ist hier kubischflächenzentriert, also ein Würfel mit Gitterplätzen an den Ecken und zusätzlich
je einem Gitterplatz in der Mitte der Seitenflächen. Auf jede dieser Positionen
muss nun die zweiatomige Basis platziert werden, um den Si-Kristall zu bilden.
(b) Welche Herstellungsmethoden von hochreinen kristallinen Festkörpern kennen
Sie? Beschreiben Sie deren Funktionsweise. (?)
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Sehr große Kristalle von guter Qualität können aus der Schmelze gezogen werden. Hier wird ein bereits sehr reines Vorgängermaterial in einem Tiegel geschmolzen und ein kleiner Brocken kristallinen Materials hineingetunkt. Bewegt
man nun sehr langsam und unter genau kontrollierten Bedingungen den Kristall nach oben, so bleibt die untere Seite immer mit Schmelze benetzt, welche
dort abkühlt. Die sich so anlagernden Atome kommen fast immer auf einem
regulären Gitterplatz zur Ruhe. So können fast perfekte Kristalle von mehr als
einem Meter Länge und etlichen 10 Zentimeter Durchmesser entstehen. Eine
weitere Variante der Herstellung von Kristallen ist die Epitaxie. Hier werden
die Ausgangsmaterialien in fester, flüssiger oder gasförmiger Phase mit einem
Substrat in Kontakt gebracht, wobei eine Schicht des Zielmaterials auf diesem „wächst“. So können zum Beispiel die Ausgangsmaterialien unter Vakuum
verdampft und der Gasstrom auf ein beheiztes Substrat gerichtet werden.
(c) Wann spricht man von polykristallinen, wann von amorphen Festkörpern? (?)
Im amorphen Festkörper existiert keine Fernordnung, also auch keine Translationssymmetrie wie in Kristallen. In polykristallinen Materialien existieren
Bereiche mit strenger Ordnung, die Bereiche untereinander weisen jedoch keine Symmetrien auf.
(d) Kauft man einen Siliziumwafer, so ist genau gekennzeichnet, entlang welcher
Kristallebene der Schnitt verläuft. Warum ist das in Kristallen wichtig? Ist eine
solche Angabe auch für eine Schicht amorphes Silizium oder Glas sinnvoll? (??)
Kristalline Strukturen haben, je nach Raumrichtung, verschiedene Geometrien.
Da hiervon auch die physikalischen Eigenschaften abhängen, ist es wichtig zu
wissen, entlang welcher Gitterebene der Einkristall geschnitten wurde. So kann
es zum Beispiel Bewegungsrichtungen im Kristall geben, entlang derer die Elektronenbeweglichkeit besonders hoch ist. In amorphen Materialien gibt es solche
Vorzugsrichtungen nicht, in Näherung bietet sich in jede Richtung das gleiche
Bild. Daher sind auch die Eigenschaften isotrop und eine Kennzeichnung einer
bestimmten Ebene nicht möglich und nötig.
30. Leitfähigkeit
(a) Wie ist die Leitfähigkeit definiert? Welche Faktoren bestimmen die Leitfähig-
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keit im Halbleiter und wie kann man diese beeinflussen? (?)
Die Leitfähigkeit ist definiert als
σ = e(µe n + µh p)
(1)
S
1
in den Einheiten [σ] = m
= Ωm
. Sowohl Elektronen, als auch Löcher tragen
zu ihr bei. Die Beiträge hängen jeweils von der Beweglichkeit der Teilchensorte und ihrer Dichte ab. Die Dichte der Teilchen ist beeinflussbar, vor allem
durch das gezielte Einbringen von Fremdatomen (mehr dazu in Kürze). Die
Beweglichkeit ist ein Materialparameter, der allerdings durch äußere Einflüsse
verändert werden kann. Da man sich die Beweglichkeit als abhängig von Summe
der Effekte, die zur Streuung des Elektrons führen, vorstellen kann, spielt zum
Beispiel die Reinheit des Halbleiters eine entscheidende Rolle. Gitterfehlstellen,
Versetzungen und Fremdatome vermindern die Beweglichkeit maßgeblich.
(b) In eine organische Dünnschicht-LED (OLED) werden über 2 Metallkontakte
Elektronen bzw. Löcher injiziert. Die Dicke der organischen Schicht ist typischer Weise ca. 200 nm. Nehmen Sie an, daß Elektronen und Löcher die gleiche
Mobilität von µ = 10−3 cm2 V−1 s−1 besitzen und etwa in der Mitte der Schicht
unter Abstrahlung von Licht rekombinieren. Wie lange dauert es demnach,
bis die ersten Ladungsträger nach dem Einschalten der Spannung U=6 V die
Rekombinationszone erreicht haben? (??)
Aus der Vorlesung ist die mittlere Geschwindigkeit v bekannt: v = µE =
x = d2 und mit E = Ud folgt für die Zeitdauer
t=
x
d
d2 ∼
=
=
= 33 ns
µE
2µE
2µU
x
t
mit
(2)
(c) Ist diese organische LED damit für Daten Übertragungen im GBit-Bereich
durch aktive Modulation geeignet? (??)
Um eine Diode einzuschalten sind also ca. 33 ns nötig. Nehmen wir die
gleiche Zeit an, um die Diode wieder auszuschalten, dann läßt sich eine Diode
maximal 1, 5 · 107 mal in der Sekunde ein- und ausschalten. Dies entspricht
einer maximalen Schaltfrequenz von 15 MHz.
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Diese Abschätzung ist insofern optimistisch, als daß insbesondere in Polymeren viele Defekte zu einer Reduzierung des Ladungstransportes führen.
Ferner wird Elektrolumineszenz (Abstrahlung von Licht als Resultat von
Ladungsträger-Rekombination) erst beobachtet, wenn sich Raumladungen
aufgebaut haben. Es ist auch davon auszugehen, daß sich injizierte Ladungen
länger als angenommen im Material aufhalten können.
Demnach kann eine organische Leuchtdiode im Gigahertz-Bereich nicht aktiv
(durch Ein- und Ausschalten) moduliert werden. Sollen Daten mit organischen
Leuchtdioden als Signalquelle übertragen werden, so muß das Signal passiv,
also durch einen externen Modulator, moduliert werden.
(d) Die Beweglichkeit der Elektronen in einem Film aus dem organischen Halbleitermaterial PFO ist abhängig vom angelegten Feld über:
√
µ(E) = µ0 exp(α E)
(3)
Hier ist µ0 = 4, 3 · 10−5 cm−2 /Vs und α = 3, 48 · 10−3 cm−1/2 /V−1/2 . Nun
werden an einen 100 nm dicken Film 5 V Spannung angelegt. Wie groß
müsste die Ladungsträgerdichte sein, damit die Stromdichte erreicht wird,
die in einem ebenso dicken Siliziumplättchen bei gleicher Spannung mit einer Elektronen-Konzentration von 1016 cm−3 (Löcher sind vernachlässigbar)
fließt (µn = 1500 cm2 /Vs, µp = 500 cm2 /Vs)? (??)
Die Stromdichte hängt vom angelegten Feld entsprechend J = σE mit σ =
e(µn n + µp p) ab. Der Löcheranteil an der Stromdichte darf laut Aufgabenstellung vernachlässigt werden. Wenn nun die gleiche Stromdichte in beiden Fällen
fließen soll, setzen wir an:
JSi = JP F O
p
U
U
eµn, Si nSi
= enP F O µ0 exp(α U/d)
d
d
(4)
(5)
mit der Feldstärke E = U/d. Wir können diese Gleichung nach der gesuchten
Größe nP F O auflösen und erhalten:
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nP F O =
µn, Si nSi
p
= 2, 98 · 1022 cm−3
µ0 exp(α U/d)
(6)
Die Ladungsträgerdichte muss also in der Organik sechs Größenordnungen höher liegen als in Silizium. Bei so hohen Ladungsträgerdichten spielen auch hier
nicht betrachtete Effekte eine Rolle, die zur weiteren Reduktion der Stromdichte
führen.
31. Messung der Leitfähigkeit
Sie halten einen Galliumarsenid-Wafer in der Hand (giftig! Handschuhe anziehen!).
Dummerweise ist das Etikett auf der Verpackung nicht mehr lesbar. D.h., Sie können
keine Aussage über die Dichte der zum Strom beitragenden Elektronen machen (der
Anteil der Löcher zum Strom kann vernachlässigt werden). Sie wissen aber, daß die
Mobilität von Elektronen in Galliumarsenid µe = 8500 cm2 V−1 s−1 beträgt.
(a) Wie können Sie mit einer SMU (Source-Meter-Unit) zum Vermessen von StromSpannungs-Kennlinien die Dichte der am Ladungstransport teilnehmenden
Elektronen bestimmen? (?)
Zunächst werden Sie eine U/I-Kennlinie vermessen, also den Strom, der durch
den Wafer fließt, in Abhängigkeit der angelegten Spannung. Entsprechend
I = R1 U können Sie aus der Geraden-Steigung den Widerstand R bzw. die
elektrische Leitfähigkeit σ ∝ R1 bestimmen.
Entsprechend σ = eµe ne können Sie nun die Anzahl der Elektronen bestimmen, die am Ladungstransport teilnehmen.
(b) Was sind Widerstand, spezifischer Widerstand, Leitwert und spezifischer Leitwert und wie hängen sie zusammen? Geben Sie die Bereiche an, in denen der
spezifische Leitwert (oder der spezifische Widerstand) für Metalle, Halbleiter
und Isolatoren üblicherweise liegen. (?)
Der Widerstand eines Bauteils gibt an, wie viel Spannung erforderlich ist, um
einen bestimmten Strom fließen zu lassen. Der spezifische Widerstand, meistens bezeichnet mit ρ, enthält den materialabhängigen Teil des Widerstands.
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So kann man unabhängig von der Geometrie des Bauteils Aussagen zum Widerstand bestimmter Stoffe machen. Der Leitwert beziehungsweise die spezifische
Leitwert sind die jeweils reziproken Größen zum Widerstand (G = 1/R) und
zum spezifischen Widerstand (σ = 1/ρ).
(c) Finden Sie heraus, was der Flächenwiderstand einer Schicht ist und wie dieser
mit dem Widerstand sowie dem spezifischen Widerstand zusammenhängt. (?)
Der Flächenwiderstand ρ einer Schicht der Dicke d ist mit dem spezifischen
Widerstand über ρ = ρ/d verknüpft. Der Flächenwiderstand wird zur BeΩ
, in Worten:
schreibung dünner Schichten benutzt. Seine Einheit ist [ρ ] = „Ohms per Square“.
(d) Warum ist der Widerstand einer quadratischen leitenden Fläche immmer
gleich? (??)
In Abbildung 1 ist schematisch gezeigt, wie man den Widerstand berechnet.
Abb. 1: Bestimmung des Widerstandes einer quadratischen, leitenden Fläche
Man unterteilt die Fläche in vier gleichgroße Subflächen, jede mit dem Widerstand R. Zuerst bestimmt man den Serienwiderstand, er beträgt 2R. Der
1
1
1
Parallelwiderstand berechnet sich zu RGesamt
= 2R
+ 2R
→ RGesamt = R.
(e) Informieren Sie sich, wie eine Vier-Punkt-Messung zur Bestimmung des Flächenwiderstands eines Halbleiters durchgeführt wird. Skizzieren Sie den Aufbau. Welche Vorteile hat eine solche Messung gegenüber der Messung mit einer
SMU oder einem Multimeter? (?)
Für eine Vier-Punkt-Messung werden vier Kontaktstifte in gleichem Abstand
in einer Reihe angeordnet. Zwischen den beiden äußeren wird ein bestimmter
Strom eingeprägt. Nun kann über den beiden inneren Stiften die Potentialdifferenz abgegriffen werden, aus der sich der Flächenwiderstand berechnet. Der
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Vorteil dieser Methode ist, dass man keinen Einfluss von Kontaktwiderständen
mehr berücksichtigen muss.
(f) Eine weitere gebräuchliche Messmethode für Flächenwiderstände ist die vander-Pauw-Methode. Beschreiben Sie auch diese kurz und nennen Sie Vorteile
dieser Methode. (??)
Wie auch die Vier-Punkt-Messung dient die Van-der-Pauw-Messmethode zur
Bestimmung des elektrischen Flächenwiderstandes dünner, homogener Schichten. Zunächst werden am Rand eines beliebig geformten Gebiets vier beliebige
Punkte kontaktiert. Dann wird die Spannung über zwei der Kontakte gemessen,
während über den übrigen zwei ein Strom eingeprägt wird. Die Messung wird
nach zyklischer Vertauschung der Kontakte wiederholt. Aus den gemessenen
Daten kann nun unabhängig von der Position der Kontakte der Flächenwiderstand ermittelt werden.
32. Bloch-Oszillationen
Das Leitungsband in Silizium läßt sich im Bereich [− πa , πa ] in der Kristallrichtung
(100) (zwischen Γ- und X-Punkt) näherungsweise durch das Potential W (k) =
∆W
(1 + cos ka) mit ∆W = 2 eV beschreiben.
2
(a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v und die effektive Masse mef f des Elektrons
π
bei k = 0, k = πa und k = 2a
im angegebenen Kristallpotential. (??)
Wir bestimmen zunächst die partiellen Ableitungen von W(k).
∆W
(1 + cos ka)
2
a · ∆W
= −
sin ka
2
a2 · ∆W
= −
cos ka
2
W (k) =
∂W
∂k
2
∂ W
∂k 2
Daraus folgt:
Seite L59
(7)
(8)
(9)
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1 ∂W
·
~ ∂k
~2
mef f = ∂ 2 W
v=
∂k2
a · ∆W
sin ka
2~
2~2
= − 2
a ∆W cos ka
= −
k W(k)
v(k)
0
2eV
0
m
π
a ∆W
1eV − 2~ = −8, 27 · 105 s
2a
π
0eV
0
a
2
− a22~∆W
2~2
a2 ∆W
(10)
(11)
mef f (k)
= −2, 33 · 10−31 kg
∞
−31
= +2, 33 · 10 kg
(b) Skizzieren Sie W (k), v(k) und mef f (k). (?)
Abb. 2: Bloch-Oszillationen
(c) Nun werde ein elektrisches Feld angelegt, das auf die Elektronen eine Kraft
F ausübt. Zeigen Sie, daß hiernach die Elektronen-Geschwindigkeit und der
Elektronen-Ort zeitlich oszillieren (Bloch-Oszillationen). (??)
F =
dp p=~k dk
= ~
dt
dt
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(12)
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Integrieren dieser Gleichung liefert bei zeitlich konstanter Kraft:
Ft
= k − k0
~
Ft
k(t) = k0 +
~
(13)
(14)
Damit folgt für die Geschwindigkeit:
a · ∆W
a · ∆W
Ft
v=−
sin ka = −
sin a k0 +
2~
2~
~
R
Entsprechend gilt für den Ort x = v dt:
∆W
Ft
x=
cos a k0 +
2F
~
(15)
(16)
An Hand der Gleichungen 15 und 15 sieht man, dass die Geschwindigkeit und
der Ort des Elektrons zeitlich oszillieren.
(d) Warum fließt dann ein Strom bei angelegtem elektrischen Feld? Berechnen Sie
dazu aus der Beweglichkeit µ = 1300 cm2 V−1 s−1 der Elektronen in Silizium die
mittlere Streuzeit τ , verwenden Sie als Abschätzung für die effektive Masse der
Elektronen den Wert 0.32 m0 . Vergleichen Sie diese Streuzeit mit einer BlochOszillations-Periode für eine Feldstärke von 106 V/m. (??)
Benutzen Sie:
v=
1 ∂W
,
~ ∂k
1
1 ∂2W
= 2
,
mef f
~ ∂k 2
µ=
eτ
mef f
Die Gitterkonstante beträgt aSi = 5.43 Å.
Zunächst berechnen wir die Streuzeit der Elektronen im Kristall:
µ=
e0 τ
µmef f
→τ =
= 2.42 · 10−13 s
mef f
e0
(17)
Im Vergleich dazu betrachten wir die Periode der Bloch-Oszillation. Dazu benutzen wir die Ergebnisse aus den vorherigen Aufgabenteilen. Die Gleichungen
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15 und 15 sind abhängig von dem Argument a k0 + F~t . Der Cosinus ist periodisch mit der Periode 2π, wir müssen also herausfinden, in welcher Zeit T
sich das Argument um 2π verändert. Dazu setzen wir k0 = 0 und beginnen
zum Zeitpunkt t = 0. Somit müssen wir
aF T
= 2π
~
(18)
auswerten und erhalten mit F = e0 E:
T =
2π~
= 7.6 · 10−12 s
ae0 E
(19)
Die Periode der Blochoszillation ist also mehr als 30-mal länger als die Streuzeit. Damit werden fast immer Streuungen verhindern, dass das Elektron eine
Blochoszillation ausführt.
33. Die Bandstruktur II
Abb. 3: Reale Bandstrukturen von (a) Silizium und (b) Gallium-Arsenid.
(a) Bei der Betrachtung der realen Bandstrukturen in Abbildung 3 fällt auf, dass
das Valenzband aus mehreren, energetische nahe beieinander liegenden Bändern bestehen. Versuchen Sie, die Ursache dieser Aufspaltung des Valenzbandes
zu recherchieren. (? ? ?)
Für die Aufspaltung der Bandstruktur spielen hauptsächlich Effekte eine Rolle,
die Bahndrehimpulse und den Spin der Elektronen berücksichtigen. In unserer
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qualitativen Herleitung haben wir diese vernachlässigt. Mit unserem Wissen
aus der Behandlung des Wasserstoffatoms kann man eine grobe Idee davon
bekommen, was sich abspielt. Dazu ist es nützlich, sich den Kristall als aus
einzelnen Atomen mit einer bestimmten Struktur von diskreten Energieniveaus zusammengesetzt vorzustellen. Für Silizium beispielsweise gibt es vier Valenzelektronen, von denen zwei ein s-Orbital und zwei ein p-Orbital füllen. Im
p-Orbital ist somit noch Platz für vier weitere Elektronen. Im Kristall spalten
die diskreten Energieniveaus zu Bändern auf, wobei genau die eben beschriebenen Niveaus der Valenzelektronen Leitungs- und Valenzband bilden. In erster
Näherung bilden die vier Valenzelektronen so genannte hybridisierte Orbitale
im Kristall, das sind hier Mischungen aus s- und p-Orbitalen die energetisch
entartet sind. Wir wissen aber, dass als Folge des Pauli-Gebots die vier in diesen Hybridorbitalen lokalisierten Elektronen unterschiedliche Quantenzahlen
haben müssen. Beim genaueren Hinsehen wirken sich diese dann doch auf die
Energieniveaus aus. Je nach Orientierung des Spins im Vergleich zum Bahndrehimpuls eines Elektrons beispielsweise kann es zu einer Modifikation der
Energieniveaus kommen. Man kann sich das im „Planetenmodell“ des Atoms
verdeutlichen. Der Spin des Elektrons erzeugt ein Dipolmoment, die Bewegung
des Elektrons auf der Kreisbahn um den Kern ein Magnetfeld. Wie bei einer Kompassnadel (Dipol) im Erdmagnetfeld hat das Elektron mit Spin nun je
nach Orientierung verschieden große potentielle Energie. Das wird in der Bandstruktur in unterschiedlichen Energieniveaus für die verschiedenen Elektronen
sichtbar.
(b) Was ist der Gunn-Effekt? Erläutern Sie diesen anhand des Banddiagramms in
Abbildung 3 mit Hilfe der effektiven Massen. (??)
Der Gunn-Effekt ist ein Hochfeldstärkeeffekt, der in manchen Halbleitermaterialien auftritt. Die Energiebänder dieser Halbleiter haben relative Maxima und
Minima in einem nicht großen energetischen Abstand bei verschiedenen Wellenzahlen. Die ist in der Abbildung 3 in der Bandstruktur von Galliumarsenid zu
sehen. Zunächst relaxieren die Elektronen im Leitungsband in das globale Minimum bei k = (0, 0, 0). Erreichen diese Elektronen in einem elektrischen Feld
eine Energie, die im Bereich der Energiedifferenz der beiden Minima liegt (bei
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GaAs 0,29 eV), so können sie durch Phononen in das benachbarte Nebenminimum gestreut werden. Aufgrund der hohen effektiven Masse der Elektronen im
Seitental haben sie dort eine kleinere Beweglichkeit, denn die effektive Masse
ist antiproportional der Krümmung. Es ergibt sich dann ein sinkender Strom
bei steigender Spannung, d.h. ein negativer differentieller Widerstand.
(c) Zeigen Sie, dass volle Bänder keinen Beitrag zum Gesamtstrom in einem Halbleiter liefern. (??)
Ein Elektron trägt einen Anteil ∆j ∝ vG proportional zu seiner Gruppengeschwindigkeit vG zur Gesamtstromdichte bei. Um diese Gesamtstromdichte in
einem voll besetzten Band zu ermitteln, müssen wir über die gesamte erste
Brillouinzone summieren:
j∝
π/a
X
Z
π/a
vG (k) ≈
vG (k) dk
(20)
k=−π/a
k=−π/a
Die Gruppengsechwindigkeit errechnet sich gemäß vG (k) = 1/~∂W (k)/∂k aus
der Bandstruktur. Da das Gitter im k-Raum um k = 0 symmetrisch ist, folgt
W (−k) = W (k) und daraus weiterhin:
vG (−k) = 1/~∂W (−k)/∂k = −1/~∂W (k)/∂k = −vG (k)
(21)
Dieses Ergebnis eingesetzt in die Gleichung der Stromdichte ergibt:
Z
π/a
j∝
Z
0
vG (k) dk +
vG (k) dk =
k=−π/a
0
Z
k=−π/a
(22)
vG (k) dk = 0
(23)
0a
vG (k) dk −
=
vG (k) dk
0
k=−π/a
Z
π/a
Z
−π/a
34. Zustandsdichte I
(a) Beschreiben Sie, was man unter dem Begriff „Zustandsdichte“ versteht! (?)
Der Begriff Zustandsdichte (ZD) bezieht sich auf eine Dichte pro Energieintervall. Das heißt, die ZD gibt an, wie viele erlaubte Zustände in einem System in
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einem infinitesimalen Gebiet zwischen W und W + dW auftreten. Meist wird
die Zustandsdichte auf das Volumen des Systems normiert. Wir sprechen immer von der ZD für Elektronen, man kann aber auch für andere Teilchen ZD
bestimmen.
(b) Skizzieren Sie den Verlauf der elektronischen Zustandsdichte gL (W ) im Leitungsband eines Halbleiters. Welche Annahmen wurden gemacht, um diesen
Ausdruck zu erhalten? (?)
Abb. 4: 3D Zustandsdichte im Leitungsband einer Halbleiters
Die wichtigste Näherung ist die der parabolischen Bänder, woraus eine konstante effektive Masse folgt.
(c) Berechnen Sie die Zustandsdichte g(W ) für eine zweidimensionale Struktur.
Gehen Sie dazu von einem zweidimensionalen k-Raum aus und benutzen Sie
die gleiche Strategie wie in der Vorlesung für drei Dimensionen gezeigt. (? ? ?)
Wie in drei Dimensionen betrachten wir die Zustände im k-Raum. Unsere
Randbedingungen liefern erlaubte Wellenzahlen der Art ki = 2ni π/L, wobei
L Länge/Breite des Kristalls ist. Der Abstand zwischen zwei Punkten im kRaum ist also 2π/L. In Abbildung 5 sind die Zustände im zweidimensionalen
k-Raum durch Kreuze markiert, exemplarisch ist ein erlaubter Gitterpunkt
herausgegriffen.
Nun betrachten wir die Energie, deren Dispersionsrelation war für das freie
Elektron:
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Abb. 5: Zustandsdichte in 2D: Die gelben Kreuze geben die durch die Randbedingungen
erlaubten Zustände an.
W =
~2 (kx2 + ky2 )
~2 |~k|2
=
2m
2m
(24)
Durch umstellen erhalten wir daraus:
kx2 + ky2 =
2mW
~2
Gleichung 25 beschreibt einen Kreis im k-Raum, der den Radius kR =
besitzt, siehe Abbildung 6.
(25)
q
2mW
~2
Abb. 6: Zustandsdichte in 2D: Alle Zustände (gelben Kreuze), die auf dem Umfang des
Kreises liegen, sind Zustände gleicher Energie W .
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Alle Punkte, die auf seinem Umfang liegen, bezeichnen Zustände mit gleicher
Energie, somit haben alle Zustände innerhalb des Kreises eine kleinere Energie
als diese. Um die Zustandsdichte zu bestimmen, zählen wir die Zustände mit
einer Energie kleiner W . Im k-Raum vergleichen wir die Fläche eines einzelnen
Zustands mit der Fläche des Kreises mit der Energie W . Da zwischen zwei
Zuständen immer der gleiche Abstand liegt, ist die Zustandsfläche:
FZustand =
4π 2
L2
(26)
wobei L die Länge des quadratischen Kristalls ist. Nun schauen wir, wie in
Abbildung 6 gezeigt, wie viele Zustände N in den Kreis zur Energie W passen.
N (W ) =
π2mW L2
mW L2
πk 2
FKreis
=
= 4π2R =
FZustand
4~2 π 2
2~2 π
L2
(27)
Der gesuchte Ausdruck soll jedoch die Anzahl der Zustände in einem Energieintervall, nicht die Zustände mit einer Energie kleiner als W , angeben. Diese
Information können wir erhalten, indem wir den Zuwachs des Ausdrucks für
N mit der Energie betrachten. Mathematisch liefert das die Ableitung von N
nach W . Visualisiert ist dieser Vorgang in Abbildung 7.
Abb. 7: Bestimmung der 2D-Zustandsdichte durch die Ableitung dN/dW .
D=
dN (W )
mL2
= 2
dW
2~ π
Seite L67
(28)
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Zu guter Letzt müssen wir nun noch auf die Fläche des Kristalls (L2 ) normieren. Außerdem sollten wir beachten, dass wir bisher den Spin nicht in die
Überlegungen einbezogen haben. Somit kann jeder Zustand von zwei Elektronen besetzt werden. Letztlich kommen wir zu:
1
m
g(W ) = 2 D = 2
F
~π
Die Zustandsdichte in 2D ist also konstant.
(29)
35. Zustandsdichte im unendlichen Potentialtopf (Ü)
Gegeben sei ein 1-dimensionaler mit N Elektronen „gefüllter“ unendlicher Potentialtopf der Breite L. Die Temperatur betrage 0 K.
(a) Zeigen Sie, daß sich die Fermi-Energie (hier: die Energie des energetisch höchs
N 2
h
h2
· 4L
angeben läßt (Zur Erinnerung: ~ = 2π
).
ten Elektrons), mit WF = 2m
(?)
Für die möglichen Eigen-Energien in einem unendlichen Potentialtopf gilt:
Wn =
p2
~2 k 2
~2 n 2 π 2
h2 n2
=
=
=
2m
2m
2mL2
8mL2
(30)
. Jedes Energie-Niveau kann entsprechend dem Pauli-Prinzip mit
wobei k = nπ
L
2 Elektronen („Spin hoch“ und „Spin runter“) besetzt werden. Dementsprechend
ist der höchste besetzte Zustand n = N/2. N ist die Anzahl der Elektronen.
Mit h = 2π~ folgt:
h2
WF =
2m
N
4L
2
(31)
(b) Geben Sie die Gesamtenergie Wtotal aller Elektronen im ∞-Potentialtopf an.
Vereinfachen Sie das Ergebnis für große N (also N → ∞). Benutzen Sie
N/2
X
1
N →∞ 1
n2 = (N/2)(N/2 + 1)(N + 1) −→ (N/2)3
6
3
n=1
(??)
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(32)
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Um die Gesamtenergie aller Elektronen im unendlichen Potentialtopf zu bestimmen addieren wir die Energien auf:
Wtotal = 2 ·
N/2
X
Wn
(33)
n=1
Da auf jedem Niveau 2 Elektronen Platz haben, müssen wir vom untersten
Niveau n=1 bis zu höchsten besetzten Niveau n = N/2 summieren. Durch den
Vorfaktor 2 wird berücksichtigt, daß jedes Niveau doppelt besetzt ist. Einsetzen
von Wn liefert
Wtotal
N/2
X
h2
Wn =
=2·
m
n=1
1
2L
2 X
N/2
n2
·
(34)
n=1
Alle konstanten Faktoren im Ausdruck der Energie sind hier vor das Summenzeichen gezogen worden. Für großes N (also viele Elektronen) läßt sich dieses
Ergebnis unter Berücksichtigung von Gleichung 32 umformen zu
Wtotal
h2
=
3m
1
2L
2 N
2
3
(c) Zeigen Sie, daß sich die mittlere Energie pro Elektron als 13 WF schreiben läßt.
(?)
Die mittlere Energie pro Elektron ist
1
h2
W̄ = Wtotal =
N
6m
N
4L
2
Unter Berücksichtigung der zuvor berechneten Fermi-Energie läßt sich dieses
Ergebnis schreiben als
1
W̄ = WF
3
dn
(d) Berechnen Sie die Zustandsdichte D(W) = dW
für die niedrigen Energieniveaus
des unendlichen Potentialtopfs. Gehen Sie von einem „breiten“ Potentialtopf
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Festkörperelektronik 2008
Übungsblatt 5
aus, so dass Sie eine quasikontinuierliche Folge der Energieniveaus annehmen
können. (??)
Die Zustandsdichte D(W) gibt die Zahl der möglichen Energiezustände pro
Energieeinheit an. Die Zahl der Zustände ergibt sich aus
Wn =
zu
n=
h2 n 2
·
8m
L
Lp
8mWn
h
Daraus berechnet sich die Zustandsdichte zu
L
dn
8m
√
=
=
D(W ) =
dW
2h 8mWn
r
2m L
W 2π~
Im Gegensatz zur Zustandsdichte im 3-dimensionalen Potentialkasten mit
√
D(W ) ∝ W gilt im 1-dimensionalen Fall also D(W ) ∝ √1W .
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