Modellierung - IMN/HTWK

HTWK Leipzig, Fakultät IMN
Prof. Dr. Sibylle Schwarz
[email protected]
5. Übung zur Vorlesung „Modellierung“
Wintersemester 2014/15
gestellt am 27. Oktober 2014
Aufgabe 5.1:
Welche der folgenden Mengenfamilien sind disjunkte Zerlegungen einer Menge M ?
Geben Sie auch die Menge M an. Begründen Sie Ihre Antworten.
a. {K♦ , K♥ , K♠ , K♣ }, wobei für jede Farbe f ∈ {♦, ♥, ♠, ♣} die Menge Kf alle Skatkarten
der Farbe f enthält,
N
b. {A0 , A1 , A2 . . .}, wobei für jedes n ∈ : An =Menge aller KFZ mit durchschnittlichem
Verbrauch von mindestens n l/100 km,
c. {M0 , M1 , M2 , . . .}, wobei für jedes i ∈
Schuhe haben,
N: Mi = Menge aller Personen, die genau i Paar
N N + 1, 4N + 2, 4N + 3}
d. {4 , 4
e. {{w ∈ {a, b, c}∗ | w1 = a}, {w ∈ {a, b, c}∗ | w1 = b}, {w ∈ {a, b, c}∗ | w1 = c}}
R | i ∈ N}
g. {{(x, y) ∈ R2 | x + y ≤ 0}, {(x, y) ∈ R2 | x + y ≥ 1}
f. {[−i, i) ⊆
Aufgabe 5.2:
Jeder Student der Fakultät IMN der HTWK Leipzig kann sich (unter Anderem) in eine Auswahl
der folgenden Wahlpflicht-Module für seinen Studiengang einschreiben:
AMB Algorithmische Geometrie, Neuronale Netze, Computeranimation
INB Parallele Programmierung, Dokumentbeschreibungssprachen, Algorithmische Geometrie,
Neuronale Netze, Computeranimation, Diskrete Mathematik, Mobile Computing
MIB Automaten und formale Sprachen, Dokumentbeschreibungssprachen, Computeranimation,
Diskrete Mathematik, Mobile Computing
a. Geben Sie die Menge aller (oben angegebenen) Wahlpflicht-Module an.
b. Nach Ablauf der Einschreibefrist soll für jeden Studiengang festgestellt werden, in welche
Wahlpflicht-Module sich Studenten dieses Studienganges eingeschrieben haben.
Geben Sie eine dazu geeignete Modellierung durch eine Vereinigung disjunkter Mengen an.
Aufgabe 5.3:
Formulieren Sie jede der Folgen unten umgangssprachlich und geben Sie die Länge der Folge an:
a. (n)4n<30
d. ({x | x < n})n<5
b. (7n + 2)n<5
e. ({x ∈
c. ((x3 , x))x≤7
f. (2{0,...,n} )n<3
N | (x|n)})n<7
Geben Sie zu jeder Folge der Länge höchstens 10 auch deren extensionale Darstellung an.
Aufgabe 5.4:
Geben Sie zu jeder der folgenden informal beschriebenen Folgen eine intensionale Darstellung
an:
a. Folge aller Kubikzahlen zwischen 20 und 300,
b. Folge aller natürlicher Zahlen mit Quadrat zwischen 20 und 90,
c. Folge aller Paare aller natürlichen Zahlen mit ihrem Quadrat,
d. Folge aller Differenzen einer Zahl und ihrem Quadrat,
e. Folge der Differenzen der benachbarten Glieder der Folge aus der vorigen Aufgabe,
f. Folge der Differenzen der benachbarten Glieder der Folge aus der vorigen Aufgabe,
Geben Sie zu jeder endlichen Folge alle und zu jeder unendlichen Folge die ersten 10 Glieder an.
Aufgabe 5.5:
Welche der folgenden Aussagen gelten? Begründen Sie Ihre Antworten.
h. ε ∈ ∅ ∪ {ab, ε}
a. ε = ∅
b. ε ∈ ∅
i. ∅∗ = ∅
c. ε ⊆ ∅
j. {ε}∗ = ε
d. ∅ ∈ ε
k. {ε}∗ = {ε}
e. ∅ ⊆ ε
l. {a, b}∗ = {ab}∗
f. ε ∈ {ab, ε} ◦ {ε}
m. {a, b}∗ = ({a} ∪ {b})∗
g. ε ∈ ∅ ◦ {ab, ε}
n. {b} ◦ ({a}∗ ∪ {b}∗ )∗ = {a, b}∗
Aufgabe 5.6:
Bestimmen Sie für alle folgenden Paare u, v von Wörtern über dem Alphabet A = {a, b, c}, ob u
Präfix, Postfix oder Infix von v ist:
aba , aabbaba
aabbaba , aba
aba , abcabababca
bbc , bbacbbacbababc
ε , bbabbababa
ε , ε
Begründen Sie die positiven Antworten, indem Sie die passenden Zerlegungen angeben.
Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter
www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ws14/modellierung