Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2013
Blatt 11
Abgabetermin: 08.07.2013
Aufgabe 40
(1+2+1+1=5 Punkte)
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls
den Reihenwert:
∞
∞ √
∞ k+1
∞
√
1
3
1 + 2k + 5k
(ii) ∑
(i) ∑ ( k + 1 − k)
(iii) ∑ 2k
(iv) ∑
8k
k=1 k(k + 2)
k=1
k=2 2
k=0
Hinweis zu (ii): Bestimmen Sie zunächst Zahlen a, b ∈ R mit
1
k(k+2)
Aufgabe 41
=
a
k
+
b
k+2
(∀k ∈ N).
(2+1=3 Punkte)
(a) Sei q ∈ R ∖ {1} und n ∈ N. Vereinfachen Sie
n
(1 − q) ⋅ ∑ kq k
(n ∈ N),
k=0
indem Sie ausmultiplizieren, eine Indexverschiebung durchführen, wieder ausmultiplizieren und die geometrische Summenformel verwenden. Lösen Sie dann die erhaltene
n
Gleichung nach ∑ kq k auf.
k=0
∞
(b) Für welche q ∈ R konvergiert die Reihe ∑ kq k ? Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz
k=0
auch den Reihenwert in Abhängigkeit von q.
Aufgabe 42
(2+2=4 Punkte)
n gleiche quaderförmige Klötze der Länge ` (man kann
` = 1 annehmen) werden so gestapelt, dass der oberste
Klotz möglichst weit über den Untersten ragt. Sei sn der
Abstand der beiden senkrechten Geraden, von denen eine
durch den überhängenden Rand (im Bild links) und die
andere durch den Schwerpunkt des gesamten Turms geht.
(a) Stellen Sie sich für einen bestehenden Turm aus n Klötzen vor, dass unten ein weiterer
Klotz hinzugefügt wird.(Dieser Klotz soll möglichst weit rechts liegen.) Stellen Sie nun
eine Formel auf, die den Zusammenhang zwischen sn+1 und sn beschreibt.
(b) Schreiben Sie sn als Partialsumme einer geeigneten Reihe und entscheiden Sie dann,
ob lim sn existiert. Was bedeutet dies (zumindest theoretisch) für den “ Überhang“
n→∞
eines Turms?
Aufgabe 43
((1+1)+(2+2)=6 Punkte)
(a) Zeigen Sie für eine beliebige Folge (sn )n∈N reeller Zahlen und s ∈ R:
(i) Gilt lim s2k = s und lim s2k+1 = s, so folgt lim sn = s.
k→∞
n→∞
k→∞
(ii) Gilt lim s3k = s und lim s3k+1 = s und lim s3k+2 = s, so folgt lim sn = s.
k→∞
k→∞
n→∞
k→∞
(b)
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Reihe:
∞
1
1
1
1
1
1
1
1
1
∑ aj = ( ) +(− ) + ( ) +(− ) + ( ) +(− ) + ( ) +(− ) + ( ) + . . .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j=1
± ² ± ² ± ² ± ² ±
=a1
=a2
=a3
=a5
=a4
(dabei ist a2j =
=a7
=a6
=a8
=a9
1
1
und a2j+1 = −
für j ∈ N)
2j
2j + 1
konvergiert mit einem Reihenwert A ∈ R.
Betrachten Sie nun die umgeordnete Reihe
∞
1
1
1
1
1
1
1
1
1
∑ bj = ( ) +(− ) + (− ) + ( ) +(− ) + (− ) + ( ) +(− ) + (− ) + . . .
1
2
4
3
6
8
5
10
12
j=1
± ² ² ± ² ² ± ´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=b1
=b2
=b3
=b4
=b5
=b7
=b6
=b8
=b9
∞
(i) Zeigen Sie, dass ∑ bj konvergent mit einem Reihenwert B ∈ R ist.
j=1
n
Hinweis: Betrachten Sie die Partialsummen Bn = ∑ bj (für n ∈ N) und zeigen Sie:
j=1
1.) Die Folge (Bn )n∈N ist nach oben beschränkt.
2.) Die Folge (B3k )k∈N ist streng monoton steigend.
3.) Die Folge (B3k )k∈N ist konvergent mit einem Grenzwert B ∈ R.
4.) Es gilt auch lim B3k+1 = B und lim B3k+2 = B.
5.) Die Reihe
k→∞
∞
∑ bj konvergiert
j=1
k→∞
mit Reihenwert B.
(ii) Zeigen Sie, dass B < A ist.
Hinweis: Sie können wie folgt vorgehen:
1.) Zeigen Sie, dass (B3k+2 )k∈N streng monoton fallend ist und folgern Sie daraus, dass
B3k+2 > B für alle k ∈ N gilt.
n
∞
2.) Zeigen Sie analog für die Partialsummen An = ∑ bj (für n ∈ N) der Reihe ∑ aj ,
j=1
j=1
dass (A2` )k∈N streng monoton steigend ist und folgern Sie daraus, dass B2` < A für
alle ` ∈ N gilt.
3.) Finden Sie k, ` ∈ N mit B3k+2 < A2k .
Zusatzfrage: Warum ist dieses Ergebnis bemerkenswert?
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose13