Physik - Schulbuchzentrum Online
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Christine Fischer, Roland Hübner, Hubertus Karsten Physik für Fachoberschulen, Berufsoberschulen, Berufliche Gymnasien und Gymnasien 2. Auflage Bestellnummer 79920 79920_002_00_FM.indd 1 9/23/13 3:00 PM Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine E-Mail an [email protected] Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. www.bildungsverlag1.de Bildungsverlag EINS GmbH Hansestraße 115, 51149 Köln ISBN 978-3-427-79920-7 © Copyright 2014: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. 79920_002_00_FM.indd 2 06/11/13 3:51 PM Vorwort Das vorliegende Buch wurde geschrieben für Schülerinnen und Schüler der Fachoberschule, des Beruflichen Gymnasiums und der beruflichen Oberstufe mit dem Unterrichtsfach Physik. Für Gymnasien oder vergleichbare Schulen ist es ebenfalls geeignet. Der Inhalt basiert auf den geltenden Lehrplänen der Bundesländer in Deutschland. Er umfasst den Gesamtbereich der Physik für die Sekundarstufe II, die mit der Fachhochschulreife oder Hochschulreife abschließt. Das Buch kann im zwei- oder mehrstündigen bzw. vertiefenden Physikunterricht eingesetzt werden. Es beginnt mit elementaren Grundlagen und endet mit Themen aus der Atom- und Kernphysik. Einen genauen Überblick gibt das Inhaltsverzeichnis. Während die ersten Abschnitte (Grundlagen) aufeinander aufbauen, lassen die späteren Kapitel einen Quereinstieg zu. So wird z. B. der Feldbegriff sowohl in der Gravitation wie in der Elektrik unabhängig voneinander behandelt. Methodisch-didaktischer Ansatz: Themen werden meist mit einem Versuch eingeführt; dies ermöglicht Beobachtung, Messung und Auswertung. In der Regel handelt es sich um elementare, gut nachvollziehbare Versuche, die nach Bedarf durch andere oder durch eine Computersimulation ersetzt oder ergänzt werden können. Ausführliche Erklärungen mit physikalischen Definitionen schließen sich an. Mathematische Zusammenhänge und physikalische Gesetze werden größtenteils vollständig hergeleitet und häufig interpretiert. Etwa 600 auf den Text abgestimmte Abbildungen fördern das Verständnis und den Lernprozess. Fettgedruckte Wörter kennzeichnen Stellen, an denen ein Fachbegriff erklärt wird. Mit den farbig unterlegten Zusammenfassungen erleichtern sie die Wiederholung des Lehrstoffs. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben vertiefen und erweitern den behandelten Stoff. Sie helfen Lösungen gezielt zu erarbeiten und Ergebnisse sachgerecht zu deuten. Grundkenntnisse aus der Physik der Sekundarstufe I (mittlere Reife) sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich. Algebraische und trigonometrische Grundlagen müssen vorhanden sein. Fehlende Kenntnisse aus der Analysis und Vektoralgebra gleicht der begleitende Mathematikunterricht aus. Ziel: Das Buch ß stellt interessante Aspekte aus der Welt der Naturerscheinungen vor und weckt Neugierde, ß regt zu kritischer Fragestellung und Interpretation, insbesondere von Messwerten, an, ß erklärt die Natur mithilfe von Experiment, Modell und Theorie und führt dadurch in die naturwissenschaftliche Denkweise ein, ß hilft Leistungsnachweise und Prüfungen im Fach Physik erfolgreich zu bestehen. Hinweise zu den Lösungen: Kurzlösungen finden Sie bei „BuchplusWeb“. Ausführliche Lösungen mit Zusatzaufgaben erhalten Sie unter der Bestellnummer 79921DL. Wir wünschen den Leserinnen und Lesern einen kenntnis- und erkenntnisfördernden Gebrauch des Buches. Sachkritik ist willkommen. Die Verfasser 79920_002_00_FM.indd 3 11/8/13 9:17 AM Inhaltsverzeichnis 1 Einführung, Grundlagen, Messen ..................................................................... 9 1.1 1.2 Die Naturwissenschaft Physik ............................................................................... Elementare Grundlagen ....................................................................................... 9 11 2 Geradlinige Bewegung ...................................................................................... 26 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Grundbewegungsarten ........................................................................................ Bezugssystem, Ort, Ortsvektor ............................................................................. Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ...................................... Geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung ....................................... Der freie Fall ........................................................................................................ Zusammengesetzte Bewegungen, Überlagerungsprinzip ..................................... 26 27 31 39 45 48 3 Kraft und Masse ................................................................................................. 60 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Physikalische Grundlagen der Masse ................................................................... Physikalische Grundlagen der Kraft ...................................................................... Das Trägheitsprinzip der Körper ........................................................................... Das Aktionsprinzip der Mechanik ......................................................................... Das Wechselwirkungsprinzip ............................................................................... Reibung ............................................................................................................... Schiefe Ebene ..................................................................................................... 60 61 63 67 71 74 74 4 Kreisbewegung eines Massenpunktes .............................................................. 78 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Gleichförmige Kreisbewegung ............................................................................. Winkel im Bogenmaß .......................................................................................... Winkelgeschwindigkeit ........................................................................................ 씮 Zeitabhängige Richtungsänderung der Bahngeschwindigkeit v (t) ....................... Zentripetalkraft .................................................................................................... Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft .................................................................... Kreisbewegung in der Anwendung ...................................................................... 78 79 81 82 83 86 88 5 Arbeit und Energie............................................................................................. 92 5.1 5.2 5.3 Definition der physikalischen Größe Arbeit .......................................................... 92 Verschiedene Arten von Arbeit, Beispiele .............................................................. 97 Energie, Leistung, Wirkungsgrad.......................................................................... 107 6 Physikalischer Impuls ......................................................................................... 122 6.1 6.2 Definition des physikalischen Impulses ................................................................. 122 Zusammenhang zwischen der Grundgleichung der Mechanik und dem Impuls... 123 79920_002_00_FM.indd 4 10/16/13 9:45 AM Inhaltsverzeichnis 6.3 6.4 5 Impulserhaltungssatz ........................................................................................... 125 Zentraler unelastischer Stoß und zentraler elastischer Stoß .................................. 128 7 Harmonische Schwingung ................................................................................. 136 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 Periodische Bewegungsvorgänge......................................................................... Senkrechte Parallelprojektion einer Kreisbewegung mit v konstant ................. Bewegungsgesetze der harmonischen Schwingung ............................................ Lineares Kraftgesetz der harmonischen Schwingung ............................................ Beispiele zur harmonischen Schwingung ............................................................. Periodische Energieumwandlung bei der harmonischen Schwingung .................. Erzwungene Schwingung und Resonanz .............................................................. 8 Gravitation ........................................................................................................ 167 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 Weltsysteme im historischen Überblick ................................................................ Keplersche Gesetze .............................................................................................. Gravitationsgesetz nach Newton ......................................................................... Experimentelle Messung der Gravitationskonstanten G ........................................ Gravitationsgesetz in der Anwendung ................................................................. Gravitationsfeld ................................................................................................... Gravitationsfeldstärke .......................................................................................... Energie im homogenen Gravitationsfeld der Erde ................................................ Gravitationspotenzial im homogenen Gravitationsfeld der Erde .............................. 136 141 143 146 148 155 157 167 168 172 175 179 181 182 188 189 9 Elektrisches Feld ................................................................................................. 191 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 Grundlagen der Elektrizitätslehre ......................................................................... Kraft zwischen zwei ruhenden Punktladungen ..................................................... Elektrisches Feld und elektrische Feldlinien ........................................................... Elektrische Influenz .............................................................................................. Elektrische Feldstärke ........................................................................................... Elektrische Feldformen ......................................................................................... Energie einer Ladung im homogenen elektrischen Feld ....................................... Elektrisches Potenzial im homogenen elektrischen Feld ........................................ Elektrische Kapazität eines Kondensators.............................................................. Elektrische Flächenladungsdichte ........................................................................ Energie im homogenen elektrischen Feld ............................................................. Freie Ladung im homogenen elektrischen Feld .................................................... 10 Magnetisches Feld ............................................................................................. 253 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Permanentmagnete ............................................................................................. Magnetfeld der Erde ............................................................................................ Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters ..................................................... Magnetische Flussdichte ..................................................................................... Lorentzkraft ......................................................................................................... Halleffekt, Hallsonde ............................................................................................ Magnetfelder spezieller Spulen ............................................................................ Bewegung freier Ladungsträger im homogenen Magnetfeld ............................... 79920_002_00_FM.indd 5 192 195 202 204 206 208 213 215 225 233 235 238 253 255 257 260 266 269 271 275 9/23/13 3:00 PM 6 Inhaltsverzeichnis 10.9 10.10 Elektromagnetische Induktion.............................................................................. 284 Elektrische Selbstinduktion .................................................................................. 298 11 Sinusförmige Wechselspannung ....................................................................... 307 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 Erzeugung einer sinusförmigen Induktionsspannung ........................................... Effektivwerte von Spannung und Stromstärke ...................................................... Zeigerdarstellung sinusförmiger Größen .............................................................. Einfache elektrische Schaltelemente im Wechselstromkreis ................................... Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen ................................................ Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen ................................................ 12 Geschlossener elektromagnetischer Schwingkreis ........................................... 343 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 Elektromagnetische Schwingung ......................................................................... Vergleich zwischen mechanischer und elektromagnetischer harmonischer Schwingung ........................................................................................................ Erklärungen und Ergänzungen zu B 364 ............................................................. Erzwungene elektromagnetische Schwingung ..................................................... Elektromagnetische Dipolstrahlung...................................................................... 13 Wellentheorie .................................................................................................... 360 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 Experimentelle Grundlagen ................................................................................. Physikalische und mathematische Grundlagen .................................................... Gleichung der linearen Welle ............................................................................... Interferenz und Beugung von Wellen ................................................................... Interferenz und Beugung in der Anwendung ....................................................... Elektromagnetisches Spektrum im Überblick ........................................................ Polarisation ......................................................................................................... Stehende Wellen, akustischer Dopplereffekt ......................................................... 14 Spezielle Relativitätstheorie .............................................................................. 415 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 Michelsonexperiment und frühe Folgerungen ..................................................... Grundaussagen der Speziellen Relativitätstheorie ................................................. Überlegungen zur Zeitmessung ........................................................................... Zeitdilatation ....................................................................................................... Längenkontraktion, Relativität der Längenmessung ............................................. Myonenexperiment ............................................................................................. Optischer Dopplereffekt ...................................................................................... Relativistische Masse ........................................................................................... 15 Welle-Teilchen-Dualismus .................................................................................. 441 15.1 15.2 Wechselwirkung zwischen Licht und Materie ....................................................... 441 Zusammenhang zwischen der Lichtfrequenz f und der kinetischen Energie Ekin der Fotoelektronen .......................................................... 445 Widersprüche zur klassischen Wellentheorie des Lichts ......................................... 446 15.3 79920_002_00_FM.indd 6 307 309 311 312 322 333 343 345 347 349 353 360 361 363 369 378 392 395 402 415 417 419 421 423 424 425 430 9/23/13 10:44 PM Inhaltsverzeichnis 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 Einsteingleichung, plancksches Wirkungsquantum............................................... Die Doppelnatur von Licht................................................................................... Masse und Impuls von Photonen bei verschiedenen Phänomenen ....................... Stochastische Verteilung der Photonen ................................................................ De-Broglie-Welle, Materiewelle ............................................................................ 16 Physik des Atoms ............................................................................................... 467 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 Atommodelle bis zum Jahr 1911 ......................................................................... Atommodell nach Rutherford, Planetenmodell .................................................... Atommodell nach Bohr........................................................................................ Experimente zur quantenhaften Emission und Absorption von Energie ....................................................................................... Resonanzabsorption und Resonanzfluoreszenz ..................................................... Leistungsfähigkeit und Grenzen des bohrschen Atommodells .............................. Mehrelektronensysteme, Röntgenstrahlung ......................................................... 17 Physik des Atomkerns ........................................................................................ 503 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.11 17.12 17.13 17.14 17.15 17.16 Kernaufbau .......................................................................................................... Atomare Masseneinheit, Atommasse ................................................................... Radioaktiver Zerfall .............................................................................................. Zerfallsreihen ....................................................................................................... Eigenschaften der a-, b- und g-Strahlung ............................................................ Nachweisgeräte für radioaktive Strahlung ............................................................ Absorption radioaktiver Strahlung........................................................................ Zerfallsgesetz für radioaktive Substanzen ............................................................ Aktivität eines Radionuklids .................................................................................. Methoden zur Altersbestimmung ....................................................................... Kernreaktion, Energiebilanz ................................................................................. Freie Neutronen .................................................................................................. Kernenergie ......................................................................................................... Kernspaltung ....................................................................................................... Kernfusion ........................................................................................................... Strahlenschutz und Dosimetrie ............................................................................ 18 Thermodynamik................................................................................................. 567 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 Temperatur.......................................................................................................... Wärme ................................................................................................................ Aggregatzustände ............................................................................................... Verhalten der Körper bei Wärmezufuhr ................................................................ Zustandsänderung idealer Gase ........................................................................... Grundbegriffe der kinetischen Gastheorie ............................................................ 1. Hauptsatz der Thermodynamik ........................................................................ 2. Hauptsatz der Thermodynamik ........................................................................ 7 447 450 451 457 459 467 469 473 485 490 492 493 503 505 507 512 514 517 523 527 533 535 538 542 548 553 560 562 567 568 571 574 579 582 585 595 Bildquellenverzeichnis .................................................................................................... 598 Literaturverzeichnis ........................................................................................................ 598 Sachwortverzeichnis ....................................................................................................... 599 79920_002_00_FM.indd 7 9/23/13 3:00 PM 82 4 Kreisbewegung eines Massenpunktes 씮 씮 씮 씮 씮 씮 씮 씮 wobei gilt: v ' r ` v ' v . Man schreibt mithilfe der Vektoralgebra: v v r . v ist das Vektor씮 씮 produkt aus v und r (B 57). 4.4 씮 Zeitabhängige Richtungsänderung der Bahngeschwindigkeit v (t) 씮 Es liegt eine Kreisbewegung mit konstant bzw. v konstant vor. Dann sind den 씮 씮 verschiedenen Bahnpunkten P1 und P2 eindeutig die Bahngeschwindigkeiten v 1 und v 2, v1 v2 v, zugeordnet. P1 und P2 können sich direkt nebeneinander befinden. Weil sie in diesem Fall anschaulich nicht zu unterscheiden sind, werden sie zum besseren Verständnis 씮 weit auseinander liegend platziert. Jedenfalls ändert die Bahngeschwindigkeit v von 씮 Bahnpunkt zu Bahnpunkt ihre Richtung, der Betrag bleibt: 0 v 0 v konstant (B 56; 58). 씮 Ursache dieser Änderung ist nach dem Trägheitsprinzip Newtons eine Beschleunigung a . Eine einfache Überlegung hilft weiter. 씮 씮 Man erinnere sich an die Vektoraddition. Aus a entsteht der Ergebnisvektor c , indem 씮 씮 씮 씮 man zum ersten Vektor den weiteren Vektor b addiert: a b c . Außerdem dürfen nur 씮 씮 Vektoren gleicher physikalischer Größen addiert werden. Um also vom v 1 zum Vektor v 2 mit neuer씮Richtung und gleichem Betrag zu gelangen, bedarf es der Geschwindigkeitsän씮 씮 씮 derung D v , damit gilt: v 1 D v v 2. Sie erfolgt in der Zeitänderung t 0. Der Quotient 씮 씮 씮 Dv Dv ist bekanntlich der Beschleunigungsvektor a , er zeigt zu B M hin. Wegen Dt Dt Dv Dv konstant gilt auch arad konstant. Dt Lässt man gedanklich die ZeitdifΔv ferenz Dt immer kleiner werden, Dt 씮 0, so entsteht die momenv2 v1 tane Beschleunigung in einem Δϕ P2 bestimmten Zeitpunkt t. Der BeP2 schleunigungsvektor arad zeigt wäharad2 rend der Kreisbewegung genau zum r2 (t2) r 2 Zentrum hin. Damit verbunden ist 씮 씮 Δv a rad ( t ) 앖앗 r ( t ) . ( * ) Man spricht von der Zentripetalbeschleunigung oder Radialbeschleunigung arad zum Zentrum B M hin. Δϕ B=M Δv arad = Δt r1 v1 P1 arad3 P3 M=B r3 (t3) r1 (t1) arad1 P1 Das Besondere an dieser Beschleunigung ist, dass sie den Massenpunkt ständig auf die Kreisbahn um den 씮 Bezugspunkt B M zwingt. Sie Bild 58: Zentripetalbeschleunigung a rad dient also allein der permanenten 씮 Richtungsänderung von v , ohne den Massenpunkt schneller oder langsamer zu machen; 씮 0 v 0 v bleibt zeitunabhängig konstant. Demnach ist die gleichförmige Kreisbewegung eine 씮 씮 beschleunigte Bewegung mit arad konstant. Wie r ändert auch a rad ständig die Richtung. 79920_002_00_Ch04.indd 82 9/20/13 11:40 AM 4.5 Zentripetalkraft 씮 83 씮 Die Ortsvektoren zu P1 und P2, also r 1 ( t1 ) und r 2 ( t2 ) , schließen den kleinen Drehwinkel 씮 씮 씮 씮 씮 씮 Dϕ ein, ebenso die Geschwindigkeitsvektoren v 1 und v 2, da v 1' r 1, v 2' r 2 (B 59). Weiterhin 씮 씮 씮 씮 sind 0 r 1 0 0 r 2 0 r und 0 v 1 0 0 v 2 0 v die Radien zweier Kreise und Dx und Dv die Bogenlängen zum gemeinsamen Dx Dϕ. Dann ergibt eine einfache Betrachtung mit Dw r Dv : und Dw v Dv Dx , vDx rDv |: D t ( 0); v r somit: v Dx Dv r . Dt Dt (**) Für Dt 씮 0 wird Dϕ immer kleiner; gleichzeitig wandeln sich Dx Dx zur momentanen Bahngeschwindigkeit v a lim vb 씮 Dt 0 Dt Dt Dv Dv zur Momentanbeschleunigung arad a lim arad b. und 씮 Dt 0 Dt Dt Nach dem Grenzübergang entsteht schließlich aus (**): v2 v v r arad bzw. arad . r v Mit v vr und v schreibt man auch arad v² r. r Δv Δv v1 v2 Δϕ P2 r2 Δϕ B=M Δx v1 r1 Bild 59: Zentripetalbeschleunigung: arad v2 r 4.5 P1 v2 r Zentripetalkraft Nach dem Aktionsprinzip der Mechanik ist die Ursache jeder Beschleunigung eine Kraft. Ursa씮 씮 che der Zentripetalbeschleunigung a rad ist die Zentripetalkraft F rad . Den Zusammenhang zwischen beiden liefert die Grundgleichung der Mechanik, die bisher allerdings nur auf geradlinige Bewegungen bezogen wurde. Zumindest theoretisch erhält man für die Kreisbewegung: 1. Frad marad v2 2. arad v 2r r v2 Somit: Frad m mv 2r; dieses deduktiv bestimmte Ergebnis muss experimentell überprüft r werden. 씮 씮 씮 씮 씮 씮 씮 씮 Vektoriell gilt: F rad ma rad mit F rad앖앖 a rad oder F rad mv 2 r , weil F rad앖앗 r ((*) in Kap. 4.4). 씮 oder Radialkraft zum Zentrum hin. Trotz ständiger RichtungsF rad heißt auch Zentralkraft 씮 änderung gilt wiederum 0 F rad 0 Frad konstant, denn m, v und r sind ebenfalls konstant. Die deduktive Herleitung der Zentripetalkraft verlangt den experimentellen Nachweis. Außerdem muss geprüft werden, ob die Grundgleichung für Kreisbewegungen überhaupt zur Verfügung steht. Dazu dient das Zentralkraftgerät. Es gestattet, die Zentripetalkraft Frad in Abhängigkeit von der Masse m des Massenpunktes, von der Winkelgeschwindigkeit v und dem Bahnradius r zu untersuchen. 79920_002_00_Ch04.indd 83 9/20/13 11:40 AM 84 4 Kreisbewegung eines Massenpunktes VERSUCH Zentralkraftgerät zur Untersuchung der Zentripetalkraft Frad (B 60) Zentralkraftgerät mit Umlaufmasse m Lichtschranke mechanischer oder elektronischer Kraftmesser Elektromotor mit variabler Drehfrequenz f bzw. v r 2 3 1 m N f 4 Bild 60: Zentralkraftgerät Versuchsdurchführung und Messung: Das Zentralkraftgerät in Verbindung mit dem Kraftmesser bietet ein Verfahren zur Messung der Kraft Frad in Abhängigkeit von den drei unabhängigen Einflussgrößen, nämlich Masse m des umlaufenden starren Körpers, Drehfrequenz f der Kreisbewegung und Radius r der Kreisbahn, wie vom theoretischen Ergebnis verlangt. Mit den Lichtschranken misst man f bzw. v. Insgesamt sind drei Messreihen nötig. Während jeder Messung hält man zwei der drei Einflussgrößen konstant, eine verändert man frei. Fasst man alle drei Messreihen zu einer zusammen, so entsteht eine sogenannte Multitabelle: Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Frad in N 0,12 0,52 1,13 2,04 0,27 0,78 1,02 1,03 1,49 2,01 m in kg 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,100 0,150 0,200 r in dm 1,0 1,0 1,0 1,0 0,50 1,5 2,0 1,0 1,0 1,0 v in s 5,0 10,0 15,0 20,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 v 2 in s2 25,0 100,0 225,0 400,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 1 Um die Abhängigkeit der Kraft Frad von der Winkelgeschwindigkeit v (bzw. v2) zu bestimmen, müssen die Einflussgrößen r und m konstant gehalten werden (B 61). Das ist in den Messungen Nr. 1 bis 4 der Fall. Um die Abhängigkeit der Kraft Frad vom Radius r zu gewinnen, müssen die Einflussgrößen v und m konstant sein (B 62), wie in den Messungen Nr. 2, 5, 6, 7 gegeben. 79920_002_00_Ch04.indd 84 9/20/13 11:40 AM 4.5 Zentripetalkraft 85 Frad in N Frad in N 2,0 1,0 1,0 0,5 ω 2 in s–2 100 r in dm 1,0 Bild 61 Bild 62 Aus den Messungen Nr. 1 bis Nr. 4 (m = 0,050 kg = konstant; r = 1,0 dm konstant) folgt: Es liegt im Rahmen der Messgenauigkeit eine Ursprungsgerade vor; daher gilt: Frad 苲 v². Die Messungen Nr. 2, 5, 6, 7 (m = 0,050 kg = konstant; v = 10,0 s = konstant) liefern das Ergebnis Frad 苲 r. Auf gleiche Art erhält man das Ergebnis Frad 苲 m. Welche Messungen können hierzu genutzt werden? Die Versuchsergebnisse sind eindeutig. Es gilt: Frad 苲 m, falls v und r konstant sind; Frad 苲 v², falls m und r konstant sind; Frad 苲 r, falls m und v konstant bleiben. Frad . Die Zusammenfassung lautet: Frad 苲 mv²r oder Frad ⫽ kmv²r oder k ⫽ m v 2r Zur Deutung von k nimmt man zuerst eine Einheitenbetrachtung vor: [Frad ] kg . m . s⫺2 1N ⫽ 1 ⫽ 1; k ist dimensionslos. ⫽ [k ] ⫽ 2 ⫺2 [m ] [v ] [r] 1 kg . 1 s . 1 m kg . s⫺2 . m (2; 8; 9; 10) Zur Abschätzung des Messwertes von k verwendet man z. B. die Messwerte der Spalte Nr. 4: Frad 2,04 N ⫽ 1,0. ,k⫽ k⫽ mv 2r 0,050 kg . 4,0 . 102 s ⫺ 2 . 0,10 m Im Rahmen der Messgenauigkeit hat die dimensionslose Konstante k den Messwert 1. Man kann daher k einfach weglassen. Experimentell zeigt sich, dass die theoretisch ermittelte Zentripetalkraft Frad ⫽ mv²r Bestand hat. Die Grundgleichung der Mechanik kann ab sofort auch bei der Kreisbewegung oder allgemein bei nicht linearer Bewegung verwendet werden. Frad3 Bemerkungen: Frad2 씮 ßDie Zentripetalkraft F rad ist die Kraft auf die umlaufende Masse씮m, die radial zum Kreismittelpunkt hin wirkt. 씮 Obwohl F rad앖앗 r , darf die Zentripetalkraft nicht etwa als Gegenkraft der umlaufenden Masse auf den Kreismittelpunkt aufgefasst werden. Sie hält vielmehr die 79920_002_00_Ch04.indd 85 Frad1 Frad1 B=M Bild 63: Die Kugel beschreibt eine Kreisbahn, weil sie ständig die Zentripetalkraft 씮 F rad zu B ⫽ M hin erfährt. 10/16/13 9:56 AM 7 Harmonische Schwingung Es gibt Bewegungen, die sich ständig in gleicher Weise wiederholen. Man bezeichnet sie als Schwingungen oder Oszillationen. Die Saiten einer Geige schwingen, ebenso Quarzkristalle in Armbanduhren. Stimmbänder erzeugen Schwingungen, die das schwingende Trommelfell im Ohr wahrnimmt. Schwingende Luftmoleküle übertragen Geräusche, schwingende Atome in Festkörpern vermitteln das Gefühl von Temperatur. Schwingende Elektronen in Radio und Fernsehgeräten ermöglichen die Übertragung von Informationen. Das folgende Kapitel behandelt Schwingungen. Zunächst werden einfache periodisch ablaufende Vorgänge in der Natur und Technik vorgestellt und elementare Grundbegriffe eingeführt. Es folgt die Theorie der harmonischen Schwingung mit Anwendung auf ausgewählte Systeme. Diese erweisen sich als Energiewandler. Aufbauend auf dem Energiebegriff wird die periodische Umwandlung von Energie untersucht. Schließlich wird das Verhalten schwingender Systeme bei einmaliger oder periodischer Anregung betrachtet und insbesondere das Phänomen der Resonanz beschrieben. Sehr anschaulich sind mechanische Schwingungen. Daher verwendet man sie zur Demonstration und zur physikalisch-mathematischen Beschreibung der Abläufe. Alle Ergebnisse haben allgemeinen Charakter und sind auf nicht mechanische Schwingungen übertragbar. In der Realität klingen (mechanische) Schwingungen mehr oder weniger schnell aus, sie sind gedämpft. Durch Reibungskräfte wird mechanische Energie in Wärmeenergie umgewandelt. Im Idealfall fehlt Reibung. Nur dieser Fall wird zunächst behandelt. 7.1 Periodische Bewegungsvorgänge Man bezeichnet einen Vorgang in der Natur als periodisch, wenn er sich in regelmäßigen zeitlichen Abständen in völlig gleicher Weise wiederholt. Die Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit v gehört dazu. Man findet derartige Erscheinungen in unterschiedlichen Bereichen. Beispiele ßAstronomie: Die Umlaufzeit der Erde und der Planeten um die Sonne ist periodisch. Der halleysche Komet durcheilt das Sonnensystem und erreicht alle 76 Jahre die kleinste Entfernung zur Erde. Bei veränderlichen Sternen wiederholt sich regelmäßig die gleiche Helligkeit. ßPhysik: Auf der Pendelbewegung von Standuhren beruht eine genaue Zeitmessung. Die Jahreszeiten der Erde wiederholen sich in regelmäßigen Zeitabständen. Radio- und Fernsehübertragungen sind ohne elektromagnetische Schwingungen nicht denkbar. ßChemie: Es gibt chemische Reaktionen, die in periodischem Wechsel zu- und abnehmen. Sie heißen oszillierende Reaktionen. ßTechnik: Rotationen von Zahnrädern findet man in den meisten Maschinen und Getrieben. Stoßdämpfer, Brücken und Bauteile bewegen sich unter bestimmten Bedingungen periodisch. ßPeriodische Abläufe findet man darüber hinaus in der Biologie oder in der Musik. 79920_002_00_Ch07.indd 136 9/20/13 11:53 AM 137 7.1 Periodische Bewegungsvorgänge B 106 zeigt einige einfache periodische mechanische Vorgänge. Sie gestatten Abläufe elementar darzustellen. Man wählt, wie für Bewegungen erprobt, günstige Bezugssysteme. Der Bezugspunkt fällt meist mit der stabilen Ruhelage des Systems zusammen. Gewöhnlich reicht eine Bezugsachse in Anlehnung an den beobachteten oft linearen Bahnverlauf. Systeme, die sich zu periodischen Bewegungen anregen lassen, heißen auch Oszillatoren; B 106 zeigt einige: +y Halterung +ŷ Umkehrpunkt 0 P Ruhelage – ŷ Umkehrpunkt Halterung 0 Horizontale Schwingung eines Pendelkörpers P zwischen zwei elastischen Federn auf einem Laborwagen +y Fadenpendel +y +y 0 0 Maxwellsches Rad als Beispiel einer Kipp-Schwingung, also einer einseitigen periodischen Bewegung, wie z. B. beim Oszilloskop Drehpendel Schwingende Flüssigkeit im U-Rohr Bild 106: Periodische mechanische Vorgänge B 107 zeigt die periodische Bewegung eines weiteren mechanischen Oszillators in Abhängigkeit von der Zeit t ⱖ 0. Er besteht aus einer elastischen vertikal hängenden Feder und dem Pendelkörper P mit der Masse m. Vorausgesetzt wird, dass diese Masse gegenüber der Federmasse sehr groß ist. +y t0 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Umkehrpunkt +ŷ 0 P – ŷ t1 Ruhelage; Nulllage; stat. Gleichgewicht Umkehrpunkt Bild 107: Periodische Schwingung des Feder-Schwere-Pendels Oder anders gesagt: Die Gesamtmasse des Systems ist weitgehend im Pendelkörper vereinigt. Unter dieser idealisierenden Einschränkung heißt das System aus Feder und Pendelkörper Feder-Schwere-Pendel oder Federpendel. Es eignet sich gut für theoretische Herleitungen. 79920_002_00_Ch07.indd 137 9/23/13 1:34 PM 266 10 Magnetisches Feld 2. Der Rotor (B 263) eines Elektromotors ist ein Weicheisenzylinder mit dem Durchmesser d 11,0 cm und der Zylinderlänge l 18,6 cm. Er ist mit 12 600 Windungen aus Kupferdraht der Querschnittsfläche d N S A 3,60 mm2 umwickelt und an die Spannung U 2,20 ⋅ 102 V angeschlossen. a) Berechnen Sie die Stromstärke I in der Spulenwicklung. b) Ermitteln Sie, an welcher Stelle der Strom aus der Zeichenebene Bild 263 heraustritt, wenn sich der Rotor mathematisch positiv dreht. c) Berechnen Sie für die magnetische Flussdichte B 1,20 T die Kraft F und das Drehmoment M auf eine Wicklung. d) Der Rotor führt 360 Umdrehungen in einer Minute aus. Technisch bedingt befinden sich 45 Prozent der Windungen ständig im radialen Feldbereich. Ermitteln Sie die mechanische Leistung P, die der Motor erbringt. 10.5 Lorentzkraft 씮 Ein stromführender Leiter senkrecht in einem Magnetfeld erfährt eine Kraft F mit dem Betrag F IlB. Nicht geklärt ist, wie diese Kraft zustande kommt. Das soll nachgeholt werden. Neue Einblicke ermöglicht der folgende einfache Versuch. VERSUCH Bewegung freier Elektronen im Magnetfeld Man nimmt eine Elektronenröhre mit fadenförmigem Elektronenstrahl, ein sogenanntes Fadenstrahlrohr. Dem elektrischen Strom aus freien Elektronen nähert man von außen den Pol eines Stabmagneten an (B 264). Das Magnetfeld ist inhomogen. Beobachtung: Der Elektronenstrahl krümmt sich je nach der Lage des Magneten, die Elektronen werden abgelenkt. Die Ablenkrichtung hängt vom angenäherten Pol ab und ergibt sich nach der UVW-Regel. Erklärung: Die Elektronen im Fadenstrahl bewegen sich außerhalb der Anodenblende der씮Röhre kräftelos und daher mit konstanter Geschwindigkeit v . Sie treten bei Annäherung des Magneten nicht parallel in das B-Feld ein und werden auf eine neue Bahn gezwungen. Dazu ist nach dem Trägheitsaxiom eine Kraft erforderlich. 씮 Sie heißt Lorentzkraft F L und ist nach dem niederländischen Physiker Lorentz benannt. Er ist der Begründer der Elektronentheorie, trug aber auch wichtige Vorarbeiten zur speziellen Relativitätstheorie bei. v B UA UK Bild 264: Bewegung freier Elektronen im Magnetfeld Auch in einem stromführenden Leiter bewegen sich Elektronen, wie B 265 modellhaft 씮 andeutet. Liegt er senkrecht oder schräg zum Magnetfeld mit der Flussdichte B , so unterlie씮 gen sie ebenfalls der Lorentzkraft. Die Kraft F nach dem elektromotorischen Prinzip auf den 씮 Leiter mit der wirksamen Länge l ist demnach die Resultierende der Einzelkräfte F L auf alle N 씮 씮 씮 씮 씮 bewegten Elektronen im Magnetfeld innerhalb von l. Es gilt also: F rsl F L F L ... F L NF L. 79920_002_00_Ch10.indd 266 11/1/13 10:04 PM 10.5 Lorentzkraft 267 씮 Den Betrag FL der Lorentzkraft F L erhält man nach folgender Überlegung: Q 1. I konstant ist die Stärke des Gleichstroms im t U Leiter. 2. Q Ne, N苸⺞, nach Millikan setzt sich die transportierte Ladung Q innerhalb der wirksamen Leiterlänge l aus N Elektronen zusammen. 3. Die Elektronen des Gleichstroms I benötigen zum Durchlaufen der wirksamen Leiterlänge l die Zeitdauer Dt t; sie haben dabei die konstante Geschwinl digkeit v ; diese Driftgeschwindigkeit ist die t mittlere Elektronengeschwindigkeit im stromführenden metallischen Leiter und beträgt ungefähr 1 mms1; sie hängt von der Spannung U und anderen Einflussgrößen ab, z. B. von der Metallart. ℓ I v FL I v v FL FL B F = F rsl = NF L Bild 265 4. F IlB ist die an der wirksamen Leiterlänge l angreifende Kraft, die den Leiter in B 265 nach unten aus dem Magnetfeld drängt. Zusammengefasst erhält man mit I Ne l Ne : F lB Ne B NevB; daraus folgt die Lorentzt t t F FL evB. N Unter Einbeziehung der vekFL toriellen Überlegungen zur UVW-Regel folgt weiterhin: kraft FL auf ein Elektron: 씮 씮 씮 씮 씮 씮 씮 B 씮 F e ( v B ) mit F L ⊥ v , L 씮 B F L ⊥ B, v ⊥ B. Jedes Elektron in einem Strom der Stärke I erfährt im senkrechten Magnetfeld mit der 씮 Flussdichte B konstant die 씮 Lorentzkraft F L mit dem Betrag 씮 FL evB. Die Richtung von F L leitet sich aus der UVW-Regel ab. B 266 zeigt den Verlauf der 씮 Lorentzkraft F L bei bewegter positiver oder negativer Ladung Q senkrecht zum Magnetfeld. Q v Q v 씮 씮 FL 씮 Bild 266: F 0 Q 0 ( v B ) Allgemein gilt: 씮 Eine Einzelladung Q, die씮sich mit der Geschwindigkeit v konstant senkrecht in einem Magnetfeld mit B konstant bewegt, erfährt die konstante Lorentzkraft 씮 씮 씮 F L 0 Q 0 ( v B ) mit dem Betrag FL ⴝ 0 Q 0 vB. Ihre Richtung legt die UVW-Regel der rechten Hand fest. 79920_002_00_Ch10.indd 267 9/20/13 2:32 PM 268 10 Magnetisches Feld Bemerkungen: ßEine ruhende Ladung im Magnetfeld erfährt keine Lorentzkraft. Dann ist v 0 und eben- so FL 0. Während die elektrische Feldkraft an jeder Ladung angreift, wirkt die Lorentzkraft nur auf Ladung, die sich senkrecht oder schräg zum Magnetfeld bewegt. 씮 씮 ßUnter der Bedingung v ⊥ B ist der Wert von FL maximal. Das ist der wichtigste Anwendungsfall. Bewegt sich eine Ladung Q schräg zum Magnetfeld, so verringert sich die Lorentzkraft nach der gleichen Überlegung wie bei der Kraft auf einen stromführenden Leiter, der mit dem Magnetfeld einen Winkel zwischen 0° und 90° einschließt. In diesem Fall gilt: FL 0 Q 0 vBsin a. 씮 씮 ßDa die Lorentzkraft F L immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit v wirkt, kann sie einen geladenen Körper nur ablenken und nicht in Bahnrichtung beschleunigen oder verzögern. Sie kann ihm daher auch keine Energie zuführen oder entziehen. ßWichtige Anwendungen werden in den nächsten Abschnitten behandelt. Beispiel In einem Linearbeschleuniger erreichen Heliumkerne die Energie 3,42 MeV. Sie werden senkrecht in das konstante homogene Magnetfeld (B 1,78 T) einer Vakuumkammer gelenkt (B 267). Heliumkerne haben die Masse m 6,645 ⋅ 1027 kg. a) Man bestimme in B 267 die Richtung der Lorentz씮 kraft F L auf die Kerne und skizziere den gesamten Bahnverlauf. b) Man berechne die Beschleunigung a, die die Kerne im Magnetfeld erfahren, und deute sie. c) Man verändere die Versuchsanordnung so, dass die Kerne das Magnetfeld unabgelenkt durchlaufen. v B Bild 267 Lösung: a) Heliumkerne tragen die Ladung Q 2e. Ihr BahnM durchgang ist gleichzeitig die technische StromrichF L3 씮 tung. Die Lorentzkraft F L auf die bewegte Ladung innerhalb des Magnetfeldes ist durch die UVWF L2 Regel festgelegt. Sie zeigt bei Feldeintritt exakt nach F L1 oben und ändert danach ihre Richtung in jedem Bahnpunkt (B 268) zu einem festen Zentrum M hin. v Die lineare Eingangsbahn verformt sich zu einem 씮 Kreisbogen. Nach Austritt aus dem Feld fehlen F L und andere Kräfte. Die Kerne vollziehen erneut eine geradlinige Bewegung mit dem gleichen konstanten B Geschwindigkeitsbetrag v wie beim Eintritt. Bild 2 68 b) Trotz permanent vorhandener Lorentzkraft FL im Magnetfeld behalten die Kerne auf der Bahn die Ein씮 trittsgeschwindigkeit v bei. F L wirkt nur richtungsändernd. Es entsteht ein Kreisbogen. Folglich 씮 muss F L die Bedeutung einer Zentripetalkraft haben, die die Kerne auf der Bahn hält. Da der Messwert des Kreisbogenradius r fehlt, berechnet man die Beschleunigung arad mithilfe der Grundgleichung der Mechanik. Es gilt also: 79920_002_00_Ch10.indd 268 9/23/13 1:36 PM 14.4 Zeitdilatation 421 Ereignissen für Beobachter in beliebigen Inertialsystemen S und S⬘. Im Alltag bemerken wir von dieser Zeitdifferenz nichts, da sie zu gering ist. Relativität der Gleichzeitigkeit: Ereignisse, die an verschiedenen Orten in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfinden, ereignen sich aus der Sicht eines anderen, relativ zum ersten bewegten Inertialsystems zu verschiedenen Zeiten. 14.4 Zeitdilatation Folgende Frage lässt sich aufwerfen: Welche Zeitdauer benötigt ein und derselbe physikalische Vorgang in zwei Inertialsystemen S und S⬘, falls sich beide relativ zueinander mit 씮 der Geschwindigkeit v ⫽ konstant bewegen und System S mit synchronisierten Uhren ausgestattet ist? Gedankenexperiment mit Lichtuhren (B 451) S' y' S' y' l L VERSUCH Mit S' bewegte Lichtuhr S S' y y' d' = d B’ v x'1 t'1 = 0 x 1 t1 = 0 B P x'1 t' < 10 ns t = 10 ns x'1 t' = 10 ns x2 t > 10 ns Q +x' +x d Ruhende Lichtuhren in S Bild 451: Zur Zeitdilatation Der Gang einer bewegten Lichtuhr L wird in zwei Inertialsystemen gemessen, die Messergebnisse werden verglichen. Während der Messung bewegt sich das System S⬘ relativ zum System 씮 S mit der Geschwindigkeit v ⫽ konstant gleichsinnig parallel zur ⫹x-Achse von S. Im Inertialsystem S sind an den Orten x1 ⫽ 0 und x2 zwei synchronisierte Uhren P und Q befestigt. Die im System S⬘ am Ort x1⬘ ⫽ 0 ruhend installierte Uhr L bewegt sich wie S⬘ mit der konstan씮 ten Geschwindigkeit v an P und Q im System S vorbei. Im Zeitpunkt t1 ⫽ t1⬘ ⫽ 0 liegen sich L und P am Ort x1 ⫽ x1⬘ ⫽ 0 gegenüber, die Zeitmessung beginnt. Läuft L an Q vorbei, so werden beide Uhren gestoppt. Die Uhren P und Q messen im System S für das Ereignis „L bewegt sich geradlinig und gleichförmig von P nach Q“ die Zeitdauer Dt, wobei gilt: x2 ⫽ vDt. Ein in S⬘ ruhender Beobachter B⬘ misst mit der Lichtuhr L für die gleiche Ortsänderung Dx ⫽ x2 ⫺ x1 ⫽ x2 im System S eine andere Zeitdauer Δt ⬘. Man nennt die im System S⬘, also die von einer gegen S bewegten Uhr registrierte Zeitdauer für einen Vorgang am festen Ort x1r , hier x1⬘⫽ 0, die Eigenzeit DtE bzw. Δt ⬘. Zwischen den Zeitspannen DtE ⫽ Δt ⬘ im System S⬘ und Dt im System S besteht ein Zusammenhang (B 451), den man wie folgt gewinnt: 79920_002_00_Ch14.indd 421 10/16/13 11:49 AM 422 14 Spezielle Relativitätstheorie Das in der Lichtuhr L im Zeitpunkt t⬘1⬘ ⫽ 0 ausgelöste Lichtsignal durchläuft während der Eigenzeit Dt⬘ für den gegen S bewegten Beobachter B⬘ die Streckenlänge d ⫽ d⬘⫽ c0 Δt ⬘. Für den in S ruhenden Betrachter B legt das Lichtsignal in L den Weg der Länge l ⫽ c0Dt in Form einer Hypotenuse zurück. Er rechnet nach Pythagoras: d⬘2 ⫹ x22 ⫽ l2, ( c0Dt⬘ ) 2 ⫹ ( vDt ) 2 ⫽ ( c0Dt ) 2, ( c20 ⫺ v2 ) ( Dt ) 2 ⫽ c20 ( Dt⬘ ) 2, ( Dt ) 2 ⫽ Dt ⫽ ã 1 ( Dt⬘ ) 2, Dt ⫽ c20 ⫺ v2 c20 1 v 1⫺a b Å c0 2 Dt⬘ bzw. Dt ⫽ 1 v 2 1⫺a b Å c0 c20 c20 ⫺ v2 ( Dt⬘ ) 2, DtE. Da nach dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit stets v ⬍ c0 ist, folgt 1 ⬎ 1 und daher Dt ⬎ Dt⬘ ⫽ DtE. Man kann sagen: Für die gleiche Ortsänderung v 2 1⫺a b Å c0 Dx ⫽ d ⫽ d⬘ des Lichtsignals, also für das gleiche Ereignis, misst die gegen S bewegte Uhr L in S⬘ weniger Zeit als die in S ruhenden und synchronisierten Uhren P und Q. Anders gesagt: Bewegte Uhren gehen langsamer als ruhende. Man bezeichnet dieses Ergebnis als Zeitdilatation, Zeitdehnung oder Relativität der Zeitmessung: 씮 Eine relativ zu einem Inertialsystem S mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegte Uhr misst für einen Vorgang bzw. ein Ereignis an einem festen Ort x⬘1 im Inertialsystem S⬘ die Eigenzeit DtE ⴝ Dtⴕ. Sie ist beim selben Vorgang bzw. Ereignis kleiner als die Zeitdauer Dt für einen Beobachter im System S. Bemerkungen: ßDer Term 1 v 2 1⫺a b Å c0 ist bedeutsam für die gesamte Spezielle Relativitätstheorie. Man ersetzt diesen Faktor für die Zeitdilatation häufig durch den Buchstaben g . 1 heißt Lorentz-Faktor. Dann lässt sich das obige Ergebnis kurz angeben g⫽ v 2 1⫺a b Å c0 in der Form: Dt ⫽ gDt⬘ bzw. Dt ⫽ gDtE. Eine bewegte Uhr geht langsamer als ein Satz ruhender synchronisierter Uhren, an denen sie vorbeikommt. ß„Ruhe“ und „Bewegung“ verlieren in der Relativitätstheorie ihren Sinn. Tatsächlich kann man jedes bewegte System als ruhend und jedes ruhende System als bewegt ansehen. Von Bedeutung ist nur die Relativbewegung der Systeme zueinander. Da man diese Begriffe sprachlich verwendet und ihnen eine anschauliche Bedeutung beimisst, ist folgende Ergänzung wichtig: Ein Inertialsystem S heißt ruhend, wenn in ihm mindestens zwei synchronisierte Uhren fest installiert sind. In jedem gegen S bewegten Inertialsystem S⬘ laufen die Uhren gegenüber den Uhren in S nicht mehr synchron, sie unterliegen der Zeitdilatation. ßBei der Zeitdilatation sind zwei Sonderfälle zu beachten: – I: v 씮 c0 bzw. g 씮 `: Ein Vorgang im System S⬘ dauert im System S unbegrenzt lange, er 1 mathematisch nicht wird nie abgeschlossen. Für v ⫽ c0 ist der Faktor g ⫽ v 2 1⫺a b Å c0 79920_002_00_Ch14.indd 422 9/20/13 11:57 PM
