Bewertung von Rentenoptionen

FREIE UNIVERSITÄT BERLIN
Fachbereich Wirtschaftswissenschaft
Institut für Bank und Finanzwirtschaft
Diskussionsbeiträge
Nr. 25
Bewertung von Rentenoptionen
Von Lutz Kruschwitz und Dirk Zabel
11. Oktober 1995
Bewertung von Rentenoptionen
von Lutz Kruschwitz und Dirk Zabel
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Besonderheiten festverzinslicher Wertpapiere
1
1
3 ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell
2
4 Mehrperiodige Bewertungsmodelle
7
2.1 Anleihen und Aktien im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kursentwicklung von Anleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Modellannahmen und Symbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Herleitung einer Bewertungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Analyse der Bewertungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Modellannahmen und Symbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Konstruktionsversuch eines Binomialmodells . . . . . . . . . . . .
4.3 Rekursive Optionsbewertung und Erweiterungen . . . . . . . . .
5 Zusammenfassung
Professor
1
2
3
4
6
7
7
9
11
Dr. Lutz Kruschwitz, Institut für Bank und Finanzwirtschaft der Freien Universität Berlin, Boltzmannstr. 20, D14195 Berlin.
Dirk Zabel, Student der Betriebswirtschaftslehre an der Freien Universität Berlin.
1 Einführung
Optionen auf festverzinsliche Wertpapiere (kurz: Rentenoptionen) werden seit
1982 in den USA und seit 1990 auch an der Deutschen Terminbörse in Frankfurt gehandelt. In der Literatur hat man sich stets mehr mit Aktienoptionen
auseinandergesetzt, während die besondere Problematik von Rentenoptionen
eher vernachlässigt wurde. Über den internationalen Stand der Forschung auf
dem Gebiet der Rentenoptionen geben Cox/Rubinstein und Hull Auskunft. Die
deutschsprachigen Arbeiten zu diesem Thema sind an einer Hand abzählbar,
wobei vor allem Bühler , Schöbel und Uhlir/Steiner zu nennen sind.
In diesem Beitrag wollen wir zeigen, warum man die klassischen Bewertungskonzepte für Aktienoptionen nicht einfach auf Rentenoptionen übertragen kann.
In einem zweiten Schritt stellen wir dar, wie man Rentenoptionen dennoch im
Rahmen zeitdiskreter Modelle präferenzfrei bewerten kann.
2 Besonderheiten festverzinslicher Wertpapiere
In der Praxis existieren neben den klassischen Optionen auf Aktien beispielsweise auch Optionen auf Devisen, auf Anleihen oder auf andere Finanzinstrumente.
Eine wesentliche Gemeinsamkeit dieser Optionsobjekte (englisch: underlying
assets) besteht darin, daÿ ihre Preise im Zeitablauf einem Zufallsprozeÿ folgen.
Der konkrete Verlauf solcher Zufallsprozesse wird maÿgeblich von den Eigenschaften des jeweiligen underlying assets geprägt. Die Brauchbarkeit eines jeden
Bewertungsmodells für Optionen auf solche assets ist deshalb daran zu messen,
wie gut es diese Eigenschaften und damit den Zufallsprozeÿ erfaÿt. Daher wollen
wir in diesem Abschnitt zunächst die wichtigsten Merkmale von Anleihen und
die daraus resultierenden Konsequenzen für die Kursverläufe solcher Finanztitel
untersuchen.
2.1 Anleihen und Aktien im Vergleich
Um die Bewertungscharakterisika von Anleihen herauszuarbeiten, bietet sich
ein Vergleich dieser Finanztitel mit den klassischen underlying der Optionspreistheorie, den Aktien, an. Hierzu eignen sich besonders die folgenden drei
Kriterien.
Laufzeit Während Aktien eine unbegrenzte Laufzeit besitzen, werden Anleihen in der Regel mit begrenzter Laufzeit emittiert.
Qualität der Zahlungsansprüche Anleihegläubiger haben Ansprüche auf
Zahlungen, die der Höhe und dem Zeitpunkt nach genau festgelegt sind. Im
Gegensatz dazu verbriefen Aktien der Höhe nach nicht xierte Residualansprüche auf Dividenden und gegebenenfalls eine Beteiligung am Liquidationserlös.
Kurseinuÿgröÿen Die Entwicklung von Aktienkursen wird im wesentlichen
von rmenspezischen Ereignissen und gesamtwirtschaftlichen Rahmenbedingungen bestimmt. Während Veränderungen des Zinsniveaus für Aktienkurse
von eher untergeordneter Bedeutung sind, kann man bei Anleihen (erstklassiger
Schuldner) davon ausgehen, daÿ sich die Kursentwicklung fast ausschlieÿlich
1
durch Änderungen der Marktzinssätze sowie die Verkürzung der Restlaufzeit
erklären läÿt.
2.2 Kursentwicklung von Anleihen
Die aufgezeigten Eigenschaften von Anleihen bedingen spezische Phänomene
ihrer Kursentwicklung, die es bei der Bewertung von Rentenoptionen in angemessener Weise zu berücksichtigen gilt.
Existenz von Schranken für den Anleihekurs Der Kurs einer Anleihe
stellt sich nach dem Barwertkonzept als Summe der abgezinsten noch ausstehenden Zahlungen dar. Im Extremfall eines Zinssatzes von null bildet folglich
die Summe aller noch ausstehenden Zahlungen die obere Grenze für den Anleihekurs. Wächst der Zinssatz im anderen Extremfall über alle Grenzen, so strebt
der Anleihekurs gegen null.
PulltoParPhänomen Im Zeitablauf verringert sich mit jeder Zahlung
des Schuldners die Anzahl der noch ausstehenden Zahlungen und damit das
Intervall möglicher Anleihekurse. Unmittelbar vor dem Ende ihrer Laufzeit
ist der Wert mit dem Rückzahlungsbetrag (in der Regel: letzte Kuponzahlung
plus Nennwert) fest vorgegeben. Jeder denkbare Kursverlauf der Anleihe während ihrer Laufzeit muÿ folglich in diesen Rückzahlungsbetrag münden. Dieses
Kursverhalten von Anleihen wird in der Literatur, so z.B. bei Hull , als Pullto
ParPhänomen bezeichnet und hat zur Konsequenz, daÿ
die Kursvolatilität von Anleihen im Zeitablauf abnimmt und schlieÿlich
verschwindend klein wird,
die Kursänderungen von Anleihen (vor allem gegen Ende ihrer Laufzeit)
nicht unabhängig von vorausgegangenen Kursänderungen sind und
der Einuÿ von Zinsänderungen auf den Anleihekurs im Zeitablauf nicht
konstant ist, sondern mit sich vermindernder Restlaufzeit ebenfalls gegen
null geht.
Zur Veranschaulichung der bislang erläuterten Eigenschaften von Anleihen
verweisen wir auf Abbildung 1. Die (durchgezogene) treppenförmige Funktion
bildet die beschriebene Obergrenze für den Anleihekurs. Die (gestrichelte) sägezahnförmige Funktion stellt die Entwicklung des Kurses unter der Voraussetzung
dar, daÿ der Zins während der gesamten Restlaufzeit unverändert bleibt, und die
beiden übrigen (gepunkteten) Funktionen repräsentieren mögliche Kursverläufe
bei einem sich zufällig ändernden Zins.
3 ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell
Grundsätzlich kann jedes festverzinsliche Wertpapier, wie beispielsweise ein Zero Bond oder eine Kombizinsanleihe als underlying asset einer Option dienen.
In diesem Abschnitt untersuchen wir exemplarisch eine europäische Kaufoption
(englisch: Call) auf eine Kuponanleihe. Für die Bewertung dieser Option verwenden wir aus didaktischen Gründen zunächst das einfachste aller denkbaren
2
Bt
6
Btmax
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PulltoParPhänomen
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t
Abbildung 1: Mögliche Entwicklungen eines Anleihekurses
Modelle, das sogenannte ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell. Obwohl oder
gerade weil dieses Modell sehr einfach strukturiert ist, wird es wichtige Erkenntnisse für die Ableitung komplexerer zeitdiskreter Bewertungsmodelle liefern.
3.1 Modellannahmen und Symbolik
Der Betrachtungszeitraum im ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell umfaÿt genau eine Periode, die sich vom Zeitpunkt t bis zum Zeitpunkt t + 1 erstreckt,
wobei zwischen beiden Zeitpunkten nicht notwendigerweise ein Jahr liegen muÿ.
Für den Kapitalmarkt wird eine ache Zinskurve unterstellt. Es wird von
einem einheitlichen Jahreszinssatz r für alle Fristigkeiten ausgegangen. Im
Zeitablauf folgt der Zinssatz einem stochastischen Prozeÿ, wobei am Ende der
Betrachtungsperiode nur einer der beiden Zustände Zinssatz up oder Zinssatz
down eintreten kann. Dieser einfache Zufallsprozeÿ bedingt also jeweils eine
Parallelverschiebung der achen Zinskurve.
Im Zeitpunkt t kann zum Zinssatz r ein beliebiger Betrag Yt sicher angelegt
oder aufgenommen werden. Im allgemeinen wird der Zeitabstand zwischen t und
t + 1 kürzer als ein Jahr sein, so daÿ es für die Ermittlung der Rücküsse aus
der Geldanlage bzw. Kreditaufnahme zweckmäÿig erscheint, den Jahreszinssatz
r mit Hilfe von rs = (1 + r)1=s ; 1 in einen subperiodenbezogenen Zinssatz rs
umzurechnen. Dabei stellt s die Zahl der Subperioden je Jahr dar.
Am Kapitalmarkt wird eine Anleihe mit jährlichem Kupon gehandelt, die
zugleich das underlying asset der Kaufoption ist. Der Wert eines festverzinslichen Wertpapiers kann stets als Barwert aller zukünftigen Zahlungen zi mit
i = 1; : : :; I aufgefaÿt werden. Allgemein berechnet man diesen Barwert in
einem beliebigen Zeitpunkt mit
Bt =
I
X
=1
i
zi (1 + r);i;t ;
wobei i;t die Fristigkeit der iten Zahlung im Zeitpunkt t ist.
3
(1)
Grundsätzlich ist bei fallenden (steigenden) Zinsen mit steigenden (abnehmenden) Anleihekursen zu rechnen, was unmittelbar aus der oben genannten
Barwertformel folgt. Also gilt im Zustand Zinssatz down notwendigerweise
Kurs up, wofür wir im folgenden Btu+1 schreiben werden, während wir im Zustand Zinssatz up analog dazu Kurs down beobachten werden, wofür wir
das Symbol Btd+1 benutzen wollen, vgl. Abbildung 2.
rt
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rtd+1
Bt
t
rtu+1
t+1
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Btu+1
Btd+1
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t
t+1
-
Abbildung 2: Zins und korrespondierende Kursänderung
Der Inhaber der ebenfalls am Kapitalmarkt gehandelten Kaufoption hat das
Recht, die Anleihe im Zeitpunkt t + 1 zum Ausübungspreis K zu erwerben. Dabei unterstellen wir aus Gründen der Bequemlichkeit, daÿ während der Laufzeit
der Option kein Kupon fällig ist. Der zu ermittelnde faire Preis des Calls wird
mit Ct bezeichnet. Bei Fälligkeit beläuft sich sein Wert entweder auf
Ctu+1 = max(Btu+1 ; K; 0)
oder Ctd+1 = max(Btd+1 ; K; 0) :
Bezüglich der so beschriebenen Rücküsse der Anleihe, der (momentan) risikolosen Geldanlage bzw. Kreditaufnahmemöglichkeit sowie des Calls bestehen
homogene Erwartungen bei allen Marktteilnehmern. Auÿerdem nehmen wir
an, daÿ auf den Märkten weder Steuern noch Transaktionkosten fällig werden,
Leerverkäufe ohne Beschränkung möglich sind und keine Arbitragegelegenheiten
bestehen.
3.2 Herleitung einer Bewertungsgleichung
Im Rahmen der beschriebenen Modellwelt soll nun der Call auf die Kuponanleihe präferenzfrei bewertet werden. Die Vorteile einer solchen präferenzfreien
Bewertung liegen darin, daÿ sie weder Kenntnis der individuellen Risikoeinstellungen der Investoren noch die Vorhersage der Eintrittswahrscheinlichkeiten der
beiden im Zeitpunkt t +1 möglichen Zustände fordert (Kruschwitz 1995, S. 299).
Die Ermittlung einer präferenzfreien Bewertungsgleichung setzt die Existenz
eines vollständigen Kapitalmarkts voraus. Als vollständig wird ein Kapitalmarkt im ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell dann bezeichnet, wenn auf ihm
zwei Finanztitel mit linear unabhängigen Rücküssen gehandelt werden. Wie
Übersicht 1 verdeutlicht, ist diese Forderung durch die Existenz der Kuponanleihe und der kurzfristigen Geldanlage bzw. Kreditaufnahmemöglichkeit erfüllt.
Auf der Grundlage eines solchen vollständigen Kapitalmarkts läÿt sich eine prä4
Tabelle 1: Cashows der relevanten Finanztitel
Cashows in t + 1 im Zustand
Finanztitel
Kurs up
Kurs down
Wert in t
Kuponanleihe
Btu+1
Btd+1
Bt
Anlage bzw. Kredit Yt (1 + rs)
Yt (1 + rs)
Yt
Call
Ctu+1
Ctd+1
Ct =?
ferenzfreie Bewertungsgleichung für einen weiteren Finanztitel, wie z.B. den
Call, über
die Konstruktion eines äquivalenten Portfolios aus der Anleihe und der
kurzfristigen Geldanlage bzw. Kreditaufnahmemöglichkeit oder
die Ermittlung der Preise reiner Wertpapiere für die Zustände Kurs up
und Kurs down
ableiten. Da beide Wege zum selben Ergebnis führen, soll hier exemplarisch die
zweite Vorgehensweise vorgestellt werden.
Ein reines Wertpapier ist ein theoretisches Konstrukt, welches im Zeitpunkt
t + 1 in einem der beiden Zustände einen Rückuÿ in Höhe von 1 DM und in
dem jeweils anderen Zustand keine Rücküsse verspricht. In der vorliegenden
Modellwelt sind die Preise der reinen Wertpapiere u und d mit
u als Preis für 1 DM im Zustand Kurs up und
d als Preis für 1 DM im Zustand Kurs down
aus den Gleichungen
Btu+1 u + Btd+1 d = Bt
(2)
Yt (1 + rs ) u + Yt (1 + rs ) d = Yt
(3)
zu bestimmen, um nach Einsetzen in
Ct = Ctu+1 u + Ctd+1 d
(4)
und einigen Umformungen eine Bewertungsgleichung für Ct , den Wert des Calls
im Zeitpunkt t, zu erhalten. Wenn man nun die Gleichung (2) durch Bt und
die Gleichung (3) durch Yt dividiert und mit
bxt =
Btx+1 ; Bt
Bt
= BBt+1 ; 1
x
t
()
Btx+1
Bt
= 1 + bxt ;
mit x = u; d
für die Anleihe eine Renditeschreibweise einführt, ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
(1 + but) u + (1 + bdt ) d = 1
(1 + rs) u + (1 + rs) d = 1 :
Unter der Voraussetzung, daÿ die Determinante der Koezientenmatrix eines
solchen linearen inhomogenen Gleichungssystems ungleich null ist, lassen sich
5
die Unbekannten mit Hilfe der Cramerschen Regel bestimmen. Als Lösungen
für u und d erhält man
1 rs ; bdt und = 1 but ; rs :
u =
d
1 + rs but ; bdt
1 + rs but ; bdt
Setzt man die so gewonnenen Preise der reinen Wertpapiere in Gleichung (4)
ein, resultiert daraus mit
1 rs ; bdt C u + but ; rs C d
Ct =
1 + rs |but {z
; bdt} t+1 |but {z
; bdt} t+1
1;p
pt
!
(5)
t
eine präferenzfreie Bewertungsgleichung für einen europäischen Call auf eine
Kuponanleihe im ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell.
3.3 Analyse der Bewertungsgleichung
Gleichung (5) entspricht in ihrer Struktur einem Erwartungswert des Calls im
Zeitpunkt t +1, der auf den Zeitpunkt t abgezinst wird. In Gleichung (5) gehen
jedoch keine Wahrscheinlichkeiten ein, die im Rahmen eines Modells unterstellt
werden. Die mit pt bzw. 1 ; pt bezeichneten Terme wurden vielmehr aus einem
vorgegebenen Gleichungssystem errechnet. Derartige Gewichtungsfaktoren werden in der Optionspreistheorie auch als Pseudowahrscheinlichkeiten bezeichnet.
Das erscheint deswegen gerechtfertigt, weil pt und 1 ; pt die Eigenschaften eines
Wahrscheinlichkeitsmaÿes im Sinne der Statistik erfüllen. So gilt insbesondere
0 pt ; 1 ; pt 1 und pt + (1 ; pt) = 1.
Diese Eigenschaften folgen aus der Annahme, daÿ der Kapitalmarkt arbitragefrei ist, da dann die Beziehung bdt < rs < but stets erfüllt sein muÿ. Bei
Verletzung dieser Beziehung lassen sich dagegen immer risikolose Arbitragegewinne erzielen: Wenn rs < bdt < but ist, nimmt man zum Zinssatz rs Kredit auf
und kauft die Anleihe. Ist dagegen bdt < but < rs , so verkauft man die Anleihe
leer und legt zum Zinssatz rs Geld an.
Bei der im Abschnitt 4 folgenden Analyse mehrperiodiger zeitdiskreter Modelle zur Bewertung von Rentenoptionen ist von zentraler Bedeutung, ob sich
die Pseudowahrscheinlichkeiten im Zeitablauf stationär verhalten. Bei einer Untersuchung des Zeitverhaltens der Pseudowahrscheinlichkeiten kommen wir zu
folgenden Ergebnissen:
1. Für den kurzfristigen Zinssatz rs wurde in Abschnitt 3.1 ein stochastisches
Verhalten im Zeitablauf unterstellt. Folglich ist davon auszugehen, daÿ
sich die zu Beginn einer jeden Periode geltenden Zinssätze voneinander
unterscheiden.
2. Auch die zustandsabhängigen Anleiherenditen verändern sich im Zeitablauf, wofür im wesentlichen zwei Gründe verantwortlich sind. Zum einen
sind die in diese Renditegröÿen eingehenden Barwerte der zukünftigen
Anleihezahlungen vom stochastischen Verlauf des Zinsniveaus abhängig.
Zum anderen führen das PulltoParPhänomen und die Existenz oberer
Schranken für den Kurs der Anleihe dazu, daÿ die Kurs bzw. Renditebewegungen der Anleihe von der Entwicklung in vorangegangenen Perioden
6
abhängig sind und die Kursvolatilität der Anleihe zum Ende ihrer Laufzeit
hin abnimmt.
3. Für sämtliche Gröÿen, die bei der Bestimmung der Pseudowahrscheinlichkeiten zu berücksichtigen sind, ist somit festzustellen, daÿ sie im Zeitablauf
variieren. Aufgrund dieser Tatsache ist auch für die Pseudowahrscheinlichkeiten davon auszugehen, daÿ sie über mehrere Perioden hinweg kein
stationäres Verhalten aufweisen werden.
4 Mehrperiodige Bewertungsmodelle
Weil das bisher verwendete ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell allzu einfach
strukturiert ist, gehen wir jetzt zu komplexeren zeitdiskreten Modellen über.
Zunächst nehmen wir hierfür einige Modikationen der getroenen Modellannahmen vor. Im Abschnitt 4.2 wird dann der Versuch unternommen, unter
Verwendung der Binomialverteilung eine geschlossene Bewertungsgleichung für
einen Call auf eine Kuponanleihe herzuleiten. Da dieser Versuch miÿlingen wird,
stellen wir schlieÿlich mit der rekursiven Methode eine alternative Form der
Bewertung vor.
4.1 Modellannahmen und Symbolik
Die Laufzeit des Calls erstreckt sich über eine endliche Zahl von n Subperioden. Während jeder dieser Subperioden kann der Zins entweder steigen oder
fallen. Am Ende des Betrachtungszeitraums, also nach n Subperioden, kann der
Zins 0 k n Abwärtsbewegungen vollführt haben. Wir bezeichnen mit rnk
den Zinssatz nach n Subperioden und k Abwärtsbewegungen. Weil mit Änderungen des Zinssatzes stets entgegengerichtete Änderungen des Anleihenkurses
verbunden sind, korrespondieren mit k Abwärtsbewegungen des Zinssatzes k
zinsinduzierte Aufwärtsbewegungen des Anleihekurses. Folglich bezeichnet Bnk
den Anleihekurs nach n Subperioden und k Aufwärtsbewegungen des Kurses.
Diese Symbolik läÿt sich entsprechend auf beliebige Zeitpunkte t mit t < n
übertragen.
Vereinfachend unterstellen wir, daÿ der sich so ergebende Zinsprozeÿ über
die n Subperioden recombining ist. Das bedeutet, daÿ in einem beliebigen
Zeitpunkt t alle bis zu diesem Zeitpunkt möglichen Zinsentwicklungen mit der
gleichen Anzahl von k Aufwärtsbewegungen (des Zinses) auch zum gleichen
Zinssatz führen. Für n = 3 Subperioden verdeutlicht Abbildung 3 die entsprechenden Entwicklungen des Zinssatzes und des Anleihekurses.
In Kenntnis der zustandsabhängigen Anleihekurse nach n Subperioden lassen
sich die zustandsabhängigen Werte des Calls am Ende seiner Laufzeit aus Cnk =
max(Bnk ; K; 0) bestimmen. Die anderen Annahmen des Abschnitts 3.1, wie
insbesondere die Möglichkeit zur kurzfristigen Geldanlage bzw. Kreditaufnahme
werden insoweit modiziert, daÿ sie für jede der Subperioden Gültigkeit haben.
4.2 Konstruktionsversuch eines Binomialmodells
Im Rahmen einer vergleichbaren zeitdiskreten Betrachtungsweise für Kaufoptionen auf Aktien gelingt es, unter Verwendung einer Binomialverteilung, eine
geschlossene Bewertungsgleichung für den Wert eines Calls im Zeitpunkt t = 0
7
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r33
r32
B0
r31
B11
B10
r30
-t
3
0
1
B22
B21
B20
2
B33
B32
B31
B30
-t
3
Abbildung 3: Folge von Zins und korrespondierenden Kursänderungen
abzuleiten (Cox/Ross/Rubinstein ). Das für die Bewertung von Aktienoptionen verwendete Binomialmodell erlaubt es, den Wert einer Option in einer sehr
einfachen und eleganten Weise zu bestimmen. Dieser Vorteil darf jedoch nicht
dazu verleiten, das Modell auf Rentenoptionen zu übertragen, ohne seine Anwendungsvoraussetzungen noch einmal zu überprüfen. Um ein Binomialmodell
anwenden zu können, müssen drei Voraussetzungen erfüllt sein:
1. Dichotome Entwicklung des Anleihekurses im Zeitablauf: Während einer
jeden Subperiode kann der Kurs der Anleihe aufgrund einer entsprechenden (gegenläugen) Zinsentwicklung entweder steigen oder fallen. Im Zeitablauf reihen sich so n gleichartige dichotome Zufallsexperimente aneinander, so daÿ die erste Modellvoraussetzung einer Binomialverteilung erfüllt
ist.
2. Unabhängigkeit der n dichotomen Zufallsexperimente im Zeitablauf: Für
die Annahme einer Binomialverteilung ist weiter erforderlich, daÿ die Entwicklungen des Anleihekurses in den einzelnen Subperioden unabhängig
voneinander erfolgen. Wie wir jedoch in Abschnitt 2.2 gezeigt haben, ist
diese Bedingung wegen der Existenz einer oberen Schranke und des Pull
toParPhänomens mit seinen Folgen nicht erfüllt.
3. Konstanz der Eintrittswahrscheinlichkeiten: Die in Abschnitt 3.3 beschriebenen Pseudowahrscheinlichkeiten repräsentieren gerade die Wahrscheinlichkeiten für einen Anstieg bzw. Rückgang des Anleihekurses während
einer Subperiode. Die Analyse der Pseudowahrscheinlichkeiten ergab, daÿ
sie sowohl zeit als auch zustandsabhängig sind. Damit ist auch diese
Voraussetzung eines Binomialmodells für Rentenoptionen nicht erfüllt.
Das Fazit lautet: Bei der Bewertung von Aktienoptionen wird üblicherweise
durch Annahmen sichergestellt, daÿ die Voraussetzungen für die Anwendung
eines Binomialmodells erfüllt sind. So pegt man beispielsweise von einem
gleichbleibenden sicheren Zins und konstanten stochastischen Aktienrenditen
8
auszugehen. Beides zusammen garantiert konstante Pseudowahrscheinlichkeiten. Während derartige Annahmen für Aktienoptionen vertretbar erscheinen,
würde eine entsprechende Vorgehensweise im Rahmen des hier zu lösenden Bewertungsproblems der Natur der zu bewertenden Objekte vollkommen widersprechen. Die Stochastik von Anleihekursen beruht nun einmal im wesentlichen
auf der Veränderlichkeit von Zinsen. Käme der Zins zur Ruhe, würde auch die
Volatilität der Anleihekurse und damit letztlich die Existenzberechtigung von
Rentenoptionen verschwinden.
4.3 Rekursive Optionsbewertung und Erweiterungen
Der vorangegangene Abschnitt brachte die Erkenntnis, daÿ die Ableitung einer
geschlossenen Bewertungsgleichung unter Verwendung einer Binomialverteilung
für einen Call auf eine Kuponanleihe unmöglich ist. In diesem Abschnitt wird
mit der rekursiven Methode eine alternative Vorgehensweise zur Bestimmung
des Callwertes im Zeitpunkt t = 0 vorgestellt. Anschlieÿend werden wir zeigen,
daÿ sich dieser Ansatz prinzipiell auch für die Bewertung anderer Rentenoptionen eignet.
Grundsätzliche Vorgehensweise Die Basis für die Anwendung der rekursi-
ven Methode stellt die Konstruktion eines geeigneten Zufallsprozesses dar, der
die Entwicklung der Zinsen während der Optionslaufzeit beschreibt. Wir gehen
hier von dem in Abschnitt 4.1 unterstellten Prozeÿ aus, der lediglich Parallelverschiebungen von achen Zinskurven impliziert. Ist ein solcher Zinsprozeÿ erst
einmal konstruiert, so sind folgende Gröÿen eindeutig determiniert:
die denkbaren Anleihekurse am Ende der Optionsfrist mit
B
k
n
=
I
X
=1
i
zi 1 + rnk ; ;
;
i;n
die möglichen Werte der Kaufoption am Ende der Optionsfrist mit
Cnk = max(Bnk ; K; 0);
die Pseudowahrscheinlichkeiten mit
pkn;1 =
1
rnk ;1 ; bkn;
;1
1
bkn;1 ; bkn;
;1
sowie
der kurzfristige subperiodenbezogene Zins zu Beginn der letzten Periode
mit rnk ;1.
Analoge Anwendung der Bewertungsgleichung (5) erlaubt es, die zustandsabhängigen Werte der Option zu Beginn der letzten Subperiode mit
1 pk C k + (1 ; pk ) C k;1
Cnk;1 =
n; 1
n
1 + rnk ;1 n;1 n
zu berechnen.
9
Aus je zwei benachbarten Optionswerten am Ende der (n ; 1)ten Subperiode läÿt sich unter sinngemäÿer Anwendung von Gleichung (5) ein Optionswert
zu Beginn dieser vorletzten Subperiode bestimmen. Diese zeitlich rückwärts
gerichtete (rekursive) Berechnung wird nun für alle Subperioden und Zustände
durchgeführt, bis man schlieÿlich C0, den gesuchten Wert des Calls im Bewertungszeitpunkt, erreicht.
Andere Rentenoptionen Bisher haben wir ausschlieÿlich europäische Kaufoptionen auf Kuponanleihen betrachtet, die sich dadurch auszeichneten, daÿ
während der Laufzeit der Option kein Kupon fällig war. Das Modell läÿt sich
sehr einfach auf andere Rentenoptionstypen übertragen, solange man weder an
dem underlying asset noch an dem unterstellten Zinsprozeÿ Änderungen vornimmt. Beispielsweise kann man mit Hilfe der beschriebenen rekursiven Methode auch die Bewertung von europäischen Verkaufsoptionen und die Bewertung
von Optionen amerikanischen Typs vornehmen.
Europäische Verkaufsoption Ein europäischer Put wird am Ende der
Optionsfrist ausgeübt, wenn der Basispreis gröÿer ist als der dann herrschende
Preis der Anleihe. Im Rahmen des ZweiZeitpunktZweiZustandsmodells heiÿt
das
Ptu+1 = max(K ; Btu+1 ; 0) oder Ptd+1 = max(K ; Btd+1 ; 0) ;
woraus sich sofort die Bewertungsgleichung
1 p P u + (1 ; p ) P d (6)
Pt =
t
t+1
1 + rs t t+1
ergibt. Mit dem Wechsel des Optionstyps ändert sich an den Preisen der reinen
Wertpapiere gar nichts und infolgedessen auch nicht an den Pseudowahrscheinlichkeiten.
Betrachtet man nun erneut mehrere Subperioden, so ermitteln wir bei gegebenem Zinsprozeÿ wieder eindeutig
die denkbaren Anleihekurse am Ende der Optionsfrist,
die möglichen Werte der Verkaufsoption am Ende der Optionsfrist mit
Pnk = max(K ; Bnk ; 0);
die Pseudowahrscheinlichkeiten und
den kurzfristigen subperiodenbezogenen Zins zu Beginn der letzten Peri-
ode.
Daraus berechnet man unter sinngemäÿer Verwendung von (6) die zustandsabhängigen Werte des Puts zu Beginn der letzten Subperiode aus
1 pk P k + (1 ; pk ) P k;1 :
Pnk;1 =
n;1
n
1 + rnk ;1 n;1 n
Die Berechnungsprozedur wird rekursiv, wie beim Call beschrieben, solange
fortgesetzt, bis man mit P0 den Bewertungszeitpunkt erreicht hat.
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Amerikanische Optionen Im Gegensatz zu den europäischen Optionen
zeichnen sich amerikanische Optionen dadurch aus, daÿ man sie vorfristig ausüben darf. Diesem systematischen Vorteil der amerikanischen Option kann man
im Rahmen der rekursiven Methode leicht Rechnung tragen, indem man überprüft, ob sich die vorfristige Ausübung in dem jeweils betrachteten Zeitpunkt
und Zustand lohnt oder nicht. Das ist zu Beginn der letzten Subperiode für
Kaufoptionen dann der Fall, wenn
Cnk;1 < Bnk;1 ; K
ist, während die entsprechende Bedingung für Verkaufsoptionen
Pnk;1 < K ; Bnk;1
heiÿt. Der Prozeÿ der rekursiven Wertermittlung ist mit dem jeweils höheren
Betrag fortzusetzen.
Andere Zinsprozesse Der bislang betrachtete Zinsprozeÿ beruht auf sehr
stark vereinfachenden Annahmen. So werden nichtache Zinsstrukturen ausgeschlossen, und man läÿt nur dichotome Zinsvariationen zu.
Bei Modellierung einer nichtachen Zinskurve ist zu beachten, daÿ die Zinssätze in unserem Bewertungsmodell zwei Funktionen übernehmen. Zum einen
werden Zinssätze benötigt, um Anleihekurse in Form von Barwerten künftiger
Zahlungen zu ermitteln, und zum anderen braucht man Zinssätze für die Bestimmung subperiodenbezogener sicherer Geldanlagen (Kreditaufnahmen).
Für den ersten Anwendungszweck müssen wir gegebenenfalls auf die gesamte
Zinskurve zurückgreifen, um die Zahlungen des Anleiheschuldners entsprechend
ihrer Fristigkeit korrekt zu diskontieren. Modiziert man zu diesem Zweck die
Barwertgleichung (1), so ergibt sich als neue Formel für die Berechnung des
Anleihekurses
I
X
Bt =
zi (1 + r ); ;
(7)
i;t
=1
i;t
i
wobei r die spot rate für die Fristigkeit der iten Zahlung im Zeitpunkt t
ist. Für den zweiten Anwendungszweck, die Ermittlung der Rücküsse aus der
(momentan) risikolosen Geldanlage, ist der kurzfristige Zinssatz rtk zu Beginn
einer jeden Subperiode aus dem Zinsprozeÿ abzuleiten.
Allerdings haben wir im Rahmen dieser einführenden Darstellung des Problems der Bewertung von Rentenoptionen keine Gelegenheit, auf die Modellierung komplexer Zinsprozesse näher einzugehen. Der interessierte Leser sei auf
Ho/Lee (1986), Black/Derman/Toy (1990) und Hull/White (1993) verwiesen.
Die Implementierung der dort dargestellten Zinsprozesse in das rekursive Modell gelingt jedoch nur unter der Voraussetzung, daÿ der jeweilige Zinsprozeÿ
eine dichotome Struktur aufweist.
i;t
5 Zusammenfassung
In Anlehnung an das für Aktienoptionen übliche Konzept läÿt sich im ZweiZeitpunktZweiZustandsmodell eine präferenzfreie Bewertungsgleichung für
einen Call auf eine Kuponanleihe ableiten. Auf der Grundlage einer solchen
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Bewertungsgleichung kann man für Aktienoptionen im Mehrperiodenfall unter Verwendung einer Binomialverteilung eine geschlossene Bewertungsgleichung
entwickeln. Anleihen weisen mit der Existenz von Schranken für den Kursverlauf
und dem PulltoParPhänomen jedoch Eigenschaften auf, die die Ableitung
einer entsprechenden Bewertungsgleichung für einen Call auf eine Kuponanleihe
im Mehrperiodenfall unmöglich machen. Die Analyse zeigt, daÿ die Modellannahmen der Binomialverteilung mit diesen Bewertungscharakteristika von Anleihen nicht in Einklang zu bringen sind.
Für eine nicht zu groÿe Anzahl von Subperioden stellt die in Abschnitt 4.3
erläuterte rekursive Methode eine brauchbare Alternative dar, die die Besonderheiten der zu bewertenden Objekte erfaÿt und sowohl die Bewertung europäischer als auch amerikanischer Calls gestattet. Auÿerdem läÿt sich dieses
Konzept problemlos auch auf die Bewertung von Verkaufsoptionen (Puts) übertragen. Prinzipiell ist dabei aber vorauszusetzen, daÿ sich der Zufallsprozeÿ,
dem die Zinskurve folgt, aus dichotomen Zufallsexperimenten zusammensetzt.
Es bleibt die Erkenntnis, daÿ die Bewertung von Rentenoptionen wegen des
Kursverhaltens der underlying assets von wesentlich komplexerer Dimension ist
als die Bewertung von Aktienoptionen.
Literatur
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Financial and Quantitative Analysis (17) 1982, 75100.
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of Financial Economics (16) 1986, 321343.
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[11] Schöbel, R.: Zur Theorie der Rentenoption. Berlin 1987.
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[12] Uhlir, H. und P. Steiner: Wertpapieranalyse. 3. Auage, Heidelberg, Wien
1994.
[13] Vasicek, O.: An equilibrium charakterization of the term structure, Journal of Financial Economics (5) 1977, 177188.
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