Aufgabe 1: Start

Aufgabe 1: Start
Ein Flugzeug beschleunigt auf einer waagerechten Startbahn.
a)
Skizzieren Sie die Kräfte beim Start an einem Flugzeug!
Welche Kräfte treten bei diesem Vorgang auf?
b)
Wie lautet das Kräftegleichgewicht?
c)
Wie groß ist die mittlere Startbeschleunigung?
d)
Bei welcher Geschwindigkeit hebt das Flugzeug ab?
e)
Wie lange dauert der Startvorgang?
f)
Welchen Weg legt das Flugzeug während dieser Zeit zurück?
g)
Berechnen Sie die Werte der Teilaufgaben c) bis f) unter Vernachlässigung der
Radreibung und des aerodynamischen Widerstandes für die Beispiele
- Startschub
- Flügelfläche
- Startmasse
- Auftriebsbeiwert
- Luftdichte
- Erdbeschleunigung
F = 4 x 31 kN
S = 138 m2
mTO= 46500 kg
cA= 1.5
U = 1.25 kg/m3
g = 9.81 m/s2
Flugzeug 152 (Erstflug 04.12.1958)
- Startschub
- Flügelfläche
- Startmasse
- Auftriebsbeiwert
F = 3.5 kN
S = 19.15 m2
mTO= 500 kg
cA= 1.2
Segelflugzeug L-23 Super-Blanik beim Start an der Schleppwinde Herkules 3
h)
Berechnen Sie die Werte der Teilaufgaben c) bis f) unter Berücksichtigung der
Radreibung und des aerodynamischen Widerstandes!
- Rollreibungsbeiwert P = 0.03 (0.05)
- Widerstandsbeiwert cW= 0.05 (0.03)
i)
Wie ändern sich die Lösungen für e) und f) bei einem Gegenwind von 3 m/s?
2
Aufgabe 1: Start
Kräftegleichgewicht:
U
ž: mg
Fy A
FY
mg Ÿ: F
mv FX W
FX
PFY ;W
F
2
cAS ˜ v2
U
2
cW S ˜ v 2
U
· U
§
mv P ¨ mg c A S ˜ v 2 ¸ cW S ˜ v 2
2
¹ 2
©
(1)
(2)
(3)
U
S Pc A cW F 2
v 2 Pg
v
m
m
AB : v(t 0) 0
U
RB : mg
2
(4)
c A Sv 2
t t ENDE
t ENDE
s
³ vdt
(5)
t 0
Mit Gegenwind vW:
F
U
U
§
2·
2
mv P ¨ mg c A S ˜ v vW ¸ cW S ˜ v vW 2
¹ 2
©
(3a)
U
S Pc A cW F 2
v vW 2 Pg
m
m
AB : v(t 0) 0
v
RB : mg
U
2
c A S v vW (4a)
2
t t ENDE
Vereinfachte analytische Lösung (ohne Reibung):
W
FX
0
v
F
m
(4b)
3
Ansatz für pseudonumerische Lösung mit Reibung:
0; v0
t0
t K 1
0;W0
0; FX ,0
F FX , 0
Pmg ; v0
m
;
AK t mg
t K 't
F WK 1 FX , K 1
v K
m
v K 1 v K
v K 1 't
2
v vK
x K 1 K 1
't
2
vK
xK
U
AK
2
WK
FX , K
U
2
c A S v K vW 2
cW S v K vW P mg AK 2
k 0
6.8
2.38
2.37
250
200
152
6.7
2.36
150
2.35
F/N
a / m/s2
a / m/s2
Windenstart L-23
Rollreibung
100
6.6
Luftwiderstand
50
L-23
2.34
0
2.33
6.5
Abheben
Anrollen
20
0
30
Windenstart L-23
5
10
20
15
x/m
20
25
Windenstart L-23
16
a
16
6
v
8
12
v
4
8
10
x
2
4
4
0
0
0
0.5
1
1.5
t/s
2
0
2.5
0
0
4
5
10
15
x/m
20
25
a / m/s2
v / m/s
x/m
v / m/s
20
12
Aufgabe 2: Steigflug
Ein Flugzeug steigt mit einem Bahnwinkel J mit konstanter Geschwindigkeit.
Hinweis: Verwenden Sie die Approximation cw cw, min K ˜ c A2 !
a) Skizzieren Sie die Kräfte beim Steigen an einem Flugzeug!
Welche Kräfte treten bei diesem Vorgang auf?
b) Wie lautet das Kräftegleichgewicht?
c) Leiten Sie eine Gleichung zur Bestimmung des Bahnwinkels J her!
d) Bei welchem Auftriebsbeiwert ist Bahnwinkel J am größten?
e) Skizzieren Sie den Bahnwinkel in Abhängigkeit von der Fluggeschwindigkeit für
das folgende Beispiel (Flugzeug 152)! Wie groß ist der dabei notwendige
Auftriebsbeiwert?
- Schub
- Flügelfläche
- Masse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Appoximation
- Luftdichte
- Erdbeschleunigung
F
S
m
cA,max
CW,min
K
U
g
=
=
=
=
=
=
=
=
4 x 31 kN
138 m2
46500 kg
1.5
0.02
0.04
1.25 kg/m3
9.81 m/s2
f*) Lösen Sie die Aufgabe für ein Segelflugzeug im Windenstart mit nachfolgenden
Parametern, wenn das Schleppseil unter einem Winkel von T=60° von der Flugbahn
nach unten zeigt!
- Seilkraft
- Flügelfläche
- Startmasse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Appoximation
F
S
m
cA,max
CW,min
K
3
=
=
=
=
=
=
3.5 kN
19.15 m2
500 kg
1.3
0.012
0.024
Aufgabe 2: Steigflug
250
1000
1250
25
1.2
12
cA
0.8
w max=26.3 m/s (26.7m/s)
bei cA=0.2,
und v=162.6 m/s
161.5 m/s
J=w=0
bei cA=0.074,
und v=266.6 m/s
8
15
0.4
Steigwinkel g/
Jmax=12.15° (12.51°)
bei cA=0.707,
und v=86.48 m/s
85.45 m/s
v / km/h
750
Steiggeschwindigkeit w / m/s
Steigflug Flugzeug 152
Auftriebsbeiwert (cos=1)
Steigwinkel (cos=1)
Auftriebsbeiwert (cos<1)
Steigwinkel (cos<1)
Steiggeschwindigkeit (cos=1)
Steiggeschwindigkeit (cos<1)
500
4
5
0
0
100
200
v / m/s
300
v / km/h
100
150
200
250
Windenstart L-23
Auftriebsbeiwert (cos=1)
Steigwinkel (cos=1)
Auftriebsbeiwert (cos<1)
Steigwinkel (cos<1)
Steiggeschwindigkeit (cos=1)
Steiggeschwindigkeit (cos<1)
16
cA
0.8
12
0.4
8
0
20
40
60
80
v / m/s
4
Steigwinkel g /°
Steiggeschwindigkeit w / m/s
1.2
Jmax=16.80° (17.67°)
bei cA=0.707,
und v=30.62 m/s
30.17 m/s
w max=14.4 m/s (14.8m/s)
bei cA=0.15,
und v=66.5 m/s
66 m/s
Gleichgewicht in Flugpfadrichtung:
F
W mg ˜ sin J
(1)
senkrecht dazu:
mg ˜ cos J
FA
(2)
Für den Widerstand
cW
mg ˜ cos J
cA
(3)
·
§c
mg ˜ ¨¨ W cos J sin J ¸¸
¹
© cA
(4)
cW
˜ FA
cA
W
in (1)
F
/ mg ; F cW
cos J
mg c A
cW
cos J
cA
sin J
(5)
2
sin 2 J
mit
1 cos 2 J
(6)
2
2
§c ·
c
§ F ·
F
¨¨
¸¸ 2 ˜ W ˜
cos J ¨¨ W ¸¸ cos 2 J
c A mg
© mg ¹
© cA ¹
1 cos 2 J
2
ª§ c · 2 º
§ F ·
cW F
¨¨
¸¸ 1 2 ˜
˜
cos J «¨¨ W ¸¸ 1» cos 2 J
mg
c
mg
«¬© c A ¹
»¼
©
¹
A
0
(7)
(8)
2
§ F ·
c
F
¨¨
¸¸ 1 2 ˜ W ˜
c A mg
© mg ¹
cos J cos 2 J
2
2
§c ·
§ cW ·
¨¨ ¸¸ 1 ¨¨ W ¸¸ 1
© cA ¹
© cA ¹
0
(9)
2
cos J
2
·
§ c
§ F ·
¨ W ˜ F ¸
¨¨
¸ 1
¨ c A mg ¸
mg ¸¹
©
r ¨
¸ 2
2
2
¸
¨ § cW ·
§ cW ·
§ cW ·
¨¨ ¸¸ 1
¨¨ ¸¸ 1
¨ ¨¨ ¸¸ 1 ¸
© cA ¹
© cA ¹
¹
© © cA ¹
cW F
˜
c A mg
(10)
5
Mit Schubwinkel (Windenstart: T=-60°)
Gleichgewicht in Flugpfadrichtung:
F ˜ cosT
W mg ˜ sin J
(11)
senkrecht dazu:
FA
mg ˜ cos J F ˜ sin T
(12)
Für den Widerstand
W
cW
mg ˜ cos J F ˜ sin T cA
(13)
in (11)
cW
mg ˜ cos J F ˜ sin T mg ˜ sin J
cA
F ˜ cosT
F ˜
(14)
cW
sin T
cA
· c
§
c
F ¨¨ cosT W sin T ¸¸ W mg ˜ cos J
cA
¹ cA
©
mg ˜ sin J
(15)
2
mit
(6)
2
ª F §
·º
c
·
cW F §
c
¨¨ cosT W sin T ¸¸» 1
¨¨ cosT W sin T ¸¸
˜
«
cA
c mg ©
cA
¹¼
¬ mg ©
¹ cos J cos 2 J
2 A
2
2
§ cW ·
§ cW ·
¨¨ ¸¸ 1
¨¨ ¸¸ 1
© cA ¹
© cA ¹
cos J
·
cW F §
c
¨¨ cosT W sin T ¸¸
˜
c A mg ©
cA
¹r
2
§ cW ·
¨¨ ¸¸ 1
© cA ¹
§c
¨ W
¨ cA
¨
¨
¨
©
0
2
·
F
cosT ... ¸¸
˜
mg
¸ 2
¸
§ cW ·
¨¨ ¸¸ 1
¸
© cA ¹
¹
6
(16)
2
ª F
º
« mg cosT ...» 1
¬
¼
§ cW
¨¨
© cA
2
·
¸¸ 1
¹
(17)
Aufgabe 3: Horizontalflug
Ein Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit in einer konstanten Höhe.
Hinweis: Verwenden Sie die Approximation cw cw, min K ˜ c A2 !
a) Skizzieren Sie die Kräfte an einem Flugzeug beim Geradeausflug!
Welche Kräfte treten bei diesem Vorgang auf?
b) Wie lautet das Kräftegleichgewicht?
c) Wie groß muss die Schubleistung des Antriebes sein? Stellen sie die
erforderliche Schubleistung in Abhängigkeit von der Fluggeschwindigkeit
graphisch dar!
d) Mit welcher Geschwindigkeit muss das Flugzeug fliegen, damit die minimale
Schubleistung erreicht wird?
e) Mit welcher Geschwindigkeit muss das Flugzeug fliegen, damit die minimale
Schubkraft erreicht wird?
f) In welchem Geschwindigkeitsbereich gilt die Approximation der Polaren?
g) Berechnen Sie die Teilaufgaben c) bis f) für das folgende Beispiel
(Flugzeug 152)!
- maximaler Schub
- Flügelfläche
- Masse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Approximation
- Luftdichte
- Erdbeschleunigung
F
S
m
cA,max
CW,min
K
U
g
=
=
=
=
=
=
=
=
4 x 31 kN (4x10 kN in Reisehöhe)
138 m2
46500 kg
1.5
0.02
0.04
1.25 kg/m3 (0.4 kg/m3 Reise)
9.81 m/s2
h*) Lösen Sie die Aufgabe für einen Schleppverband aus Motor- und Segelflugzeug
mit nachfolgenden Parametern (PZL 104 u. L 23)!
- maximale Schubleistung
- Flügelfläche
PMAX =
S1
=
S2
=
m1
=
m2
=
cA,max,1=
CW,min,1=
CW,min,2=
K1
=
K2
=
- Startmasse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Approximation
7
150 kW
15.5 m2
19.15 m2
1100 kg
500 kg
1.8
0.05
0.012
0.08
0.024
125
35000
Flugzeug 152: Schubkraft
Erforderlicher Schub in Meereshöhe
Erforderlicher Schub in Reiseflughöhe
Verfügbarer Schub in Meereshöhe
Verfügbarer Schub in Reiseflughöhe
100
Flugzeug 152: Schubleistung
Erforderliche Leistung in Meereshöhe
Erforderliche Leistung in Reiseflughöhe
Verfügbare Leistung in Meereshöhe
Verfügbare Leistung in Reiseflughöhe
30000
25000
75
F / kN
P / kW
20000
15000
50
10000
25
5000
0
0
0
50
100
150
v / m/s
200
250
300
0
50
100
150
v / m/s
200
250
300
Flugzeug 152:
Geringste Schubkraft 25.8 kN bei cA=0.707 und 86.5 m/s bzw. 153 m/s
Geringste Schubleistung bei cA=1.225:
1960 kW bei 65.5 m/s in Meereshöhe;
3460 kW bei 116 m/s in Reiseflughöhe
bei 850 km/h (Reisegeschwindigkeit): 97.9 kN und 23100 kW bzw. 36.2 kN und 8540 kW
Schleppzug PZL-104 + L-23:
Geringste Schubkraft 1.59 kN bei 35.6 m/s
Geringste Schubleistung 49.8 kW bei 27.1 m/s
200
3000
2500
Schubleistung am Schleppzug
Leistungsbedarf PZL-104
Leistungsbedarf L-23
Leistungsbedarf Schleppzug
verfügbare Schubleistung (150kW)
Schubkr fte am Schleppzug
Schubbedarf PZL-104
Schubbedarf L-23
Schubbedarf Schleppzug
max. Schubkraft bei 150 kW
150
P / kW
F/N
2000
1500
100
1000
50
500
0
0
25
50
75
v / m/s
25
50
v / m/s
8
75
Schleppzug im Horizontalflug
Allgemein gilt für den Auftrieb: A
für den Schub:
(1) in (2):
F
FGES
mit
m1 g
m2 g
c A,2
F
cW ,k
§ cW
¨¨
© cA
mg
W
cA ˜
cw ˜
U
2
U
2
v2S
v2S
cW
˜ mg
cA
§c
·
¸¸ ˜ m1 g ¨¨ W
© cA
¹1
cW ,min,k K k ˜ c A2 ,k
k
(1)
(2)
(3)
·
¸¸ ˜ m2 g
¹2
(4)
1,2
(5)
U
½
v 2 ˜ c A ,1 ˜ S 1 °
°U 2
2
¾ v
U 2
2
v ˜ c A , 2 ˜ S 2 °°
2
¿
m 2 S1
˜ c A ,1
S 2 m1
mk g
c A ,k ˜ S k
(6)
in (4)
FGES
FGES
g
FGES
g
wc A,1
w
2
§
·
§ m 2 S1 ·
2 ¸
¨c
¨
¸
K
˜
c
2¨
A,1
¸
¨ W ,min, 2
¸
§ cW ,min,1 K 1 ˜ c A2 ,1 ·
© S 2 m1 ¹
¸ ˜ m1 g ¨
¨
¸ ˜ m2 g
¸
¨
m
S
c
2
1
¨
¸
,
1
A
¹
©
˜ c A,1
¨
¸
S 2 m1
©
¹
(7)
·
§
¸
¨
§ cW ,min,1
·
c
¨ W ,min, 2 K ˜ m2 S1 ˜ c 2 ¸ ˜ m g
¨
¸
K
c
m
g
˜
˜
1
1
A,1 ¸
A,1 ¸
2
2
¨ c
¨ m 2 S1
S 2 m1
© A,1
¹
c
˜
¸
¨
A,1
¹
© S 2 m1
(7a)
c
˜S m ·
§
m2S ·
1 §
¨¨ cW ,min,1 ˜ m1 W ,min, 2 2 1 ¸¸ c A,1 ¨¨ K 1 ˜ m1 K 2 2 1 ¸¸
c A,1 ©
S1
S 2 m1 ¹
¹
©
(8)
˜S m ·
c
§
m2S · 1 §
¨¨ K 1 ˜ m1 K 2 2 1 ¸¸ 2 ¨¨ cW ,min,1 ˜ m1 W ,min, 2 2 1 ¸¸
S1
S 2 m1 ¹ c A,1 ©
¹
©
(9)
Für minimalen Schub:
˜S m ·
c
§
m22 S1 · §
2
¨
¸¸ ¨¨ cW ,min,1 ˜ m1 W ,min, 2 2 1 ¸¸
0 c A,1, F min ˜ ¨ K 1 ˜ m1 K 2
S 2 m1 ¹ ©
S1
¹
©
9
(10)
˜ c A2 ,1
cW ,min,1 ˜ m1 S1
m22 S1
K 1 ˜ m1 K 2
S 2 m1
c A,1, F min
P
v˜F
cW ,min, 2 ˜ S 2 m1
v˜
cW
˜ mg
cA
PGES
mit
(11)
v
2mg
U ˜ cA ˜ S
2m1 g
˜ FGES
U ˜ c A,1 ˜ S1
(12,13)
(14)
in (8)
1 §
cW ,min, 2 ˜ S 2 m1 ·
m2S ·
3 §
¸¸ c A,21 ¨¨ K 1 ˜ m1 K 2 2 1 ¸¸
c A,12 ¨¨ cW ,min,1 ˜ m1 S 2 m1 ¹
S1
©
¹
©
PGES
2m1 ˜ g
g˜
U ˜ S1
w
PGES
g ˜ ...
wc A,1
0
1 12
3 5
c A,1 K 1 ˜ m1 ... c A,12 cW ,min,1 ˜ m1 ...
2
2
1 2
3
c A,1, P min K 1 ˜ m1 ... cW ,min,1 ˜ m1 ...
2
2
cW ,min,1 ˜ m1 c A,1, P min
3
(15)
(16)
(17)
cW ,min, 2 ˜ S 2 m1
S1
m2S
K 1 ˜ m1 K 2 2 1
S 2 m1
3 ˜ c A,1, F min
10
(18)
Aufgabe 4: Gleitflug
Ein Flugzeug gleitet mit konstanter Geschwindigkeit v und einem Gleitwinkel J.
Hinweis: Verwenden Sie die Approximation cw cw, min K ˜ c A2 !
a) Skizzieren Sie die Kräfte an einem Flugzeug beim Gleitflug!
Welche Kräfte treten bei diesem Vorgang auf?
b) Wie lautet das Kräftegleichgewicht?
c) Berechnen Sie den
Auftriebsbeiwertes!
Gleitwinkel
und
die
Gleitzahl
als
Funktion
des
d) Bei welchem Auftriebsbeiwert ist der Gleitwinkel des Flugzeuges am
geringsten? Wie groß ist dann die Gleitzahl?
e) Bei welchem Auftriebsbeiwert ist die Sinkgeschwindigkeit des Flugzeuges am
geringsten? Wie groß ist dann die Gleitzahl?
f) Wie groß sind die Fluggeschwindigkeiten für das beste Gleiten bzw. das
geringste Sinken? Wie ändern sich diese Fluggeschwindigkeiten zueinander bei
Verwendung einer ergänzten Approximation c w
2
c w,min K ˜ c A c A,0 ?
g) Warum verwenden Segelflugzeuge Wasserballast?
h) Stellen Sie Sinkgeschwindigkeit und Gleitzahl über der Fluggeschwindigkeit für
folgende Beispiele graphisch dar:
- Flügelfläche
- Startmasse
A
m1
m2
cA,max
cA,min
CW,min
K
CW,min
K
cA,0
U
g
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Approximation
- mit Ergänzung
- Luftdichte
- Erdbeschleunigung
13
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
19.15 m2
400 kg
500 kg
1.4
-0.4
0.012
0.024
0.013
0.025
0.1
1.25 kg/m3
9.81 m/s2
1.6
1.2
0.8
cA
Widerstandspolaren
einfach
ergänzt
Gleitwinkel, einfache Polare
Gleitwinkel, ergänzte Polare
0.4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
cW
-0.4
v / m/s
0
10
20
30
40
50
0
-1
Sinkgeschwindigkeitspolaren
m=400 kg, einfache Polare
m=500 kg, einfache Polare
m=400 kg, ergänzte Polare
m=500 kg, ergänzte Polare
Gleitwinkel, einfache Polare
Gleitwinkel, ergänzte Polare
w / m/s
-2
-3
-4
-5
35
Gleitzahlpolaren
m=400 kg, einfache Polare
m=500 kg, einfache Polare
m=400 kg, ergänzte Polare
m=500 kg, ergänzte Polare
30
e
25
20
15
10
20
30
40
v / m/s
14
50
Bestes Gleiten:
cA
e MAX
e
cW
cA
cW
MAX
cW
cA
K ˜ c A c A, 0 cW ,0
w
K ˜ c 2 Kc A, 0 ˜ c A cW , 0 Kc
2
A
cW ,0 Kc
cW
K ˜ c A 2 Kc A cA
cA
c
w W
cW ,0 Kc A2 ,0
cA
K
wc A
c A2
0
K
cA
c
2 ·
§
¨ K ˜ c 2 Kc A,0 cW ,0 Kc A,0 ¸ ˜ 2mg
A
3
¨
¸ U˜A
cA
c A2
©
¹
2
A, 0
ww
wc A
2
A
K
cW
0.0229
31.85
21.2m / s, v500
23.7m / s
Geringstes Sinken:
cW
˜v
w
cA
mg
cA ˜ A ˜
U
2
2mg
U˜A
˜
c A2
2
A, 0
ªa 1
Kc A,0 3 cW ,0 Kc A2 ,0
« ˜
3 5
«¬ 2 c A
c A2
c A2
2 Kc A,0
K
0
c A2 2 Kc A,0 ˜ c A cA
cA
c A, 0 r 3
c A,1
1.165
cW
0.0446
3 cW ,0 Kc A2 ,0
0
cW ,0 Kc A2 ,0
0.728
v 400
3
cW ,0 Kc A2 ,0
cA
e MAX
cW
MIN
2
cW
1 2mg
˜
cA U ˜ A
v
cW , 0
K
c
º» ˜
»¼
2mg
U˜A
2
A
3 cW ,0 Kc A2 , 0
K
4c A2 ,0
wMIN , 400
0.596m / s; v 400
16.8m / s
wMIN ,500
0.666m / s; v500
18.8m / s
cA,2: Rückenflug und außerhalb des
Definitionsbereiches.
v2
Bei der unsymmetrischen Widerstandspolare rücken bestes Gleiten und geringstes Sinken enger
zusammen.
Zur Sicherstellung gutmütiger Flugeigenschaften werden oft in sich verwundene Flügel verbaut.
Die Auftriebsverteilung ist dann für sinnvolle cA optimiert. Das heißt aber, dass der Flügel bei
cA,gesamt=0 lokal Auf- bzw. Abtrieb erzeugt und daher induzierten Widerstand verursacht. Bei älteren
Glasfaserflugzeugen (ASW-15) kann man beobachten, dass sich im Schnellflug die Außenflügel
nach unten biegen. Zudem ist der Widerstand von Rumpf und anderen Komponenten ebenfalls
anstellwinkelabhängig.
Der Wasserbalast erhöht die Flächenbelastung und verschiebt die Polare zu höheren
Fluggeschwindigkeiten. Oft verbessert sich dabei aufgrund von Reynoldszahleffekten sogar die
Gleitzahl geringfügig. Die größere Eigensinkgeschwindigkeit wird dabei in Kauf genommen und
fällt bei starker Thermik weniger ins Gewicht als die Vorteile beim Vorfliegen gegen den Wind oder
in sinkender Luft. Zudem wird der nächste Bart in kürzerer Zeit erreicht. Wird das Wetter im Laufe
des Tages schwächer (geringere Steigwerte), bzw. muss auf dem Heimweg ein eventueller
Rückenwindeinfluß genutzt werden, lässt man das Wasser ab, um mit geringerem Eigensinken
länger vor dem Wind fliegen zu können. Bei optimaler Flugdurchführung wird der Ballast erst zur
Landung abgelassen.
15
Aufgabe 5: Kurvenflug
Ein Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit in konstanter Flughöhe eine Kurve mit
dem Radius R.
a) Skizzieren Sie die Kräfte beim Kurvenflug an einem Flugzeug!
Welche Kräfte treten bei diesem
Vorgang auf?
b) Wie lautet das Kräftegleichgewicht?
c) Berechnen
Sie
den
minimalen
Kurvenradius, der nicht unterschritten
werden darf, um das zulässige
Lastvielfache nicht zu überschreiten!
Wie groß ist dann die Querlage?
d) Berechnen
Sie
den
minimalen
Kurvenradius, der nicht unterschritten
werden darf, um den maximalen
Auftriebsbeiwert
nicht
zu
überschreiten! Wie groß ist dann die
Querlage?
e) Bei welcher Fluggeschwindigkeit und
Querlage
werden
maximaler
Auftriebsbeiwert
und
zulässiges
Lastvielfaches gleichzeitig erreicht.
Wie groß ist dann der Kurvenradius?
f) Stellen Sie den möglichen Flugbereich in einem v-n-Diagramm dar! Darin sind
alle möglichen Begrenzungen des Flugbereiches anzugeben.
g) Lösen Sie die Teilaufgaben c) und d) für folgende Beispiele:
Flugzeug 152
S
m
cL,max
v
nmax
U
g
Ultraleichtflugzeug
Segelflugzeug
-S
-m
- cL,max
-v
- nmax
=
=
=
=
=
2
14 m
250 kg
1.5
70 km/h
2
S
m
cL,max
v
nmax
=
=
=
=
=
=
=
138 m2
46500 kg
1.5
800 km/h
1.4
1.25 kg/m3
9.81 m/s2
- Flügelfläche
- Flugmasse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- Fluggeschwindigkeit
- zulässiges Lastvielfaches
- Luftdichte
- Erdbeschleunigung
=
=
=
=
=
19.15 m2
500 kg
1.3
108 km/h
5.3
h) *Wie ändert sich die erforderliche(r) Schub und Schubleistung in Abhängigkeit
von der Querlage. Was bedeutet das für Sinkgeschwindigkeit und Gleitzahl des
Segelflugzeuges (Polaren entsprechend Aufgaben 2..4).
16
Beachte:
Die Diagramme beziehen sich auf
ein fiktives Segelflugzeug mit
folgenden, abweichenden Daten:
v-n-Diagramm
Sackflug
Betriebsgrenze Überziehen (grüner Bogen)
Geradeausflug (59 km/h, n=1)
30° Querlage (63 km/h, n=1.15)
45° Querlage (70 km/h, n=1.41)
60° Querlage (83 km/h, n=2)
Rückenflug (83 km/h, n=-1)
Betriebsgrenze Strukturversagen (gelber Bogen)
Manövergeschwindigkeit (135 km/h)
Betriebsgrenze Strukturversagen (roter Strich)
0
50
100
v / km/h 150
CL,MAX=1.5, cL,MIN=-0.75,
nMAX=5.3, nMIN=-3.5,
vNE=250 km/h, m/S=25 kg/m2
200
250
4
4
2
2
n
6
n
6
0
0
-2
-2
-4
-4
0
10
0
20
30
30 v / m/s 40
Querlage /
50
60
70
60
90
90
Kreisflug mit 1.2facher
berziehgeschwindigkeit
Flugzeit
Geschwindigkeit
Lastvielfaches
Kurvenradius
75
4
30
3
v / m/s
45
40
100
n
60
R/m
Flugzeit für Vollkreis / s
150
5
20
2
30
50
10
15
1
0
0
0
15
30
45
Querlage / °
60
17
75
90
Schub und Schubleistung im Kurvenflug, Kreisflugpolare
Der Austrieb muss Gewicht und Radialkraft aufbringen:
n ˜ mg
L
U
2
v 2 ˜ S ˜ cL
n ˜ mg
Fluggeschwindigkeit für gegebenes cL:
v
2n ˜ mg
U ˜ S ˜ cL
erforderlicher Schub aus Polarenbeziehung:
T
D
L
cD
cL
n ˜ mg
cD
cL
Schubleistung allgemein:
n ˜ mg
cD
˜v
cL
P
T ˜v
D˜v
P
n ˜ mg
cD
2n ˜ mg
˜
U ˜ S ˜ cL
cL
n
3
2
˜ mg
3
2
˜
cD
2n ˜ mg
˜
U ˜ S ˜ cL
cL
Beachte:
Das Diagramm bezieht sich auf ein
fiktives Segelflugzeug mit
folgender, abweichender Polare:
Sinkgeschwindigkeit aus Energiebilanz:
w
P
mg
w(M
0) ˜ n
3
2
CL,0=0.1, cD,MIN=0.01, K=0.03
mit:
1
cos M
0
15
30
Querlage f/
45
60
75
0
-1
-1
-2
-2
wmin / m/s
0
wmin / m/s
n
-3
-3
Eigensinken
im Kurvenflug
25 kg/m2
30 kg/m2
40 kg/m2
-4
-4
-5
-5
0
15
30
18
45
Querlage f/
60
75
h, alt) Das Segelflugzeug befindet sich auf einem Bahnneigungsflug von 45° bei einer Fluggeschwindigkeit von 144 km/h und wird mit
n=3 abgefangen. Gesucht ist ein Ansatz zur Bestimmung der Flugbahn.
Abfangbogen:
&
a
dv X
dt
&
dv
dt
&
§v & · &
n ˜ g ¨ u ye ¸ g
¹
©v
n˜ g ˜
vZ
,
v
dv Z
dt
Vektor-Dgl.
n˜ g ˜
&
y e ...horizontaler Einheitsvektor senkrecht zum Flupfad
vX
g , v2
v
v X2 v Z2
Pseudonumerische Lösung des Anfangswertproblems:
v X i 1 v X i n ˜ g ˜
v Z i ˜ 't ,
vi v i ·
§
v Z i 1 v Z i ¨¨ n ˜ g ˜ X g ¸¸ ˜ 't ,
vi ¹
©
v 2 i v X2 i v Z2 i 10
10
Abfangvorgang mit 3g aus einem
45 -Bahnneigungsflug von 40 m/s
Zeitschritt 10 ms
Zeitschritt 2.5 ms
Zeitschritt 1 ms
z/m
0
-10
0
-10
-20
-20
-30
-30
0
40
x/m
80
19
120
Aufgabe 6: Luftraum
Aufgabe 7: Reiseflug in verschiedenen Flughöhen
Leiten Sie den Verlauf des Druckes und der Luftdichte in Abhängigkeit von der Höhe her!
Stellen Sie die Schubleistung für das folgende Beispiel (Flugzeug 152) in Abhängigkeit
von der Fluggeschwindigkeit für die Flughöhen 0, 5000 m sowie 11000 m graphisch dar!
- Flügelfläche
- Masse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Approximation
- Luftdichte
- Erdbeschleunigung
S
m
cL,max
CD,min
K
U
g
= 138 m2
= 46500 kg
= 1.5
= 0.02
= 0.04
entsprechend ISA (Aufgabe 6)
= 9.81 m/s2
Stellen Sie die geringste Sinkgeschwindigkeit und beste Gleitzahl sowie die Fluggeschwindigkeiten für geringstes Sinken, bestes Gleiten und Überziehen für das folgende
Beispiel (Segelflugzeug) in Abhängigkeit von der Flughöhe graphisch dar!
- Flügelfläche
- Startmasse
- maximaler Auftriebsbeiwert
- minimaler Widerstandsbw.
- Konstante der Appoximation
S
m
cL,max
CD,min
K
=
=
=
=
=
19.15 m2
500 kg
1.3
0.012
0.024
Wie wirkt sich die Dichtehöhe auf die zugehörige Anzeige an einem unkompensierten Fahrtmesser
aus.
20
Herleitung der Barometrischen Höhenformel
Kräftegleichgewicht:
wp
wh
Zustandsgleichung des idealen Gases:
p
U
(1)
URT
p
Zeuner-Gleichung für polytrope Zustandsänderung:
Ug
n
(2)
p0
(3)
U 0n
(2) in (3)
n 1
p
p0
Un
§ p0 ·
¸¸
¨¨
RT
© 0¹
U
Auflösen nach !:
n
1
1
˜ p0 n ˜ p n
RT0
(4)
(4) in (1)
n 1
dp
dh
1
1
˜ p0 n ˜ p n ˜ g
RT0
T.d.V. Î
dp
p
1
n
n 1
g
˜ p 0 n ˜ dh
RT0
(5)
Integration
pH
³
p0
dp
p
1
n
n 1
h
H
g
˜ p 0 n ˜ ³ dh
RT0
h0
ergibt:
1
1
1
1 ·
§ 1 · §¨ 1 n
¨1 ¸ ˜ ¨ p H p 0 n ¸¸
© n¹ ©
¹
g
hH h0 RT0
(6)
Auflösen:
1
1
pH n
1
p0
1
n
ª n 1 g
º
hH h0 »
˜ «1 ˜
n RT0
¬
¼
n
pH
ª n 1 g
º n 1
hH h0 »
p 0 ˜ «1 ˜
n RT0
¬
¼
UH
º n 1
ª n 1 g
hH h0 »
U 0 ˜ «1 ˜
n RT0
¼
¬
(7)
1
TH
T0 (8)
n 1 g
˜ hH h0 n R
(9)
21
Höhenabhängigkeit der Fluggeschwindigkeit für gegebene Flugzustände
Vertikales Kräftegleichgewicht für beliebiges, aber festes cL:
cL ˜
mg
U
2
v f2
U
2
qf
vf2 S
mg
cL ˜ S
(1)
const.
Fluggeschwindigkeit in der Höhe:
2mg
1
˜
U h cL ˜ S
vf h vf h0 ˜
U h0 U h (2)
Analog für die Sinkgeschwindigkeit:
wh vf h ˜
cD
cL
wh0 ˜
U h0 U h (3)
Gleitzahlen:
e
cL
z f U h cD
(4)
Ähnlich wie bei Änderungen der Flächenbelastung tritt eine leichte Abhängigkeit von der
sinkenden Reynoldszahl auf, die sich aber dadurch verringert, dass sowohl Geschwindigkeit als
auch Dichte im Zähler der Re-Zahl Re
vf ˜ l
vf ˜ U ˜ l
Q
K
stehen.
Vertikalgeschwindigkeit / m/s
-1.5
Dichteverlauf ber der Flugh he
Dichte
v/v0, w/w0
10000
-0.5
0
0.5
1
10000
7500
h/m
7500
h/m
-1
5000
5000
2500
2500
0
0
0
0.5
1
1.5
rho / kg/m3
Geschwindigkeitsverh ltnis
2
Geschwindigkeiten
Für kleinstes Sinken
Beste Gleitzahl
Für bestes Gleiten
Beim Überziehen
Geringstes Sinken
0
10
20
30
Geschwindigkeiten / m/s
Gleitzahlen
40
50
Die Fahrtmesseranzeigen bleiben von der Höhe unbeeinflusst, da das Messgerät genauso vom
dynamischen Druck abhängt wie die gesamte Flugmechanik. Lediglich für die höchstzulässige
Geschwindigkeit vNE geht die Anzeige sogar leicht zurück, da für die dort ausschlaggebende
Flatterproblematik die umgesetzte Leistung q’.v’ (vgl. Sinken q’.v’=mg.(-w)) von Bedeutung ist,
bzw. die dämpfenden Anstellwinkeländerungen mit steigender Fahrt immer kleiner ausfallen.
22