¨Ubungen zum Vorkurs mit dem Fach Mathematik Blatt 1 Prof. Dr. B

Übungen zum Vorkurs mit dem Fach Mathematik
Blatt 1
Besprechung in den Übungen: 4.9.-9.9.2017
Prof. Dr. B. Späth
Aufgabe 1 Im Folgenden stehen A, B und C für Aussagen.
a) Stellen Sie die Wahrheitstafeln für (A ∧ B) ∧ C und A ∧ (B ∧ C) auf. Gilt das
Assoziativgesetz? (Haben die Aussagen für die gleichen Wahrheitswerte von A, B
und C stets den gleichen Wahrheitswert?)
b) Beweisen Sie analog das Distributivgesetz
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).
c) Geben Sie die Wahrheitstafel für ¬A ∨ B an und vergleichen Sie diese mit der
Wahrheitstafel von A ⇒ B.
Aufgabe 2 Negieren Sie die folgenden Aussagen und vergleichen Sie:
A: Marcel lernt Mathe und geht pumpen.
B: Marcel lernt Mathe oder geht pumpen. (Beides möglich)
C: Entweder geht Marcel pumpen oder lernt Mathe.
Aufgabe 3
a) Zeigen Sie mittels einer Wahrheitstafel, dass die Aussage A ⇒ B genau dann wahr
ist, wenn ¬B ⇒ ¬A gilt.
b) Formen Sie ¬B ⇒ ¬A für folgende Beispiele von A ⇒ B:
• Wenn das Dreiecke ∆ einen rechten Winkel hat, dann gilt a2 + b2 = c2 für die
Seitenlängen a, b und c von ∆.
• Sei pq eine gekürzter Bruch, d.h. p und q sind ganze teilerfremde Zahlen. Wenn
q = 10k , so ist pq ist eine abbrechende Dezimalzahl.
Aufgabe 4 Vor Ihnen stehen drei Kisten, von denen Sie nur eine wählen dürfen. In zwei
Kisten ist Stroh und in einer Gold. Der Inhalt der gewählten Kiste gehört Ihnen. Auf
den Kisten steht jeweils folgender Text:
1. Kiste: Hier ist Stroh drin.
2. Kiste: Hier ist Gold drin.
3. Kiste: In der 2. Kiste ist Stroh.
Leider ist nur genau eine der drei Aufschriften richtig. In welcher Kiste ist Gold?
Aufgabe 5 Finden Sie Beispiele für Aussagen A und B, so dass A ⇒ B gilt, aber nicht
¬A ⇒ ¬B.
Aufgabe 6 Negieren Sie folgende Aussagen:
a) Jede natürliche Zahl hat mindestens zwei Teiler.
b) Jede Primzahl ist ungerade.
c) Alle Nachkommastellen von π sind ungleich Null.
d) Man kann 1 durch jede natürliche Zahl teilen.
Aufgabe 7
a) An der Universität Paris-Diderot studieren 657 Studenten Mathematik und 823 Studenten Informatik, wobei 222 beide Fächer studieren. Wieviele
Studenten studieren Mathematik oder Informatik?
b) Eine Umfrage unter 100 Studierenden, die an einem Mathematik-Vorkurs teilnehmen, ermittelt folgendes:
Anzahl der Befragten, die ein Musikinstrument spielen: 75
Anzahl der Befragten, die regelmäßig Sport treiben: 68
Anzahl der Befragten, die sowohl ein Musikinstrument spielen als auch regelmäßig
Sport treiben: 42
Ein Student behauptet, dass das Ergebnis falsch sein muss. Wie beurteilen Sie das
Ergebnis?
Aufgabe 8
a) Sei A = {a, b, c, d} und B = {1, 2, 3}. Bestimmen Sie A×B und B ×A.
b) Sei M = {0, 1}. Verdeutlichen Sie sich M ×M ×M als die Eckpunkte eines Würfels.
c) Bestimmen Sie die Potenzmengen von C = {a, b}, D = {a, {a}}, E = ∅, F = {∅}
und G = P(F ) (Potenzmenge von F).
Aufgabe 9 Seien A, B und C Mengen. Welche der folgenden Formeln sind allgemeingültig (Beweis), welche sind es nicht (Gegenbeispiel)?
1. A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
2. A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C
3. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
Aufgabe 10 Seien A und B zwei Mengen. Beweisen Sie mittels eines Ringschlusses,
dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) B ⊆ A (ii) A ∩ B = B (iii) A ∪ B = A
Genauer beweisen Sie, dass die Aussage in (i) die Aussage in (ii) impliziert. Dann folgern
Sie aus der Aussage in (ii) die Aussage in (iii). Anschließend zeigen Sie, dass die Aussage
in (i) aus der Aussage in (iii) folgt.
Aufgabe 11 Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n − 1) = n2 .
Aufgabe 12 Finden Sie den Fehler im folgenden Beweis:
W ir beweisen die Aussage Alle Studenten beenden nach 6 Semestern erfolgreich ihr
”
Bachelorstudium.“, indem wir vollständige Induktion auf die Aussage
A(n): n Studenten beenden nach 6 Semestern erfolgreich ihr Bachelorstudium.
anwenden. A(1) ist offensichtlich wahr. Es bleibt nur der Induktionsschritt von n auf n+1
zu zeigen. Sei also A(n) für ein n ∈ N wahr. Betrachte eine beliebige Menge Studenten
S1 , ..., Sn+1 , von denen mindestens einer erfolgreich Mathematik studiert, z.B. S1 nach
geeigneter Umnummerierung. Weil A(n) wahr ist, studieren S1 , ..., Sn erfolgreich. Also
sind von den Studenten S2 , ..., Sn+1 mindestens n erfolgreich in ihrem Studium. Erneute
Anwendung von A(n) liefert, dass damit auch alle Studenten S2 , ..., Sn+1 Mathe können.
Damit ist A(n + 1) wahr, und die Induktion liefert die Gültigkeit der Aussage A(n) für
alle n ∈ N.
Aufgabe 13 Beweisen Sie die folgenden Formeln:
1. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 .
2. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
3. (a + b + c)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 .
Geben Sie dabei präzise an, welche Gesetze Sie bei welcher Umformung benutzt haben.
Aufgabe 14 Schreiben Sie die Menge A = {x ∈ R | |x − 2| > 0 und |x − 1| < 10} als
Vereinigung von Intervallen.
Aufgabe 15 Bestimmen Sie für die folgenden komplexen Zahlen z den Realteil, den
Imaginärteil, den Betrag, das komplex Konjugierte und das multiplikative Inverse:
z=
4i
1+i
bzw.
z=
(2 + 2i)7
.
(1 − i)3
Aufgabe 16 Berechnen Sie für die komplexe Zahlen z = 1 − i und w = 1 + 3i die Zahl
z
w − z2.
Aufgabe 17 Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die folgenden Mengen
A = {z ∈ C | Re(z) + Im(z) = 1},
B = {z ∈ C | |z − i| = |z − 1|} und
C = {z ∈ C | |z − i − 1| < 2}.
Aufgabe 18 Finden Sie Beispiele von Abbildungen f : A → B, die
a) injektiv und surjektiv
b) injektiv, aber nicht surjektiv
c) surjektiv, aber nicht injektiv
d) weder injektiv noch surjektiv sind.
Aufgabe 19 Wo liegt der Fehler beim folgenden Beweis für die Aussage 1=2?
|
|
|
|
|
x := 1
=⇒
x2 = x
=⇒
x2 − 1 = x − 1
=⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
=⇒
x+1=1
=⇒
2=1
·x
−1
3. Binomische Formel
: (x − 1)
Einsetzen von x = 1
Aufgabe 20 Wo liegt der Fehler beim folgenden Beweis für die Aussage 1=2?
x := 1 und y := 2
=⇒
x+y =3
2
=⇒
x − y 2 = 3x − 3y
=⇒
x2 − 3x = y 2 − 3y
2
=⇒ x − 3x + 94 = y 2 − 3y +
=⇒
(x − 32 )2 = (y − 23 )2
=⇒
x − 32 = y − 32
=⇒
x=y
=⇒
1=2
9
4
|
|
|
|
|
|
|
·(x − y)
+(y 2 − 3x)
+ 94
Binomischer Lehrsatz
√
...
+ 32
Einsetzen von x = 1, y = 2
Die Aufgaben können auch in den Übungen in den Räumen HS 08, HS 09 und HS
13 am Nachmittag ab 14:00 Uhr bearbeitet werden und ihre Lösungen werden dort
besprochen.