Übungsblatt 4

Übungsblatt 4
Analysis 1, HS14
Ausgabe
Donnerstag, 02. Oktober.
Abgabe Donnerstag, 09. Oktober. Bitte Lösungen bis spätestens 17 Uhr im Briefkasten des jeweiligen Übungsleiters am J- oder K-Geschoss von Bau Y27 einreichen.
Übung 1.
Wir sagen, dass eine Funktion f : C → C diskret holomorph ist, falls gilt
1
f (z + 1) + f (z − 1) + f (z + i) + f (z − i) = f (z),
4
für alle z ∈ C.
(i) Zeigen Sie, dass die Funktion f2 : C → C, gegeben durch f (z) = z 2 , diskret holomorph ist.
(ii) Wir definieren die Funktion fn : C → C durch fn (z) = z n , für n ∈ N. Beweisen Sie
mittels des Binomialsatzes, dass gilt:
fn (z + 1) + fn (z − 1) + fn (z + i) + fn (z − i)
=
n
X
!
n (1 + (−1)k )(1 + ik ) z n−k .
k
k=0
(iii) Zeigen Sie, dass:
k
k
(1 + (−1) )(1 + i ) =
(
4, falls k durch 4 teilbar
0, sonst.
Beweisen Sie folglich, dass fn diskret holomorph ist für n = 1, 2, 3, aber nicht für
n = 4, 5, . . . .
1
Übung 2.
(i) Beweisen Sie die Parallelogrammidentität, d.h. ∀z, w ∈ C gilt:
|z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2
(ii) Zeigen Sie, dass zu jedem z ∈ C \ (−∞, 0] genau ein w ∈ C gibt mit w2 = z und
√
Re(w) > 0. Man nennt w Hauptteil der Wurzelfunktion von z und schreibt z
(iii) Es ist zu zeigen, dass für z ∈ C \ (−∞, 0] gilt:
√
z=
mit
q
q
(|z| + Re(z))/2 + i · sign[Im(z)] (|z| − Re(z))/2
sign(x) =



−1
0


1
if x < 0,
if x = 0,
if x > 0.
(iv) Berechnen Sie z̄, |z|, Re(z), Im(z), Re( z1 ), Im( z1 ) und
√
z für z =
12+5i
2+3i
Übung 3.
Geben Sie jeweils Funktionen f, g : N → N an, für die gilt:
(1) f ist injektiv, aber g ◦ f nicht injektiv,
(2) g ◦ f injektiv, aber g nicht injektiv,
(3) g surjektiv, aber g ◦ f nicht surjektiv,
(4) g ◦ f surjektiv, aber f nicht surjektiv,
(5) g ◦ f bijektiv, aber g nicht injektiv und f nicht surjektiv.
Die beiden Funktionen f, g sollen in allen 5 Fällen unterschiedlich sein.
Übung 4.
Ein Polynom ist eine Funktion f : R → R (bzw. f : C → C) von der Gestalt
f (x) =
n
X
k=0
ak xk = an cn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
wobei die Koeffizienten a0 , . . . , an komplexe Zahlen sind.
Der Grad eines Polynoms f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ist n, falls an 6= 0.
2
(a) Stimmen die Werte zweier Polynome
p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
q(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn
auch nur an n + 1 verschiedenen Stellen überein, zeigen Sie dass ak = bk für k =
0, 1, . . . n und dadurch p(x) = q(x) für alle x.
(b) Sind p, q zwei nicht triviale Polynome. Zeigen Sie, dass gilt:
grad (p · q) = grad p + grad q
Sind p, q zwei Polynome. Zeigen Sie, dass
grad (p + q) ≤ max(grad p, grad q)
grad (p + q) = max(grad p, grad q)
3
wenn grad p 6= grad q