Lecture 1

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I
Untericht 1
I.1
Funktionen
Wie können wir beweisen, dass die Funktion
f : R → [−1, ∞), x → x2 + 2x
surjektive ist?.
Wir sollen zeigen, dass
∀a ∈ [−1, ∞)∃x ∈ R : f (x) = a.
Wir wählen a ∈ [−1, ∞). Wir sollen ein Element x ∈ R nden, sodass f (x) =
a ergibt.
Wir lösen die Gleichung
f (x0 ) = x20 + 2x0 = a.
⇐⇒ (x0 + 1)2 = a + 1
(I.1)
⇐⇒ x0 = −1 ± (a + 1)1/2 .
Die Quadratwurzel ist wohldeniert, wenn a + 1 ≥ 0 ⇐⇒ a ≥ −1. Da
a ∈ [−1, ∞) könen wir die Wurzel Berechnen.
Folglich nehmen wir x0 = −1 + (a + 1)1/2 an. So ist f (x0 ) = a. Deshalb ist f
surjektiv.
Ist
f
injektiv?
Nein.
Wir nehmen x1 = −1 − (a + 1)1/2 an. Es ist klar , dass f (x0 ) = f (x1 ) = a
und x0 6= x1 . Deshalb ist f nicht injektiv.
Wir denieren jetzt
g : (−1, ∞) → (−1, ∞), g(x) = f (x).
Ist
g injektiv oder
g ist injektiv:
surjektiv?
Die einzigen Lösungen für die Gleichung
f (x) = a
sind x0 und x1 . Da x1 ≤ −1 ist, liegt x0 als einzige Lösung in (−1, ∞).
Deshalb ist g injektiv.
g ist surjektiv: Wenn a > −1, folgt x0 > −1, und somit ist x0 ∈
(−1, ∞). Da g(x0 ) = a, g ist surjektiv.
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I.2
Mengen
Zeigen Sie, dass
(((A ∩ B) ∪ (C ∩ D))c = (Ac ∪ B c ) ∩ (C c ∪ Dc ).
Beweis:
x ∈ (((A ∩ B) ∪ (C ∩ D))c ⇐⇒
x∈
/ (A ∩ B) und x ∈
/ (C ∩ D) ⇐⇒
(x ∈
/ A oder x ∈
/ B) und (x ∈
/ C oder x ∈
/ D) ⇐⇒
(x ∈ A oder x ∈ B ) und (x ∈ C oder x ∈ D ) ⇐⇒
c
c
c
c
(I.2)
x ∈ Ac ∪ B c und x ∈ C c ∪ Dc ⇐⇒
x ∈ (Ac ∪ B c ) ∩ (C c ∪ Dc ).
I.3
Natürliche Zahlen
Das Wohlordnungsaxiom der Natürlichen Zahlen besagt, dass jede
Teilmenge
alle
A⊂N
ein kleinstes Element
a∈N
enthält, d.h.
a ≤ b,
für
b ∈ A.
Zeigen Sie, dass das Prinzip der Induktion aus dem Wohlordnungsaxiom folgt.
Sei P eine Aussage, sodass
P (1) = w
und
P (n) = w =⇒ P (n + 1) = w.
Wir zeigen jetzt, dass
P (n) = w ∀n ∈ N
Sei
A := {n ∈ N : P (n) = f }
Wir nehmen A 6= ∅ an. Wir wissen, dass
1 ∈ N.
Sei n0 das kleinste Element von A
P (n0 ) = f.
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Es folgt, dass n0 > 1, deshalb n0 − 1 ∈
/ A. Wir haben jetzt dass
P (n0 − 1) = w
und deswegen auch
P (n0 ) = w.
Endlich haben wir, dass
A=∅
und deswegen
P (n) = w ∀n ∈ N.
I.4
Äquivalenzklassen
Wir denieren die folgende Relation aus N2 .
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = c + b
Wir zeigen jetzt, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
Reexivität
(a, b) ∼ (a, b)
weil
a+b=a+b
Symmetrie
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
⇐⇒ c + b = d + a ⇐⇒ (c, d) ∼ (a, b)
(I.3)
Transitivität Seien (a, b), (c, d) und (e, f ), sodass (a, b) ∼ (c, d) und
(c, d) ∼ (e, f ). Wir sollen beweisen, dass (a, b) ∼ (e, f )
(a, b) ∼ (c, d), und(c, d) ∼ (e, f ) ⇐⇒
(a + d = b + c) und (c + f = d + e) =⇒ a + d + c + f = b + c + d + e
=⇒ a + f = b + e =⇒ (a, b) ∼ (e, f ).
Wir identizieren
(a, b)
mit
a − b.
Die ganzen Zahlen Z wird durch die natürlichen Zahlen konstruiert:
Z = {[(a, b)](a,b)∈N2 }.
(I.4)
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I.5
Die Komplexen Zahlen
Auf der Menge R2 sind Addition und Multiplikation durch
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(I.5)
(a, b) · (c, d) := (a · c − b · d, b · c + a · d)
deniert. R2 mit die Operationen (I.5) ist die Menge der komplexen Zahlen
(C).
Es ist einfach zu beweisen, dass ∀z1 , z2 , z3 ∈ C
z1 + z2 = z2 + z1
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
z1 · z2 = z2 · z1
(I.6)
(z1 · z1 ) · z3 = z1 · (z1 · z3 )
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3
Wir denieren:
i = (0, 1)
Wir identizieren
(a, 0) := a, (0, b) := ib = i · b, (a, b) = a + ib.
Es ist klar, dass
i2 = −1,
und, dass ∀z ∈ C
z + 0 = z, z · 1 = z.
Deshalb sind 0 und 1 neutrale Elemente bezüglich der Addition und Multiplikation.
Den Realteil Re{(a, b)} ist deniert durch
Re{(a, b)} = a.
Ähnlich denieren wir den Imaginärteil durch
Im{(a, b)} = b.
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Wir haben
(a + ib) · (c + id) = a · c + a · i · d + i · b · c + i · b · id = ac − bd + i · (ad + bc)
(wir benutzen kein Klammern wegen der Assoziativität).
Für alle z = a + ib ∈ C \ {0}, wir denieren
z̄ := a − ib
und
z −1 := z̄ ·
Es ist klar, dass
a2
1
+ b2
zz −1 = 1.
Deshalb ist z −1 die Inverse von z bezüglich der Multiplikation.
Wir denieren jetzt
−z := (−1) · z,
somit ist −z die Inverse von z bezüglich der Addition.