MAT111.1 - Lineare Algebra, WS 06/07

MAT111.1 - Lineare Algebra, WS 06/07
Prof. Joachim Rosenthal
Übungsblatt 12
Abgabetermin: Bis Montag 05.02., 10.00 Uhr (Briefkasten des Assistenten)
Aufgabe 1
Berechne die Determinante der 175×175-Matrix C = (ckl )k,l=1,...,175 , wobei
(
k2 + 1 falls k = l
ckl =
kl
falls k 6= l .
Aufgabe 2
Sei A ∈ Matn×n (Z). Beweise:
A ist invertierbar in Matn×n (Z) ⇐⇒ | det(A)| = 1.
Aufgabe 3
Wir definieren das Zentrum einer Gruppe G als
Z(G) = {g ∈ G | ∀h ∈ G : gh = hg}.
Sei An die alternierende Gruppe. Zeige:
a) A2 = {1} und A3 ∼
= Z3 .
b) Z(Sn ) = {1} für n ≥ 3.
c) Z(An ) = {1} für n ≥ 4. Berechne Z(A3 ).
Aufgabe 4 Berechne den grössten gemeinsamen Teiler von p(x) = x4 +6x3 +13x2 +12x+3
und q(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 8x + 2. Schreibe ihn in der Form a(x) · p(x) + b(x) · q(x), für
a(x), b(x) ∈ K[x].
Aufgabe 5
Das charakteristische Polynom pA (x) einer Matrix A ist definiert als
pA (x) := det(x En − A).
Zeige:
a) Das charakteristische Polynom einer 2×2–Matrix A = (aij ) ist
pA (x) = x2 − Sp(A) x + det(A).
b) Das charakteristische Polynom einer 3×3–Matrix B = (bij ) ist
pB (x) = x3 − Sp(B) x2 + (d1 + d2 + d3 ) x − det(B),
b22 b23
b11 b13
b11 b12
wobei d1 := det
, d2 := det
, d3 := det
.
b32 b33
b31 b33
b21 b22
Aufgabe 6 Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrizen:


2 2 3
1 −1
A=
, B = 1 2 1 .
2 4
2 −2 1
Überprüfe den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrizen A und B: Sind pA (x) und
pB (x) die charakteristischen Polynome, so gilt pA (A) = 0 ∈ Mat2×2 (K), sowie pB (B) =
0 ∈ Mat3×3 (K).