¨Ubung zur Vorlesung Statistik I WS 2013

Übung zur Vorlesung Statistik I
WS 2013-2014
Übungsblatt 6
22. November 2013
Aufgabe 17 (4 Punkte): Sei
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
der Wahrscheinlichkeitsraum (Laplaceraum), der das Zufallsexperiment des
Würfelns mit einem fairen Würfel beschreibt.
A
Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Augenzahl.
B
Sei
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
der Wahrscheinlichkeitsraum (Laplaceraum), der das Zufallsexperiment
des zweimaligen Würfelns mit einem fairen Würfel beschreibt. Berechnen
Sie den Erwartungswert der Summe und des Produkts der Augenzahlen
beider Würfe.
Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis aus Teilaufgabe A und die Unabhängigkeit von erstem und zweitem Wurf.
C
Berechnen Sie die Varianz der Summe beider Augenzahlen.
Hinweis: Benutzen Sie wieder die Unabhängigkeit der beiden Würfe.
D
Berechnen Sie die Varianz des Produkts der beiden Augenzahlen.
Hinweis: Implementieren Sie die Definitionsformel der Varianz für diesen
speziellen Fall in einem R Programm.
Lösung:
A
6
Erwartungswert =
1X
7
k=
6 k=1
2
2
6 1X
7
35
Varianz =
k−
=
6 k=1
2
12
> sum(((1:6)-7/2)^2)/6
[1] 2.916667
B
Erwartungswert der Augensumme beider Würfe, muss das Doppelte des
Erwartungswerts der einzelnen Würfe sein.
Erwartungswert der Augensumme = 7
Der Erwartungswert des Produkts der beiden Würfe, ist das Produkt der
Erwartungswerte des ersten und des zweiten Wurfs:
Erwartungswert des Produkts =
49
4
Letztes Ergebnis ist nur deshalb richtig, da erster und zweiter Wurf unabhängig sind.
C
Da erster und zweiter Wurf unabhängig sind, ist die Varianz der Augensumme aus erstem und zweitem Wurf die Summe der Varianzen der
Augenzahl des ersten und des zweiten Wurfs.
Varianz der Augensumme =
D
35
6
Zur Berechnung der Varianz des Produkts der Augen aus ersten und
zweiten Wurf benutzen wir in R eine doppelte for-Schleife:
>
>
+
+
+
+
>
Varianz <- 0
for(i in 1:6){
for(j in 1:6){
Varianz <- Varianz + (i*j-49/4)^2/36
}
}
Varianz
[1] 79.96528
Aufgabe 18 (2 Punkte): Berechnen Sie den Erwartungswert der geometrischen Verteilung.
Hinweis: Benutzen Sie die Formeln
∞
X
1
=
pk
1 − p k=0
und
1
=
(1 − p)2
1
1−p
0
=
0<p<1
∞
X
kpk−1
0<p<1
k=1
Lösung:
g(k, p) = (1 − p)k−1 p,
Erwartungswert =
∞
X
k = 1, 2, . . .
(1 − p)k−1 pk =
k=1
1
p
=
2
p
p
Aufgabe 19 (4 Punkte): In einem Schwimmbad gebe es n = 150 Garderobenschränke. Paul besucht jede Woche einmal das Schwimmbad und wählt
dabei zufällig einen der n = 150 Schränke aus. Wie oft muss Paul schwimmen
gehen, damit er jeden Schrank mindestens einmal benutzt hat?
Genauer: Sei Z die Anzahl der Besuche des Schwimmbades, die Paul braucht,
bis er jeden Schrank mindestens einmal benutzt hat. Gefragt ist nach dem
Erwartungswert von Z.
Machen Sie folgende idealisierende Annahmen:
A
Bei jedem Besuch wird jeder Schrank mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
ausgewählt (Laplaceannahme).
B
Die Wahl des Garderobenschranks ist bei jedem Besuch unabhängig von
allen anderen Auswahlen.
Hinweis: Gehen Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Punkte durch:
A
Paul habe schon k der n Schränke mindestens einmal benutzt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nun diesmal einen noch nie
gewählten Schrank nimmt?
B
Seien schon k (k = 0, . . . , n − 1) Schränke mindestens einmal von Paul
benutzt worden, und sei Zk die Anzahl der Besuche bis wieder ein noch
nie benutzter Schrank von Paul ausgewählt wird.
Wie ist die Zufallsvariable Zk verteilt? Was ist ihr Erwartungswert?
C
Wie kann Z durch die Z0 , Z1 , . . . , Zn−1 dargestellt werden?
D
Benutzen Sie, dass der Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariable 1/p ist. p ist dabei die Wahrscheinlichkeit für einen “Treffer“.
E
Berechnen Sie mit R die für die Lösung benötigte harmonische Reihe
P
n
1
k=1 k .
Lösung: Da n − k von n Schränken von Paul noch nie benutzt wurden, sind
die Zk geometrisch verteilt mit Trefferwahrscheinlichkeiten (n − k)/n (k =
0, . . . , n − 1.
Der Erwartungswert E(Zk ) von Zk ist dann n/(n − k).
Offensichtlich gilt
Z = Z0 + · · · + Zn−1
und damit
n−1
X
1
1 1
n/(n − k) = n 1 + + + · · · +
.
E(Z) = E(Z0 ) + · · · + E(Zn−1 ) =
2 3
n
k=0
Mit R ergibt das
> n <- 150
> n*sum(1/(1:n))
[1] 838.6771
Aufgabe 20 (4 Punkte):
A
Zeigen Sie, dass die Funktion
f (t) =
1
t2
t≥1
0 sonst
eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.
B
Zeigen Sie, dass die Verteilung zur Dichte f keinen Erwartungswert besitzt.
C
Berechnen Sie die (kumulierte) Verteilungsfunktion F (x) zur Wahrscheinlichkeitsdichte f (t).
D
Erstellen Sie in R einen Plot von F im Bereich (−6, 6).
Lösung:
A
Es gilt für alle t ∈ IR f (t) ≥ 0 und
Z ∞
Z
f (t) dt =
−∞
1
∞
dt
= 1.
t2
B
Wenn ein Erwartungswert existiert, müsste das Integral
Z ∞
Z ∞
Z ∞
dt
1
f (t)t dt =
dt
t=
2
t
t
1
−∞
1
existieren. Da aber log(t) die Stammfunktion von 1/t ist, gilt
Z ∞
1
dt = ∞.
t
1
C
Rx
F (x) =
dt = 1 −
0 sonst
1
x
x≥1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
> FH <- function(x) if(x<1) return(0) else return(1-1/x)
> F <- Vectorize(FH)
> plot(F,-6,6)
F
D
1
1 t2
−6
−4
−2
0
2
4
6
x
Bemerkung: Die Funktion FH kann nicht geplottet werden, da die logische Verzweigung in der Implementation die korrekte Verarbeitung von
Vektoren nicht erlaubt. Durch Vectorize kann eine Funktion, die Vektoren nicht komponentenweise verarbeitet, in eine plotfähige umgewandelt
werden.
Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den 1.12.2013 direkt an
Ihre(n) Tutor(in):
[email protected] (Franziska Metge).
[email protected] (Konrad Neumann)
[email protected] (Ivo Parchero)