Wahrscheinlichkeitstheorie 1

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07.30 Uhr oder 13.15 Uhr
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Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Aufgabenblatt 6
Prof. B. Kirstein
Sommersemester 2015
Abgabe ausschließlich in der Vorlesung am Mittwoch
Aufgabe 6.1 (Ruinwahrscheinlichkeit eines Spielers). Ein Spieler soll vorhersagen, ob
bei einem unverfälschten Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ fällt. Während er für eine richtige
Vorhersage einen Dollar erhält, muß er für eine falsche Vermutung den gleichen Betrag
bezahlen. Das Spiel wird so oft wiederholt bis der Spieler bei einem Anfangskapital von a
Dollar den Zielbetrag von b Dollar erreicht hat oder ruiniert ist, d. h., kein Spielkapital
mehr besitzt. Hierbei wird a ∈ N0 , b ∈ N und b ≥ a angenommen.
Wie groß ist dann die Ruinwahrscheinlichkeit des Spielers in Abhängigkeit von a und b?
Aufgabe 6.2 (Bertrandsches Kästenparadoxon). Man stelle sich folgende Situation vor:
Es seien drei Kästen mit je zwei Schubladen gegeben. In jeder Schublade des ersten
Kastens liegt genau eine Goldmünze, in jeder Schublade des dritten Kastens genau eine
Silbermünze, während in der ersten Schublade des zweiten Kastens eine Goldmünze und
in der zweiten eine Silbermünze platziert ist. Das Zufallsexperiment besteht darin, daß
zunächst rein zufällig ein Kasten und danach aus diesem rein zufällig eine Schublade
gewählt wird. Es sei B das der Ereignisaussage „Die gewählte Schublade enthält eine
Goldmünze“ entsprechende Ereignis.
(a) Es sei A das Ereignis, welches der Ereignisaussage „Die andere Schublade des
gewählten Kastens enthält eine Silbermünze“ entspricht. Wie groß ist dann die
bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B?
(b) Es sei C das Ereignis, welches der Ereignisaussage „Es wurde der ersten Kasten
gewählt“ entspricht. Wie groß ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit von C unter
der Bedingung B?
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Aufgabe 6.3. Zeigen Sie:
Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum und bezeichne AP,0 das System aller C ∈ A, für welche
C ∈ NP oder Ω \ C ∈ NP erfüllt ist. Sei B ∈ A \ AP,0 . Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Es gilt {B, Ω \ B} ⊆ A \ NP .
(b) Sei A ∈ A. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) Es sind A und B stochastisch unabhängig bezüglich P .
(ii) Es gilt P (A|B) = P (A|Ω \ B).
Aufgabe 6.4. Zeigen Sie:
Seien (Ω, A, P ) ein W-Raum und B ∈ A. Dann gelten folgende Aussagen:
(a) Seien A, C ∈ A derart gewählt, daß C ⊆ A erfüllt ist und zudem jeweils stochastische
Unabhängigkeit von A und B bzw. von B und C bezüglich P vorliegt. Dann gilt
A \ C ∈ A und es liegt stochastische Unabhängigkeit von A \ C und B bezüglich P
vor.
(b) Seien I ein Abschnitt von N und (Aj )j∈I eine Folge von paarweise disjunkten
Mengen aus A derart, daß für jedes j ∈SI stochastische Unabhängigkeit von Aj
und B bezüglich P S
vorliegt. Dann ist j∈I Aj ∈ A und es liegt stochastische
Unabhängigkeit von j∈I Aj und B bezüglich P vor.
(c) Sei (An )n∈N eine isotone Folge aus A derart, daß für jedes n
S ∈ N stochastische
Unabhängigkeit von An und B bezüglichSP vorliegt. Dann ist n∈N An ∈ A und es
liegt stochastische Unabhängigkeit von n∈N An und B bezüglich P vor.
(d) Sei (An )n∈N eine antitone Folge aus A derart, daß für jedes T
n ∈ N stochastische
Unabhängigkeit von An und B bezüglichTP vorliegt. Dann ist n∈N An ∈ A und es
liegt stochastische Unabhängigkeit von n∈N An und B bezüglich P vor.
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