Quickies zum Selbsttest

Aufgaben zu Komplexität von Algorithmen (SS 2011)
Vorbemerkung: Diese Aufgaben dienen in erster Linie der Selbstkontrolle.
Sie sind nicht schwierig, sofern Sie verstanden haben, worum es geht. Sie
werden in den Übungsstunden behandelt, falls Zeit dafür da ist und Sie das
wünschen. Bedenken Sie: Klausuraufgaben könnten so aussehen!
Aufgabe 15: Markov-Quickies (Präsenzaufgaben)
1. Zeigen Sie: sind A und B stochastische (k × k)-Matrizen, so ist auch ihr Produkt
A · B eine stochastische Matrix.
2. Zeigen Sie: sind A und B stochastische (k × k)-Matrizen und ist γ eine reelle Zahl
mit 0 ≤ γ ≤ 1, so ist auch γ A + (1 − γ) B eine stochastische Matrix.
3. Eine (k × k)-Matrix A heisst doppelt-stochastisch, wenn sowohl sie selbst, als auch
ihre Transponierte At stochastisch sind.
Wenn A eine primitive doppelt-stochastische Matrix ist, was ist dann limn→∞ An ?
4. Die kleinste interessante Markovkette hat zwei Zustände und ist gegeben durch
die stochastische Matrix
1−p
p
,
A=
q
1−q
wobei p und q reelle Zahlen mit 0 < p < 1 und 0 < q < 1 sind. Bestimmen Sie
limn⇒∞ An .
5. Es sei A = Ai,j 1≤i,j≤k eine stochastische Matrix und p = pi 1≤i≤k eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Menge V = {1, 2, . . . , k}. Es gelte die “Balancebedingung”
pi · Ai,j = pj · Aj,i für alle i, j ∈ V.
Was bedeutet diese Bedingung anschaulich? Zeigen Sie, dass p = pi 1≤i≤k stationäre Verteilung zu A ist, wenn diese Bedingung erfüllt ist.
6. Es sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph ohne isolierte Knoten. Für jeden Knoten
u ∈ V sei du der Grad von G im Knoten u, i.e., die Anzahl der Kanten von G, die
u treffen. Die Inzidenzmatrix sei
AG = Au,v u,v∈V , wobei Au,v = Anzahl der Kanten zwischen u und v.
Aus AG macht man (wie bei PageRank) eine stochastische Matrix BG , indem
man alle Einträge in der u-ten
Zeile durch die Zeilensumme du dividiert.
Zeigen Sie, dass der Vektor du u∈V ein linker Eigenvektor von BG zum Eigenwert
λ = 1 ist.
Wie sieht die zugehörige stationäre Verteilung aus?
16. Juni 2011