Diskrete Strukturen - Fachbereich Mathematik und Informatik

WESTFÄLISCHE
W I L H E L M S -U N I V E R S I T Ä T
MÜNSTER
Diskrete Strukturen
wissen leben
WWU Münster
Dietmar Lammers
Vorlesung SoSe 2010
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Diskrete Strukturen
20/96
Die Nacht war kalt und sternenklar,
Da trieb im Meer bei Norderney
Ein Suahelischnurrbarthaar.
Die nächste Schiffsuhr wies auf drei.
Mir scheint da mancherlei nicht klar,
Man fragt doch, wenn man Logik hat,
Was sucht ein Suahelihaar
Denn nachts um drei am Kattegatt?
(J. Ringelnatz)
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> Logik
,
,
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Diskrete Strukturen
21/96
> Was ist Logik?
Formale Logik ist die Sprache der Mathematik und
Informatik
wissen leben
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I
,
,
WESTFÄLISCHE
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Diskrete Strukturen
21/96
> Was ist Logik?
I
Formale Logik ist die Sprache der Mathematik und
Informatik
I
Eindeutige Sprache
Schlüsse
wissen leben
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eindeutige und nachvollziehbare
,
,
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Diskrete Strukturen
21/96
> Was ist Logik?
I
Formale Logik ist die Sprache der Mathematik und
Informatik
I
Eindeutige Sprache
Schlüsse
I
Formale Sprache
formale (maschinelle) Beweise.
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eindeutige und nachvollziehbare
,
,
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Diskrete Strukturen
22/96
> Zweiwertige Prädikatenlogik
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium non
datur
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I
,
,
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Diskrete Strukturen
22/96
I
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium non
datur
I
Aussagen setzen sich aus Teilaussagen zusammen.
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> Zweiwertige Prädikatenlogik
,
,
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Diskrete Strukturen
22/96
I
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium non
datur
I
Aussagen setzen sich aus Teilaussagen zusammen.
I
Ein (n-stelliges) Prädikat ist eine Aussage mit n
Leerstellen:
_1 ist-mächtiger-als _2 [
P(x, y ) ]
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> Zweiwertige Prädikatenlogik
,
,
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Diskrete Strukturen
22/96
I
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium non
datur
I
Aussagen setzen sich aus Teilaussagen zusammen.
I
Ein (n-stelliges) Prädikat ist eine Aussage mit n
Leerstellen:
_1 ist-mächtiger-als _2 [
P(x, y ) ]
I
Quantoren binden Freistellen:
∀x : P(x) bzw. ∃x : P(x)
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> Zweiwertige Prädikatenlogik
,
,
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Diskrete Strukturen
22/96
I
Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch: tertium non
datur
I
Aussagen setzen sich aus Teilaussagen zusammen.
I
Ein (n-stelliges) Prädikat ist eine Aussage mit n
Leerstellen:
_1 ist-mächtiger-als _2 [
P(x, y ) ]
I
Quantoren binden Freistellen:
∀x : P(x) bzw. ∃x : P(x)
I
Junktoren verknüpfen Aussagen:
x ∧ P(y ) → Q(y )
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> Zweiwertige Prädikatenlogik
,
,
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Diskrete Strukturen
23/96
> Wichtige Junktoren
A ∧ B - A und B müssen gelten
Man kann die Werte der Relationen über Wahrheitstafeln
genau festlegen.
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I
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Diskrete Strukturen
23/96
I
A ∧ B - A und B müssen gelten
I
A ∨ B - A oder B muss gelten
Man kann die Werte der Relationen über Wahrheitstafeln
genau festlegen.
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> Wichtige Junktoren
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Diskrete Strukturen
23/96
I
A ∧ B - A und B müssen gelten
I
A ∨ B - A oder B muss gelten
I
A → B - Wenn A gilt,gilt auch B
Man kann die Werte der Relationen über Wahrheitstafeln
genau festlegen.
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> Wichtige Junktoren
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Diskrete Strukturen
23/96
I
A ∧ B - A und B müssen gelten
I
A ∨ B - A oder B muss gelten
I
A → B - Wenn A gilt,gilt auch B
I
A ↔ B - A gilt genau dann, wenn auch B gilt
Man kann die Werte der Relationen über Wahrheitstafeln
genau festlegen.
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> Wichtige Junktoren
,
,
Diskrete Strukturen
24/96
> Syntax und Semantik
Sprache hat Syntax und Semantik
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I
,
,
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24/96
I
Sprache hat Syntax und Semantik
I
Syntax ist die Theorie, Sematik das Modell. Die
Bedeutungsfunktion liefert erst den Zusammenhang.
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> Syntax und Semantik
,
,
Diskrete Strukturen
25/96
> Theorien
Drei wichtge Begriffe für Theorien:
Korrektheit (soundness): Ein System ist korrekt genau
dann, wenn keine formale Ableitung in der Theorie zu
einem Widerspruch im Modell führt.
wissen leben
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I
Diskrete Strukturen
25/96
> Theorien
I
Korrektheit (soundness): Ein System ist korrekt genau
dann, wenn keine formale Ableitung in der Theorie zu
einem Widerspruch im Modell führt.
I
Widerspruchsfreiheit oder Konsistenz (consistency ) ist
gegeben, wenn es keine Formel A gibt, für die sich
sowohl A als auch ¬A ableiten lässt.
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WWU Münster
Drei wichtge Begriffe für Theorien:
Diskrete Strukturen
25/96
> Theorien
I
Korrektheit (soundness): Ein System ist korrekt genau
dann, wenn keine formale Ableitung in der Theorie zu
einem Widerspruch im Modell führt.
I
Widerspruchsfreiheit oder Konsistenz (consistency ) ist
gegeben, wenn es keine Formel A gibt, für die sich
sowohl A als auch ¬A ableiten lässt.
I
Vollständigkeit (completeness) ist gegeben, wenn sich
jede im Modell wahre Aussage auch formal herleiten
lässt.
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Drei wichtge Begriffe für Theorien:
Diskrete Strukturen
26/96
> Definitionen
Eine Definition ist ein Vereinbarung über eine abkürzende
Schreibweise für eine Reihe von Eigenschaften. Ein Begriff
ist wohldefiniert, wenn das definierte Objekt existiert, und die
Definition widerspruchsfrei ist.
Wichtig ist auch die Überprüfbarkeit, d.h. das man beweisen
kann, das ein Objekt tatsächlich diese Definition erfüllt, oder
eben nicht.
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Definition
,
,
Diskrete Strukturen
27/96
Interessant sind induktive Definitionen: Man gibt einzelne
(initiale) Elemente an, und Konstruktionsregeln, wie man aus
diesen zu neuen Elementen kommt. Oft kommt dann noch
eine Eindeutigkeitsregel dazu, z.B. "kleinste Menge mit
dieser Eigenschaft", etc.
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WWU Münster
> Induktive Definitionen
,
,
Diskrete Strukturen
28/96
> BSP Induktive Definition - Binärbaum
Definition
wissen leben
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Ein Binärbaum über einer Menge M ist ein Ausdruck B, der
folgende Bedingungen erfüllt:
,
,
Diskrete Strukturen
28/96
> BSP Induktive Definition - Binärbaum
Definition
1. Für alle Elemente m aus M ist m ein Binärbaum.
wissen leben
WWU Münster
Ein Binärbaum über einer Menge M ist ein Ausdruck B, der
folgende Bedingungen erfüllt:
,
,
Diskrete Strukturen
28/96
> BSP Induktive Definition - Binärbaum
Definition
1. Für alle Elemente m aus M ist m ein Binärbaum.
2. Wenn a und b Binärbäume sind, so ist auch (a.b) ein
Binärbaum.
wissen leben
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Ein Binärbaum über einer Menge M ist ein Ausdruck B, der
folgende Bedingungen erfüllt:
,
,
Diskrete Strukturen
29/96
> BSP Ind. Def. N - nach Peano
Definition
(Quelle: wikipedia, 3/2009)
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Die Menge der natürlichen Zahlen - N
Diskrete Strukturen
29/96
> BSP Ind. Def. N - nach Peano
Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen - N
(Quelle: wikipedia, 3/2009)
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1. 0 ∈ N
Diskrete Strukturen
29/96
> BSP Ind. Def. N - nach Peano
Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen - N
1. 0 ∈ N
0
(Quelle: wikipedia, 3/2009)
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2. ∀n ∈ N existiert genau ein Nachfolger n ∈ N.
Diskrete Strukturen
29/96
> BSP Ind. Def. N - nach Peano
Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen - N
1. 0 ∈ N
0
2. ∀n ∈ N existiert genau ein Nachfolger n ∈ N.
0
(Quelle: wikipedia, 3/2009)
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3. ¬(∃n ∈ N : 0 = n )
Diskrete Strukturen
29/96
> BSP Ind. Def. N - nach Peano
Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen - N
1. 0 ∈ N
0
2. ∀n ∈ N existiert genau ein Nachfolger n ∈ N.
0
0
0
4. ∀n ∈ N : (n = m ∧ n = k ) → m = k
(Quelle: wikipedia, 3/2009)
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3. ¬(∃n ∈ N : 0 = n )
Diskrete Strukturen
29/96
> BSP Ind. Def. N - nach Peano
Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen - N
1. 0 ∈ N
0
2. ∀n ∈ N existiert genau ein Nachfolger n ∈ N.
0
0
0
4. ∀n ∈ N : (n = m ∧ n = k ) → m = k
5. Von allen Mengen X, welche die Zahl 0 und mit jeder
natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger enthalten, ist
N die kleinste.
(Quelle: wikipedia, 3/2009)
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3. ¬(∃n ∈ N : 0 = n )
Diskrete Strukturen
30/96
Wichtigere Erkenntnisse, die nicht unmittelbar klar sind,
formuliert man in Sätzen bzw. Theoremen. Der Aufbau ist
dabei i.A. so, das aus Voraussetzungen (die ggf. auch
implizit sein können) auf Folgerungen daraus geschlossen
werden:
A → B bzw.
A ↔ B verkürzt für (A → B) ∧ (B → A)
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> Was ist ein Satz / Theorem?
,
,
Diskrete Strukturen
31/96
> Was ist ein Beweis?
Streng: Eine formale Herleitung einer Aussage aus den
Axiomen in einem formalen System
wissen leben
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I
,
,
Diskrete Strukturen
31/96
I
Streng: Eine formale Herleitung einer Aussage aus den
Axiomen in einem formalen System
I
Mindestens: Eine semiformale Herleitung einer
Folgerung aus (allen) Voraussetzungen, bei denen die
Einzelschritte gut nachvollziehbar sind und ggf. auch
vollständig im formalen System formuliert werden
könnten.
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> Was ist ein Beweis?
,
,
Diskrete Strukturen
31/96
I
Streng: Eine formale Herleitung einer Aussage aus den
Axiomen in einem formalen System
I
Mindestens: Eine semiformale Herleitung einer
Folgerung aus (allen) Voraussetzungen, bei denen die
Einzelschritte gut nachvollziehbar sind und ggf. auch
vollständig im formalen System formuliert werden
könnten.
I
Nicht: Eine schwammig begründete
Meinungsäusserung oder ein Votum.
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> Was ist ein Beweis?
,
,
Diskrete Strukturen
32/96
> Beweistechniken (1)
Sei der Satz A → B zu beweisen. Das kann man auf
mehrere Arten machen.
wissen leben
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direkt: Man nimmt an, das A gilt, und leitet daraus mit
gültigen (formalen) Schritten B ab.
,
,
Diskrete Strukturen
32/96
> Beweistechniken (1)
Sei der Satz A → B zu beweisen. Das kann man auf
mehrere Arten machen.
indirekt: Man nimmt an,das B nicht gilt, und folgert
daraus, das dann auch A nicht gilt.
wissen leben
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direkt: Man nimmt an, das A gilt, und leitet daraus mit
gültigen (formalen) Schritten B ab.
,
,
Diskrete Strukturen
32/96
> Beweistechniken (1)
Sei der Satz A → B zu beweisen. Das kann man auf
mehrere Arten machen.
indirekt: Man nimmt an,das B nicht gilt, und folgert
daraus, das dann auch A nicht gilt.
durch Widerspruch: Man nimmt an, das gilt A ∧ ¬B, und
leitet daraus eine Widerspruch zu einer gültigen
Aussage ab.
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direkt: Man nimmt an, das A gilt, und leitet daraus mit
gültigen (formalen) Schritten B ab.
,
,
Diskrete Strukturen
33/96
> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (1)
Es gibt keine bijektive Abbildung zwischen einer Menge M
und ihrer Potenzmenge 2M .
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Theorem
,
,
Diskrete Strukturen
34/96
> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (2)
Angenommen f : M− > 2M wäre so eine Bijektive
Abbildung, und sei C := {y ∈ M|y ∈
/ f (y )} Es ist sicher
C ∈ 2M . Dann hat C unter f ein Urbild x := f −1 (C) in M. x
kann nun entweder in C liegen. oder nicht. Wir können also
zwei Fälle annehmen:
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Beweis.
,
,
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34/96
> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (2)
Angenommen f : M− > 2M wäre so eine Bijektive
Abbildung, und sei C := {y ∈ M|y ∈
/ f (y )} Es ist sicher
C ∈ 2M . Dann hat C unter f ein Urbild x := f −1 (C) in M. x
kann nun entweder in C liegen. oder nicht. Wir können also
zwei Fälle annehmen:
1. Wenn x ∈ C, dann ist x ∈
/ f (x) = C - Widerspruch!
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Beweis.
,
,
Diskrete Strukturen
34/96
> Beispiel: Beweis durch Widerspruch (2)
Angenommen f : M− > 2M wäre so eine Bijektive
Abbildung, und sei C := {y ∈ M|y ∈
/ f (y )} Es ist sicher
C ∈ 2M . Dann hat C unter f ein Urbild x := f −1 (C) in M. x
kann nun entweder in C liegen. oder nicht. Wir können also
zwei Fälle annehmen:
1. Wenn x ∈ C, dann ist x ∈
/ f (x) = C - Widerspruch!
2. Ist anderernfalls x ∈
/ C, dann ist x ∈ f (x) = C Widerspruch!
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Beweis.
,
,
Diskrete Strukturen
35/96
> Induktive Beweise
1. Ich weise die Eigenschaft für die kleine Menge der
benannten (initialen) Elemente nach - der
Induktionsanfang (IA)
Da alle Elemente so erzeugt werden, ist damit die
Eigenschaft für alle Elemente der Struktur bewiesen.
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Aussagen über induktiv definierte Strukturen kann man oft
am besten auch induktiv beweisen. Der Beweis von
Eigenschaften aller Elemente der Struktur geht dann
folgendermassen:
Diskrete Strukturen
35/96
> Induktive Beweise
1. Ich weise die Eigenschaft für die kleine Menge der
benannten (initialen) Elemente nach - der
Induktionsanfang (IA)
2. Ich weise für alle Konstruktionsregeln nach, das die
Eigenschaft für das konstruierte Element gilt, wenn sie
bereits für die zur Konstruktion verwendeten Elemente
galt. - der Induktionsschritt (IS)
Da alle Elemente so erzeugt werden, ist damit die
Eigenschaft für alle Elemente der Struktur bewiesen.
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Aussagen über induktiv definierte Strukturen kann man oft
am besten auch induktiv beweisen. Der Beweis von
Eigenschaften aller Elemente der Struktur geht dann
folgendermassen:
Diskrete Strukturen
36/96
> Beispiel: Induktionsbeweis (1)
Theorem (Fundamentalsatz der Artithmetik)
(bisaufdieReihenfolge)eindeutig
als Produkt von Primzahlen darstellen.
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Jede natürliche Zahl n > 1 lässt sich
,
,
Diskrete Strukturen
37/96
> Beispiel: Induktionsbeweis (2)
Beweis.
wissen leben
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IA: Für n = 2 ist die Behauptung offenbar richtig.
IS: Sei die Aussage nun für alle Zahlen, die kleiner als n
sind, korrekt. Für n haben wir zwei Möglichkeiten:
,
,
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37/96
> Beispiel: Induktionsbeweis (2)
Beweis.
IA: Für n = 2 ist die Behauptung offenbar richtig.
IS: Sei die Aussage nun für alle Zahlen, die kleiner als n
sind, korrekt. Für n haben wir zwei Möglichkeiten:
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1. n ist eine Primzahl. Dann stimmt die Behauptung.
,
,
Diskrete Strukturen
37/96
> Beispiel: Induktionsbeweis (2)
Beweis.
IA: Für n = 2 ist die Behauptung offenbar richtig.
IS: Sei die Aussage nun für alle Zahlen, die kleiner als n
sind, korrekt. Für n haben wir zwei Möglichkeiten:
2. n = mk für zwei Zahlen m und k , die kleiner als n sind.
Dann gilt die Induktionvoraussetzung für m und k , es
gibt also Primzahlen pi mit m = p1e1 p2e2 ...plel und
k = q1f1 q2f2 ...qoeo , und damit eine Darstellung
n = p1e1 p2e2 ...plel q1f1 q2f2 ...qoeo
wissen leben
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1. n ist eine Primzahl. Dann stimmt die Behauptung.
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