½ ½ ½ ½

2.5 Delta Distribution (1)
2.5 Delta Distribution (3)
Ansätze zur korrekten Definition (1)
Frage an Radio Eriwan:
a) Grenzwert von Funktionenfolgen
Können wir auch für eine diskrete Verteilung
eine Warscheinlichkeitsdichte angeben?
Delta-Distribution als Grenzwert einer Deltafolge:
Z 1
Antwort:
1
Im Prinzip ja, aber diese Dichte ist keine Funktion,
sondern eine Distribution.
Æ (x)f (x) dx := lim
!0
1
"
Æ" (x)f (x) dx
Wichtig: Limes darf nicht unter Integral gezogen werden!
ε= 1
ε = 0.5
ε = 0.2
Betrachte einfachsten Fall:
Z 1
Fläche immer
gleich Eins
ZV X, die mit Wahrscheinlichkeit 1 den Wert Null annimmt, d.h.
P (X = x) =
1
0
für x = 0
sonst
Wir wollen deren W’keitsdichte δ(x) nennen
Welche Eigenschaften muss δ(x) erfüllen?
1
anschaulich aber unpraktisch => heute nicht mehr verwendet
2.5 Delta Distribution (2)
2.5 Delta Distribution (4)
Anforderungen an W’keitsdichte δ(x):
Ansätze zur korrekten Definition (2)
a) Æ (x) ist 0 für alle Werte x =
6 0:
P (X
2 (a; b)) =
Zb
a
Æ (x) dx =
1
0
b) lineares Funktional
wenn 0 2 (a; b)
sonst
Delta-Distribution als Funktional, d.h. als Abbildung
von Funktionen auf Zahlen:
f f (0) = FÆ (f )
C
Funktionen
3 7!
b) Für den Erwartungswert jeder Funktion f von X gilt:
E (f (X )) =
Z1
1
f (x)Æ (x) dx = f (0)
1
f (x)Æ (x) dx = 0
2
Linearität: für jede Zahl c und Funktionen f,g gilt:
FÆ ( f ) = FÆ (f )
Nehme b) als Definition der Delta-"Funktion"
Wäre δ gewöhnliche Funktion, dann würde aus a) folgen
Z 1
3
und
FÆ (f + g) = FÆ (f ) + FÆ (g)
gewöhnlicher Funktion h kann ebenfalls Funktional
zugeordnet werden mittels
für jede Funktion f
Fh (f ) =
Aber was ist die Delta-"Funktion"?
2
Z 1
1
h(x)f (x) dx
4
Dalitz CBM Kap3a
2.5 Delta Distribution (5)
Distributionen sind verallgemeinerte Funktionen:
jede Funktion h läßt sich als Distribution auffassen mittels
Z 1
Fh (f ) =
h(x)f (x) dx
1
es gibt Distributionen D, die keine zugeordnete
Funktion h haben mit
FD (f ) =
Z 1
1
h(x)f (x) dx
für beliebige Funktionen f
Beispiel ist Delta-Distribution. Wir schreiben aber trotzdem
FÆ (f ) =
Z 1
1
Æ (x)f (x) dx = f (0)
und behandeln δ(x) formal wie eine Funktion
5
2.5 Delta Distribution (6)
Rechenregeln für Distributionen
müssen verträglich sein mit normalen
Rechenregeln für Funktionen
Beispiel: Ableitung der Delta-Distribution
Für (bei 1 verschwindenden) Funktionen gilt nach
Rechenregel der partiellen Integration
Z 1
1
h0 (x)f (x) dx =
Z 1
1
h(x)f 0 (x) dx
Definiere also das Funktional Æ 0 (x) durch
FÆ0 (f ) =
Z 1
Z 1
1
1
Æ 0 (x)f (x) dx =
Æ (x)f 0 (x) dx =
f 0 (0)
6
Dalitz CBM Kap3a