mB pB mA pA

1.3
Erhaltungssätze der Mechanik
Mechanik :
¾ Statik
¾ Kinematik - Beschr. v. Bewegungen
¾ Dynamik - Kräfte und ihre Wirkungen
r
Grundproblem der Dynamik:
Kraft ÖNewton II Ö Dgl Ö Lösung : r ( t )
oft aber …
Kraft nicht (vollständig) bekannt, Dgl zu kompliziert …
Viele Probleme sind (ohne großen math. Aufwand) mit Hilfe von Erhaltungssätzen lösbar.
Erhaltungssatz: Irgendeine Größe XYZ beibt (unter best. Umständen …) konstant, d.h. XYZ
ändert sich bei einem phys. Vorgang nicht: XYZvorher = XYZnachher = XYZzwischendurch = …
Bsp:
Erhaltung der elektr. Ladung: Ladung kann nicht erzeugt und nicht vernichtet werden.
Die Gesamtladung in einem geschlossenen System ist konstant …
• Wichtige Erhaltungssätze : Impuls, Energie, Drehimpuls, el. Ladung.
In der Quantenphysik kommen noch andere hinzu (Parität, …)
• Kein Erhaltungssatz gilt z.B. für die Entropie (kann erzeugt aber nicht vernichtet werden)
oder für die Anzahl von Gummibärchen (können erzeugt und vernichtet werden)
1.3.1 Impulserhaltung
Erinnerung: Impuls = Masse * Geschwindigkeit, Impuls ist ein Vektor
r
r
nichtrelativistisch:
[Gl.1.3.1.]
p = m⋅v
r
r
m0
r
⋅v
[Gl.1.3.2.]
relativistisch:
p = m0 γ ⋅ v =
2
v
1 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ c⎠
r h
Lichtquanten (Photonen), m0 = 0 : p =
(h: Planck-Konst., λ: Wellenlänge)
λ
[Gl.1.3.3.]
2 Körper A u. B, Kraft A Æ B , B Æ A
pB
r
r
FBA = − FAB
3. Newton-Gesetz („actio = reactio“) :
mB
2. Newton-Gesetz („F=m a“):
r
r
d pA r
d pB r
= FBA u.
= FAB
FAB
dt
dt
r r
r
r
d( pA + pB ) r
= FBA + FAB = 0
Ö
dt
r
FBA
r
r
r r
d ptot r
= 0 , ptot = const.
oder ptot = pA + pB ,
dt
[Gl.1.3.4.]
mA
• Impuls jedes Einzelkörpers ändert sich (Kräfte!)
pA
• Gesamtimpuls ist konstant
• … unabhängig davon, welche Kraft wirkt !
Einzige Voraussetzung: nur innere Kräfte zwischen den Körpern
(Impulssatz ist äquivalent zu „actio = reactio“)
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3
• mehr als zwei Körper :
innere Kräfte heben sich paarweise weg
r
r
Ö ptot = ∑ pi = const.! [Gl.1.3.5.]
4
2
i
5
1
Der Impulserhaltungssatz
• gilt immer – auch wenn Kräfte wirken oder sich die kin. Energie verändert!
(aber: alle Körper berücksichtigen!)
• gilt für den Impuls-Vektor Ö x , y und z !
Bei „eindimensionalen Problemen“ spart man sich oft die Vektorpfeile …
Vektor-Richtung Ö Vorzeichen der (x-) Komponente !
Achtung: Schreibweise v1 etc. („ohne Vektorpfeil“) wird verwendet für
r
a) Betrag des Vektors ( v1 , immer >0!)
b) (bei eindim. Problemen) für die (x-) Komponente des Vektors
in Richtung einer Achse (z.B. x-Richtung) , mit Vorzeichen!
Afg./Bsp.:
Feder beschleunigt 2 Körper mit Massen m1 , m2 :
wie groß ist das Verhältnis der Geschwindigkeiten ? Vorzeichen ?
Impulssatz / „actio = reactio“ ist verknüpft mit
und (bei 2 Körpern) mit dem
1.3.1.1
„Schwerpunktsatz“
1.3.1.2
„Zweikörperproblem“ (Bechr. der Bew. von 2 K., reduzierte Masse)
1.3.1.1 Schwerpunktsystem, Schwerpunktsatz
Geschw. , Impuls eines Körpers Î abhängig vom Bezugssystem!
r
• Ein Bez.-System (S´ , z.B. „Zug“) bewege sich (gegen „Laborsystem“ S) mit V0 (konst.)
r
v′
• Geschw. eines Körpers im Syst. S´ :
r r r
v = v ′ + V0
• Geschw. eines Körpers im Syst. S :
r r r
Ö v ′ = v − V0
r
r
• auch der Gesamtimpuls ptot = ∑ pi eines Systems ist abhängig vom Bezugssystem!
i
r* r
= 0 wird,
• suche ein spezielles Bezugssystem S* in dem ptot
dies ist das
SCHWERPUNKTSYSTEM (SPS)
Aus Impulserhaltung folgt …
r
• ist System S* (das sich mit mit V0 bewegt) bei t = 0 SPS (d.h. Ges.-Impuls ist Null)
• dann ist S* auch bei beliebigen Zeiten t SPS (d.h. Impuls bleibt Null!)
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SPS bewegt sich also (sofern keine äußeren Kräfte wirken) mit der konstanten
r
Geschwindigkeit V0 (bzw. bleibt in Ruhe falls wir bereits im SPS sind!)
• Der SP eines Systems von Teilchen bewegt sich also wie ein Massepunkt (Gesamtmasse
M = ∑ mi ) gem. den Newton-Gesetzen (hier: 1. Newtonsches Gesetz)
r
r d prtot
• äußere Kräfte Ö Änderung des Gesamtimpulses: Fa = ∑ Fai =
dt
i
(innere Kräfte heben sich paarweise weg!)
Ö SP bewegt sich dann beschleunigt, Beschl. entspricht
der eines Massepunkts mit
r
r
Gesamtmasse M auf den Fa wirkt:
r
F
aSP = a
M
r
Berechnung der Schwerpunktgeschw. V0 :
r
r
r r
r
ptot = ∑ pi = ∑ mivi = ∑ mi vi* + V0
i
=
(
r
mv
∑
123
*
i i
r
=0 (SPS!)
)
r
+ V0 ⋅ ∑ mi
r
r
r
mivi
ptot
∑
V0 =
=
somit :
∑r mi ∑ mi
r d r (t)
wegen
vi = i
dt
r
⎛ ∑ mi ⋅ ri ( t ) ⎞
⎟⎟
d⎜⎜
r
⎝ ∑ mi ⎠
V0 =
ist
dt
r
r
D.h. Schwerpunktgeschw. V0 ist zeitl. Abltg. des SP-Ortsvektors RSP =
r
∑ m ⋅ r (t)
∑m
i
i
i
Damit kann SP-Geschw. u. Position für bel. Teilchensystem berechnet werden:
• SP-Position als mit Masse mi gewichteter Mittelwert der der Positionen der Massen i:
r
r
mi ⋅ ri ( t )
∑
RSP =
[Gl.1.3.6.]
∑ mi
• SP-Geschw. als mit Masse mi gewichteter Mittelwert der der Geschwindigkeiten der
r
r ∑ mi vi
[Gl.1.3.7.]
Massen i : V0 =
∑ mi
Bem.: bei ausgedehnten Körpern mit kontinuierlicher Masseverteilung (Dichte ρ = ρ( x, y, z) )
wird integriert (Volumenintegrale) statt summiert:
(dV: Volumenelement)
∑ miK ⇒ ∫ K d m = ∫ Kρ d V
Übung:
SP einer Bier- , Cola-, …-Dose als Fkt. des „Abtrinkgrades“ !
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1.3.1.2
Zweikörperproblem, reduzierte Masse
Zwei Körper,
v2
beide bewegen sich …
• keine äußeren Kräfte
aber …
WW zwischen den 2 Körpern,
r
r
Kraft hängt von r1 ( t ) − r2 ( t ) ab!
m1
m2
F1
F2
v1
Bsp.:
• 2 Körper, beide beweglich, über Feder verbunden (Schwingung und/oder Rotation)
2 Atome in einem Molekül
• Elektron u. Proton im H-Atom
• Elektron u. Positron im „Positronium-Atom“
…
r
r
r
r
Newton III Ö
F1 = + F , F2 = − F
Newton II
r
d 2 r1 ( t )
r
1 r r
=
+
⋅ F(r1 ( t ) − r2 ( t ) ) (1)
2
dt
m1
Ö
r
d 2 r2 ( t )
r
1 r r
=
−
⋅ F(r1 ( t ) − r2 ( t )) (2)
2
dt
m2
r
r
2 gekoppelte Dgl. ! Jede Dgl. enthält beide Unbekannte r1( t ) u. r2 ( t ) ! /
Ö
Transformation (Ö Relativbewegung) :
Gl. (1) - Gl. (2)
Ø
r
r
d 2 r1 ( t ) d 2 r2 ( t ) ⎛ 1
1⎞ r r
r
− 2
= ⎜ + ⎟ ⋅ F (r1 ( t ) − r2 ( t ) )
2
m
m
dt
dt
⎝ 1
2⎠
r
r
d 2 (r1 ( t ) − r2 ( t ) )
⎛ 1
1⎞ r r
r
= ⎜ + ⎟ ⋅ F (r1 ( t ) − r2 ( t ) )
2
m
m
dt
⎝ 1
2⎠
r
⎛ 1
d 2 r21 ( t )
1⎞ r r
r
r r
= ⎜ + ⎟ ⋅ F (r21 ( t ) ) (mit r21 = r1 − r2 )
2
dt
⎝ m1 m2 ⎠
r
r r
m1 ⋅ m2 d 2 r21 ( t )
⋅ 2
= F (r21 ( t ) )
(*)
m1 + m2 d t
[Gl.1.3.8.]
12
4 4
3
µ
Gl.
(*) entspr. N. II („F = m a“) für einen Körper, aber :
r r
• (*) beschreibt die Relativbewegung der 2 K. ( r1 − r2 !)
m ⋅m
• enthält statt Masse m die reduzierte Masse µ = 1 2 !
m1 + m2
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W-H-W-L-K ? ) Bewegung von 2 Körpern (zwischen denen irgendeine, z.B. vom
Abstand abhängige innere Kraft wirkt) läßt sich berechnen wie die Bewegung eines einzelnen
Körpers, der sich in einem (festen) Kraftfeld bewegt:
• statt der (trägen) Masse von Körper 1 oder 2 wird die .................................. des
Zweikörpersystems verwendet
• statt der Koordinaten (Ortsvektoren) von Körper 1 oder 2 werden ................................
verwendet.
r
r r
r r
Wie erhält man (wenn erst einmal r21 = r1 − r2 berechnet ist) wieder die Ortsvektoren r1 , r2
der beiden einzelnen Körper? Beachten Sie Kapitel 1.3.1.1 !
Wegen µ =
m1
ist die reduzierte Masse …
m
1+ 1
m2
• immer (noch) kleiner als die kleinere der beiden Massen !
• bei sehr kleiner / großer M. („Apfel/Erde“) ≈ kleine Masse ! m1 << m 2
⇒ µ ≈ m1
• 2 Körper gleicher Masse :
m
m1 = m2 = m ⇒ µ =
2
Bsp.: 2 Körper, mit Feder verbunden
Wie groß ist die Schwingungsfrequenz,
wenn
a.) ein Körper festgehalten wird ?
ω =K
b.) beide beweglich sind ?
ω =K
m1
m2
c.) was ergibt sich bei a.) und b.) falls
m1 << m2 ?
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1.3.2 Arbeit und Energie
1.3.2.1 Arbeit
Arbeit = „Kraft * Weg“
(Einh.: 1 J = 1 Nm !)
F
[Gl.1.3.9.]
B
• Körper wird von „A“ nach „B“ bewegt.
r
• Kraft dazu: F
A
) Dabei wird Arbeit W verrichtet
• Arbeit (im physikalischen Sinne) nur durch
Komp. der Kraft in Wegrichtung!
• W = Fs ⋅ s
r r
• Falls F⊥s ⇒ W = 0
F
α Fs
F|
s
A
•
W = F ⋅ s ⋅ cos α
r r
W = F⋅s
(Arbeit : „Skalarprodukt aus Kraft- u. Weg-Vektor“)
B
[Gl.1.3.10.]
So einfach nur wenn …
• Kraft konstant (Betrag und Richtung !)
• Weg geradlinig !
… andernfalls
1.3.2.2 Arbeit bei
veränderlicher Kraft
F3
• Weg in einzelne (kleine) Teile
zerlegen
• Arbeit ∆W für jedes Stück einzeln
ausrechnen!
r r
W = ∑ ∆Wi = ∑ Fi ⋅ ∆si [Gl.1.3.
i
F4
F2
F1
∆s2
∆s3
F5
∆s4
∆s5
∆s1
i
11.]
• Übergang zu „differentiellen Größen“ …
d W = Fs d s
r r
allg., bei veräderl. Winkel zw. Kraft und Weg : d W = F d s
W = ∫ Fs d s
B r
r
W = ∫ F d s [Gl.1.3.12.]
A
Weg K
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) Linien- oder Kurvenintegral (siehe Mathe- !)
r
• die zu integrierende Fkt. („Integrand“) ist ein Vektor ( F )
r
• „Integr.-Variable“ ist ebenfalls ein Vektor („ d s “)
r r
Skalarprodukt F ⋅ d s !
• anstatt über ein „x-Intervall“ wird von einem Raumpunkt A bis zu einem
Raumpunkt B integriert!
• Der Weg, auf dem der Körper von A nach B bewegt wird, muß spezifiziert werden!
Nur bei speziellen Kräften ist die Arbeit unabh. vom Weg!
Gegenbsp.: Reibung – auf dem kürzesten Weg wird (in der Regel!) die geringste
Arbeit verrichtet!
Berechnung der Arbeit mit Linienintegralen:
Bsp.:
idealisierte Feder wird gespannt (2-dim.) vom Punkt A (0,0) zu Punkt B (R,R)
r
r
Kraft:
Die Rückstellkraft (Federkraft) ist Fel = −cr .
ACHTUNG: Wir bewegen beim Spannen der Feder den Körper mit äußerer Kraft (z.B. „von
Hand“) gegen die Federkraft! Zur Berechnung der verrichteten Arbeit wird diese äußere Kraft
r
r
r
gebraucht:
F = − Fel = cr = c xy
()
B
Arbeit :
W=
r r
∫ F ⋅d s =
A
WegK
B
∫
( F d x + F d y)
x
y
A
?− ?− ?− ?− ?− ?− ?− ?− ?− ?− ?
WegK
10/
Beachte:
Dabei muß – unter Beachtung der gewählten Wegkurve – gleichzeitig über x und y integriert
werden!
Ö Auf eine einzige Integration zurückführen …
dazu :
• Wegkurve in Parameterdarstellung …
oder
• Kurve y als Fkt. von x gegeben: y = y( x )
(oder : x = x( y) , was wäre dann unten zu ändern ???)
dy
dy
y′ =
⇒ d y = y′ ⋅ d x ⎛⎜ =
⋅ d x⎞⎟
mit
⎝
⎠
dx
dx
d W = Fx d x + Fy d y
wird
d y⎞
d W = ⎛⎜ Fx + Fy
⎟dx
⎝
d x⎠
xB
d y⎞
W = ∫ d W = ∫ ⎛⎜ Fx + Fy
⎟dx
⎝
d x⎠
x
(*)
[Gl.1.3.13.]
A
Linienintegral Ö best. Integral über x !
In welchen Fällen läßt sich die Ber. mit (*) durchführen ?
Wann wählt man besser y als Variable ?
Wann kann weder x noch y verw. werden ?
Welche Möglichkeiten bleiben dann ?
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Übung:
Bsp. Feder , Arbeit berechnen auf versch. Wegen …
1.
2.
3.
4.
xx
Gerade von (0,0) nach (R,R)
a) Gerade von (0,0) nach (R,0) , dann b) von (R,0) nach (R,R)
Parabel von (0,0) nach (R,R)
Viertelkreis (oberer oder unterer Kreisbogen)
…
Bestimmen Sie zunächst jeweils zunächst eine Gl., die den Weg beschreibt!
Berechnen Sie dann die Arbeit durch Integration (über x (*) oder y oder …)
Es ergibt sich bei diesem Bsp. immer die gleiche Arbeit!!! Bsp. für …
1.3.2.3 Konservative Kräfte
Kräfte, bei denen die Arbeit unabhängig vom Weg ist heißen
konservative Kräfte.
Bsp.:
Elektrostatik, Gravitation, elast. Kräfte (Feder!)
Gegenbsp. - nicht konservativ sind :
Reibung, zeitl. veränderl. el./magn. Kräfte (Trafo, Betatron!)
Arbeit auf Hin- u. Rückweg :
B r
r
WAB = ∫ F d s
A Æ B
A
WegK
B Æ A
WBA =
B
A
r r
F
∫ ds
A
B
WegK
Wird für Hin- u. Rückweg der gleiche Weg verwendet
(und hängt die Kraft nur vom Ort ab !!!), so ist
WAB = −WBA .
Ist die Kraft konservativ,
so gilt WAB = −WBA auch wenn Hin- u. Rückweg verschieden sind!
Geschlossener Weg A Æ B Æ A:
Für konserv. Kraft:
• WAB + WBA = 0
r r
• ∫ Fds = 0
[Gl.1.3.14.]
[Gl.1.3.15.]
Ein Kraftfeld ist konservativ, wenn es sich als Gradient eines skalaren Potentialfeldes V(x,y,z)
darstellen läßt:
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•
r
F = − g ra d V ,
⎛ ∂V ⎞
⎛ Fx ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ∂x ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
r ⎜ ⎟
∂V ⎟
F = ⎜ Fy ⎟ = − ⎜⎜
∂y ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ∂V ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ Fz ⎠
⎝ ∂z ⎠
[Gl.1.3.16.]
Begr.: Arbeit = Potential-Differenz, nur
abhängig von Punkt A u. B, nicht vom
Weg!
Bsp.: Elektrostatik, Gravitation!
Potentialfeld entspricht einer
„Höhenliniendarstellung“ des Kraftfeldes.
Jedem Punkt wird eine (skalare) Größe
(entspr. Höhe) zugeordnet. Die (vektorielle)
Kraft erhält man dann durch (Betrag u.
Richtung) des „steilsten Abfalls“ im
„Potentialgebirge“ (rechnerisch durch
Berechnung der partiellen Ableitungen siehe oben).
Nur bei M.C. Escher gibt es die
„NICHT-KONSERVATIVE Schwerkraft“
• Konservative Felder haben keine Wirbel , keine geschlossenen (Kraft-) Feldlinien
r
r r
(Mathe: Rotation verschwindet, z.B. statisches E − Feld: rot E = 0 !). Auf geschlossener
Bahn wird insgesamt keine Arbeit verrichtet bzw. keine Energie gewonnen!
1.3.2.4 Beschleunigungsarbeit, Kinetische Energie
Arbeit bei Beschleunigung eines (trägen) Körpers
Bisher: Massenträgheit vernachlässigt bzw. alle Bewegungsabläufe (A Æ B) soooooo…
langsam, daß Beschleunigungskräfte vernachlässigt werden können.
•
Wenn Körper mit (träger) Masse bewegt wird, wird Kraft benötigt, um Masse zu
beschleunigen (Newton II).
•
Körper bewegt sich in Kraft-Richtung Ö Arbeit wird verrichtet
(um Körper zu beschleunigen!)
dv
F = m⋅a = m⋅
dt
Kraft zur Beschleunigung einer Masse ist (ganz normal) die Kraft nach Newton II. Zur
Berechnung der Arbeit muß jetzt über den Weg s integriert werden … W = ∫ F d s
) 3 voneinander abhängige Größen: s, v, t !!!
Æ erst mal aufräumen, d.h. s , t durch v ersetzen …
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⎛ d v⎞
⎛ d v⎞ d s
dW = F d s = ⎜m⋅ ⎟ ⋅d s = ⎜m⋅ ⎟ ⋅
dv
⎝ dt⎠
⎝ dt⎠ dv
1
424
3
F = m⋅a
ds
ds
⎛
⎞
⋅d v
= v⎟
⎜ mit
⎝
⎠
dt
dt
= mv ⋅ d v
Æ …dann kann leicht über v integriert werden:
W = ∫ d W = ∫ mv ⋅ d v
= m⋅
v2
W = m ∫ v ⋅ d v = 12 mv22 − 12 mv12
v1
v
Arbeit für Beschl „von 0 auf v “: W = m ∫ v ⋅ d v = 12 mv2
0
r2
W = 12 m v (*)
3-dim , Geschw.-Vektor:
[Gl.1.3.17.]
r
r
Mit Impuls p = mv (statt Geschw.) ergibt sich
r2
p
r2 m
1
W=
(**)
Ö
[Gl.1.3.18.]
W = 2 mv ⋅
2m
m
Bem.: (**) ist oft einfacher anzuwenden als (*), weil dann direkt der Impuls
(Erhaltungsgröße!) verwendet werden kann.
1.3.2.5 Energie und Energieformen
An einem System wird Arbeit verrichtet …
dieses System kann anschließend selbst Arbeit verrichten (evtl. in anderer „Form“)
Ö Arbeit, „Arbeitsvermögen“ wird gespeichert!
Diese gespeicherte Arbeit, der Arbeitsvorrat, das Arbeitsvermögen des Systems heißt
ENERGIE
Beispiele:
•
Feder wird gespannt (a-b),
kann anschließend Körper hochheben (cd)
•
Wasser wird durch Schwerkraft
beschleunigt, treibt dann Turbine an …
•
Uhrgewicht wird hochgezogen, treibt
anschl Pendeluhr an …
•
…
Mechanische Energieformen:
kinetische Energie
¾
gespeichert in der Bewegung eines
Körpers:
•
kin. Energie bei Translation : E = 12 mv2
•
kin. Energie bei Rotation
(E =
1
2
Jω 2 )
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¾
•
•
•
( Î Kap. 1.3.5 !)
potentielle Energie
unabh. von Geschw., abh. vom Ort:
Lageenergie (pot. Energie im
Schwerefeld der Erde, nahe der
Erdoberfl.): E Lage = mgh
Pot. Energie eines el. gel. Körpers im
E-Feld: Eestat = qφ
Elast. Energie, gesp. in elast.
Verformung eines Körpers: Eelast = 12 cs 2
a)
F
s
b)
W = ½ c s2
c)
d)
h
W=mgh
Bei allen Energieformen : Nullpunkt muß festgelegt werden,
z.B. Lageenergie: wo ist h = 0 ?
kin. Energie:
welches Bezugssystem ? (in welchem System ist v=0 ?)
Einige weitere – auch nichtmechanische – Energieformen :
• Energie des elektr. u. magn. Feldes (z.B. in Kondensator/Spule gespeichert)
• Wärmeenergie (innere Energie)
(kin. Energie, gesp. in der – ungeordneten – Wärmebewegung der Atome/Moleküle)
• Strahlung (Licht, …)
• chem. Energie (Bsp.: Benzin, Gas, Sahnetorte)
• Masse (Einstein: Äquivalenz v. Masse u. Energie, E = mc 2 )
Potentielle Energie – Beispiele (a – c)
a.)
Lageenergie
• A(z = 0) → B(z = h) : Beim Heben (schw.
„Lupfa“) eines Körpers wird Arbeit
verrichtet (schw. „g’schafft“)
z
B
h
y
A
(z-Achse nach oben, betr. z-Komp. der Kraft)
x
Gewichtskraft :
FG = −mg
„Hub-“ Kraft:
FH = + mg
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h
h
0
0
WHub = ∫ FHub d z = ∫ + mg d z = + mgh
Hubarbeit:
Am Körper wird Arbeit verrichtet, seine potentielle Energie wird um mgh erhöht.
E pot (B ) = mgh
Wähle : E pot ( A) = 0
Ö
[Gl.1.3.19.]
• B(z = h) → A(z = 0) : Beim Fall nach unten verrichtet die Gewichtskraft FG Arbeit:
0
0
h
h
WG = ∫ FG d z = ∫ − mg d z = −mg ⋅ (0 − h ) = + mgh
Die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit ist also so groß wie der Unterschied zwischen
der potentiellen Energie bei B und A. Die Hubarbeit wurde als potentiellen Energie
„gespeichert“.
b.)
Elastische Energie einer gespannten Feder
Fel = −cx
• A→B:
Federkraft:
Kraft zum Spannen d. Feder: Fsp. = − Fel = + cx
s
s
0
0
A Fsp
B
0
s
x
Wsp. = ∫ Fsp. d x = ∫ cx d x = 12 cs 2
Arbeit beim Spannen:
Diese Arbeit wird als potentielle Energie (hier: elastische Energie) in der Feder gespeichert:
E pot ( A) = 0 → E pot (B ) = 12 cs 2 .
[Gl.1.3.20.]
• B→A:
Auf dem Rückweg verrichtet die Federkraft Arbeit:
0
0
s
s
[
]
WFeder = ∫ Fel d x = ∫ − cx d x = − 12 cx 2 s = + 12 cs 2
0
D.h. die als elast. Energie gespeicherte Arbeit wird wieder frei.
c.)
Potentielle Energie im elektrostatischen Feld
Elektrostatische Kraft:
Q1Q2 1
⋅
4πε 0 r 2
Q1Q2 > 0 ⇒ F > 0 (Abstoßung)
Festat =
Q1Q2 < 0 ⇒ F < 0 (Anziehung)
Q1
0
B
r1
Q2
Festat
A
r
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• A→B:
Eine (Punkt-) Ladung Q2 soll gegen die elektrostatische Abstoßungskraft zwischen Q1 Q2
(Q1Q2 > 0) von A („weit weg“, r → ∞ ) zum Punkt B ( r = r1 ) bewegt werden.
Bem.:
Die Lage des „Energie-Nullpunktes“ ist prinzipiell beliebig. Da aber F → ∞ für
r → 0 , ist es hier nicht sinnvoll, E pot = 0 gerade bei r = 0 festzulegen!
Wir wählen: E pot = 0 für r → ∞
Arbeit, um Q2 von A ( r → ∞ ) nach B ( r = r1 ) zu bewegen:
r1
r1
∞
∞
W = ∫ − Festat d r = ∫ −
Q1Q2 1
⋅ dr
4πε 0 r 2
Q1Q2 ⎡ − 1⎤ 1
QQ 1
=−
⋅⎢ ⎥ = + 1 2 ⋅
4πε 0 ⎣ r ⎦ ∞
4πε 0 r1
Es ist W > 0 , da Q1Q2 > 0 (abstoßende Kraft, Arbeit muß verrichtet werden!).
QQ 1
Bei B hat Q2 deshalb eine höhere potentielle Energie, E pot ( B ) = + 1 2 ⋅
[Gl.1.3.21.]
4πε 0 r1
r
• Bewegt sich Q2 weg von Q1 , so verrichtet die elektrostatische Kraft Arbeit
Bsp. : r1 → r2 , r2 > r1
r2
r2
Q1Q2 1
⋅ dr =
4πε0 r 2
r1
r1
r
Q1Q2 ⎡ − 1⎤ 2 Q1Q2 ⎛ − 1 − 1 ⎞
=
⋅
=
⋅ ⎜ − ⎟⎟
4πε0 ⎢⎣ r ⎥⎦ r
4πε0 ⎜⎝ r2
r1 ⎠
1
Westat = ∫ Festat d r = ∫
⎛1 1⎞
⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ > 0
⎝ r1 r2 ⎠
Diese Arbeit entspricht gerade dem Unterschied der pot. Energie E pot (r1 ) − E pot (r2 ) .
=+
Q1Q2
4πε0
Ergänzung: Ähnliche Formeln gelten für die Gravitation (wenn man nicht nur in der Nähe der
Erdoberfläche bleibt). Auch die Gravitationskraft (anziehend !!!) wird wie 1 r 2 kleiner!
Berechnung der potentiellen Energie eines Kraftfeldes
r r
Geg.: Kraftfeld F = F( x, y, z) , nur vom Ort abh.!
F
B
A
Bewegen Körper in diesem Kraftfeld,
z.B. „per Hand“, gegen dieses Feld, mit
r
r
Kraft Fa = −F von A nach B. Dabei
r
wird von Fa Arbeit verrichtet:
B r
B r
r
r
Wa AB = ∫ Fa d s = − ∫ F d s
A
A
Diese Arbeit wird gespeichert als pot. Energie, die pot. Energie ist bei B also größer als bei A.
B r
r
Wa AB = − ∫ F d s = Epot ( B) − Epot ( A)
A
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S.13/24
Wähle: Nullpunkt der pot. Energie beim Punkt A , dann:
B r
r
Wa AB = − ∫ F d s = Epot ( B) − Epot ( A)
123
A
=0
B r
r
⇒ Epot ( B) = − ∫ F d s
[Gl.1.3.22.]
A
Auf dem „Rückweg“ B Î A (Annahme: Körper kommt unter dem Einfluß des Kraftfeldes
r
wieder zum Punkt A zurück!) leistet das Kraftfeld F die Arbeit !
A r
r
WBA = ∫ F d s = Epot ( B) − Epot ( A)
123
B
=0
In Worten: Vom Kraftfeld verrichtete Arbeit vom Anfangspkt. (hier: B) zum Endpkt. (hier: A)
= Epot(Anfangspunkt) - Epot(Endpunkt)
>0 falls Epot(Anfangspunkt) > Epot(Endpunkt) !
----------------------------------------------------------------------------------------------------------Entsprechend gilt für einen Körper, der sich unter dem Einfluß des Kraftfeldes von A nach B
bewegt (bei Startpunkt A sei wieder E pot = 0 ) für die Arbeit, die dabei vom Kraftfeld
verrichtet wird :
B r
r
WAB = ∫ F d s = Epot ( A) − Epot ( B)
123
A
=0
= − Epot ( B)
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S.14/24
Energieerhaltung
Energieerhaltungssatz der Mechanik:
Ein Körper bewegt sich in einem konservativen Kraftfeld von A nach B:
Durch die Kraft (einzige wirkende Kraft ist gleich res. Kraft!) wird Körper beschleunigt
r
r
( F = ma ) und seine kin. Energie ändert sich:
B r
r
WAB = ∫ F d s = EkinB − EkinA
A
Da Körper sich im Kraftfeld bewegt, ändert sich auch seine potentielle Energie! Es ist …
B r
r
Epot A − Epot B = ∫ F d s
A
Epot A − Epot B = EkinB − Ekin A
Epot A + Ekin A = Epot B + EkinB
[Gl.1.3.23.]
Erhaltung der mech. Energie: Die Summe aus kin. und pot. Energie ändert sich nicht!
Dieser Erhaltungssatz „steckt bereits in den Newton-Gesetzen drin“ (wie auch Impuls-Erh.),
da z.B. die kin. Energie aus Newton-Ges. abgeleitet wurde! E-Erhaltung vereinfacht aber
viele Aufg./Rechnungen !.
Beispiel 1: Masse schwingt an Feder …
… wird mit v = 0 in Höhe h0 (entspr. ungesp. Feder, s = 0!)
• Körper bewegt sich
Ö v( t ) ≠ 0
• Feder wird gespannt
• Höhe ändert sich
sich
Ö kin. Energie
Ö Spannungsenergie
Ö Lageenergie ändert
Anfangswert
bei t = 0
kin. Energie
0
Spannungsenergie
Lageenergie
Gesamtenergie
Energie
(als Fkt. der Zeit t)
2
Ekin ( t ) = 12 m ⋅ v( t )
0
Esp ( t ) = 12 c ⋅ s( t )
mgh0
ELage ( t ) = m ⋅ g ⋅ h( t )
mgh0
Ekin ( t ) + Esp ( t ) + ELage ( t )
„Newton II“ :
Fres
m⋅g −
losgelassen
2
0
v=0
h0
s(t)
h(t)
v(t)
= m⋅a
c⋅s = m⋅a
ma d s
∫ mg d s − ∫ cs d s = ∫12
4 4
3
⇓
mgs − 12 cs2 = 12 mv2
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S.15/24
s( t ) = h0 − h( t ) :
mit
mgh0 - mgh( t ) - 12 cs( t ) = 12 mv( t )
2
2
mgh0 = 12 mv( t ) + mgh( t ) + 12 cs( t )
m.a.W.: 3 zeitabh. Größen, Summe ergibt konst. Wert mgh0 !
2
2
Ekin (t ) + E Lage (t ) + ESp. (t ) = Etot = const. !
Zahlenbsp.:
[Gl.1.3.24.]
c = 100 N/m , m = 1 kg , h0 = 0.3 m
Etot = m g h0 = 2.94 J (siehe auch HO_ENERG.PLT !)
Masse - Feder -Schwinger
E_tot
3
Energie / J
2.5
E_Lage
2
1.5
1
E_Sp
0.5
E_kin
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Zeit t / s
Bsp. 2: Energie beim senkrechten Wurf
Körper wird mit Anfangsgeschw. v0 nach oben geworfen …
Anfangswe
rt bei t = 0
kin. Energie
Lageenergie
Gesamtenergie
1
2
m ⋅ v 02
E L a g e (t ) = m ⋅ g ⋅ h (t )
0
1
2
Energie
(als Fkt. der Zeit t)
2
Ekin ( t ) = 12 m ⋅ v( t )
m⋅v
2
0
Ekin ( t ) + ELage ( t )
„Newton II“ :
Fres = m ⋅ a
−m ⋅ g = m ⋅ a
− ∫ mg d h = ∫ ma d h
12
4 4
3
⇓
− mgh = 12 mv2 − 12 mv02
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1
2
mv02 = 12 mv( t ) + mgh( t )
2
m.a.W.:2 zeitabh. Größen, Summe ergibt konst. Wert
1
2
m ⋅ v02 !
Beim senkr. Wurf kennen wir … v( t ) = v0 − gt , h( t ) = v0t − 12 gt 2 Ö also …
Ekin ( t ) =
1
2
m(v0 − gt ) = 12 mv02 + 12 mg2t 2 − mgv0t
2
ELage ( t ) = mg( v0t − 12 gt 2 ) =
− 12 mg2t 2 + mgv0t
= 12 mv02 + 0
Etot
+ 0
Ekin (t ) + E Lage (t ) = Etot = const. !
[Gl.1.3.25.]
Zusammenfassung Energieerhaltung:
• Gesamtenergie (kin. E. + Pot. E. + … + … ) ist konstant !
• Energie kann nicht vernichtet und nicht erzeugt werden
(vergl. dazu „Entropie“ - diese kann erzeugt aber nicht vernichtet werden siehe Thermodyn./Entropie u. 2. Hauptsatz!)
• Es gibt kein Perpetuum Mobile (1. Art)
(„Perp. Mob. 2. Art“ siehe Thermodyn./Entropie u. 2. Hauptsatz!)
1.3.2.7 Leistung und Wirkungsgrad bei Energieumwandlungen
Leistung = „Arbeit / Zeit“ ( Einh. 1 J/s = 1 W):
W
• mittlere Leistung:
P=
t
dW
P( t ) =
, W = ∫ P( t ) d t
• momentane Leistung:
dt
Bewegung eines Körpers mit Geschwindigkeit v:
[Gl.1.3.26.]
[Gl.1.3.27.]
r r
dW = F ⋅ds
r d sr
r r
dW
= F⋅
= F⋅v
dt
dt
r r
P( t ) = F ⋅ v
[Gl.1.3.28.]
Energieumwandlungen:
Gesamteenergie (bzw. Leistung) wird nur zum Teil in Nutz-Energie (bzw. Leistung)
umgewandelt (Rest z.B. in Abwärme …)
Wirkungsgrad
falls …
• Leistung sofort umgew. wird:
• Energie für einige Zeit zwischengespeichert wird:
PN ( t )
Nutzleistung
=
Pges ( t ) Gesamtleistung
[Gl.1.3.29.]
W
∫ PN d t [Gl.1.3.30.]
ηW = N =
Wges ∫ Pges d t
ηP =
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S.17/24
1.3.3 Stoßgesetze
Anwendung des Impuls- und Energiesatzes auf Stoßprozesse
• Stoßprozesse: (zwei) Körper wechselwirken kurzzeitig miteinander.
• Kraft zwischen c und d wirkt für kurze Zeit ∆t
r
r
⇒ Impulsaustausch ∆p = ∫ F d t
⇒ Energieaustausch
Nicht nur „Stoß“ bei Berührung (elast. Kräfte an Grenzflächen), auch elektrostatische Kräfte,
Gravitation u.a. bewirken („berührungslos“) einen Impuls- und Energieaustausch Ö STOSS !
Bsp.: 2 Billardkugeln, α-Teilchen und Atomkern, Tennisball u. Schläger, Raumsonde u.
Planet, 2 Atom in einem Gas, …
Aufteilung:
• Elastischer Stoß: Kin. Energie bleibt konstant :
Ekin ( nach) + Ekin ( nach ) − Ekin ( vor ) + Ekin ( vor ) = 0
{
1
} {
2
1
2
}
[Gl.1.3.31.]
• Inelastischer Stoß Kin. Energie wird in andere Energieformen umgewandelt :
Ekin1 ( nach) + Ekin2 ( nach) − Ekin1 ( vor ) + Ekin2 ( vor ) = Q , (Q < 0)
{
} {
}
(„endoenergetische Reaktion“)
(Anm.: Q > 0 Ù „exoenergetisch“)
1.3.3.1 Elastischer Stoß
Bezeichnungen:
M.
Geschw., Impuls
vor Stoß
r r
v1 , p1
m1
r r
v2 , p2
m2
Impulssatz:
Geschw., Impuls
nach Stoß
r r
u1 , p1′
r r
u2 , p2′
r
r
r
r
p1 + p2 = p1′ + p2′
r
r
r
r
m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2u2
Energiesatz:
1
2
(1)
r
r
r
r
m1v12 + 12 m2v22 = 12 m1u12 + 12 m2u22
(2)
r r
Können mit (1) u. (2) aus den Geschw. vor Stoß (v1, v2 ) die Geschw. nach dem Stoß
r r
(u1, u2 ) berechnet werden?
Anzahl der Unbekannten :
Anzahl der Gleichungen
Gleichungssystem ist … eind.
lösbar
nicht eind. lösbar
…
…
†
†
Begründung: Wie sieht der elast. Stoß im Schwerpunktsystem aus? Benutzen Sie den
Impulssatz! Kann der Energiesatz eine Aussage über die Richtung der Geschwindigkeiten im
SPS machen ?
Nur im Spezialfall des geraden, zentralen elastischen Stoßes genügen (1) u. (2) allein, um
(u1, u2 ) zu berechnen.
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S.18/24
aus (1):
u1 etc. (ohne Vektorpfeil) für entspr. Vektor-Komponente
(z.B. x-Richtung), vorzeichenbehaftete Größen!
(1’)
m1(v1 − u1 ) = m2 (u2 − v2 )
aus (2)
1
2
1-dim., Schreibweise:
m1( v12 − u12 ) = 12 m2 ( u22 − v22 ) (2’)
Binomialformel bei (2’) anw., (1’) einsetzen Ö lin. Gl., auflösen nach (u1 , u2 ) …
m − m2
2m2
⋅ v1 +
⋅ v2
u1 = 1
m1 + m2
m1 + m2
m − m1
2m1
⋅ v1 + 2
⋅ v2
u2 =
m1 + m2
m1 + m2
Frage : Wie können Sie ohne Rechnung aus der 1. die 2. Formel erhalten?
Sonderfälle:
1.
Gleiche Masse:
[Gl.1.3.32.]
für m1 = m2 ergibt sich …
u1 =
u2 =
2.
3.
Leichter Körper gegen ruhenden sehr schweren (Ball Î Wand)
für m1 << m2 und v2 = 0 ergibt sich …
m − m2
u1 = 1
⋅ v1 + 0 ≈ K
m1 + m2
12
4 4
3
≈K
2m1
u2 =
⋅ v1 + 0 ≈ K
m1 + m2
12
4 4
3
≈K
Leichter Körper gegen bewegten sehr schweren
(Tischtennisball Î Schläger, Auto , Raumsonde Î Planet , etc.)
für m1 << m2 und v2 ≠ 0 ergibt sich …
m − m2
2m2
u1 = 1
⋅ v1 +
⋅ v2 ≈ K
m1 + m2
m1 + m2
12
4 4
3
12
4 4
3
≈K
≈K
m − m1
2m1
u2 =
⋅ v2 ≈ K
⋅ v1 + 2
m1 + m2
m1 + m2
12
4 4
3
12
4 4
3
≈K
≈K
Das Ergebnis läßt sich leicht verstehen, wenn man sich in das Bezugssystem des
bewegten Körpers mit der großen Masse ( m2 ) versetzt.
Bsp.: Ein Ball fliegt mit 100 km/h einem LKW entgegen, der sich ebenfalls mit
100 km/h bewegt. Es ist also v1 = −100 km / h , v2 = +100 km / h .
Der Stoß sei elastisch.
Mit welcher Geschw. sieht der LKW-Fahrer …
a) den Ball auf sich zukommen?
b) den Ball nach dem Stoß wieder wegfliegen?
Welche Geschw. hat der Ball also für einen ruhenden Beobachter?
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… km/h
… km/h
… km/h
S.19/24
1.3.3.2 Inelastischer Stoß
Beim inelast. Stoß ergibt sich auch im 1-dim. Fall (gerader, zentraler Stoß) eine weitere
Unbekannte, die (in Wärme oder andere Energieformen) umgewandelte Energie ∆W :
Impulssatz: m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2u2
Energiesatz: 12 m1v12 + 12 m2v22 = 12 m1u12 + 12 m2u22 + ∆W
Zusatzinform. zur Lsg., z.B. ∆W (absolut oder in %), eine Geschw. nach Stoß , …
Spezialfall: 2 Körper haben nach Stoß gleiche Geschw. (haften aneinander): u1 = u2 = u
m1v1 + m2v2 = m1u + m2u
´
m v + m2v2
u= 1 1
m1 + m2
• Impulserh. genügt, um u zu berechnen!
∆W : Betrachte den Vorgang im SPS, dort wird die gesamte kinetische Energie „vernichtet“!
Warum ? ...........................................................
Berechne die kin. Energie (vor Stoß!) nach „Methode Zweikörperproblem“ (s. dort!). Dann ist
Bewegung der zwei Körper zu ersetzen durch Bew. eines einzigen Körpers mit reduzierter
m ⋅m
2
Masse µ und der Relativgeschwindigkeit, also : ∆W = 12 µ ⋅ (v1 − v2 ) mit µ = 1 2 .
m1 + m2
∆W kann auch aus Energiesatz berechnet werden, wenn u aus Impulserh. bekannt ist …
∆W =
1
2
[m v
2
1 1
+ m2v22 − ( m1 + m2 ) ⋅ u2
]
2
⎡ 2
⎛ m1v1 + m2v2 ⎞ ⎤
2
= ⎢m1v1 + m2v2 − ( m1 + m2 ) ⋅ ⎜
⎟ ⎥
⎝ m1 + m2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
1
2
=
1
2
=
1
2
m12v12 + m22v22 + m1m2 ( v12 + v22 ) − ( m1v1 + m2v2 )
2
m1 + m2
m1m2 ( v12 + v22 − 2v1v2 )
m1 + m2
=
1
2
m1m2
2
⋅ (v1 − v2 )
m1 + m2
[Gl.1.3.33.]
Bsp.1: gleiche Masse m, Körper 2 ruht vor Stoß
Kin. Energie vor Stoß
Evor = 12 mv12
2
Kin. Energie nach Stoß:
in Wärme umgew.
v
Enach = 12 ( 2m)u2 = 12 ⋅ 2m ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 50% ⋅ Evor
⎝ 2⎠
m
2
∆W = 12 ⋅ (v1 ) = 50% ⋅ Evor
2
Bsp.2: Ballistische Pendel (Übungsaufg.!)
1.3.4 Drehimpulserhaltung
… zur Erinnerung : Kap. 1.2.3
„Dynamik der Drehbewegung“
Drehmoment
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S.20/24
r r r
M =r×F
Drehimpuls
ω
r r r
L=r×p
r
dL r
=M
dt
Bsp.: Massenpunkt auf Kreisbahn:
r r r
v = ω×r
r r r r
r r r
r
L = r × p = r × (mv ) = m ⋅ r × (ω × r )
r2 r
r r
= m r ⋅ ω (da r ⊥ω !)
v
m
r
r
dL r
= M Ö Keine Drehimpulsänderung ohne Drehmoment!
dt
r
r r
r
dL r
M=0 ⇔
= 0 ⇔ L = const.
dt
[Gl.1.3.34.]
a.) Zentralkraft:
Ein Körper bewege sich (beschleunigt) unter dem Einfluß einer Kraft, die auf ein (festes)
Zentrum (= Urspr. unseres Koordinatensystems) gerichtet ist (oder von diesem weg zeigt).
Bsp.:
• Masse(punkt) kreist an Seil
• Planeten/Satellitenbewegung
(Gravitationskraft in Richtung auf Zentrum (Erde bzw. Sonne) )
• Coulombkraft (elektrostat. Anziehung zw. Atomkern und Elektron, Abstoßung zwischen
α-Teilchen und Atomkern)
r
r r
r
Bei Zentralkräften ist wegen r F bzw. r ↑↓ F ,
r r r r
r
M = r × F = 0 , L = const.
der Drehimpuls konstant („Flächensatz“, s. a. Kap. WW u. Felder/Grav./Kepler-Gesetze) !
Bsp.: Masse kreist an Seil, Seil wird verkürzt …
Ausgangssituation:
Radius r0 , Geschw. v0 ,
K
Winkelgeschw. ω 0 =
K
1
kin. Energie : Ekin0 = 2 mv02 = 12 ⋅ mr02 ⋅ω 20
Drehimpuls: L = r0 ⋅ mv0 = mr02 ⋅ ω 0
F
Jetzt wird am Seil gezogen,
der Radius verringert auf r < r0 .
Ö Geschw., Winkelgeschw., kin. Energie verändern sich!
¾ Kraft F Ö Arbeit wird verrichtet : W = ∫ F d s
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S.21/24
¾ Auch Kraft ist nicht konstant : F = m ⋅ ω( r ) ⋅ r .
2
¾ Energiesatz: Ekin ( r ) = Ekin0 + ∫ F d s kann erst angewendet werden, wenn ω( r) bekannt ist !
ABER:
• Drehimpuls ist konstant (Zentralkraft!), L = mr02 ⋅ ω 0 = mr 2 ⋅ ω( r ) , Ö ω( r ) =
v( r ) = K
Ö
,
Ekin ( r ) = K
r02
⋅ ω0
r2
Übungsaufgabe: Arbeit W = ∫ F d s berechnen (mit ω ( r ) wie oben!), Energieerh. überprüfen!
System aus mehreren Punktmassen, Kräfte zwischen diesen. Zunächst …
b.) 2 Körper
mB
Keine äußeren Kräfte (genauer:
Drehmomente!)
•
•
•
•
r
r r
Kraft auf A: FBA Ö Moment MA = rA × FBA
r
r r
Kraft auf B: FAB Ö Moment MB = rB × FAB
Geschwindigkeit, Impuls und Drehimpuls
von A und B ändern sich!
r
r r
Gesamtdrehimpuls Ltot = LA + LB bleibt aber
konstant, denn …
r
r
r
d Ltot d LA d LB
=
+
dt
dt
dt
r
r
= M A + MB
r r
r r
= rA × FBA + rB × FAB
r
r r
r
= rA × FBA + rB × − FBA
r
r
r r r
r r
= (rA − rB ) × FBA = 0
da FBA (rA − rB ) !
(
r
d Ltot r
=0
dt
FAB
FBA
rB
vB
y
vA
mA
rA
0
x
)
r
, Ltot = const.
[Gl.1.3.35.]
5
c.) N Körper
Bei N Körpern und ausschließlich inneren
Kräften / inneren Momenten gilt ebenfalls
Erhaltung
des Gesamtdrehimpulses:
r
r
d Ltot r
= 0 , Ltot = const. .
dt
Begr.: Drehmomente auf Grund innerer Kräfte
ergeben paarweise Null (wie oben im Fall
N=2 !)
1
4
y
0
x
2
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3
S.22/24
Rechnung:
r
r
r
d Ltot
d Li
=∑
= ∑ Mi
dt
i dt
i
r⎞
r ⎛
= ∑ ri × ⎜ ∑ Fji ⎟
⎝ j ≠i ⎠
i
r r
r r
=K+K ri × Fji +K+K+ rj × Fij +K
r
r r
=K+ ri − rj × Fji +K
142
43
r
=0
r
=0
(
)
Drehimpulserhaltung:
• In einem System aus Punktmassen, auf das keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der
r
Gesamtdrehimpuls (-Vektor) Ltot erhalten.
r
• Nur ein (resultierendes) äußeres Drehmoment Ma bewirkt eine Änderung des
r
r
d Ltot
= Ma
Gesamtdrehimpulses gemäß
dt
1.3.5 Arbeit bei Drehbewegungen, Rotationsenergie
Drehmoment wirkt auf Körper Ö bewegt diesen Ö verrichtet
Arbeit !
Drehung um (infinitesimalen) Winkel d ϕ , beschrieben durch
r
Vektor d ϕ
() Achtung: nur Drehungen um infinitesimale Winkel
können als Vektor beschr. werden!)
dφ
ds
dφ
(Richtung: Drehachse, Rechte-Hand-Regel!)
Ö Bewegung um
Ö Arbeit
r
r r
r
d s = d ϕ × r (*)
r
r
r ds dϕ r r r
(Anm.: Nach (*) ist … v =
=
× r = ω × r !)
dt
dt
r r r r r
dW = F⋅d s = 1
F4
⋅ d2
ϕ4
×3r
[Gl.1.3.36.]
"Spatprodukt"
Regeln für Spatprodukt (Î Mathe-) … „zyklisch vertauschen“
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S.23/24
r r r
r
r r
dW = d ϕ⋅ r × F = r × F ⋅dϕ
123
r
=M
r r
dW = M ⋅dϕ
r r
W = ∫ dW = ∫ M ⋅dϕ
(
) (
)
[Gl.1.3.37.]
r
r r
Bsp.1 : konst. Drehmoment: M = M = const. , M d ϕ
W=
ϕ2
∫ M ⋅ d ϕ = M (ϕ
2
− ϕ1 )
ϕ1
Bsp. 2: Arbeit die Torsionsfeder verrichtet , M = −c*ϕ
ϕ2
W = ∫ −c*ϕ ⋅ d ϕ = 12 c* ( ϕ12 − ϕ22 )
ϕ1
Energie in Feder gespeichert !
Wird Körper zu Rot.-Bew. beschleunigt
kin. Energie der Rotation
Ö
2 2
Ekin = 12 mv2 = 12 mr
{ω
=J
Ekin = 12 mv2 = 12 Jω 2
Dabei ist J das Massenträgheitsmoment (hier: einer Punktmasse).
Forts. …Vergleich
Translation
Rotation
Masse m
r
Wegelement d s
r r
Arbeit W = ∫ F ⋅ d s
r
r 2 p2
Transl.-Energie Ekin = m ⋅ v =
2m
r
r
dW
Leistung P =
= F ⋅v
dt
1
2
(Massen-)Trägheitsmoment J
r
Drehung um inf. Winkel d ϕ
r r
Arbeit W = ∫ M ⋅ d ϕ
r2
r
L
Rot.-Energie Ekin = 12 Jω 2 =
2J
r v
P = M ⋅ω
Physik_1_3_Erhaltungssaetze.doc, Prof. Dr. K. Rauschnabel, HHN, 08.05.2006 00:07
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