Lösungsvorschlag 9. Serie Aufgabe 22 Der Ausgang des Spiels für

Lösungsvorschlag 9. Serie
Aufgabe 22
Der Ausgang des Spiels für Spieler A liefert bei jedem Münzwurf eine Zufallsvariable Xi , welche
die Werte 1 und −1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 21 annimmt. Der Kontostand Kn von Spieler
n
P
Xi .
A nach n Spielen ist dann die Zufallsvariable Kn =
i=1
Um die Ergebnisse aus der Vorlesung über die Approximation der Binomialverteilung durch die
Standardnormalverteilung anwenden zu können, betrachten wir die Zufallsvariable Yi = 21 (1 +
Xi ). Diese nimmt den Wert 1 an, wenn A gewonnen hat und den Wert 0 sonst, sie ist also eine
Zählvariable für die Gewinn-Fälle. Damit gilt für die Summe dieser Zählvariablen
Sn =
n
X
Yi =
i=1
n
X
1
1
(n +
Xi ) = (n + Kn )
2
2
i=1
und somit
Kn = k ⇐⇒ Sn =
n+k
2
q
Wir wissen aus der Vorlesung, daß Sn binomialverteilt ist B(n, 21 ) mit µ = n2 und σ = n · 21 · 12 =
1√
2 n. Für diese Verteilung können wir näherungsweise die Standard-Normalverteilung verwenden:
!
n+k
n
−
k
n+k
2
2
=Φ √
p(Kn ≤ k) = p(Sn ≤
)≈Φ
1√
2
n
2 n
a) Damit erhalten wir für alle k ∈ IN und somit auch für k = 100
n+k
n+k
≤ Sn ≤
) ≈ 2Φ
p(−k ≤ Kn ≤ k) = p(−
2
2
k
√
n
−1
und wegen der Stetigkeit der Verteilungsfunktion konvergiert für n → ∞ der Ausdruck auf
der rechten Seite gegen 2Φ(0) − 1 = 0.
b)
√
√
√
√
n+ n
n+ n
p(− n ≤ Kn ≤ n) = p(−
≤ Sn ≤
) ≈ 2Φ (1)−1 ≈ 2·0.84134−1 = 0.68268
2
2
Aufgabe 23
Die Variable Sn ist
p binomialverteilt gemäß B(n, p) mit Erwartungswert µn = np und Standardabweichung σn = np(1 − p).
a) Wir verwenden die Approximation durch die Standardnormalverteilung und erhalten
Sn
0.01n
0.95 ≤ p −0.01 ≤
− p ≤ 0.01 = p(−0.01n ≤ Sn − np ≤ 0.01n) ≈ 2Φ
−1
n
σn
Umstellen liefert die Forderung
Φ
0.01n
σn
≥
1 + 0.95
= 0.975
2
Mit dem Tabellenwert Φ(1.96) = 0.97500 erhalten wir daraus (aufgrund der Monotonie einer
Verteilungsfunktion)
√
0.01n
0.01n
0.01 n
=p
=p
≥ 1.96
σn
np(1 − p)
p(1 − p)
1
p
√
b) Das Ergebnis aus a) liefert als Abschätzung
p für n also n ≥ 196 p(1 − p). Da p unbekannt
ist, müssen wir den maximalen Wert für p(1 − p) einsetzen, um die Abschätzung für jedes
beliebige p zu gewährleisten. Die Wurzelfunktion ist monoton wachsend, das Maximum wird
2
also beim Maximum der Funktion p(1−p) = p−p
angenommen, einer nach unten geöffneten
1 1
Parabel mit Scheitelpunkt (p, p(1−p)) = 2 , 4 (wie man weiß oder z.B. durch Nullsetzen der
p
√
Ableitung erkennt). Wir erhalten also als hinreichende Bedingung für n ≥ 196 p(1 − p):
r
√
1
n ≥ 196
= 98
4
und daraus n ≥ 982 = 9604.
p
c) Ist bekannt, daß gilt p ≤ 0.1, so liefert die Monotonie der Funktion p(1 − p) über dem
Intervall [0, 0.1], daß das Maximum dann für p = 0.1 angenommen wird. Wir erhalten somit
eine kleinere untere Schranke für n
√
√
√
n ≥ 196 0.1 · 0.9 = 196 0.09 = 196 · 0.3 = 58.8
und somit n ≥ 58.82 = 3457.44, es reicht also die Befragung von 3458 Personen.
2