∫∞ ∫∞ ∫∞ ∫∞ ∫∞

Georg Kuschk - Stochastik Serie 6
Bisher nur :
Aufgabe 6.1 :
???
Aufgabe 6.2 :
a)
charakteristische Funktion der Gammaverteilung :
λa − λx a −1
ϕ X (t ) = E( e ) = ∫ e ⋅ f λ , a ( x )dx = ∫ e ⋅
e ⋅ x dx
0
0
Γ( a)
λa ∞ a−1 ( it−λ ) x
λa ∞ a−1 −( λ −it) x
λa
=
x
⋅
e
dx
=
x
⋅
e
dx
=
Γ( a ) ∫0
Γ(a ) ∫0
Γ( a ) ⋅ (λ − it ) a
itX
=
∞
∞
itx
λa
λ 
⋅ Γ(a ) = 

a
Γ(a ) ⋅ (λ − it )
 λ − it 
itx
∫
∞
0
x a−1e − x dx
a
charakteristische Funktion der Exponentialverteilung :
Da die Exponentialverteilung Spezailfall der Gammaverteilung für a=1 ist, lautet hier die
charakteristische Funktion ϕ X (t ) =
λ
.
λ − it
b)
Nach dem Additionstheorem der Gammaverteilung gilt, dass die Summe zweier
Γ ( a, λ) - bzw. Γ (b, λ ) -verteilter unabhängiger Zufallsgrößen Γ ( a + b, λ ) -verteilt ist.
ξ1 + ... + ξn
ist somit Γ ( n, λ ) -verteilt.
Die Summe
( ξ i unabhängig und
Γ (1, λ ) -verteilt
i=1,...,n)
Aufgabe 6.3 :
VORSICHT ! – bin mir hier SEHR unsicher
Seien
Zi die zu rundenden Zahlen und X i ∈ [− 0.05,+0.05] die jeweiligen Rundungsfehler , i=1,...,1000
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der absolute Fehler einer Summe von 1000
gerundeten Zahlen kleiner als 2 ist.
Lösung : Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes
Seien n die Anzahl der zu rundenden Zahlen und δ der maximale Betrag des absoluten Fehlers der Summe.
n
Summe der Rundungsfehler :
Sn = ∑ X i
i =1
− 0.05 + 0.05
=0
2
1
1
(0.05 − ( −0.05)) 2 =
12
120
Da die zu rundenden Zahlen nicht voneinander abhängen, sind die Rundungsfehler X i also unabhängig.
E( Xi ) =
Desweiteren ist
Var ( X i ) =
Sn asymptotisch normalverteilt.
Es ist also Var ( Sn ) =
n
n
= σ2 ⇒σ =
120
120
, n>0
Und somit gilt
Für

120 
δ 
−δ 
δ 
 −1
P( −δ < Sn < δ ) = Φ   − Φ 
 = 2 ⋅ Φ  −1 = 2 ⋅ Φ δ

n
σ 
 σ 
σ 


δ = 2 und n=1000 ergibt sich somit
(
)

120 
 − 1 = 2 ⋅ Φ 2 0.12 − 1 ≈ 2 ⋅ Φ (0.693) − 1
P( −2 < S n < 2) = 2 ⋅ Φ  2

 1000 
≈ 2 ⋅ 0.7549 − 1 ≈ 0.5098
D.h. der absolute Fehler der Summe von den 1000 Zahlen ist mit 51%iger Wahrscheinlichkeit kleiner als 2 .
Aufgabe 6.4 :
a)Chebyshev-Ungleichung
???
b) zentraler Grenzwertsatz
VORSICHT ! – bin mir hier SEHR unsicher
n
 1, Schneiden
Xi = 
und
Sn = ∑ X i
0, nichtSchneiden
i =1
S
Der Fehler n − p soll mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 kleiner als 0.01 sein.
n
Sei
S

P n − p < 0.01 ≥ 0.99
 n

 S n − np
0.01n 
P( Sn − np ≤ 0.01n ) = P
≤
 np(1 − p )
np(1 − p ) 

1
1 2 1
1
Wegen p (1 − p) = − ( p − ) ≤
für alle p ∈ [0,1] ist
p (1 − p) ≤
4
2
4
2
 S n − np
 Sn − np

0.01n 
⇒ P
≤
≥ P
≤ 0.02 n  *
 np (1 − p )
 np(1 − p)

np(1 − p ) 



D.h.
Für grösser werdende n wird der zentrale Grenzwertsatz wirksam ( N(0,1)-Verteilung ),
d.h. * wird durch
Φ (0.02 n ) − Φ ( −0.02 n ) = 2Φ( 0.02 n ) − 1 approximiert.
⇒ 2Φ (0.02 n ) − 1 = 0.99 ⇒ Φ ( 0.02 n ) = 0.995 ⇒ 0.02 n ≈ 2.58 ⇒ n ≈ 16641
Um die gewünschte Genauigkeit von π zu erreichen, müssen also mindestens 16641
Versuche durchgeführt werden.