( ) ( ) Statistik

Statistik
Übung 8
Lösungskommentare
B ist richtig.
Aufgabe 1
(
)
Zu A: P B A ≠ P ( B ) ⇒ A und B sind nicht unabhängig.
Zu B:
P ( A) =
P ( A ∩ B)
P ( B A)
= 0,8
⇒ P ( A) × P (C ) = P ( A ∩ C )
Also sind A und C unabhängig.
Zu C: P ( A ) = 0,8 (vgl. B)
Zu D: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) ≠ P ( A ) + P ( B ) , da P ( A ∩ B ) = 0, 7 ≠ 0.
Zu E: Aus P ( B ∩ C ) = 0 würde folgen:
P ( B ∪ C ) = P ( B) + P (C ) − P ( B ∩ C )
= 0,9 + 0,5 − 0
= 1, 4.
Aufgabe 2
A und D sind richtig.
∞
xλe−λx dx
0
E(X) = ∫
∞
−λx
 e−λx 
∞ e
dx
=  λx
 − ∫0 λ
−λ 
−λ

0
∞ −λx
e dx
0
= 0−0+∫
( )=∫
E X
∞ 2 −λx
x λe dx
0
2
∞
 e−λx 
1
1
=
=
 = 0−
−λ λ
 −λ  0
∞
 e−λx 
e−λx
∞
=  λx
dx
 − ∫0 2 xλ
−λ 
−λ

0
∞
0
2 ∞
xλe−λx dx
∫
0
λ
2
= 0 − 0 + 2 ∫ xe−λx dx =
=
2
2 1
× E(X) = × =
λ
λ λ λ2
( ) − ( E ( X ))
⇒ Var ( X ) = E X
2
2
2
1
1
=
−
=
2  λ 
λ
λ2
2
2
B, C und E sind richtig.
Aufgabe 3
1
1
xy + x +
0 
 x2 x2 1 
1
1
3
+
+ x  = y + für 0 ≤ y ≤ 1.
dx =  y

4
2 4 
2
4
 2
0
1
xy + x +
0 
 y2
1
1 
1
1 3 1
=
dy
 x + xy + y  = x + x + = x + für 0 ≤ x ≤ 1.

4
4 
2
4 2
4
 2
Zu A: fY ( y ) = ∫
Zu B: f X ( x ) = ∫
1
0
Zu C:
3
3 
1
1 1
1 1
E (Y ) = ∫ y × fY ( y ) dy = ∫ y  y +  dy = ∫  y2 + y  dy
0
0 2
0
4
4 
2
1
 1 y3 3 y2 
1 3 13
= × + ×  = + =
 2 3 4 2  0 6 8 24
Zu D:
(
f X x y = E (Y )
)
13 

f XY  x, y = 
24 

=
=
13 

fY  y = 
24 

 13  1
x 1 +  +
 24  4 = 74 x + 12
1 13 3
49
49
× +
2 24 4
Zu E:
12 
1
1  74
E X y = E (Y ) = ∫ xf X x y = E (Y ) dx = ∫ x  x +  dx
0
0  49
49 
(
)
1  74 2
x
0  49
=∫
Aufgabe 4
(
)
1
 74 x 3 12 x 2 
12 
74 12 92
+ x  dx =  × + ×  =
+
=
49 
147 98 147
 49 3 49 2 
0
C und D sind richtig.
Zu A:
P ( X1 < 3) = P ( X1 = 0 ) + P ( X1 = 1) + P ( X1 = 2 )
 10 
 10 
 10 
=   × 0,10 × 0, 910 +   × 0,11 × 0,99 +   × 0,12 × 0,98
 0
1
 2
= 0, 3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0, 9298
Zu B: VarX1 = 10 × 0,1(1 − 0,1) = 0,9
Zu C: P ( X2 ≥ 10 ) = 1 − P ( X2 ≤ 9 ) = 1 − FX2 ( 9 ) = 1 − 0, 9919 = 0, 0081
Zu D: E ( X2 ) = 4
Zu E: Var ( X2 ) = 4 ⇒ σ X2 = 4 = 2
3
A und E sind richtig.
Aufgabe 5
Zu A:
P ( −σ ≤ X ≤ σ ) = P ( X ≤ σ ) − P ( X ≤ −σ ) = P ( X ≤ 1) − P ( X ≤ −1)
= P ( X ≤ 1) − 1 − P ( X ≥ −1)  = P ( X ≤ 1) − 1 − P ( X ≤ 1) 
= 2 P ( X ≤ 1) − 1 = 2 × 0,8413 − 1 = 0,6826.
Oder: Im Glossar ist P ( −1 ≤ X ≤ 1) direkt mit 0,6827 angegeben.
Zu B: Sei Z eine N ( 0, 1) -Verteilung. Dann ist aber nur
 (µ − σ ) − µ
(µ + σ) − µ 
P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = P 
≤Z≤

σ
σ


= P ( −1 ≤ Z ≤ 1) = 0, 6827
wegen A. B gilt also nur für µ = 0.
(
)
Zu C: a − bX ist N a − bµ, b2σ2 -verteilt.
Zu D:
(
)
bX2 ist N ( bµ2 , b2 × σ22 ) -verteilt.
aX1 ist N aµ1, a2 × σ12 -verteilt.
(
(
⇒ aX1 + bX2 + c ist N aµ1 + bµ2 + c, a2σ12 + b2σ22
Aufgabe 6
)) -verteilt.
D ist richtig.
Sind die Zufallsvariablen X1, X2 ,..., Xn poisson-verteilt mit den Parametern µ1, µ2 ,..., µ n und stochastisch
unabhängig, so ist X = ∑ Xi poisson-verteilt mit dem Parameter µ = ∑ µi
µ = 9 : P ( X > 8) = 1 − P ( X ≤ 8)
= 1 − 0, 4557 = 0,5443
Aufgabe 41
[0,20; 0,24]
Es sei A das Ergebnis, dass das Stück von Maschine A kommt, B, C entsprechend. F sei das Ereignis, dass das
Stück fehlerhaft ist. Dann gilt:
400
100
500
P ( B) =
= 0, 4
= 0,1 P ( C ) =
= 0, 5.
1000
1000
1000
P ( F A ) = 0, 01
P ( F B ) = 0, 04
P ( F C ) = 0, 02
P ( A) =
P (F F ) =
=
P ( B) × P ( F B)
P ( A) × P ( F A) + P ( B ) × P ( F B ) + P (C ) × P ( F C )
0, 4 × 0, 01
 4
= 0.22222  = 
0, 4 × 0, 01 + 0,1× 0, 04 + 0, 5 × 0, 02
 18 
4
Aufgabe 42
[0,30; 0,31]
Sei X ∼ N ( 255;10 ) - und Z ∼ N ( 0; 1) , dann gilt:
 X − 255 250 − 255 
<
P ( X < 250 ) = P 
 = P ( Z < −0,5)
10
 10

= P ( Z > 0,5) = 1 − P ( Z ≤ 0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085.
Aufgabe 43
[0,545; 0,550]
X sei eine Zufallsvariable, die die Anzahl der defekten Transistoren widergibt. Dann kann X als B (1700; 0, 01) verteilt angesehen werden. Gesucht wird die folgende Wahrscheinlichkeit:
P (1700 × 0, 01 ≤ X ≤ 1700 × 0, 02 ) .
Wegen n × P × (1 − P ) = 1700 × 0, 01× 0,99 = 16,83 > 9 , ist X näherungsweise N (17; 4,102 ) -verteilt. Unter
Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur kann dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit wie folgt approximiert
werden:
P (17 − 0, 5 ≤ X ≤ 34,5 ) = P ( −0, 5 ≤ X − 17 ≤ 17,5)
 −0,5 X − 17 17, 5 
= P
≤
≤

 4,102 4,102 4,102 
≅ P ( −0,12 ≤ Z ≤ 4,27 )
= FZ ( 4,27 ) − FZ ( −0,12 )
= FZ ( 4,27 ) − 1 + FZ ( 0,12 )
= 1 − 1 + 0,5478
= 0, 5478.