∑ ∑

Lagemasse, Lokationsmasse
Lageparameter. Charakterisierung das Zentrum der Daten
Deskriptive Statistik2
Durchschnittswert (der arithmetische Mittelwert)
=average(...)
=Mittelwert(...)
n
x
x1 x 2 x n
n
¦x
i
i 1
n
Modus (Modalwert, Dichtemittel): der Wert mit der
größten Wahrscheinlichkeit;
der häufigste Wert einer Häufigkeitsverteilung
=mode(...)
=Modalwert(...)
Median (Zentralwert): halbiert eine Stichprobe.
Anzahl der Daten der Stichprobe kleiner als Median =
= Anzahl der Daten der Stichprobe größer als Median
xmed
­ x( n 1) / 2 falls n ungerade
®
¯( x n / 2 x( n / 21) ) / 2 falls n gerade
=median(...)
=Median(...)
2
KAD 2014.09.18
Durchschnittswert (der arithmetische Mittelwert)
x1
x2
Altersaufbau der deutschen Bevölkerung
x3
Unimodal: die Verteilung hat nur einen Gipfel
Bimodal: die Verteilung hat zwei Gipfel.
Multimodal: die Verteilung hat mehrere Gipfel.
1989-43=1946
x
n
¦ (x
i 1
i
x)
¦x ¦x ¦x
i
x
i
nx
0
x
3x
23 J
Die Summe der Abweichungen
der Daten von diesem Wert ist
gleich Null.
n
x
x1 x 2 x n
n
¦x
i 1
n
i
=average(...)
=Mittelwert(...)
3
4
Weitere Beispiele
Linkssteile bzw. rechtschiefe Verteilung
f(x)
=skew(...) > 0
=Schiefe(...) > 0
MaxwellBoltzmannVerteilung
x
Modus Median Durchschnitt
Komplexität
der Tiere
z.B. Einkommensverteilungen in einem Land:
Der Großteil der Bevölkerung verdient relativ wenig,
während es nur wenig Leute gibt, die sehr viel verdienen.
5
6
www.vordenker.de/if_gould/images/verteilung.gif
Linksschiefe bzw. rechtssteile Verteilung
Daten und ihre Durchschnittswerte
f(x)
=skew(...) < 0
=Schiefe(...) < 0
Durchschnitt
Median
Modus
Die Daten
streuen um
den Durchschnittswert.
x
z.B. Dauer einer
Schwangerschaft
7
Pulsfrequenzen (1/Min)
Pr.Buch Abb. 10
8
Streuungsmasse (Variabilitätsmaße,
Variationsmaße)
Mass für die Streubreite von Daten
Streuungsparameter.
Charakterisierung der Variation der Daten
Standardabweichung
(Streuung der
Messdaten, s):
die mittlere Abweichung
vom Durchschnitt:
das Quadrat der Streuung,
die mittlere quadratische
Abweichung, auch als
Varianz bezeichnet:
Spannweite: xmax-xmin
n
¦(x
s
i
x)
n 1
0 D 1
(seien dazu die xi aufsteigend sortiert):
xD
2
i 1
D-Quantil
=stdev(...)
=Stabw(...)
­ x>nD @1 falls nD keine ganze Zahl ist
®
¯( x nD x nD 1 ) / 2 falls nD ganzzahlig ist
x1/4 – unteres Quartil
x3/4 – oberes Quartil
x1/10 – unteres Dezil
x9/10 – oberes Dezil
=Quartil(...)
halber Quartilabstand : (x3/4 – x1/4)/2
n
s2
¦ ( x i x )2
i 1
n 1
=var(...)
=Varianz(...)
=max(...)-min(...)
mit Wörter: z.B. Dezile
Durch Dezile (lat. „Zehntelwerte“) wird die Verteilung in
10 gleich große Teile zerlegt. Unterhalb des dritten
Dezils liegen 30 % der Verteilung.
9
10
f(x)
rechtsschiefe
Verteilung
Perzentilenkurven
sind ein Werkzeug
für den Arzt.
x
Modus Median Durchschnitt
Wachstums- und
Gewichtskurven
für Mädchen
=percentile(...)
=Quantil(...)
11
Skalentypen
zulässige LageParameter
zulässige StreuungsParameter
Nominalskala
Modus
–
Ordinalskala
Modus, Median
–
numerische Skalen
Modus, Median,
Durchschnittswert
Spannweite,
Quartilabstand,
Standardabweichung
12
Häufigkeitsverteilung
Häufigkeitsdichte
h: Körperhöhe
'N
'h
'N
'h
H: kollektive Höhe,
Gesamthöhe
Spektrum
'H
'h
§ 1 ·
¨¨
¸¸
© 10 cm ¹
§ 1 ·
¨¨ 10 cm ¸¸
©
¹
Fläche
unter der
Kurve: n
'H
'h
Fläche
unter der
Kurve: H
H
h
160 170 180 190 200 210
Spektrum als eine spezielle Häufigkeitsverteilung
13
160 170 180 190 200 210
h (cm)
h (cm)
14
Position des Medians und des Durchschnitts einer Verteilung (1)
Emissionsspektrum:
wie verteilt sich die
emittierte Energie über
die Photonenenergien
'E
'H
'N
'x
Apunktierte = Aschraffierte
50%
50%
charakteristische Größe
des Energietransports:
Intensität
'J
'O
x
'N
'x
J
Median
Schwerlinie
Benützung der
Wellenlänge ist
bequemer als die der
Photonenenergie
15
Durchschnitt
x
16
Ergänzungsmaterial
Summen- (kumulierte/kumulative) Häufigkeitsverteilung
Position des Medians und des Durchschnitts einer Verteilung (2)
Flächenhalbierungslinie
der Häufigkeitsverteilung
Flächenhalbierungslinie
des Spektrums
SummenHäufigkeitsverteilung
'H
'h
'N
'h
N
14
10
8
6
4
2
0
150
'N
'h
§ 1 ·
¸¸
¨¨
© 10 cm ¹
HäufigkeitsdichteVerteilung
M=N0-N
0
Median
„SummenHäufigkeitsverteilung”
h
Durchschnittswert
relative
„SummenHäufigkeitsverteilung”
kumulatives
Überleben
nach der
Operation
170
180
190
200
210
220
h (cm)
5
DD-”Spektrum”
4
3
2
1
160
170
180
190
200
210
220
14
12
ID-”Spektrum”
10
8
6
4
2
0
150
17
160
6
0
150
0
Wieviele
Werte sind
kleiner als h?
12
h (cm)
Wieviele
Werte sind
grösser als h?
h (cm)
160
170
180
190
200
210
220
18
Überlebenskurven
Quantile und die relative
Summenhäufigkeitsverteilung
Wirkung der Chemotherapie. Pankreaskarzinom
rot: ohne Gemcitabin
Fi
grün: mit Gemcitabin
(Chemotherapie)
0,9
0,75
Coulter
Zähler
1
0,25
0,1
x
xmax
xmin
unteres oberes
unteres
Quartil Quartil
Dezil
oberes
Dezil
Quartilabstand
Überleben, Tage
20