Physics II

Physics II
Stefan Rickli
Januar 2015
Inhaltsverzeichnis
20 (Selbst-)Induktivität
21 Ampere-Maxwell equation
I Elektrostatik
1 Ladung
IV Maxwell-Gleichungen
Wellen
2 Coulombkraft
22 Maxwell Gleichungen
3 Elektrisches Feld
23 Elektromagnetische Wellen
4 Gausssches Gesetz für elektrische Felder
5 E-Feld mit Gausschem Gesetz berechnen
6 Elektrostatisches Potential
und
EM-
V Moderne Physik
24 spezielle Relativitätstheorie
7 Poissongleichung
25 Fundamentale Eekte der speziellen Relativitätstheorie
8 Dielektrika
26 Äquivalenzprinzip und allgemeine Relativität
9 Kapazität
VI Einführung in die Quantenmechanik
II Magnetostatik
27 Energie eines Photons
10 Dierences between electric and magnetic
elds
28 Impuls eines Photons
11 Elektrischer Strom
12 Lorentzkraft
13 Gausssches Gesetz für Magnetfelder
14 Ampèresches Gesetz
15 Magnetischer Fluss
16 Gesetz von Biot-Savart
17 Vektorpotenzial
III Elektrodynamik
18 Induktions- / Faradaysches Gesetz
19 Ohmsches Gesetz
29 Compton Scattering
30 de Broglie Wellenlänge
31 Einstein Coecients
32 Schwarzkörperstrahlung
33 Heisenbergs Unschärfegesetz
34 Frequenz / Wellenlänge / Impuls / Energie
VII moderne Quantenmechanik
35 Wellenfunktion
36 Schrödingergleichung
VIII Appendix
37 Konstanten
38 Einheiten
39 Bewegungsgleichungen
40 Physikalische Gesetze
41 Drehmoment und Drehimpuls
42 weitere physikalische Gegebenheiten
43 Analysis
44 Kettenregel
45 Taylor-Entwicklung
46 Deltafunktion
47 Nullstellen von trigonometrischen Funktionen
48 Symmetrieargument
49 DGLs
Teil I
3.3 E-Feld innerhalb einem el. Leiter
Elektrostatik
External electric eld exert a force that causes the move-
1 Ladung
charges separate, resulting in positive and negative regions
Ladungen
is reached in which the induced charges are exactly the right
•
that opposes the eld of the external charge. An equilibrium
size to cancel the external eld throughout the interior of the
haben ein Vorzeichen
• Qtot
•
ment of charges in a conductor. The positive and negative
conductor. Thus, the electrostatic eld inside a conductor ise
= 0
sind quantisiert durch Elementarladung:
Q = N e, N ∈ Z
zero.
1.1 Ladungsdichte
ˆ
~ =0
E
˚
1 · dQ =
Q=
ρ(x, y, z) · dxdydz,
ρ=
V
∆Q
∆V
~ = 0
• E
[Q] = C
• ρ=0
im Leiter, aufgrund der Inuenz (Ladung ver-
schiebt sich solange, bis
→
im Leiter
~ = 0.
E
Ladung nur auf der Oberäche
• φ = const. im Leiter & auf der
~
• E⊥S
in der nähe des Leiters
2 Coulombkraft
Oberäche
3.4 E-Feld in einer metallischen Höhle
F~C =
∇2 φ = 0
1 q1 q2 ~r12
4π0 |~r12 |2 r12
⇒ φ = const
[F ] = N
q1 · q2 > 0
überall
im Metall
~ = 0.
⇒E
1
4π0
~
E(r)
=
Es gilt stets das Superpositionsprinzip.
˚
V
ρ(r~0 )
(~r − r~0 ) d3 r~0
|~r − r~0 |3
Die Formel erfüllt zwar das Gausssche Gesetz und den Di-
3 Elektrisches Feld
vergenzsatz. Häug ist es aber einfacher, das Potential zu
Das elektrische Feld ist deniert als resultierende Kraft auf
q0 .
berechnen und
−∇Φ
zu bilden.
4 Gausssches Gesetz für elektrische Felder
~
~ = F
E
q0
4.1 globale Form
[E] =
N
C
=
‹
V
m
ΦEl =
|{z}
Die Richtung des Feldes ist jene Richtung der Kraft, welche
Flux
~ · dS
~ = E · S · cos θ = Qin
E
0 r
|{z}
| S {z }
eingeschlossene Ladung
E-Feld
das Feld auf eine positive Ladung ausüben würde.
[Q] = C
3.1 E-Feld einer Punktladung
~ =
E
φ = const.
3.5 E-Feld einer allg. Ladungsverteilung
: Ladungen stossen sich ab.
eine (kleine) Probeladung
in der Höhle und
Es
net
1
q ~r12
4π0 |~r12 |2 |~r12 |
darf
nur
werden,
mit
wenn
der
das
relativen
Material
Permittivität
linear
und
r
gerech-
isotrop
ist!
3.2 Elektrisches Feld nahe einer Oberäche
•
¸
~ s=0
Ed~
• φ = const
und
~ =0
E
im Leiter
Äquipotentialäche
⇒ Etangential = 0
~ = −∇φ
~ ⇒ E
~ senkreht
⇒ E
im Leiter
zur
Suche Ladung:
Integral benutzen, dabei nur Flächen be-
rücksichtigen, durch die auch E-Feld dringt.
~ = σ n̂
⇒E
0
Mit der Flächenladungsdichte
σ.
Suche Feld: Symmetrien nutzen, Stellen suchen, wo E-Feld
homogen und zur Integraläche senkrecht steht. Integral auflösen und nach E umstellen.
4.2 lokale Form
6.3 Energie eines Ladungspaares
~ ·E
~ = ρ
∇
0 r
Eine Ladung
q2
wird an die Stelle (2) vom Unendlichen her-
angebracht. Das System hat dann die potentielle Energie
[ρ] =
C
m2
Funktioniert gut, um bei bekanntem Feld die Ladung zu
U = q2 · φ1 (2) = q1 · φ2 (1) =
q1 · q2
4π0 |~r1 − ~r2 |
berechnen.
q1 ,
Dasselbe gilt auch für
Ausserdem gilt aufgrund der Denition des Potentials:
welches nach (1) gebracht wird.
7 Poissongleichung
~ ×E
~ =0
∇
Die Poissongleichung folgt aus der Anwendung des Gausschen
5 E-Feld mit Gausschem Gesetz berechnen
jedes beliebige Volumen aufgestellt werden.
Dies ist vor allem bei gegebenen Raumladungsdichten nütz-
~
• E
~
• E
parallel zu S:
~
• E
konstant oder Null auf einem Teil von S:
senkrecht zu
Gesetzes und der Denition des Potentials. Sie kann also für
~ · ~n = 0
E
~ · ~n = |E|
~
S: E
lich: Für jeden Abschnitt Poissongleichung aufstellen und
Randbedingungen aufstellen.
E-Feld kann aus Integral gezogen werden.
¸
~ S
~ = |E|
~
Ed
S
¸
~ =
dS = |E|S
S
∆φ = −
Qin
0
ρ
0 r
7.1 Laplacegleichung
6 Elektrostatisches Potential
Im Fall, wenn
Denition:
ρ=0
in einem Volumen gilt, wird die Pois-
songleichung auch Laplacegleichung genannt. Die Lösung der
~ = −∇φ
E
PDG ist dann besonders einfach.
ˆ
b
~ · d~`
E
V = φ(B) − φ(A) = −
∆φ = 0
a
[φ] = [V ] = V
Das Einführen der skalaren Grösse Potential ist meist von
Vorteil, da sich die vektoriellen Gleichungen auf eine skalare
Gleichung reduzieren und trotzdem alle Information behalten bleiben.
Der
8 Dielektrika
Bei einem Dielektrikum kann das externe Feld nicht komplett durch Ladungsverschiebungen im Innern ausgeglichen
werden. Es können sich nur die el. Dipole entlang des Kom-
Nullpunkt
ist
willkürlich.
Was
wichtig
ist,
ist
die
Potenzialdierenz.
Das Kompensationsfeld ist (bei linearen, isotropen Materia-
Für das absolute Potential wird der Nullpunkt im Unendlichen gewählt:
ˆ
~ · d~`
E
∞
6.1 Potential einer Punktladung
φ(x, y, z) =
q 1
4π0 r
6.2 Potential und Arbeit
Die Arbeit, um eine Ladung von einem Potential a nach b zu
bringen, ist:
ˆ
ˆ
b
F~ d~s = q
a
lien) innerhalb des Dielektrikum dem externen Feld exakt
entgegen gerichtet. Von Ausserhalb sieht man eine induzier-
r
φ=
W =
pensationsfeldes ausrichten.
b
~ s = −∆U = Ua − Ub
Ed~
a
mit Arbeit W, potentieller Energie U
te Oberächenladung.
8.1 Elektrische Flussdichte
Es ist
σ = P = nqδ
~ = 0 E
~ + P~
D
[D] =
In linearen, isotropen
1
~
Medien (P
~
∝E
As
m2
=
C
m2
) gilt auch:
n
Konzentration der Dipole
q
Ladung der Dipole
δ
Abstand der Ladungen in jedem Dipol
nq als ρe welches um δ verschoben wurde. Im in-
Interpertiere
~ = 0 E
~ + 0 χE
~ = 0 (1 + χ)E
~ = 0 r E
~ = 0 κE
~
D
neren des Dielektrikums bleibt die Neutralität erhalten, oben
und unten verbleibt aber die Ladung
r = κ
χ
ist dimensionslos. Bei perfekten Leitern gilt
r → ∞
ist die elektrische Suszeptibilität. Falls das Dielektrikum
linear und isotrop ist, gilt
P = 0 χE .
Die Suszeptibilität
beschreibt also die Proportionalität des induzierten Feldes
zum angelegten Feld. Allgemein ist
χ
ein Tensor.
~E
~ =
ρµ = ρf ree + ρpol ⇒ ∇
9 Kapazität
Die Kapazität C gibt an, wie viel Ladung Q eine Kapazität
Herleitung der Formeln:
~ P~ ,
ρpol = −∇
Q
= ρe δ = P
dA
±Q = ±ρe δdA ⇒
bei einer angelegten Spannung V aufnehmen würde.
~ P~
∇
ρf ree
−
0
0
C=
Q
V
~ 0E
~ + P~ ) = ρf ree
⇒ ∇(
[C] =
Allgemeiner Fall: (κ 6= const.)
9.1 einige Kapazitäten
~D
~ = 0 ∇(κ
~ E)
~ = ρf ree
∇
9.1.1 Plattenkondensator
8.2 elektrische Dipole im E-Feld
E=
Q
0 r A
V =E·d
Wir haben einen Wüfel voller elektrischer Dipole
p~i . Benutze
den Polarisationsvektor unter der Annahme
p~i = p~ = q~δ
⇒
CPlate =
0 r A
d
9.1.2 Zylinderkondensator
ist entlang der z-Achse orientiert. Dadurch wird die Oberächenladung
σ
induziert.
E(r) =
ˆ
r2
V =−
r1
⇒
1 isotrop:
unabhängig von der Richtung
Q
2π0 r rl
Q
r2
E(r) dr =
ln
2π0 r l
r1
CZyl =
2π0 r l
ln rr21
C
V
=F
9.4 Kondensator mit Dielektrikum
9.1.3 Kugelkondensator
¨
Σ
1 Q
E(r) =
4π0 r r2
⇒E=
ˆ
r2
Q
1
1
−
4π0 r r1
r2
r1
ˆ r2
0 · dr = 0
=0⇒E=0⇒V =
r1 ≤ r ≤ r2 : V = −
r2 ≤ r :
Qtot
E · dr = −
∞
⇒
CKugel =
Teil II
Magnetostatik
ausserhalb eines Permamagneten: Nord
→
Süd
10 Dierences between electric and magnetic elds
1 Q2
1
=
= CV 2
2 C
2
9.3 Kapazität einer allgemeinen Anordnung
berechnen
~
B
~.
E
•
Force is perpendicular to
•
Direction and value of the charge's velocity has an eect
Verhalten der Grössen:
but parallel to
on the magnetic eects, but not on the electric eects.
•
äussere Spannung angelegt: V konstant, Q variabel
•
keine Spannung (mehr) angelegt: V variabel, Q konstant
Kapazitäten parallel:
Ctot =
P
•
Kapazitäten in Serie:
1
Ctot
P
•
Kondensatoren,
•
~
q
P
~ = E~0 − P
−
⇒E
0 A 0
0
Magnetfeldrichtung:
Q
4π0 r r1 r2
=
V
r2 − r1
9.2 im Kondensator gespeicherte Energie
Ecap
~ s = q − PA
Ed~
0
0
welche
=
•
Force due to the magnetic eld is perpendicular to velo-
Ci
city and thus can't exert work. Force due to the electric
1
Ci
eld is parallel to velocity and thus exerts work.
verschiedene
Dielektrika
mit
•
Übergang senkrecht zu den Kondensatorplatten haben,
The source of magnetic elds are static currents. The
source of electric elds are electrical charges.
können als Parallelanordnung von Kondensatoren betrachtet werden.
•
Kondensatoren, deren verschiedene Dielektrikaschichten
parallel zu den Kondensatorplatten liegen, können als
11 Elektrischer Strom
Serienanordnung von Kondensatoren betrachtet werden.
Vorgehen:
1. Laplace (wenn
ρv = 0)
oder Poissongleichung (ρv
sen: durch integrieren, falls
6= 0)
lö-
φ eine Funktion in einer Varia-
I=
∆Q
dQ
n
=
= AQvd
∆t
dt
V
n: Ladungskonzentration, V: Volumen,
A: Querschnittsäche, Q: Ladung,
vd :
Driftgeschwindigkeit
¨
ble; sonst Separation der Variablen (Achtung: Nicht durch
~
J~ · dS
I=
Null teilen!)
Σ
2. Randbedingungen einsetzen, um Lösung für
φ
zu nden
11.1 Stromdichte
3.
I
J~ = n̂
A
~ = −∇φ
~
E
n̂:
¨
4.
Q = 0
Richtung des Stroms
~ a
Ed~
J~ = −nev~d
5.
C=
Q
Q
=
∆φ
V
n: Ladungskonzentration, e: Elementarladung,
vd :
Driftgeschwindigkeit
12 Lorentzkraft
14.3 lokale Form
~ ×B
~ = µ0 J~
∇
~ + q · (~v × B)
~ = q(E
~ + ~v × B)
~
FL = q · E
| {z } | {z }
FC
J~:
FB
[B] = T =
N
Am
Stromdichte
15 Magnetischer Fluss
FB = q · v · sin θ
für stromdurchossenen Leiter:
¨
~ · dS
~
B
Φmag =
`
~
· ~eq × B
∆t
~
= ` · I~ × B
FB = q ·
Σ
[Φ] = W b = V s
= L · I · B · sin θ
Einsetzen der Denition des Vektorpotentials
~ A
~ und
B = ∇×
13 Gausssches Gesetz für Magnetfelder
Umformen mit Hilfe des Satzes von Stokes ergibt:
13.1 globale Form
⇒
¨
¨
~ · dS
~=
B
Φmag =
˛
~ × A)
~ · dS
~
(∇
Σ
Σ
~ · d~`
A
=
Stokes
∂Σ
16 Gesetz von Biot-Savart
‹
~ · dS
~=0
B
~ -Feld
B
Stellt Beziehung zwischen
C
und Strom (Quelle des
Felds) her.
~ r) = µ0
B(~
4π
13.2 lokale Form
˚
J~ × ~r12
· dV 0
|~r12 |3
Space
~ ·B
~ =0
∇
mit
Interpretation: Die Gleichungen sagen aus, dass die magnetischen Nord- und Südpole nicht getrennt werden können und
damit die Summe der von der Fläche S eingeschlossenen ma-
~r12 = (~r − r~0 ),
zum Ort
also dem Vektor des Volumenelements
~r.
16.1 Biot-Savart für ein Kabel
gnetischen Monopole gleich Null ist. Es kann also keine ma-
~ = µ0
B
4π
gnetischen Monopole geben (und die magnetischen Feldlinien
sind geschlossen).
ˆ ~ ~0
I(r ) × (~r − r~0 )
· d`
|~r − r~0 |3
17 Vektorpotenzial
14 Ampèresches Gesetz
Ähnlich wie in der Elektrostatik
14.1 H-Feld
~ ·B
~ =0
∇
~ =
H
~
B
µ0 µr
µr
~ ·A
~=0
∇
ist dimensionslos
[A] =
Vs
m
Das Vektorpotential lässt sich mit Hilfe von bekannten Strö-
˛
C
~.
A
~ =∇
~ ×A
~
B
A
m
men wie folgt berechnen:
~ · d~l = Iin
H
kann man
ausnutzen, um ein Potential zu denieren. Dieses
ist in der Magnetostatik das Vektorpotential
[H] =
14.2 globale Form
~ ×E
~ = 0)
(∇
Ai (~r) =
µ0
4π
˚
Space
Ji (r~0 ) 0
dτ ,
|~r − r~0 |
i = x, y, z
~ -Feld
B
, wobei zu beachten ist, dass dies eine vektorielle Gleichung
Das sich ändernde
ist! D.h. komponentenweise ausrechnen.
ches versucht, diese Änderung auszugleichen.
17.1 Ampèrscher Satz fürs Vektorpotential
Einsetzen der Denition des Vektorpotentials in das Ampère-
⇒
~ -Feld,
B
wel-
Daher das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz.
19 Ohmsches Gesetz
sche Gesetz ergibt
↔
~
J~ = σ E
~ × (∇
~ × A)
~ = µ0 J~
∇
∇2 Ai = −µ0 Ji ,
⇒
, wenn die Annahme der Magnetostatik
i = x, y, z
~ ·A
~ = 0)
(∇
↔
~ = ρ J~
E
gilt.
↔
σ : spezischer Widerstandstensor
↔
ρ : Leitfähigkeitstensor
Teil III
20 (Selbst-)Induktivität
Elektrodynamik
Fliesst im Stromkreis
Ändert sich der magnetische Fluss durch eine Fläche
S,
so
entsteht ein zirkulierendes E-Feld. Im Gegensatz zu elektrischen Feldern, die durch Ladungen erzeugt werden, sind die
Feldlinien vom induzierten elektrischen Feld geschlossen.
18 Induktions- / Faradaysches Gesetz
18.1 Integral Form
˛
Vind
induziert ein zweites
C
(der eine Fläche
¨
begrenzt) ein
Strom I, so erzeugt dieser Strom ein Magnetfeld. Dieses Magnetfeld führt zu einem magnetischen Fluss
Φmag
durch die
Fläche S. Ändert sich nun der Strom I, so verändert sich auch
Φmag .
Dies erzeugt eine induzierte Spannung. (Der Fluss ei-
nes magnetischen Feldes ist proportional zu I (folgt aus BiotSavart):)
¨
~ s =: LI
Bd~
Φmag =
~ · d~` = − d
E
=
dt
C
S
Σ
~ · dS
~ = − d Φmag
B
dt
Σ
L heisst Induktivität/Inductance
Vgl.: in der Elektrostatik war die rechte Seite gleich Null.
⇒ Vind = −
Jetzt wird diese durch die Änderung des magnetischen Flus-
[L] =
δ
dI
Φmag = −L ,
δt
dt
T m2
A
=H
L=
Φmag
I
ses durch die von der Form umgebenden Fläche bestimmt.
¸
C
~
~ · dl
E
kann als Arbeit pro Ladung interpretiert werden.
Für einen Solenoid gilt:
L = µ0 µr N 2
18.2 Dierential Form
~ ×E
~ =−dB
~
∇
dt
18.3 Causes of Induction
~
|B|
If the value of
•
If the angle between
•
If the size of the area S changes.
changes.
and
N: Anzahl Windungen, S: Querschnittsäche, l: Länge
20.1 Gegeninduktivität
(mutual inductance)
•
~
B
S
l
~
S
changes.
Der Anteil des magnetischen Flusses, welcher von einer Spule
(1) in der Spule (2) iesst, lässt sich folgendermassen ausdrücken:
18.4 Lenzsches Gesetz
Φ12 = M21 I1
Es gilt
M12 = M21 .
Rechnerisch ermitteln lässt sich
von
(1)
ausrechnet
und
dann
M21 ,
indem man das B-Feld
über
die
integriert.
Herleitung:
Zwei Solenoids: erste Spule erzeugt
B = µ0
~ -Feld
B
N1
I1
l1
Fläche
von
(2)
Sei S die Querschnittsäche des ersten Solenoids.
⇒ φ(2)
mag = BN2 S = µ0
~
~ ×B
~ = µ0 (J~ + 0 dE )
∇
dt
N1 N2
I1
l1
der magnetische Fluss, welcher in der zweiten Spule entsteht.
Daraus folgt
V2 = −
mit
M21
In der Formel eingesetzt ergibt sich dann:
dI1
δ (2)
N1 N2 dI1
φmag = −µ0
=: −M21
δt
l1 dt
dt
mutual Inductance/Gegeninduktivität, abhängig
von der Geometrie.
Teil IV
Maxwell-Gleichungen und
EM-Wellen
22 Maxwell Gleichungen
20.2 Transformator
~E
~ = ρ
∇
0
~
~
∇B = 0
Situation wie bei Gegeninduktivität. Spannung, welche auf
die erste Spule induziert wird:
V1 = −µ0
N12
l1
S
Gauss
no magnetic monopoles
~
~ ×E
~ = − δB
∇
δt
dI1
dt
Induction
~
~ ×B
~ = µ0 (J~ + 0 δ E )
∇
δt
V1
N1
⇒
=
V2
N2
Im allgemeinen ist ein Transformer ein magnetischer Schalt-
22.0.0.1 in Materie:
kreis welcher mit zwei oder mehr Spulen umwickelt wir. Der
magnetische Kern (µr
1)
stellt sicher, dass der Fluss von
B im magnetischen Schaltkreis konzentriert ist und erhalten
¨
bleibt:
Φmag =
~ A
~
Bd
Ampere-Maxwell
~D
~ = ρf ree ,
∇
~B
~ = 0,
∇
~
~ E
~ = − δB ,
∇×
δt
mit
~ = 0 E
~ + P~ ,
D
is conserved
~
~ M
~ = J~f ree + δ D
∇×
δt
~
~ = B −M
~
H
µ0
23 Elektromagnetische Wellen
Dann gilt:
dφB
;
V1 = −N1
dt
dφB
V2 = −n2
dt
Brauchen kein Medium und können sich im Vakuum ausbrei-
20.3 In einer Induktivität gespeicherte
Energie
EInd =
dW = V I dt;
ten. Im Vakuum bewegt sich die Feldkonguration mit der
Geschwindigkeit
~E
~ = 0,
∇
c.
Es gilt
1 2
LI
2
~
~ ×B
~ = µ0 0 δE
~ ×E
~ = − δB , ∇
∇
δt
δt
2~
~ = µ0 0 δ B
⇒ ∇2 B
δt2
Wellengleichung:
∇2 A =
Die Energie ist im magnetischen Feld gespeichert. Die Energiedichte ist
u=
1 2
B
2µ0
21 Ampere-Maxwell equation
~
dE
J~d = 0
dt
Der displacement current hat die selbe Einheit wie die Stromdichte, er kommt aufgrund verschobener Ladungen zustande.
1 δ2 A
v 2 δt2
v: Speed of the wave
v=√
Fürs
~ -Feld
E
1
=c
0 µ0
folgt analog:
~ = 0 µ0
∇2 E
Maxwell ergänzte das Gesetz um die Rotation des B-Felds
um den Term der displacement currents:
Im leeren Raum gilt:
~B
~ = 0,
∇
1 2
LI
2
dEpot = −dW ⇒ Epot =
~ B⊥
~ ~k .
E⊥
~
δ2 E
δt2
mit der Lösung
~ =E
~ 0 ei(~k~x−ωt)
E
~k : Wellenvektor/Senkrecht auf der Wellenfront(/zur Ausbreitungsrichtung)
~k = (kx , ky , kz ),
~k = k0~v ,
2π
ω
|~k| =
= ,
λ
c
f=
c
λ
23.1 Poynting Vector
25.0.1.1 Zeitdilatation
Ein Raumschi C macht sich
auf die Reise von A nach B. In A sind die Zeitimpulse von A,
~=E
~ ×H
~
S
B und C noch synchron (durch Lichtsignale synchronisiert).
Gibt die Richtung des Energieusses einer EM-Welle an.
Kommt das Raumschi nun in B an, so ist für ein
∆tC
an
Bord des Raumschis folgende Zeit in B vergangen:
Teil V
∆tB = γ · ∆tC ,
Moderne Physik
∆tB ≥ ∆tC
24 spezielle Relativitätstheorie
und
β =
Für jedes Inertialsystem sieht es so aus, als ob die Uhren an-
Lorentz-Faktor
γ=q
v
c , wobei
v
derer, bewegter Systeme langsamer laufen würden!
Für obige Formel ist wichtig, dass das Ereignis (hier das Ti-
1
1−
≥1
cken der Borduhr) im Frame C stattndet. Andere Konstel-
v2
c2
lationen müssen erst in diesen Fall überführt werden.
positiv, wenn sich das bewegte Objekt
dem stationären Beobachter nähert.
Die Lorentz-Transformation geschieht folgendermassen:
x
!
ct
=
γ
γβ
Das heisst, die Uhr von B ging in der Zwischenzeit schneller
als jene von C.
24.1 Lorentz Transformation
Deniere den
γβ
!
γ
x0
!
0
ct
25.0.2 Length contraction
Observer A measures the length
vers, regardless of the motion of the light source.
25 Fundamentale Eekte der speziellen Relativitätstheorie
v
LB
and its
in relation to the
reference frame of A. This leads to
LB =
The law of physics are invariant in all inertial systems
The speed of light in vacuum is the same for all obser-
and is stationary in its
reference frame is moving with the speed
LA
,
γ
γ≥1
LB ≤ LA
(non-accelerating frames of reference).
•
LA
reference frame. Observer B measures the length
24.2 Postulate
•
γ≥1
Important: length contraction only occurs in the direction of
the relative movement of the reference frames.
25.0.3 Relativistische Masse
mB = γmA ,
25.0.1 Relativity of simultaneity
γ≥1
mB ≥ mA
Two events happening in two dierent locations that occur
simultaneously in the reference frame of one inertial observer
may occur non-simultaneously in the reference frame of ano-
25.0.4 Relativistisches Moment
ther inertial observer.
p(v) = γm0 v,
Es macht keinen Sinn zu sagen, dass zwei Ereignisse gleichzeitig stattnden, ausser man sagt in welchem Bezugssystem.
m0 :
γ≥1
Ruhemasse
25.0.5 Relativistische Energie / Einstein Relationship
E = m(v) · c2
q
= p2 (v)c2 + m20 c4
25.1 Konsequenzen
26 Äquivalenzprinzip und allgemeine Relativität
25.1.1 Velocity-addition Formula
Falls zwei Geschwindigkeiten beide relativ zum Gleichen
Inertialsystem gegeben sind, können die Geschwindigkeiten
einfach addiert werden.
Falls sich Objekt A mit Geschwindigkeit
system
des
(B)
vA
26.1 Äquivalenzprinzip
Schwere (gravitational mass) und träge (inertial mass) Masse
sind identisch (experimentel Ermittelt):
im Bezugs-
Objekts
B bewegt und sich Objekt B mit
(C)
Geschwindigkeit vB
relativ zum Bezugssystem C bewegt,
(C)
so bewegt sich A mit Geschwindigkeit vA
bezüglich C. Es
gilt:
F = ma
F =G
mM
r2
Folge des schwachen Äquivalenzprinzips ist, dass ein Beobachter in einem geschlossenen Labor, ohne Information von
auÿen, aus dem mechanischen Verhalten von Gegenständen
im Labor nicht ablesen kann, ob er sich in Schwerelosigkeit
(C)
oder im freien Fall bendet. Das einsteinsche starke Äqui-
(B) (C)
valenzprinzip besagt, dass ein Beobachter in einem geschlos-
(B)
(C)
vA
=
vA + vB
1+
(C)
vA
(B)
vA
(C)
vB
vA vB
c2
senen Labor ohne Wechselwirkung mit der Umgebung durch
überhaupt kein Experiment feststellen kann, ob er sich in der
: speed of frame A relative to frame C
Schwerelosigkeit fernab von Massen bendet oder im freien
: speed of frame A relative to frame B
Fall nahe einer Masse. Dies ist gleichbedeutend mit der Aus-
: speed of frame B relative to frame C
sage, dass Gravitationskräfte äquivalent zu Trägheitskräften
sind. Daher können Gravitationskräfte durch Wechsel in ein
25.1.2 Relativistic Doppler Eect
beschleunigtes Bezugssystem eliminiert werden.
Both time dilation and classical Doppler eect should be considered:
26.2 Gravitations-Zeitdilation
Wie in einem beschleunigten Zeitframe geht die Zeit für ein
•
Classical Doppler eect: if the source and the observer
Objekt, welches sich im Gravitationsfeld eines anderen Ob-
get closer to each other, the frequency at the observer
jekts bendet, langsamer.
is higher
(fO > fS ).
If the source and the observer get
tB = q
further from each other, the frequency at the observer is
lower
(fO < fS ).
fO = fS
•
v ± vO
v ± vS
Auf der Erde gilt:
Time dilation: the time between pulses is shorter for the
observer compared to the source. The frequency at the
observer is thus regardless of the direction of movement
smaller than at the source
(fO < fS ).
If the source and observer get further from each other, both
eects lead to a smaller frequency at the observer
fS ) .
(fO <
If the source and observer get closer to each other, the
classical Doppler eect wins out and the frequency at the
observer is higher than at the source
s
fO = fS
mit
β=
v
c , wobei
v
(fO > fS ).
1+β
1−β
positiv, wenn sich die Quelle dem sta-
tionären Betrachter nähert.
[f ] = Hz
tA
1−
FG = mg =
2GM
rc2
GM m
2
rE
⇔
GM
rE
= grE
30 de Broglie Wellenlänge
Teil VI
Einführung in die
λdB =
p:
Quantenmechanik
h
h
=√
p(v)
2mE
Impuls des Partikels
31 Einstein Coecients
27 Energie eines Photons
Um den photoelektrischen Eekt erklären zu können, schlug
Einstein vor, dass Energie nur in quantisierten Einheiten
(=Photonen) zwischen Strahlung und Materie ausgetauscht
werden kann. Diese sind proportional zur Frequenz des
Lichts:
E = hν
Damit lässt sich auch der Photoelektrische Eekt erklären:
Vorgänge:
• B12 :
stimulierte Absorption
• B21 :
stimulierte Emission
• A21 :
spontane Emission
Bei der stiumulierten Emission bekommt man eine exakte
Kopie des Photons (gleiche Phase).
Populationsänderung:
dN2
= gained − lost = B12 u(ω12 )N1 − A21 N2 − B21 u(ω12 )N2
dt
Die maximale Energie eines herausgeschlagenen Elektrons
ist
Ee = hν − φ0 =
mit
ν
1
mv 2 = eV
2
der Frequenz des eingetroenen Photons und
Steady state:
φ0
dN2
=0
dt
der
Arbeit, die verrichtet werden muss, damit das Elektron den
Festkörper verlassen kann.
Abgeschlossenes System:
Die kritische Wellenlänge ist:
N1 + N2 = N
λkrit =
hc
φ0
Populationsinversion
∆N = N2 − N1 > 0 ⇔
28 Impuls eines Photons
Der Impuls p eines Photons ist
p = m(v)v =
N2
<1
N1
31.1 Laser
Voraussetzung: Populationsinversion, welche für grosse
h
hν
=
λ
c
A21
schwer herzustellen ist. Man benutzt deshalb typischerweise ein Schema mit 4 States. Zuerst werden die Elektronen
vom Grundzustand 0 in den Zustand 3 gepumpt (durch in-
29 Compton Scattering
λout − λin =
h
(1 − cos θ)
mc
koheränte Strahlung oder durch einen Strom). Danach fallen
die Elektronen auf den langlebigen Zustand 2. Der Zustand 1
leert sich immer schnell in den Zustand 0. Daraus folgt eine
Populationsinversion zwischen dem |1> und |2> Zustand.
32 Schwarzkörperstrahlung
Dies führt direkt zur UV-Katastrophe, da
ˆ
∞
udω → ∞
Ein Objekt das hereinkommendes Licht nicht mehr herauslässt (R
= 0).
0
Das Schwarzkörperspektrum ist univer-
sell und nur von der Temperatur abhängig. Es gilt Emissi-
wird ein endloses Wachstum von UV-Strhalung mit der Fre-
on=Absorption
quenz vorhergesagt.
32.1.0.1 3d-Lösung von Planck
32.1 3d-klassisch
Um dieses Problem zu
lösen, verwendete Planck, dass Konzept von Einsteins Pho-
Model: Würfel mit Seitenlänge L mit kleinem Loch in einer
ton, wonach die Energie nur in quantisierten Mengen auftritt:
Seitenäche. Die Wände sind aus Metall, so dass das E-Feld
∆E = ~ω = hν
am Rand verschwinden muss und stehnde Wellen im Inneren
entstehen. Es muss dafür gelten, dass:
Unter Verwendung des Boltzmannfaktors kann gezeigt werden, die Austauschwahrscheinlichkeit für eine Energiemenge
Ex (x, y, z) = E0x cos(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
π
π
π
⇒ kx = n , k y = m , k z = l
L
L
L
n, m, l ∈ N
∆E
proportional zu
e∆E/(kT )
< E >=
Ex gibt das E-Feld in x-Richtung an. Der Cosinus kommt vor,
Ey &Ez .
u(ω)dω =
Für eine Elektromagnetische Welle gilt im
Würfel, dass
bzw. mit Frequenz
2
2
kx2 + ky2 + kz2 = k02 =
~ω
e
~ω
kT
−1
Damit ergibt sich die Energiedichte zu
weil das E-Feld senkrecht zur Ausbreitung steht. Gleiches gilt
auch für
ist. Damit folgt
2
π
ω
ω
⇒ 2 (n2 + m2 + l2 ) = 2
c2
L
c
ν=
~ω
ω2
~ω
π 2 c3 e kT
−1
ω
2π
u(ν)dν =
8πhν 3
1
dν
hω
3
c
e kT − 1
Die Strahlung bewegt sich mit c. Damit lässt sich die Intensität des BB als
I(ν)dν = cu(ν)dν =
Zwischen 0 und
|w0 | ⇔ |k| < k0
stehen dann
N (k < k0 )
Moden zur Verfügung:
Polarisationen
einer Kugel mit Radius
·
bzw.
I(ω)dω = cu(ω)dω =
ω2
~ω Zusammenführen
~ω
π 2 c2 e kT
−1
Die Strahlung des BB folgt der Plank Kurve:
1 4/3πk03
1 3 3
N (k) = 2 · ·
=
k L
3
8 (π/L)
3π 2 0
N (k) =Anzahl
1
8πhν 3
dν
hω
2
c
e kT − 1
1/8 einer Sphäre
·
Volumen
k0 /Volumen einer Elementarzelle Die
Anzahl Moden zwischen k und
k + dk
entspricht der Ablei-
tung von N(k). Davon bilden wir die "Density of Statesünd
erhalten:
dN (k) 1
3k 2
k2
=
=
dk V
3π 2
π2
3
V = L . Diese können wir
~ωmax '= 2.82kT
D(k) =
pro Einheitsvolumen
mit
ω = ck
umschreiben zu
D(ω)dω =
ω 2 dω
ω2
= 2 3 dω
2
2
π c c
π c
32.2 1d-Johnson noise/Wärmerauschen
Annahme: eindimensionale Schaltung:
Klassisch wird jedem Oszillator eine durchschnittliche Energie
< E >= kT
(je
1
2 kT potentielle und kinetische Energie)
zugeordnet. Damit folgt die Energiedichte
u(ω, T )dω =
ω2
kT dω
π 2 c3
Wie im 3d Fall folgt, dass nur folgende Moden erlaubt sind:
V (x, t) = V0 sin(kx),
k=n
π
L
⇒ N (k) =
und mit
ω = c0 k
kdk
1 dN (k)
1
⇒ D(k) =
=
(π/L)
L dk
π
folgt
D(ω)dω =
und mit
< E >' kT
34 Frequenz / Wellenlänge / Impuls / Energie
p~ = ~~k,
dω
2dν
⇒ D(ν)dν = 0
0
cπ
c
(weil
kT hν )
u(ν)dν =
E = ~ω = hν
folgt
p = ~k = ~
2kT
dν
c0
1 0
c u(ν)dν = kT dν
2
Diese Leistung lassen wir zur Berechnung von einem virtuellen Rauschgenerator mit zufälliger Spannung V entstehen.
2π
h
h
h
= ⇒λ= =
,
λ
λ
p
mv
Ekin =
Die Leistung an einem Ende der Leitung beträgt dann
P (ν)dν =
k=
2π
λ
1
p2
mv 2 =
2
2m
34.1 Bragg's diraction law
Elektronen und Neutronen verhalten sich wie x-rays und werden nach Bragg's diraction condition gestreut:
Die Leistung im Widerstand ist dann
sin(θ) =
V2
V 2
) =
P = RI = R(
2R
4R
p = ~k
nλ
,
d
n∈N
2
wobei wir den Widerstand des Rauschgenerator mit dem
Lastwiderstand matchen (R
0
= R).
λ=
h
mv : Wellenlänge der Elektronen,
d: Abstand zwischen den Atomen im Kristallgitter
Damit folgt
< V 2 >= 4RkT dν
34.2 Elektronenmikroskop
Um eine Genauigkeit von
33 Heisenbergs Unschärfegesetz
die Elektronen eine Energie von:
λ=
Position - Impuls:
∆x · ∆px ≥
~
2
∆E · ∆t ≥
~
2
Energie - Zeit:
λ = 10−11 m zu erreichen, brauchen
h
h
=√
mv
2mE
⇔
E=
h2
2mλ2
Teil VII
auch eine Lösung, welche nur noch an die folgende Bedingung
moderne Quantenmechanik
angepasst werden muss.
˚
|Ψ|2 dτ = 1 ⇔ |a1 |2 + |a2 |2 = 1
35 Wellenfunktion
space
Ψ(x, t) = ϕ(x)e−i
|
{z
En
~
t
}
Ansatz für Quantentopf
Notation:
Ψ(x, t)
ist die zeitabhängige Wellenfunktion.
ϕ(x)
ist deren Zeitunabhängiger Teil.
35.4 Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
einer Welle
Geschwindigkeit mit der sich die Energie bewegt
(Group velocity):
•
Die Wellenfunktion
δW
~k
p
=
=
δk
m
m
vg =
muss eine Lösung der Schrödingergleichung sein.
und deren Ableitung müssen stetig sein.
Geschwindigkeit mit der sich die Phasenfront bewegt
Im zeitunabhängigen Fall sind die Randbedingungen:
ˆ
•
(Phase velocity):
ω
~k 2
1 p
=
=
k
2mk
2m
∞
|ϕ(x)|2 < ∞
−∞
•
35.5 Beispiele
ϕ1 (x0 ) = ϕ2 (x0 )
•
35.5.1 Gebundener Zustand H-Atom
dϕ1
dϕ2
(x0 ) =
(x0 )
dx
dx
ausser
Der Wellenfunktion des Grundzustands eines H-Atoms ist
lim = (V (x0 + ) − V (x0 − )) = ∞
→∞
φ(r, t) = p
35.1 Wahrscheinlichkeitsdichte
P (x, t) · dτ = |Ψ(x, t)|2 · dτ = Ψ∗ (x, t) · Ψ(x, t) dτ
, wobei
ERy ' 13.6eV
1
r
e− a0 e
πa30
iERy
~
t
die Riedbergenergie ist. Die Wellen-
funktion steht im Raum.
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Volumenelement
dτ = dxdydz
um
(x, t)
vorzunden.
35.5.2 Wellenpaket
35.2 Normalization Condition
Ein Elektron mit Impuls
Das Teilchen muss zwingend (mit Wahrscheinlichkeit 1) ir-
spondierender Position
p0
x0
und Unschärfe
und Unschärfe
∆p
∆x
sowie korre-
wird als Wel-
lenpaket dargestellt. Dieses kann entweder im realen Raum
gendwo aufzunden sein:
(x) oder im Impulsraum betrachtet werden.
˚
!
2
|Ψ(x, t)| · dτ = 1
∆p∆x > ~
space
Orthogonalitätsbeziehung:
ˆ
35.5.3 Ebene Wellen
(
∞
Ψ∗m (x)Ψn (x) dx =
−∞
1,
if falls
m=n
0,
if sonst
Extremfall des Wellenpakets, wobei wir den Impuls exakt
kennen und die Position gar nicht heisst ebene Welle/plane
Wave.
35.3 Superpositionsprinzip
~
i
ψ(x, t) = Aei(k~x−ωt) = Ae ~ (~p~x−Et)
Die Wellenfunktion von Materie wird druch das Superpositionsprinzip dargestellt. Seien
φ1 (x, t)
und
φ2 (x, t)
Lösung für das Problem eines Partikels. Dann ist
beide eine
Problem: Diese Wellenfunktion muss noch normiert werden.
Dazu benutzt man meist den Trick, eine Box mit endlicher
Länge L anzuschauen und dann den Grenzübergang
Ψ(x, t) = a1 φ1 (x, t) + a2 φ2 (x, t)
zu machen.
L→∞
35.6 Erwartungswerte im 1D
36.3 Rezept für Potentialtopf
Setze als Integralgrenzen die Intervalle ein, auf denen die
•
Draw Potentials
•
Assign numbers to areas with constant potential
•
Solve time-independent Schrödinger equation on all are-
Wellengleichung deniert bzw. nicht null ist.
ˆ
Ort:
∞
Ψ∗ (x, t) · x · Ψ(x, t) · dx
hxi =
−∞
Interpretation:
Ort
des
Massezentrums.
Z.B.
hxi =
`
2
as
bedeutet, dass sich das Partikel im Mittel auf der halben
Länge bendet.
•
Before applying the boundary conditions, determine
terms that need to be zero to prevent
Impuls:
ˆ
∞
∗
hpi =
Ψ (x, t) ·
−∞
~ ∂
·
i ∂x
· Ψ(x, t) · dx
Interpretation: Geht das Partikel irgendwo hin? Z.B.
hpi = 0
ψ(x) → ∞
•
Apply all boundary conditions
•
Determine
•
Determine coecients by applying the normalization
kn
and
En
that fulll the conditions
bedeutet, dass das Partikel im Mittel stationär bleibt.
Energie:
hp2 i
=
hEi =
m
ˆ
∞
~2 ∂ 2
Ψ (x, t) · −
2m ∂x2
−∞
∗
Interpretation: Ein Resultat von z.B.
condition
· Ψ(x, t) · dx
1
2 (E1
dass sich das System im Mittel zwischen
+ E2 ) bedeutet,
E1 und E2 ben-
det. Aber eine diskrete Messung wird entweder
E1
oder
E2
ergeben (eine Frage der Wahrscheinlichkeit).
gesucht:
∂
∂
∂
~2
∂
+ 2 + 2 + V (~x, t) Ψ(~x, t) = i~ Ψ(~x, t)
−
2
2m ∂x
∂y
∂z
∂t
2
~ ~
∂
⇔
−
∆ + V (~x, t) Ψ(~x, t) = i~ Ψ(~x, t)
2m
∂t
~2 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂Ψ(x, t)
+ V (x, t)Ψ(x, t) = i~
2m ∂x2
∂t
2
2
~ ∂
∂Ψ(x, t)
⇔
−
+ V (x, t) Ψ(x, t) = i~
2m ∂x2
∂t
36.2 Stationärer Zustand: Zeitunabhängige
Schrödingergleichung
Es muss nur noch
können wir den Ansatz
ϕ(x)
nummerieren.
ϕ(x)
in den
verschiedenen Raumbereichen lösen
−
benutzen. Es resultiert
2. Raumbereiche mit konstantem Potential denieren und
3. Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für
36.1 1D Schrödingergleichung
Ψ(x, t) = ϕ(x)T (t)
ϕ(x), kn , En
1. Potential zeichnen.
Grundform für nichtrelativistische Teilchen:
V (x, t) = V (x)
Wellenfunktion und erlaubte Energie für ein zeitunabhängiges Potential V(x).
36 Schrödingergleichung
Für
36.3.1 Wellenfunktion und erlaubte Energien gesucht
4. Randbedingungen: Gibt es Konstanten die Null sein müssen, damit nicht
gen bestimmen.
a)
ϕi (xi,i+1 ) = ϕi+1 (xi,i+1 )
b)
dϕi
dx (xi,i+1 )
T (t) = e
werden:
ausser für
=
dϕi+1
dx (xi,i+1 )
∆Vi,i+1 → ∞
c) Aus den Gleichungen
~2 d2 ϕ(x)
+ V (x)ϕ(x) = E · ϕ(x)
−
2m dx2
~2 d2
⇔
−
+ V (x) ϕ(x) = E · ϕ(x)
2m dx2
?
5. Gleichungen für die Koezienten mit den Randbedingun-
− iEt
~
für die Schrödingergleichung gelöst
ϕ(x) → ∞
kn , En bestimmen, welche die Be-
dingungen erfüllen (falls notwendig Fallunterscheidung
machen).
d) Aus der Normierung die Vorfaktoren bestimmen.
36.4 Tunneling
Teil VIII
Appendix
37 Konstanten
Bezeichnung
Sym
Wert
Atomare Masse
u
1.661 · 10−27
Avogadro-Zahl
NA
6.022 · 1023
Boltzmann Konstante
kB
1.381 · 10−23
JK
Elementarladung
e
1.602 · 10−19
C
mE
5.974 · 10
Erdradius
Graviationsbeschl.
rE
g
6.371 · 106 m
9.807 ms−2
Gravitationskonstante
G
6.674 · 10−11
Lichtgeschwindigkeit
c
2.998 · 108
c =
Masse Elektron
Masse Proton
k=
r
κ=
2mE
~2
2m(V0 − E)
~2
Transmission coecient:
2
Nm kg
ms
−2
−1
1
0 µ0
me
9.109 · 10−31
kg
mP
1.673 · 10
−27
kg
−27
kg
mN
1.675 · 10
h
~
6.626 · 10−34
1.055 · 10−34
Js
0
8.854 · 10−12
As(Vm)
Wirkungsq.
Js
=
h
2π
−1
10−7 NA−2
Vakuumpermittivität
µ0
4π ·
Wien'sche Konstante
b
2.898 · 10−3
Km
38 Einheiten
Bezeichnung
r
Kg
Planksches Wirkungsq.
Vakuumpermeabilität
u3 (x) = F eikx
−1
Masse Neutron
reduziertes
u2 (x) = Ceiκx + De−iκx
−1
Erdmasse
2
u1 (x) = Aeikx + Be−ikx
24
kg
mol
Symbol
Wert
Angström
Å
1Å = 10−10
Atomare Masse
u
1u = 1.66 · 10−27
m
Elektronenvolt*
eV
1eV = 1.60210
Coulomb
C
1C = 1
Henry
H
1H =
Joule
J
1J =
Ohm
Ω
1Ω =
Tesla
T
1T =
Volt
V
1V =
Watt
W
1W =
−19
kg
J
As
kg·m
2
A2 ·s3
2
kg·m
s2
2
kg·m
A2 ·s3
kg
A2 ·s2
2
kg·m
A·s3
2
kg·m
s3
(*) 1eV: Wenn ich eine Ladung von 1C mit 1V beschleunige.
T =
|F |2
|A|2
Reection coecient:
|B|2
1−T =R=
|A|2
39 Bewegungsgleichungen
v = v0 + at
1
s = v0 t + at2
2
v 2 = v02 + 2as
40 Physikalische Gesetze
43 Analysis
40.1 Zentripetalkraft (zeigt nach innen)
44 Kettenregel
FZ = maz =
mv 2
r

In einem stationären Orbit muss die Zentripetalkraft gerade die Gravitationskraft aufheben, d.h.
!
|FZ | = |FG |
Die Be-
schleunigung mit der in diesem beschleunigten Frame of Reference gerechnet werden muss, ist an jenem Punkt eben gerade
die Gravitationskraft an jenem Punkt (in dieser Höhe).
40.2 Gravitationskraft
Sei
u1

u=

.
.
.


, f = g ◦ u

um
u : D ⊂ Rn → Rm ; g : M ⊂ Rm → R; u(D) ⊂ M
f (x1 , . . . , xn ) = g(u1 (x1 , . . . , xn ), . . . , um (x1 , . . . , xn ))
m
P
δf
δg
δui
Dann ist:
δxk (x) =
δui (u(x)) δxk (x)
mit
i=1
45 Taylor-Entwicklung
m1 m2
FG = G ·
r2
1. Deniere einen kleinen dimensionslosen Paramter y (relativ zu vorkommender Grösse). Bsp.:
xL⇒y=
Für Berechnungen, welche nicht auf die (schlecht abschätz-
x
1
L
bare) Masse der Erde zurückgreifen wollen, kann folgende
Umformung verwendet werden. Es gilt
FG = G ·
mE m
2
= mg ⇔ mE G = grE
2
rE
2. Schreibe
mit kleinem Parameter um
→ f (y) = ...
3. Taylor-Reihe aufschreiben bis kleinster Term
tens für
Das Gravitationspotential auf der Erdoberäche ist
GmE
e
φE = − Gm
rE . Auf einer Orbithöhe r ist dann φOrbit = − r .
f
6= 0;
meis-
y=0
4. Häug: den kleinen Parameter wieder zurücksubstituieren
40.3 Zentripetalkraft
45.1 Taylorreihen
mv 2
= mrω 2
r
2π
ω = 2πf =
T
1D:
Fz = maz =
⇒
v2
,
r
f 0 (a)
1! (x
− a) +
f 00 (a)
2! (x
− a)2 + · · ·
f (x, y, x0 , y0 ) ' f (x0 , y0 ) + fx · (x − x0 ) + fy · (y −
y0 )+ 21 [fxx ·(x−x0 )2 +fyy ·(y−y0 )2 ]+fxy ·(x−x0 )(y−y0 )+· · ·
2D:
Zentripetalbeschleunigung:
az =
f (x, a) ' f (a) +
3D:
v = ωr
f (x, y, z) ' f (x0 , y0 , z0 ) + fx · (x − x0 ) + fy · (y − y0 ) + fz ·
(z −z0 )+ 21 [fxx ·(x−x0 )2 +fyy ·(y −y0 )2 +fzz ·(z −z0 )2 ]+fxy ·
(x−x0 )(y−y0 )+fxz ·(x−x0 )(z−z0 )+fyz ·(y−y0 )(z−z0 )+· · ·
41 Drehmoment und Drehimpuls
Drehmoment:
~τ = ~r × F~ ,
Drehimpuls:
~
L
mit
d~τ = ~r × dF~
~
dL
~τ =
dt
42 weitere physikalische Gegebenheiten
42.1 Schreibweise des Periodensystems
Zahl Oberhalb: Anzahl Protonen
Zahl Unterhalb: Masse in amu
45.2 Taylor-Approximation
•
√
a
a2 + b2
1 b2
2 a2
≈
1−
1+
≈
1
1+ 2
1
1+
≈
1−
für
•
√
•
ab
45.3 Formel von Leibnitz
Sei
Ψ(t) :=
´ b(t)
a(t)
f (x, t) · dx
!
b(t)
f (x, t) · dx
a(t)
d
d
= f (b(t)) · b(t) − f (a(t)) · a(t) +
dt
dt
{z
}
|
fallen jeweils bei
(a∨b)=
49.1 Nützliche DGLs
. Dann folgt:
ˆ
d
Ψ̇(t) =
dt
49 DGLs
ˆ
b(t)
a(t)
d
f (x, t) · dx
dt
const. weg
45.4 Dierentiation/Infenitesimales
ment
ω :=
ẋ − ωx = 0
x(t) = Ceωt
ẋ + ωx = 0
x(t) = Ce−ωt
ẋ = 1 − x
x(t) = 1 + Ce−ωt
ẍ = k
x(t) = 21 kt2 + At + B
x(t) = 12 kt2 + At + B
ẍ = k
ẍ + ω 2 x = 0
x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
x(t) = Ceiωt + De−iωt
Ele-
2πc
2πc
⇒ dω = − 2 dλ
λ
λ
46 Deltafunktion
ẍ + ω 2 x = k
x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) +
2
x(t) = A cosh(λt) + B sinh(λt)
ẍ − λ x = 0
k
ω2
x(t) = Ceλt + De−λt
49.2 Homogene DGLs lösen
1. Ansatz:
y(t) = eλt , y 0 (t) = · · · , · · ·
ˆ
f (x)δ(x − a)dx = f (a)
2. Charakteristisches Polynom der DGL bilden:
Die Einheit der Deltafunktion ist die Inverse Einheit des Ar-
y (k) → λk
guments:
1
m
1
[δ(r2 − r02 )] = 2
m
[δ(r − r0 )] =
3. Nullstellen/EW des chp bestimmen
4. In Ansatz einsetzen:
47 Nullstellen von trigonometrischen Funktionen
a. einfache NS:
yi = eλi t
b. m-fache NS:
yi+k = tk eλt ,
k = 0, 1, · · · , m − 1
c. komplex konjugierte NS (1-fach):
2n + 1
π, n ∈ Z
2
sin(x) = 0 ⇔ x = nπ, n ∈ Z
cos(x) = 0 ⇔ x =
λ = a + ib
yi = eax cos(bx)
yi+1 = eax sin(bx)
48 Symmetrieargument
d. komplex konjugierte NS (m-fach):
yi = eax cos(bx)
Immer argumentieren mit:
yi+1 = eax sin(bx)
i. Problem stays identical when I turn/move the object ->
...
Result must too
yim = xm−1 eax cos(bx)
yim+1 = xm−1 eax sin(bx)
2 Unendlich lange Objekte können beliebig entlang ihrer
unendlichen Achse verschoben werden.
5.
z.B.:
~
H
ist rotationssymmetrisch und kann um die z-Achse
verschoben werden. Das bedeutet:
~ = H(r)~eφ
H
yhom =
n
X
ci yi
i=0
6. RB nutzen um Konstanten zu bestimmen
49.3 Inhomogene DGL
1. Falls notwendig kann die inhomogene Lösung der DGL in
mehrere Teile aufgespaltet werden und am Ende wieder
überlagert werden.
2. zugehörige homogene DGL lösen
3. eine spezielle Lösung für die inhomogene DGL nden
(yp ) (Ansatztabelle)
4.
y = yhom + yp
5. RB
→
Konstanten
49.4 Separation der Variablen
DGL der Form
y 0 = f (y(x))g(x);
1.
(y(x0 )) = y0 )
dy
= f (y)g(x)
dx
unbestimmt
´
⇒ y(x) = Ce
g(x)dx
bestimmt
y(x)
ˆ
dy
=
f (y)
y0
ˆx
g(x)dx ⇒ y(x) = · · ·
x0
49.5 Variation der Konstanten
DGL der Form
y 0 (x) + P (x)y(x) = Q(x)
Lösung:
y(x) =
1
u(x)
ˆ
´
u(x)Q(x)dx,
u(x) = e
P (x)dx