Empfohlene Literatur L Dieter Geschke (Hrsg.): Physikalisches

HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Empfohlene Literatur
L
Physikalisches Grundpraktikum
Dieter Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, 12. Aufl.
B. G. Teubner Verlag Stuttgart-Leipzig-Wiesbaden, 2001
ISBN 3-519-10206-4
J. Becker, H.-J. Jodl: Physikalisches Praktikum für Naturwissenschaftler und Ingenieure
VDI-Verlag GmbH, Düsseldorf, 1991
ISBN 3-18-400939-4
E. Hering, R. Martin, M. Stohrer: Physik für Ingenieure, 7. Aufl.
Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York, 1999
ISBN 3-540-66135-2
1
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Praktikumsordnung
PO
Physikalisches Grundpraktikum
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
2
Das Praktikum beginnt pünktlich zu der im Stundenplan festgelegten Zeit.
Im Rahmen der Einführung zum Praktikum erfolgt eine Arbeitsschutzbelehrung. Diese ist als Teil
der Praktikumsordnung zu beachten und einzuhalten. Jeder Praktikant bestätigt durch Unterschrift
seine Teilnahme an dieser Belehrung.
Die Praktikanten arbeiten in der Regel in Zweiergruppen.
Der Zeitplan und alle durchzuführenden Versuche werden im Praktikumsplan bekannt gegeben.
Der Praktikant ist verpflichtet, sich auf die Versuche gründlich vorzubereiten. Dazu erhält er rechtzeitig die Versuchsanleitungen mit Literaturhinweisen. Diese sind genau zu studieren. Hinweise
zur Versuchsdurchführung und zur Bedienung der Geräte sind unbedingt zu beachten. Die Vorbereitung hat schriftlich zu erfolgen und wird zu Beginn des Versuches in einem Antestat kontrolliert.
Bei den Versuchen liegende Unterlagen gehören zur Ausstattung des Arbeitsplatzes; sie dürfen
nicht entfernt werden. Ebenso sind alle einem Versuch zugeordneten Geräte, Zubehörteile und
Leitungen am Versuchsplatz zu belassen.
Mängel an Geräten und Zubehör sind umgehend dem Betreuer zu melden.
Die Geräte stellen einen erheblichen Wert dar. Gehen Sie damit sorgsam um! Achten Sie unbedingt auf die richtige Wahl von Betriebsart und Messbereich!
Erforderliche elektrische Schaltungen sind übersichtlich aufzubauen und müssen vor Inbetriebnahme vom Betreuer abgenommen werden.
Während des Versuches ist ein ordnungsgemäßes Messprotokoll zu führen, in dem alle Messergebnisse, Hilfsdaten, Berechnungen und notwendigen Hinweise einzutragen sind.
Nach Beendigung des Versuches wird der Arbeitsplatz aufgeräumt. Hinterlassen Sie ihn so, wie
Sie ihn selbst vorfinden möchten!
Nach Abschluss der Messungen ist eine vorläufige Auswertung vorzunehmen. Das Protokoll mit
Messwerten und vorläufigen Ergebnissen ist dem Betreuer vorzulegen und wird von diesem gegengezeichnet.
Das vollständige Protokoll (s. Pkt.14) mit allen Auswertungen muss am nächsten Praktikumstag
vorgelegt und vom Betreuer abgezeichnet sein. Versuchsdurchführung und Protokoll werden bewertet. Ein Versuch ist ungültig, wenn kein ordnungsgemäßes Protokoll vorgelegt wird.
Das Protokoll ist nach folgendem Schema anzufertigen:
• Versuchsbezeichnung und Datum,
• Name des Protokollführer und der Arbeitsgruppe,
• Versuchsvorbereitung einschließlich Schaltungen und Messprinzip, soweit nicht in der Versuchanleitung enthalten,
• Messwerte,
• Auswertung: vollständige Berechnungen und Ergebnisse / grafische Darstellungen,
• Diskussion der Ergebnisse / Fehlerbetrachtung.
Das Praktikum endet mit einem Abtestat.
Das Praktikum gilt als erfolgreich abgeschlossen (Schein!), wenn die erforderliche Anzahl von
Versuchen durchführt worden sind und das Abtestat erfolgreich abgelegt worden ist.
Praktikanten, die durch Krankheit oder ähnliche Gründe einen oder mehrere Praktikumstage versäumen, haben sich mit dem Betreuer und dem verantwortlichen Fachlehrer in geeigneter Weise
zu verständigen.
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Federschwingung
Bestimmung der Federkonstanten
Physikalisches Grundpraktikum
FS
Einführung: Messunsicherheit
Gemessen wird die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T einer Schraubenfeder von der
angehängten Masse m durch Messung von mindestens zehn Perioden für fünf verschiedene Massen (jede Messung ist zehnmal zu wiederholen).
Auswertung:
a) Bestimmung aus der Einzelmessung
Berechnung des Mittelwertes T und des statistischen Fehlers ΔT ,
als Grundfehler der Massebestimmung (mit Digital-Tafelwaage) wird Δm = ± 1g angenommen.
Bestimmen Sie für jeden Wert der Masse m die Federkonstante k und deren Größtfehler.
b) Bestimmung aus der Gesamtheit der Messwerte
Bestimmen Sie die Federkonstante k aus allen Messungen durch linearisierte Regression.
Auswertung:
Federkonstante:
T = 2π
m
m
⇒ k = 4π 2 2
k
T
Fehlerrechnung: Berechnung des relativen Größtfehlers:
∂k
∂k
4π 2 ⎛
2m ⎞
⋅ Δm +
⋅ ΔT = 2 ⎜ Δ m +
ΔT⎟
• absoluter Größtfehler Δk =
⎠
∂m
∂T
T
T ⎝
• relativer Größtfehler ⇒ δk =
linearisierte Regression:
T2 =
T2
⋅ 2
4π m
Δk Δm
ΔT
=
+2
k
m
T
4π 2
⋅ m = (b ⋅ m + a)
k
3
m1
m/g
δm / %
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T/s
σT / s
ΔT / s
δT / %
T 2 / s2
k / kgs−2
δk / %
4
m1 + m 2
m3
m1 + m 3
m1 + m 2 + m 3
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FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Arbeitsblatt 1
Absoluter und relativer Größtfehler
Physikalisches Grundpraktikum
A1
s. a. Einführung / Auswertung von Messdaten / Fehlerfortpflanzung, absoluter Größtfehler
Mathematisches Pendel
Fehlerrechnung, Erdbeschleunigung
l
.
T2
Größen mit Messunsichertheit sind: Pendellänge l, Periodendauer T.
4π 2 ⎛
l
⎞
⇒
absoluter Größtfehler: Δg = ± 2 ⎜ Δl + 2 ΔT ⎟
T
T ⎝
⎠
Δg
ΔT ⎞
⎛ Δl
= ±⎜ + 2
relativer Größtfehler: δg =
⎟
g
T ⎠
⎝ l
Für die Erdbeschleunigung gilt g = 4π 2
Verwenden Sie als Messunsicherheit für die Periodendauer den Fehler des Mittelwertes T
(i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung) und schätzen Sie die Messunsicherheit der
Pendellänge. Geben Sie sowohl den absoluten als auch den relativen Fehler der Erdbeschleunigung an.
Thermische Ausdehnung
Δl 1
(Länge),
⋅
l 0 ΔT
ΔV 1
γ =
(Volumen) .
⋅
V0 ΔT
Größen mit Messunsicherheit sind: Anfangslänge l 0 , Längenänderung Δl bzw. Anfangsvolumen V0 , Volumenänderung ΔV und Temperaturänderung ΔT .
Für die Ausdehnungskoeffizienten gilt:
⇒ relativer Größtfehler: δα =
δγ =
α=
⎡ Δ( Δl ) Δl 0 Δ( ΔT ) ⎤
= ±⎢
+
+
⎥ = ±[δ ( Δl ) + δl 0 + δ ( ΔT )]
α
l0
T0 ⎦
⎣ l0
Δα
⎡ Δ( ΔV ) ΔV0 Δ( ΔT ) ⎤
= ±⎢
+
+
⎥ = ±[δ ( ΔV ) + δV0 + δ ( ΔT )]
γ
V0
T0 ⎦
⎣ V0
Δγ
Bestimmen Sie α bzw. γ sowie Längenänderung Δl , Volumenänderung ΔV und Temperaturänderung ΔT mittels linearer Regression (z. B. mit Excel – Ausgleichsgerade) aus allen
Messpunkten. Schätzen Sie die Messunsicherheiten ab und bestimmen Sie damit den relativen
und absoluten Größtfehler der Ausdehnungskoeffizienten.
5
Kalorimeter
Spezifische Wärmekapazität
Für die spezifische Wärmekapazität des Kalorimeters gilt bei diesem Experiment (Energiezufuhr durch elektrische Heizung)
U ⋅ I ⋅t
K=
− mW cW .
Tm − T1
Größen mit Messunsicherheit sind: Spannung U, Strom I, Zeit t, Masse des Wassers mW und
Temperaturdifferenz ΔT = Tm − T1 .
ΔmW
U ⋅ I ⋅ t ⎡ ΔU ΔI Δt Δ( ΔT ) ⎤
⇒
absoluter Größtfehler: ΔK = ±
+
+
+
+ mW cW
⎢
⎥
ΔT ⎣ U
I
t
ΔT ⎦
mW
U ⋅ I ⋅t
[δU + δI + δt + δ ( ΔT )] + mW cW δmW
=±
ΔT
Schätzen Sie die Messunsicherheiten ab und berechnen Sie damit den absoluten und relativen
Größtfehler der spezifischen Wärmekapazität des Kalorimeters.
Für die weiteren Ergebnisse des Experiments (Bestimmung spezifischer Wärmen) können Sie
annehmen, dass die relative Messunsicherheit in der gleichen Größenordnung liegt.
Kalorimeter
Spezifische Umwandlungswärmen
Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität des Kalorimeters
Für die spezifische Wärmekapazität des Kalorimeters gilt bei diesem Experiment (Energieaustausch mit einer bekannten Masse von kaltem Wasser)
m c ( T − Tm ) − mW 1cW ( Tm − T1 )
.
K = W2 W 2
Tm − T1
Größen mit Messunsicherheit sind: Anfangsmasse Wasser mW 1 im Kalorimeter, Anfangstemperatur T1 im Kalorimeter vor der Mischung, Mischungstemperatur Tm , Anfangstemperatur T2
des kalten Wassers, Masse mW 2 des kalten Wassers.
⇒
⎧
T − T2
m c
absoluter Größtfehler: ΔK = ± ⎨cW ΔmW 1 + cW m
ΔmW 2 + W 2 W ΔT2 +
T1 − Tm
T1 − Tm
⎩
⎡ T − T2
⎤ ⎫⎪
T −T
ΔT1 + 1 2 2 ΔTm ⎥ ⎬
+ mW 2 cW ⎢ m
2
( T1 − Tm )
⎣ ( T1 − Tm )
⎦ ⎪⎭
Schätzen Sie die Messunsicherheiten ab und berechnen Sie damit den absoluten und relativen
Größtfehler der spezifischen Wärmekapazität des Kalorimeters.
Für die weiteren Ergebnisse des Experiments (Bestimmung spezifischer Umwandlungswärmen) können Sie annehmen, dass die relative Messunsicherheit in der gleichen Größenordnung liegt.
6
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Arbeitsblatt 2
Auswertung, absoluter und relativer
Physikalisches Grundpraktikum
A2
Größtfehler
s. a. Einführung / Auswertung von Messdaten / Fehlerfortpflanzung, absoluter Größtfehler
Trägheitsmoment
2 Punktmassen, symmetrisch im Abstand r
homogener Zylinder, Rotation um Zylinderachse
Hohlzylinder, Rotation um Zylinderachse
Satz von Steiner (s: Abstand der Drehachsen)
J = 2mr 2
1
J = mr 2
2
1
J = m(ra2 + ri 2 )
2
J = J s + ms 2
Für das Trägheitsmoment, bestimmt aus der Schwingungsdauer einer Drehschwingung, gilt
D ⋅T 2
J=
.
4π 2
Größen mit Messunsichertheit sind: Direktionsmoment D, Periodendauer T.
2D ⋅ T
T2
⇒
absoluter Größtfehler: ΔJ =
ΔD +
ΔT ,
2
4π
4π 2
relativer Größtfehler: δJ = δD + 2δT .
Verwenden Sie als Messunsicherheit für die Periodendauer den Fehler des Mittelwertes T
(i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung, dividiert durch n ) und schätzen Sie die
Messunsicherheit des Direktionsmoments. Geben Sie den relativen Größtfehler der in Aufgabe 2 gemessenen Trägheitsmomente an.
Torsion
1. Torsion statisch
Bei der statischen Messung wird die Verdrillung eines Stabes mittels eines äußeren Drehmomentes untersucht. Dabei greift an einer Scheibe mit dem Radius R eine Kraft Fs an und bewirkt eine Verdrehung um einen Winkel ϕ .
Für den Torsionsmodul, bestimmt aus dem Mittelwert Φ der gemessenen Verhältnisse
F
Φ = s , gilt
ϕ
G=
2l ⋅ R ⋅ Fs 2l ⋅ R
=
⋅Φ ;
πr 4 ⋅ ϕ
πr 4
Φ wird dabei als Mittelwert aus allen Messungen bestimmt.
Größen mit Messunsicherheit sind: Länge l und Radius r des Stabes, Radius R der Scheibe
und die Messgröße Φ .
7
⇒
2R ⋅Φ
2l ⋅ Φ
2l ⋅ R
8l ⋅ R ⋅ Φ
⋅ Δl +
⋅ ΔR +
ΔΦ +
,
4
4
4
πr
πr
πr
πr 5
ΔG
= δl + δR + δ Φ + 4δr .
relativer Größtfehler: δG =
G
absoluter Größtfehler: ΔG =
Verwenden Sie als Messunsicherheit für den Mittelwert des Verhältnisses aus Kraft und Auslenkwinkel den Fehler des Mittelwertes Φ (i. d. R. das Dreifache der Standardabweichung,
dividiert durch n ). Geben Sie den relativen Fehler des gemessenen Torsionsmoduls an.
2. Torsion dynamisch
Bei der dynamischen Messung wird die Periodendauer T einer Drehschwingung gemessen.
Da das Trägheitsmoment des an dem Draht befestigten Körpers und damit das Direktionsmoment der Messanordnung nicht bekannt ist (s. Versuchsanleitung), müssen zwei voneinander unabhängige Messungen durchgeführt werden: Messung von T0 mit dem Standardkörper
mit Aufhängung (Trägheitsmoment J0) und Messung von T1 mit einem zusätzlichen Körper,
dessen Trägheitsmoment J1 berechnet werden kann. Damit gilt für das Direktionsmoment
2π 2 m ⋅ R 2
D= 2
T1 − T02
und für den Torsionsmodul
4π ⋅ l ⋅ m ⋅ R 2
G= 4 2
.
r (T1 − T02 )
Größen mit Messunsicherheit sind: Länge l und Radius r des Drahtes, Masse m und Radius R
der Zusatzscheibe und die Periodendauern T1 und T0.
⇒
absoluter Größtfehler:
4π ⋅ mR 2
4π ⋅ lR 2
8π ⋅ mR
16π ⋅ lmR 2
8π ⋅ lmR 2
ΔG = 4 2
Δ
l
+
Δ
m
+
Δ
R
+
Δ
r
+
(T1 ΔT1 + T0 ΔT0 )
r (T1 − T02 )
r 4 (T12 − T02 )
r 4 (T12 − T02 )
r 5 (T12 − T02 )
r 4 (T12 − T02 ) 2
T1 ΔT1 + T0 ΔT0
T12 − T02
Verwenden Sie als Messunsicherheit für die Periodendauern die Fehler der Mittelwerte (i. d.
R. das Dreifache der Standardabweichung, dividiert durch n ). Geben Sie den relativen
Fehler des gemessenen Torsionsmoduls an.
⇒
relativer Größtfehler: δG = δl + δm + 2δR + 4δr + 2
Sonometer (schwingende Saite)
Für die Frequenz einer schwingenden Saite gilt f n =
n
2⋅l
Fs
.
A⋅ ρ
Größen mit Messunsicherheit sind: Saitenlänge l, Spannkraft Fs = m ⋅ g (durch die Unsicherheit der Massebestimmung) und die lineare Dichte A ⋅ ρ .
⇒
8
absoluter Größtfehler: Δf n =
n
2l 2
Fs
n
Δl +
A⋅ ρ
4l
n
1
ΔFs +
Fs ⋅ A ⋅ ρ
4l
Fs
( A ⋅ ρ )3
Δ( A ⋅ ρ )
1
1
relativer Größtfehler: δf n = δl + δFs + δ ( A ⋅ ρ )
2
2
Berechnen Sie für alle untersuchten Anordnungen die Frequenz fn und deren relativen Größtfehler und vergleichen Sie diese Werte mit den Messwerten.
Stellen Sie die Messwerte fn in Abhängigkeit von dem jeweiligen Parameter (Fs, Aρ, n) in einem Regressionsdiagramm dar.
Resonanz
Bei einer gedämpften Schwingung gilt für aufeinander folgende Amplituden
An = An +1e −δT .
Daraus folgt für das so genannte logarithmische Dekrement
A
ln n = δT
An +1
und damit
A
ln 0 = iδT , i = 1,2,3... ,
Ai
bzw.
ln Ai = −iδT + ln A0
Messen Sie die aufeinander folgenden Amplituden Ai. Bestimmen Sie die Dämpfung δ und
ihren Fehler aus der grafischen Darstellung von lnAi gegen i mittels linearer Regression.
9
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
Mathematisches Pendel
Fehlerrechnung, Erdbeschleunigung
F
Aufgabenstellung:
1.
Messen Sie mindestens 100-mal die Periodendauer eines einfachen Fadenpendels!
2.
Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Einzelmessung und
den Fehler des Mittelwertes! Um welche Fehlerart handelt es sich?
3.
Teilen Sie die Messergebnisse in eine geeignete Anzahl von Intervallen ein und zeichnen Sie ein Histogramm (Häufigkeitsverteilung). Vergleichen Sie die Verteilung Ihrer
Messwerte mit einer Gauß-Verteilung.
4.
Messen Sie die Pendellänge und schätzen Sie den Messfehler ab. Welche Fehlerart
haben Sie für diese Messung bestimmt?
5.
Bestimmen Sie aus Ihren Messwerten die Erdbeschleunigung g und geben Sie deren
Fehler mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes an.
Physikalische Grundlagen:
Mathematisches Pendel; systematischer und zufälliger Fehler; Fehlerfortpflanzung; Häufigkeitsverteilung; Gauß-Verteilung
Literatur:
Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 20 – 31
Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 2 – 5
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 350 – 351
Hinweise zur Versuchsdurchführung:
Messen Sie stets die Zeit für nur eine Schwingungsperiode. Arbeiten Sie mit einer hinreichend kleinen Auslenkung ( α < 5 o ).
Stellen Sie die Gleichung für die Schwingungsdauer des mathematischen Pendels nach der
Erdbeschleunigung g um.
Das Pendel und die Aufgabenstellung sind nicht geeignet, die Erdbeschleunigung genau zu
bestimmen. Die Messwerte dienen vor allem einer prinzipiellen Fehlerbetrachtung!
10
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Thermische Ausdehnung
TA
Physikalisches Grundpraktikum
Aufgabenstellung
1.
Ermitteln Sie den linearen Ausdehnungskoeffizienten für ein Metallrohr mit dem Hebelverfahren über eine grafische Auswertung (Anstiegsbestimmung, Ausgleichsrechnung).
2.
Bestimmen Sie unter Verwendung eines einfachen Dilatometers (Glaskolben mit Steigrohr) den kubischen Ausdehnungskoeffizienten von Glycerin (grafische Darstellung, Anstiegsbestimmung).
3.
Vergleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse unter Einbeziehung einer Fehlerrechnung mit
Literaturwerten (um welchen Werkstoff handelt es sich bei dem Metallrohr?).
Physikalische Grundlagen:
Definition der thermischen Längen- und Volumenausdehnungskoeffizienten; Abhängigkeit
der Ausdehnungskoeffizienten von den Anfangsbedingungen ( V0 ,t 0 ,l 0 ); atomtheoretische
Deutung der thermischen Ausdehnung; Anomalie des Wassers; thermische Ausdehnung
von Gasen; Wirkungsweise von Thermostaten; Temperaturabhängigkeit des Hohlraumvolumens; mögliche Fehler des Experiments
Literatur
Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 110 – 111
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 147 - 148
Zubehör:
Grundgerät mit Metallrohr und Dilatometer
1 Messuhr
1 Lineal
1 Thermostat
Vorsicht vor Verbrennungen und Verbrühungen!
Die Schlauchverbindungen zwischen Thermostaten und Messuhr müssen durch Schlauchklemmen abgesichert sein!
11
Versuchsdurchführung:
Vor Beginn des Versuches ist der ausreichende Wasserfüllstand im Thermostaten zu überprüfen.
Achtung: Nachfüllung nur mit destillierten Wasser (ggf. erfragen!).
Die Messungen mit dem Thermostaten sind im Temperaturbereich zwischen Raumtemperatur und etwa 70 o C in einem Abstand von etwa 5 K durchzuführen. Bei jeder Messung ist
das Temperaturgleichgewicht abzuwarten.
zu 1.)
Zur Ermittlung des linearen Ausdehnungskoeffizienten wird das Metallrohr an einer
Stelle fest eingespannt. Am freien Ende ist ein Hebel angebracht, der an einer
Messuhr anliegt. Das Rohr wird mittels Thermostat bei konstanter Einspannlänge
stufenweise temperiert.
zu 2.)
Zur Ermittlung des Volumenausdehnungskoeffizienten einer Flüssigkeit wird ein
Dilatometer verwendet, welches aus einem Glaskolben mit einem aufgesetztem
Steigrohr [Innendurchmesser (4 ± 0 ,1)mm ] besteht. Das eigentliche Ausdehnungsvolumen des Kolbens befindet sich im Wasserbad des Thermostaten. Das Anfangsvolumen V0 beträgt bei 20 ,5 o C
V0 = (1321 ± 2)ml .
Die zugehörige Steighöhe ist durch eine Markierung angezeigt.
Schätzen Sie den Einfluss der Ausdehnung der Glasgefäße (Kolben, Steigrohr) auf
den ermittelten Ausdehnungskoeffizienten ab!
(Ausdehnungskoeffizient von Glas:
12
K Glas = 8 ⋅ 10 −6 K −1 )
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
Kalorimeter
Spezifische Wärmekapazität
KA
Aufgabenstellung:
1.
Bestimmen Sie die Wärmekapazität K (den so genannten Wasserwert) der Kalorimeteranordnung. Benutzen Sie dazu eine elektrische Heizvorrichtung.
2.
Bestimmen Sie die spezifischen Wärmekapazitäten von Aluminium, Kupfer und Eisen!
Führen Sie eine ausführliche Fehlerrechnung durch! Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit
Literaturwerten!
3.
Überprüfen Sie die Regel von DULON und PETIT anhand der erhaltenen Werte für die
spezifische Wärmekapazität und diskutieren Sie auftretende Abweichungen.
Literatur:
Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 131 – 136
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 156 - 164
Physikalische Grundlagen:
1. Hauptsatz der Wärmelehre; spezifische innere Energie; Enthalpie und Wärmekapazität;
Regel von DULON und PETIT; Zusammenhang zwischen cp und cV; Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität; Bestimmungsmöglichkeiten des Wasserwertes;
Messmethoden der spezifischen Wärmekapazität von Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern;
Temperatur-Zeit-Diagramm
Zubehör:
1 Kalorimeteranordnung einschließlich Deckel mit Heberührer und Heizwiderstand
1 elektrische Kochplatte
1 Stromversorgungsgerät 12 V, 5 A ~
1 Voltmeter, 1 Amperemeter, Messleitungen
1 Quecksilberthermometer
1 Siedegefäß
2 Bechergläser
3 Probekörper mit Haltedraht
Waage
ACHTUNG!
Vorsicht vor Verbrühungen und Verbrennungen!
Vor Beginn eines jeden Teilexperimentes muss gewährleistet sein, dass das Kalorimeter nahezu Raumtemperatur besitzt.
13
Versuchsdurchführung:
zu 1. Zuerst werden in das Kalorimetergefäß 300 g kaltes Wasser eingewogen. Bauen Sie
danach eine elektrische Schaltung für die Heizung auf.
Vor deren Inbetriebnahme muss eine Kontrolle durch den Betreuer erfolgen! Die
Heizung muss mindestens 2 cm in das Wasser eintauchen!
Die vom Strom verrichtete Arbeit ( Wel = U ⋅ I ⋅ t ) kann vollständig in Wärmeenergie
umgewandelt werden. Die erzeugte Wärmemenge Qw bewirkt eine Temperaturerhöhung ΔT der Kalorimeterflüssigkeit (Masse m, spezifische Wärmekapazität c) und des
Kalorimeters (Wärmekapazität K), welche bei vollständig eingetauchtem Heizwiderstand und unter Vernachlässigung von Wärmeverlusten der Beziehung
Wel = Qw = (c ⋅ m + K ) ⋅ ΔT
genügt.
Die Messung des Temperatur-Zeitverlaufs erfolgt auf klassische Weise mit einem
Quecksilberthermometer. Der gesamte Prozess des Wärmeaustausches besteht aus
drei Abschnitten:
• Vorperiode: Wärmeaustausch des Kalorimeters mit der Umgebung vor Einschalten der elektrischen Heizung,
• Hauptperiode: Temperaturverlauf im Kalorimeter während der Energiezufuhr,
• Nachperiode: Wärmeaustausch des Kalorimeters mit der Umgebung nach Abschalten der elektrischen Heizung.
Messen Sie den gesamten Temperatur-Zeitverlauf nach folgendem Schema:
• Dauer der Vor- und Nachperiode 5 min, Temperaturmessung alle 30 s;
• Temperaturmessung während der Hauptperiode alle 15 s bei einer Temperaturänderung von etwa ΔT = 10 K.
Bemühen Sie sich um eine möglichst exakte Temperaturablesung (Zwischenwerte
schätzen!).
Zeichnen Sie den Temperatur-Zeitverlauf auf Millimeterpapier und bestimmen Sie daraus möglichst genau (betreffende Flächeninhalte „auszählen“) die extrapolierte Mischungstemperatur bzw. die Temperaturänderung (s. dazu auch den Anhang zum
Versuch „Umwandlungswärmen“).
Lesen Sie während des Heizvorganges die Werte für die Spannung und die Stromstärke mehrfach ab, bestimmen Sie daraus die Mittelwerte und verwenden Sie diese
zur Berechnung von Wel.
zu 2. Wiegen Sie den zu untersuchende Metallkörper und erhitzen ihn dann in einem Gefäß
mit siedendem Wasser (Temperatur messen!). Um zu verhindern, dass der Körper eine höhere Temperatur als die Wassertemperatur annimmt, darf er den Gefäßboden
nicht berühren! In das Kalorimetergefäß werden für diesen Versuchsteil 300 g kaltes
Wasser eingewogen. Nach etwa 10 Minuten ist der erhitzte Körper rasch in das Kalorimetergefäß zu überführen. Benutzen Sie für diesen Versuchsteil einen Kalorimeterdeckel ohne Heizung! Nehmen Sie analog zu Aufgabe 1 das TemperaturZeit-Diagramm auf und bestimmen Sie daraus wieder die extrapolierte Mischungstemperatur.
Diskutieren Sie als Fehlerquelle das am Probekörper haftende heiße Wasser, den Haltedraht sowie den Wärmeverlust bei der Überführung des Probekörpers in das Kalorimeter!
zu 3. Zur Überprüfung der Regel von DULON und PETIT wird das Produkt aus der relativen
Atommasse Ar und der spezifischen Wärmekapazität gebildet, welches annähernd
einen Wert von 25 Jg-1K-1 besitzen soll ( Ar : Al: 27, Cu: 63.5, Fe: 55.9).
Ermitteln Sie für alle Ergebnisse den absoluten Größtfehler.
14
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
Kalorimeter
Spezifische Umwandlungswärmen
UW
Aufgabenstellung:
1. Bestimmen Sie zu Beginn des Versuches die spezifische Wärmekapazität K (den sog.
Wasserwert) des Kalorimeters mit der Mischungsmethode.
2. Bestimmen Sie die spezifische Kondensationswärme qd von Wasserdampf!
3. Bestimmen Sie die spezifische Schmelzwärme qs von Eis!
4. Ermitteln Sie für alle experimentellen Endwerte (K, qd, qs) den relativen Maximalfehler
unter Verwendung von geschätzten Einzelfehlern. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse für
die spezifischen Umwandlungswärmen mit den Literaturwerten!
Grundlagen:
Wärmeaustausch; Temperatur-Zeit-Diagramm; Phasenumwandlungen und Phasendiagramm von Wasser; 1. Hauptsatz der Wärmelehre; Bestimmungsmöglichkeiten für Umwandlungswärmen und Wärmekapazitäten
Literatur:
Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 131 – 139
Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 56 - 64
Versuchszubehör:
1 Kalorimeter mit Deckel und integriertem Heberührer
1 Dampferzeuger
2 Bechergläser
1 Temperaturmessfühler für KTY-Steckmodul
Eis (Praktikumsvorbereitung)
ACHTUNG!
Vorsicht vor Verbrühungen und Verbrennungen!
Machen Sie sich vor Beginn des Experimentes mit dem Computerprogramm "temp"
zur Messwerterfassung und Auswertung vertraut!
15
Versuchsdurchführung:
zusätzliche Hinweise zum Computereinsatz:
Schalten Sie den Computer ein und starten Sie das Programm "temp".
Schätzen Sie den Zeitbedarf für das jeweilige Experiment ab und geben Sie eine geeignete
Messzeit vor. In dieser Zeit werden dann jeweils 500 Messwerte erfasst.
Lassen Sie sich die Aufnahme der Messwerte in der Grafik darstellen und führen Sie das
Experiment so durch, dass immer ausreichend Zeit zur Aufnahme der Nachperiode bleibt!
Zur grafischen Auswertung beachten Sie die Anlage zum Versuch „Kalorimeter – Spezifische
Wärmekapazität“ und die am Versuchsplatz ausliegenden Hinweise zum Umgang mit dem
Programm „temp“.
Mit der Taste "Druck" können sie die grafische Darstellung mit Auswertung ausdrucken.
zu 1. Bestimmen Sie mit der so genannten Mischungsmethode die spezifische Wärmekapazität K des Kalorimetergefäßes.
Füllen Sie dazu etwa 175 g auf 40°C erwärmtes Wasser in das Kalorimeter, warten
Sie das thermische Gleichgewicht ab und nehmen Sie die Vorperiode etwa 60 s lang
auf. Der Mischungsprozess beginnt mit dem Eingießen der gleichen Menge kalten
Wassers in das Kalorimeter.
Danach ist mindestens 60 s lang die Nachperiode zu verfolgen.
zu 2. Bringen Sie das Wasser im Siedegefäß zum Kochen und warten Sie die Einstellung
eines Temperaturgleichgewichts in der Dampfleitung ab. Der Kondensatfänger in der
Zuleitung soll verhindern, dass bereits kondensierter Dampf in das Kalorimeter gelangt. In das Kalorimeter sind etwa 250 g kaltes Wasser einzuwiegen. Die Temperatur
des ausströmenden Dampfes ist mit einem Thermometer zu messen, ehe das Glasrohr durch den Kalorimeterdeckel in die Kalorimeterflüssigkeit eingetaucht wird. Die
Dampfzufuhr wird unterbrochen, wenn sich die Wassertemperatur um ca. 25 K erhöht
hat. Die Nachperiode sollte hier ca. 90 s andauern.
Die Masse des kondensierten Dampfes wird durch Wägung ermittelt.
Während des Versuches ist mit dem Heberührer für gute Durchmischung zu sorgen.
zu 3. Geben Sie das zerkleinerte und mit Fließpapier abgetrocknete Eis in etwa 200 g Wasser von ca. 40°C. Die Masse des Eises kann nachträglich durch eine Wägung bestimmt werden. Sorgen Sie für eine gute Durchmischung während des Schmelzvorganges.
Vor Beginn eines jeden Teilexperimentes ist zu gewährleisten, dass das Kalorimeter nahezu Raumtemperatur besitzt.
Das Siedegefäß muss genügend destilliertes Wasser enthalten.
Vorsicht vor Verbrühungen und Verbrennungen!
16
Anhang: Kalorimetrie — zur experimentellen Bestimmung der Mischungstemperatur
mit CASSY
Die Mischungskalorimetrie beruht auf dem Energiesatz und bilanziert den Austausch von
Wärmemengen. Dazu werden in einem geeigneten Gefäß – dem Kalorimeter – zwei Stoffmengen unterschiedlicher Temperatur miteinander gemischt. Die Bilanz aus abgegebener
und aufgenommener Wärmemenge ergibt sich aus der Wärmekapazität Ckal des Kalorimeters, den Stoffmengen m1 und m2, ihren spezifischen Wärmen c1 und c2 , den Anfangstemperaturen T1 und T2 sowie der Mischungstemperatur Tm:
C kal (Tm − T1 ) + m1c1 (Tm − T1 ) = m2 c 2 (T2 − Tm ) .
Da das Kalorimeter aber kein abgeschlossenes System ist, tritt während der Mischung ein
Wärmeaustausch mit der Umgebung auf, was
die korrekte Bestimmung der Mischungstemperatur erschwert. Um eine möglichst gute
Näherung für die richtige Mischungstemperatur zu erhalten, wird der Temperatur-ZeitVerlauf über ein größeres Zeitintervall sowohl
vor als auch nach dem Mischungsvorgang
gemessen. Durch Extrapolation des Temperaturverlaufs vor der Mischung (der Vorperiode)
und nach der Mischung (der Nachperiode)
Bild 1: Mischungskalorimeter mit Tempe- kann man die Mischungstemperatur für einen
unendlich schnellen Wärmeaustausch, d.h.,
ratursensor und Cassy-Interface
ohne Wärmeverlust an die Umgebung, ermitteln.
Für die Praktikumsversuche Kalorimeter bzw. Umwandlungswärmen wird der TemperaturZeit-Verlauf im Kalorimeter mittels eines Temperatursensors über ein Cassy-Interface (Bild
1) vom Computer erfasst. Verwendet wird das erste Cassy-Modell der Fa. Leybold, das noch
unter dem Betriebssystem DOS läuft. Das Interface, welches über eine Einsteckkarte mit
dem PC verbunden ist, kann mit verschiedenen Messboxen bestückt werden. Bei diesen
Experimenten wird ein KTY-Sensor zur Temperaturmessung verwendet, der PC übernimmt
die Auswertung.
In Bild 2 ist der ausgewertete Temperatur-Zeit-Verlauf für die Mischung von warmem und
kaltem Wasser im Kalorimeter zu sehen. Dabei symbolisiert die gestrichelte Senkrechte
den unendlich schnellen Wärmeenergieaustausch, der in der Natur zwar nicht möglich
ist, hier aber extrapoliert wird. Deshalb liegen
die berechneten Temperaturen an den Kreuzungspunkten der eingezeichneten Geraden
(extrapolierte Vor- bzw. Nachperiode) und
nicht auf der Messkurve. Die Senkrechte
schließt mit der Temperatur-Zeit-Kurve jeweils gleiche Flächen ein, die für die abgegeBild 2: Temperatur-Zeit-Verlauf eines Mi- bene und die aufgenommene Wärmeenergie
schungsvorgangs mit Extrapolation stehen. Damit wird die Grundannahme des
Experiments (Qab = Qauf) befriedigt.
der Mischungstemperatur
17
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Trägheitsmoment
TM
Physikalisches Grundpraktikum
Aufgabenstellung:
1.
Bestimmen Sie für die Versuchsanordnung „Stab mit zwei Massen“ die Abhängigkeit des
Trägheitsmomentes J vom Abstand r der Massen bzgl. der Drehachse! Vergleichen Sie
mit dem theoretischen Ergebnis für „masselosen Stab mit zwei Punktmassen“.
2.
Messen Sie die Trägheitsmomente zweier Voll- und eines Hohlzylinders etwa gleicher
Masse und vergleichen Sie die Werte mit den berechneten!
3.
Bestätigen Sie den Satz von Steiner mittels der Rotation (Drehschwingung) einer Scheibe um verschiedene, im Abstand s zur Schwerpunktachse (Mittelpunktachse) parallele
Drehachsen. Vergleichen Sie die experimentellen mit theoretischen Werten.
4.
Bestimmen Sie für die Experimente von Aufgabe 2 den relativen Größtfehler.
Versuchszubehör:
Grundgerät (Drehteller; Richtmoment D der Schneckenfeder: Der Wert steht an der Vorrichtung)
Stab mit Kerben im Abstand von 5 cm (60 cm lang)
2 Massen
1 Vollzylinder (h = 90 mm, d = 90 mm)
1 Hohlzylinder (h = 90 mm, da = 90 mm, di = 86,6 mm)
1 Vollzylinder/Scheibe (h = 15 mm, d = 225 mm)
1 Aufnahmeteller (d = 100 mm)
1 kreisrunde Scheibe (d = 400 mm; s = 0, 2, 4, 6, 8, … mm)
Stoppuhr (ausleihen)
Æ alle Massen sind selbst zu bestimmen!
Physikalische Grundlagen:
Rotation eines starren Körpers, Massenträgheitsmoment, kinetische Energie
Literatur:
Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, S. 19 – 23
Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 64 – 67
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 70 – 73
18
Hinweise zur Versuchsdurchführung:
Bitte die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder
zusammengedrückt und nicht aufgebogen wird!
Die Anfangsauslenkung soll nicht mehr als ca. 90° betragen!
Das Trägheitsmoment der Drillachse (nicht zu verwechseln mit dem Stab!) selbst liegt in der
Größenordnung von 10-5 kgm². Es beeinflusst daher die Messergebnisse kaum und kann
vernachlässigt werden!
zu 1.
Bestimmen Sie zuerst das Massenträgheitsmoment des Stabes ohne Massen. Messen Sie dazu und in allen weiteren Experimenten mehrfach (mindestens 10-mal) die
Periodendauer jeweils für 5 volle Schwingungen und bestimmen sie daraus den Mittelwert der Periodendauer.
Variieren Sie nun die Position der Massen auf dem Stab (der Abstand der Kerben von
der Drehachse wächst um jeweils 5 cm, die beiden Massen haben jeweils den gleichen Abstand zur Drehachse).
Fertigen Sie eine grafische Darstellung J = J(r²) für die experimentellen und die theoretischen Werte an! Diskutieren Sie das Ergebnis.
zu 2.
Ersetzen Sie den Stab durch den Aufnahmeteller für die beiden Zylinder. Hier muss
der Einfluss des Tellers berücksichtigt werden! Den flachen Zylinder (Scheibe) können Sie direkt auf die Achse stecken. Zur Bestimmung der Periodendauer gehen Sie
wie unter 1. vor.
Vergleichen Sie die Werte mit den theoretisch berechneten, indem Sie für die experimentellen Ergebnisse den absoluten Größtfehler berechnen und überprüfen, ob die
experimentellen Werte innerhalb der Fehlergrenzen mit den theoretischen überein
stimmen.
zu 3.
Lassen Sie die Kreisscheibe zuerst um ihre Mittelpunktachse (Schwerpunktachse)
rotieren und variieren Sie die Drehachse dann in Schritten von je 2cm (die Abstände
ab 10 cm sollten nicht benutzt werden, da dann das auftretende Kippmoment zu groß
wird, wodurch die Messergebnisse sehr stark verfälscht werden). Achten Sie während
des Experiments darauf, dass die Messanordnung stets korrekt horizontal justiert ist.
Fertigen Sie eine grafische Darstellung J = J(s2) für die experimentellen und theoretischen Werte an! Diskutieren Sie das Ergebnis!
19
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
Sonometer
Schwingende Saite
SON
Aufgabenstellung:
1.
Messen Sie die Grundfrequenz f0 einer Gitarrensaite in Abhängigkeit von der Saitenspannung (eingestellt durch die Gewichtskraft F) jeweils für 30 cm und 60 cm Saitenlänge.
Stellen Sie das Ergebnis geeignet grafisch dar. Welcher Zusammenhang ergibt sich
für f 0 = f 0 ( F ) ?
2.
Messen Sie die Grundfrequenzen f0 von 4 Gitarrensaiten verschiedener Dicke bei konstanter Spannkraft (d.h., bei F = const). Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Grundfrequenz vom Querschnitt f 0 = f 0 ( A ) .
3.
Messen Sie für eine Saite die Frequenzen fn der Oberschwingungen und überprüfen Sie
den Zusammenhang f n = ( n + 1 ) f 0 .
Zubehör:
4 Gitarrensaiten verschiedener Dicke
1 Sonometer (Grundgerät)
1 HF-Generator
1 Erreger-Spule
1 Empfänger-Spule
1 Hängevorrichtung mit Gewichtssatz
1 Zweistrahl-Oszillograph
Physikalische Grundlagen:
Gleichung einer Sinus-Welle; Saitenschwingung; Grund- und Oberschwingungen; Überlagerung von Schwingungen und Wellen; stehende Wellen; Ausbreitungsgeschwindigkeit von
Wellen; Materialabhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit; Spannung und Dehnung;
Oszillograf
Literatur:
Alfred Recknagel: Physik – Schwingungen und Wellen (5. Aufl.), S. 48 - 53
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, Kap. 5: Schwingungen und Wellen
20
Durchführung:
Stellen Sie den Versuchsaufbau schematisch entsprechend der Abbildung her.
F
Legen Sie die Länge der schwingenden Saite mit den beiden Stegen fest und positionieren
Sie Erreger- und Empfänger-Spule geeignet (Erregung außerhalb der Mitte, Abstand zueinander mindestens 10 cm). Spannen Sie die Saite durch Anhängen der entsprechenden Masse in eine Kerbe des Hebels rechts und justieren Sie diesen horizontal durch Drehen an der
Stellschraube links (Gewichtskraft = horizontale Spannkraft). Die 5 Kerben sind äquidistant
und lassen die Spannkraft mit den Faktoren 1 ... 5 eingehen.
Zum Auswechseln der Saite lockern Sie die Stellschraube links.
Am Oszillografen werden die Erregerfrequenz und die Schwingungsfrequenz dargestellt.
Stellen Sie am Generator die entsprechende Grundfrequenz (Eigenfrequenz der Saite) ein,
so dass Resonanz entsteht. Machen Sie sich mit der Skalierung der Frequenz am Generator
vertraut und ändern Sie die Frequenz nur langsam. Überprüfen Sie optisch die Grundfrequenz (ein Schwingungsbauch!). Stellen Sie dabei je nach verwendeter Dicke der Saite die
Generatorspannung (Schwingungsamplitude) geeignet ein.
Für die verschiedenen Saiten ist die so genannte lineare Dichte A ⋅ ρ angegeben. Diese
ergibt sich als Produkt aus der Dichte ρ des Materials und der Querschnittsfläche A der
Saite.
Saite
lineare Dichte A ⋅ ρ in (g/m)
grün
0,78
gelb
1,12
blau
1,50
violett
1,80
21
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
Resonanz
Masse-Federschwinger
RES
Aufgabenstellung:
1.
Skizzieren Sie qualitativ das Amplitudenverhältnis (x0/x0Err) und die Phasenlage ϕ in
Abhängigkeit von der Erregerfrequenz fErr, wie sie in den Gleichungen (3) und (5) (s. Anhang) theoretisch dargestellt und im Experiment zu erwarten sind.
2.
Machen Sie sich mit der Funktionsweise der Versuchsapparatur "DRIVEN HARMONIC
MOTION ANALYZATOR" vertraut und überprüfen Sie die Justage (s. Anhang).
3.
Bestimmen Sie für das vorliegende schwingungsfähige Masse-Federsystem die Resonanzfrequenz f0 bzw. ω0, die Periodendauer T0, die Federkonstante k, die Dämpfung δ
und den Reibungskoeffizient bR.
4.
Nehmen Sie für die in Aufgabe 3 eingestellten Versuchsbedingungen die Auslenkungen
und Phasenlagen in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz auf.
5.
Überprüfen Sie die Eigenfrequenz f0 und die Dämpfung δ für die freie Schwingung.
Versuchszubehör:
Grundgerät
Zusatzmasse 50 g
Stoppuhr (ausleihen)
Physikalische Grundlagen:
ungedämpfte und gedämpfte Schwingung; freie und erzwungene Schwingung; Amplitude
und Phasenverschiebung der erzwungenen Schwingung; Resonanz;
Literatur:
Becker/Jodl: Physikalisches Praktikum, Versuch 7
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 365 – 370
22
Hinweise zur Versuchsdurchführung:
zu 1.
Dargestellt werden soll
x0
x0 Err
= y( f Err ) und ϕ = y( f Err ) ; die Dämpfung ist dabei der
Parameter.
zu 2.
siehe Anhang!
Der maximale Spitze-Spitzewert der Amplitude sollte 100 mm nicht überschreiten!
zu 3.
Am Grundgerät ist eine Erregeramplitude von 6 mm eingestellt. Die so genannte Güte
des schwingungsfähigen Systems (s. Anhang Gleichung (4)) sollte zwischen 6 und 10
liegen. Suchen Sie die Resonanzstelle – dann muss die Phase ϕ = 90 o und Amplitude x0Res ca. 50 mm betragen. Letztere lässt sich über die Dämpfung regulieren (Veränderung des beidseitigen Abstandes der Magnete vom Aluminium-Schwinger).
Achtung: Die digitale Anzeige gibt den Spitze-Spitzewert der Amplitude an, also den
doppelten Amplitudenwert!
Die Masse von Skala + Aluminiumschwinger beträgt 50 g. Das Messing-Zusatzgewicht wiegt ebenfalls 50 g.
zu 4.
Behalten Sie die Grundeinstellungen der Aufgabe 3 bei und variieren Sie die Erregerfrequenz der erzwungenen Schwingung etwa zwischen 20 ... 200 % der Resonanzfrequenz. Ändern Sie dabei die Frequenz in Resonanznähe in kleinen Schritten. Stellen Sie die Messwerte grafisch dar und vergleichen Sie mit den theoretischen Kurven
nach Gleichung (3) und (5) aus dem Anhang.
zu 5.
Lenken Sie den Schwinger maximal aus und lassen ihn freie, gedämpfte Schwingungen ausführen. Dabei bleibt die vorher mittels der Magnete eingestellte Dämpfung
unverändert.
Zur Bestimmung der Dämpfung registrieren Sie während der freien Schwingung die
aufeinander folgenden Amplituden. Tragen Sie diese logarithmisch über der Zeit auf
und bestimmen Sie aus dem Anstieg die Dämpfung.
Bestimmen Sie die Eigenfrequenz über die Messung der Periodendauer (Mehrfachmessung über 10 ... 20 Perioden). Nur für diesen Teil der Messung (am Ende
des Experiments!) ist die Dämpfung durch Wegdrehen der Magnete sehr klein zu
wählen.
23
Anhang
Am Masse-Federschwinger (betrachtet als harmonischer Oszillator) können vier Kräfte angreifen:
FTrägheit + FRe ibung + FFeder = FErregung
m
d 2x
dx
+ bR
+ kx = kxoErr cos( ω Err t + ϕ )
2
dt
dt
xoErr , ω Err und ϕ Amplitude, Kreisfrequenz und Phasenwinkel der äußeren periodischen Kraft FErregung ). Nach Division durch
(m Masse; bR Reibungskoeffizient; k Federkonstante;
die Masse m lautet die Bewegungsgleichung der erzwungenen Schwingung
d 2x
dx
+ 2δ
+ ωo2 x = ωo2 xoErr cos( ω Err t + ϕ )
2
dt
dt
mit
ωo =
k 2π
=
,
m To
2δ =
(1)
bR
m
(2)
( ωo Eigenkreisfrequenz des Masse-Federschwingers, δ Dämpfung des Schwingers). Die
Lösungen der Bewegungsgleichung zeigen, dass nach einiger Zeit (für exp( −δt ) ≤ 0 ,01 ) der
Einschwingvorgang abgeklungen ist und sich der uns hier interessierende stationäre Zustand
eingestellt hat, d.h., der Masse-Federschwinger schwingt mit konstanter Amplitude und Phasenverschiebung und mit der Frequenz der äußeren Erregung. Dann gilt
xo
=
xoErr
(ω
tan ϕ =
ωo2
2
o
−ω
(3)
) + (2δω )
2
2
Err
2δω Err
2
ωo2 − ω Err
2
Err
(5)
xo Re sonanz ω0
=
xoErr
2δ
ϕ Re sonanz = 90o
(4)
(6)
Gleichung (3) stellt die so genannte Resonanzkurve dar und Gleichung (5) beschreibt die
Phasenverschiebung zwischen Masse-Federschwinger und äußerem Erreger; die Gleichungen (4) und (6) gelten nur im Falle der Resonanz.
Versuchsanleitung zum Federschwinger
An der Feder hängt an einer Öse ein durchsichtiger Polystyrolstreifen (s. Abb.) mit einer Skala für die digitale Amplitudenmessung und einer Skala für die Phasenmessung. Die Skalen
werden durch zwei Lichtschranken abgetastet. An dem Polystyrolstreifen hängt ein Aluminiumstreifen, der sich in einem Magnetfeld bewegt und dadurch die geschwindigkeitsabhängige Dämpfung bewirkt.
24
Justierung: Der vierkantige Polystyrolstab bewegt
sich durch ein metallenes Rechteck, in dem die
Lichtschranken untergebracht sind. Wichtig ist, dass
der Polystyrolstab
1. mittig in dem metallenem Rechteck liegt (regulierbar durch die beiden Schrauben am Boden
der Versuchsanordnung) und
2. auch nicht verdreht in dem Rechteck liegt (regulierbar durch geringfügige Verdrehung der Öse
zur Feder) und
3. die richtige Höhe hat, d.h., bei Nulllage von Feder und Motor muss die Hell-Dunkelgrenze der
Phasenskala genau in der Höhe der Lichtschranke sein. Eine außen angebrachte Leuchtdiode zeigt an, ob die Phasenlichtschranke im
Hellen oder im Dunkeln liegt. Diese Leuchtdiode
sollte nur schwach glimmen. Die richtige Höhe
kann grob über die Fadenlänge zur Feder und
fein durch die Stellschraube an der höchsten
Stelle der Versuchsanordnung reguliert werden.
Die Nulllage des Erregers (motorgetriebene
Scheibe an der Rückseite der Versuchsanordnung) ist eingestellt, wenn die schwarze Skala
an der Scheibe waagerecht liegt und der gelbe
Zeiger nach oben zeigt.
Funktionsweise: Die Phasenlichtschranke gibt einen
Impuls an die Elektronik, wenn die Schwingung
durch die Nulllage nach unten geht (von dunkel
nach hell), also einmal pro Periode. Dieser Impuls
startet und stoppt
1. die Zählung der Impulse von der Amplitudenlichtschranke, so dass nach jeder Periode
der Amplitudenwert Spitze-Spitze angezeigt werden kann,
2. die Zeitmessung, so dass nach jeder Periode die Periodendauer der Schwingung angezeigt werden kann und
3. die Phasenmessung nach jeder Periode, indem beim Nulldurchgang des Schwingers
eine Leuchtdiode kurz aufblitzt, die beim Erreger in Höhe des Nulldurchgangs, d.h., in
Höhe des gelben Zeigers mit der Scheibe im Inneren des Gerätes mitläuft. Beim Aufblitzen der Leuchtdiode kann an der Vorderseite des Gerätes abgelesen werden, welchen
Phasenvorsprung ϕ der Erreger gegenüber dem Schwinger hat.
Nach dem Versuch bitte Feder entlasten (Aluminiumstab auf die Magnethalterung stellen)
und das Gerät ausschalten (Netzschalter an der Rückseite).
25
HS Merseburg (FH)
FB Ingenieur- und Naturwissenschaften
Torsionsmodul
TO
Physikalisches Grundpraktikum
Aufgabenstellung:
1.
Bestimmen Sie den Torsionsmodul G eines Drahtes aus der Periodendauer von Drehschwingungen (dynamische Methode).
2.
Ermitteln Sie den Schubmodul G mit der statischen Messmethode für einen Metallstab
(Stahl oder Messing oder Aluminium).
3.
Führen Sie zu allen Messungen eine ausführliche Fehlerrechnung durch.
Physikalische Grundlagen:
Materialkonstanten E, G, K ; Beziehungen zwischen den Konstanten; Elastizität und Torsion;
HOOKEsches Gesetz; Spannungs-Dehnungs-Diagramm; Bewegungsgleichung für Drehschwingung; Trägheitsmomentberechnung; Ableitung der Berechnungsformeln
Literatur:
Geschke (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, S. 67 – 76
Hering/Martin/Stohrer: Physik für Ingenieure, S. 84 - 94
Versuchszubehör:
Belastungsgewichte
1 Feinmessschraube
1 Stoppuhr
Versuchsdrähte
Stäbe (Stahl, Messing, Aluminium)
Hinweise zur Versuchsdurchführung:
zu 1. (Dynamische Methode)
Liegt das Material als dünner Draht vor, dann ist die dynamische Methode zur Bestimmung
des Torsionsmoduls besser geeignet. Sie basiert auf einer Drehschwingung, bei der das
Direktionsmoment aus der elastischen Verdrillung des Drahtes resultiert. Aus dem Direkti-
26
onsmoment D und dem Trägheitsmoment J des am Draht befestigten Körpers (Bild 1) folgt
die Periodendauer T :
T = 2π ⋅
J
.
D
1 Nullpunkteinstellung
2 Oberes Spannfutter
3 Draht
4 Unteres Spannfutter mit Scheibe
5 Zusatzscheibe
6 Magnet
Bild 1
1 Draht mit Direktionsmoment
D
2 Einspannvorrichtung für den Draht
3 Zusatzscheibe mit Trägheitsmoment
J1 =
1
⋅ m ⋅ R2
2
4 Scheibe und Einspannvorrichtung mit
unbekanntem Trägheitsmoment
J
Bild 2
Bei der Durchführung des Experimentes mit der Versuchsapparatur nach Bild 1 ergibt sich
das Problem, dass das Trägheitsmoment J im Allgemeinen nicht bekannt ist. Da die Einspannvorrichtung für den Draht eine komplizierte Form hat, lässt sich diese auch nicht mit
ausreichender Genauigkeit berechnen, so dass das Trägheitsmoment J eliminiert werden
muss.
Das erfordert die Durchführung einer zweiten Messung. Man befestigt dazu an die vorhandene Scheibe einen zylinderförmigen Körper (s. Bild 1 und 2), für den man das Trägheits-
27
moment J 1 nach J 1 =
1
⋅ m ⋅ R 2 berechnen kann. Dann kann man mittels Gl. (8) das Träg2
heitsmoment J eliminieren und gelangt schließlich zu Gleichungen für das Direktionsmoment D und den Torsionsmodul G , die das unbekannte Trägheitsmoment nicht mehr enthalten (vgl. Gln. (10) und (11).
Messgrößen:
Länge des Drahtes l
Radius des Drahtes r
Radius der Scheibe R
Periodendauer ohne Zusatzscheibe T
Periodendauer mit Zusatzscheibe T1
zu 2. (Statische Methode) Der Schermodul unterschiedlicher Materialien soll ermittelt werden. Für die statische Methode ist die Verwendung von Stäben vorteilhaft, weil für diese der
Zusammenhang zwischen dem Drehwinkel ϕ und den angreifenden Moment M gegeben
ist.
Die Versuchsapparatur (Bild 3) besteht im Wesentlichen aus einer drehbar gelagerten
Scheibe mit dem Radius R , welche fest mit dem einen Ende des Stabes verbunden wird
und einer gegenüber liegenden Aufnahmevorrichtung, in welche das andere Ende des Stabes fest eingespannt wird.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bild 3
28
Nullpunkteinstellung
Obere Halterung
Stab
Skala
Laser
Untere Halterung mit Spiegel
Drehscheibe
Lagerung
Gewichtaufnahme
Gewicht
Über einen Seilzug greift eine Kraft F tangential an der Scheibe an, so dass ein Moment
entsteht (Bild 4 und 5).
Die Verdrillung des Stabes kann auf einer Skala abgelesen werden. Beachten Sie, dass der
abgelesene Winkel infolge der Reflexion des Lichtstrahls am Spiegel dem doppelten Torsionswinkel ϕ entspricht.
Messgrößen:
Länge des Stabes l
Radius (Durchmesser der Scheibe) R
Masse des Gewichtes am Seilzug m
1 Laser
2 Umlenkrolle
3 Drehscheibe
4 Drehachse
Bild 4
ϕ
1 Laser
2 Skala
3 Spiegel
Bild 5
Für 10 unterschiedliche Massen ist das Verhältnis
F
ϕ
zu bestimmen und anschließend der
Mittelwert zu bilden. Mit diesem Mittelwert ist nach Gleichung (7) der Schermodul zu berechnen.
Hinweise:
Um die volle Länge der Winkelskala nutzen zu können, ist für die Messung ohne Zusatzgewichte der Lichtstrahl auf die Position „0“ einzustellen. Hierfür befindet sich an
der oberen Stabaufnahme ein Stellrad.
zu 3. Berechnen Sie den absoluten Größtfehler (Fehlerfortpflanzung) sowie den relativen
Maximalfehler unter Verwendung abgeschätzter Messunsicherheiten.
29
Anhang: Grundlagen
Die elastische Verdrillung eines festen Körpers wird
durch den Torsionsmodul G gekennzeichnet. Dieser
lässt sich für Stäbe mit einem kreisförmigen Querschnitt leicht bestimmen. Hierzu wird ein Stabelement
der Länge l , das um einen Winkel ϕ verdrillt wird,
betrachtet (Bild 6).
Gibt man den Torsionswinkel in Bogenmaß an, so gilt
s = r' ⋅ϕ .
(1)
Für den Zylindermantel der Dicke dr’ kann die Deformation als Scherung aufgefasst werden. Es gilt dann
für die Bogenlänge s
s = l ⋅α ,
(2)
wobei α der Scherwinkel ist. Für hinreichend kleine
Scherwinkel ist die Schubspannung τ dem Scherwinkel proportional:
τ = G ⋅α .
(3)
Der Proportionalitätsfaktor ist der Schub- oder Torsionsmodul. Multipliziert man die Schubspannung mit
Bild 6
der Querschnittsfläche des Hohlzylinders, so erhält
man aus den Gleichungen (1) bis (3) die Schubkraft
dFs = 2π ⋅ r' ⋅dr' ⋅G ⋅
r'
⋅ϕ .
l
(4)
Für die Torsion ist das Drehmoment entscheidend, welches man durch Multiplikation der
Schubkraft mit dem Hebelarm r’ erhält:
dM = 2π ⋅ r' 3 ⋅G ⋅
ϕ
l
⋅ dr' .
(5)
Die Integration über dr’ liefert das Gesamtdrehmoment M:
π ⋅G ⋅ r4
2π ⋅ G
⋅ ϕ ⋅ ∫ r' 3 dr' =
⋅ϕ .
l
2⋅l
0
r
M =
(6)
Gleichung (6) führt zu zwei unterschiedlichen Methoden zur Bestimmung von G:
a)
Statische Methode
Diese beruht auf der direkten Messung des Torsionswinkels in Abhängigkeit von dem angreifenden Drehmoment M. Hierzu wird über einen bekannten Hebelarm R mit einer veränderli-
30
chen Kraft Fs ein bestimmtes Drehmoment M erzeugt, welches zu einer messbaren Torsion
ϕ führt. Die Umstellung von Gl. (6) liefert dann den Torsionsmodul
G=
b)
2 ⋅ l ⋅ R ⋅ Fs
.
π ⋅ r 4 ⋅ϕ
(7)
Dynamische Methode
Die dynamische Methode verwendet eine Drehschwingung. Die Periodendauer T dieser
Schwingung ist durch das Trägheitsmoment J und das Direktionsmoment D gegeben:
T = 2π ⋅
J
.
D
(8)
Das Direktionsmoment D steht mit Gl. (6) durch
M = D ⋅ϕ
(9)
im Zusammenhang. Demnach ist
D=
π ⋅G ⋅r4
2⋅l
(10)
und zusammen mit Gl. (8) schließlich
G=
8π ⋅ J ⋅ l
.
T 2 ⋅r4
(11)
31