Fehlerrechnung

Fehlerarten
w(x)
1. Zufälliger Fehler – treten statistisch verteilt um einen Mittelwert auf
 Normalverteilung
x
w
Beispiele: Ableseunsicherheit ± ½ Skt.
Erschütterungen
Lagerkräfte (nur bei mech. Messgeräten)
2. Systematische Fehler
- treten unter gleichen Bedingungen mit gleichem Betrag
und Vorzeichen auf
- sind die Bedingungen bekannt, kann man diese Fehler aus
den Messwerten herausrechnen.
Beispiele:
Reibungsfehler
Innenwiderstandsfehler
Eichfehler der Messgeräte ± ½ Skt.
Fehlerangabe
1. Wahrer Fehler 
- Abweichung des Messwertes x vom wahren Wert X:
- meist unbekannt, da der wahre Wert X unbekannt ist
 x – X
2. Absoluter Fehler x - Intervall um Messwert x , welches den wahren Wert X mit einer
bestimmten Wahrscheinlichkeit P enthält: X = x ± x
- wenn x Größtfehler  P = 100%
x
X
- besitzt die Einheit des Messwerts
- x
+ x


3. Messunsicherheit xg: - auch Größtfehler
xg = ∑ │xsyst│ + ∑ │xzuf│
- Verhältnis aus Absolutfehler x und wahrem Wert X
3. Relativer Fehler
- da X meist nicht bekannt:
x
x
X ≈ x ( für kleine 
- einheitenlos
4. Prozentualer Fehler - Angabe des Relativfehlers in Prozent:
x
x 100%
- für Vergleiche am besten geeignet
Fehlerfortpflanzung
1. Bei Fehlern von Summen und Differenzen werden die Beträge der absoluten Fehler addiert:
f = ax + by - z

f = ax + by + z
2. Bei Fehlern von Produkten und Quotienten werden die Beträge der relativen Fehler addiert:
xy
f=a z

f
x
y
z
f = x + y + z
3. Bei Fehlern von Potenzen wird der relative Fehler mit dem Betrag des Exponenten multipliziert:
xn
f=aym

f
x
y
f = n x + m y
4. Fehler allgemein (totales Differential):
f
x +
x
f =
f
y +
y
f
z
z
Zufälliger Fehler in Messreihen
x
1. Arithmetischer Mittelwert:
1 n
 xi
n i 1
2. Standardabweichung n-1: - mittlerer Fehler der Einzelmessung
- Stichprobenstandardabweichung
- empirische Standardabweichung
- auch sx oder s
 n1 
3. Standardabweichung n:
- alle Elemente einer endlichen Grundgesamtheit werden erfasst
- Populationsstandardabweichung
- auch x
1 n
 ( xi  x )2
n i1
n 
4. Vertrauensbereich vn :
vn  
- enthält den wahren Wert
mit einer statistischen
Sicherheit von 68,3%
- Wendepunktabstand
X x
5. Streubreite R:
1 n
 ( xi  x )2
n  1 i1
 n1
n
 n1
n
x
R = xmax - xmin
- Variationsbreite
Beispiel
Messen des Umfang eines Topfes mit 200,00mm Durchmesser (Herstellerangabe)
durch Einfachmessung -  ist noch nicht bekannt!
Messgerät - Textilbandmaß mit mm-Teilung
 Eichfehler ± ½ mm (systematisch)
uE = ± ½ mm
 Ablesefehler ± ½ mm (zufällig)
uA = ± ½ mm
 Dehnung 5mm pro 1m (systematisch)
uD% ≈ +0,5%
 Bandstärke ½ mm (systematisch)
da Außenmessung: d = 1mm  uB ≈ +3mm (u ≈ 3d)
bekannt
dB
unbekannt
Messwert: z.B. u = 632mm
Wahrer Wert: u ≈ 628,32mm
Größtfehler: ug = +6,5mm / -1mm
Wahrer Fehler:  = 3,68mm
Durch Mehrfachmessung lässt sich lediglich der zufällige Fehleranteil senken.
Der zufällige Ablesefehler ± ½ mm würde dann durch die Standardabweichung
oder den Vertrauensbereich ersetzt

 n1
n
.
dT