Fehlerbetrachtung - Bildungsportal Sachsen

Fehlerbetrachtung
Eine physikalische Messung liefert nie den wahren Wert 𝑥𝑤 einer Messgröße 𝑋. Der als
Ergebnis der Messung gewonnene Messwert besitzt stets Messabweichungen. Die
Ermittlung der Messunsicherheiten für die im Rahmen eines Experimentes erhaltenen
Ergebnisse ist ein wichtiger Bestandteil der Versuchsauswertung. Erst eine Fehlerbetrachtung sagt etwas über die Güte des gewonnenen Ergebnisses aus. Ausführliche
Darstellungen dazu finden sich in der Literatur, z. B. in [1]. Im Folgenden werden nur die für
das Physik-Praktikum wesentlichen Grundlagen betrachtet.
1.
Fehlerarten
Grobe Fehler, die z. B. durch die Verwechslung von Skalen auf einem Messgerät entstehen
können, lassen sich prinzipiell vermeiden und werden im Folgenden nicht betrachtet.
Zufällige Messabweichungen gehorchen den Gesetzen der Statistik und sind prinzipiell
unvermeidbar. Ihre Ursachen liegen im Beobachter selbst (Ablesefehler), in der begrenzten
Einstell- und Ablesegenauigkeit von Messgeräten und veränderlichen äußeren Einflüssen
(z.B. wechselnder Luftdruck) oder im statistischen Charakter der Messgröße (z. B. Umwandlungsraten bei radioaktiven Präparaten).
Für systematische Messabweichungen ist charakteristisch, dass sie bei Wiederholung der
Messung unter gleichen Bedingungen konstant bleiben.
Die Ursachen der systematischen Fehler sind vor allem in den Messgeräten zu suchen (z. B.
fehlerhafte oder ungenaue Kalibrierung, unkorrekte Nullpunkteinstellung, systematische
Beeinflussung durch äußere Faktoren). Weitere systematische Abweichungen können bei
der Anwendung von formelmäßigen Beziehungen zur Auswertung von Messungen auftreten,
wenn die Voraussetzungen für ihre Gültigkeit nur ungenügend erfüllt sind (z. B. fehlende
Berücksichtigung von Wärmeverlusten bei kalorimetrischen Versuchen). Ferner kann die zu
messende Größe durch das Messgerät oder den Messvorgang systematisch verfälscht
werden (z. B. Einfluss des Eingangswiderstandes elektrischer Messgeräte).
Bekannte, d.h. nach Richtung und Betrag erfassbare systematische Abweichungen werden
grundsätzlich durch Berichtigung der Messwerte eliminiert. Die Größe unbekannter
systematischer Abweichungen ∆𝑋 kann man Geräteunterlagen oder Normblättern
entnehmen. Einige Angaben zu unbekannten systematischen Fehlern sind in Anlage 1 zu
finden. Prinzipiell ist die Ermittlung jeder systematischen Abweichung möglich, meist aber
mit erheblichem Aufwand verbunden. Unter Praktikumsbedingungen ist eine gründliche
Fehlerbetrachtung
Analyse systematischer Abweichungen kaum möglich. Ziel ist es daher, die systematischen
Abweichungen möglichst klein zu halten, so dass sie gegenüber den zufälligen Abweichungen vernachlässigbar sind. Bei Verwendung hinreichend genauer Messgeräte und
Einhaltung der entsprechenden Messbedingungen ist dies realisierbar. Bei den Fehlerbetrachtungen im Rahmen des Praktikums werden die systematischen Abweichungen in der
Regel nicht berücksichtigt.
2.
Größtfehlerabschätzung 1)
2.1 Größtfehler
Jede Fehlerbetrachtung sollte mit einer Abschätzung der Größtfehler (Größtfehlerabschätzung) beginnen. Unter dem Größtfehler (Maximalfehler) versteht man die größtmögliche, d.h. unter ungünstigsten Umständen auftretende Abweichung einer Messgröße
oder eines Ergebnisses vom wahren Wert. Mit der Abschätzung des Größtfehlers kann man
die Grenzen der mit einem bestimmten Messverfahren erreichbaren Genauigkeit
überschlagsmäßig bestimmen. Hat man dabei die Schwachstellen der Messung erkannt,
lassen sich entsprechende Veränderungen bei der Wahl der Messgeräte oder des Messverfahrens vornehmen.
Der Größtfehler ∆𝑋 einer physikalischen Größe 𝑋 setzt sich additiv aus dem zufälligen
Größtfehler ∆𝑧 𝑋 und dem unbekannten systematischen Fehler ∆𝑠 𝑋 zusammen 2) :
∆𝑋 = ∆𝑧 𝑋 + ∆𝑠 𝑋
(1)
Alle Fehlergrößen werden im Folgenden stets als positiv definit betrachtet.
Die zufälligen Größtfehler werden bei nur einmaliger Messung der betreffenden Größe basierend auf der Erfahrung des Experimentierenden und unter Berücksichtigung der
Anzeige- und Ablesegenauigkeit des benutzten Messgerätes sowie anderer zufälliger
Fehlerquellen - abgeschätzt. Diese Schätzung ist mit einer gewissen Willkür verbunden.
Besteht die Möglichkeit einer mehrfachen Messung, so empfiehlt sich die Aufnahme einer
kurzen Messreihe (ca. 10 Messungen). Der arithmetische Mittelwert 𝑥 gilt als Schätzwert
für den Erwartungswert μ (der Erwartungswert μ unterscheidet sich vom wahren Wert 𝑥𝑤
1)
Im Normblatt DIN 1319 wird die in Physik-Praktika übliche Größtfehlerabschätzung nicht genannt. Zur
deutlichen Unterscheidung wird im Folgenden bei der Darstellung der Größtfehlerabschätzung von Fehlern
(und nicht von den strenger gefassten Messabweichungen) gesprochen.
2)
Anstelle von ∆𝑋, ∆𝑧 𝑋, ∆𝑠 𝑋 u.ä. werden auch die Symbole 𝑢 𝑋 , 𝑢𝑧 (𝑋), 𝑢𝑠 𝑋 (nach DIN 1319) verwendet.
2
Fehlerbetrachtung
durch den systematischen Fehler):
1
𝑥=
𝑛
𝑛
𝑥𝑖
(2)
𝑖=0
mit den Messwerten 𝑥𝑖 zur Größe 𝑋. Als zufälligen Größtfehler kann man die dreifache
Standardabweichung des Mittelwertes 𝑠𝑥 verwenden (eine Begründung für diese
Vereinbarung wird im Abschnitt 3. Gegeben):
∆𝑧 𝑋 = 3𝑠𝑥 .
(3)
Zur Abschätzung des zufälligen Größtfehlers eines Mittelwertes aus ca. 10 Messwerten kann
in Ausnahmefällen auch die halbe Spannweite benutzt werden. Die Spannweite 𝑟 ist die
größte Differenz zwischen den Messwerten einer Messreihe, es gilt dann
∆𝑧 𝑋 = 0,5𝑟 = 0,5 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
(4)
Zu den unbekannten systematischen Fehlern sind in Anlage 1 einige Angaben zu finden. Zur
Angabe des vollständigen Messergebnisses s. Abschnitt 4.
2.2 Fehlerfortpflanzung (Größtfehlergleichung)
Der Größtfehler einer aus mehreren Messgrößen 𝑋1 , 𝑋2 , ... hervorgehenden Ergebnisgröße
𝑌 nach
𝑌 = 𝑓 𝑋1 , 𝑋2 , …
(5)
ergibt sich - unter der Voraussetzung, dass die Größtfehler ∆𝑋1 , ∆𝑋2 , ... klein gegenüber den
Messgrößen 𝑋1 , 𝑋2 ... sind - auf Grund der Taylorschen Reihenentwicklung aus der
Beziehung
𝜕𝑌
𝜕𝑌
∆𝑌 =
∆𝑋1 +
∆𝑋2 + ⋯ .
(6)
𝜕𝑋1
𝜕𝑋2
Dabei sind die 𝜕𝑌 𝜕𝑋1 , 𝜕𝑌 𝑋2 , ... die partiellen Ableitungen von 𝑌 𝑋1 , 𝑋2 , … nach den
Größen 𝑋1 , 𝑋2 ,... . Die Betragsstriche bewirken, dass eine eventuelle Kompensation von
einzelnen Termen in (6) vermieden wird. So erhält man stets den größtmöglichen Fehler.
Die Bildung der partiellen Ableitungen kann man sich häufig sparen, da sich die
Größtfehlergleichung (6) für einige oft vorkommende Fälle sofort angeben lässt.
3
Fehlerbetrachtung
Bei einer Summe (oder Differenz) von Messgrößen
𝑌 = 𝑎𝑋1 + 𝑏𝑋2 + 𝑐𝑋3 ± ⋯
(7)
errechnet sich der absolute Größtfehler der indirekt ermittelbaren Größe 𝑌 nach
∆𝑌 = 𝑎 ∆𝑋1 + 𝑏 ∆𝑋2 + 𝑐 ∆𝑋3 + ⋯ .
(8)
Bei einem Potenzprodukt von Messgrößen entsprechend
𝑌 = 𝑋1𝑎 ∙ 𝑋2𝑏 ∙ 𝑋3𝑐 …
(9)
ergibt sich der relative Größtfehler mit (6) aus der Summe der Beträge der mit dem
jeweiligen Exponenten (auch negativ oder gebrochen) multiplizierten relativen Größtfehler
der Messgrößen
∆𝑌
∆𝑋1
∆𝑋2
∆𝑋3
(10)
= 𝑎
+ 𝑏
+ 𝑐
+⋯.
𝑌
𝑋1
𝑋2
𝑋3
Messgrößen, die mit höherer Potenz in die Funktion 𝑌 eingehen, sind daher besonders
sorgfältig zu messen. Bei Messreihen sind für die Berechnung der Größtfehler nach (8) bzw.
(10) jeweils die Mittelwerte der Größen 𝑋1 , 𝑋2 , … zu verwenden.
Beispiel: Der Druck durch eine Kraft F auf eine Kreisfläche 𝐴 mit dem Radius 𝑟 errechnet
sich nach
𝐹
𝐹
𝑝= = 2 ,
(11)
𝐴 𝜋𝑟
der relative Größtfehler aus
∆𝑝
∆𝐹
∆𝑟
=
+ 2
.
𝑝
𝑟
𝐹
3.
(12)
Statistische Fehlertheorie (Statistische Fehlerrechnung, Gaußsche Fehlerrechnung)
3.1 Voraussetzungen, Definitionen
Zwei wesentliche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit die statistische Fehlertheorie
angewandt werden darf:
Die unbekannten systematischen Abweichungen müssen gegenüber den zufälligen
Abweichungen vernachlässigbar klein sein, d.h. es muss gelten ∆𝑠 𝑋 ≪ ∆𝑧 𝑋,
4
Fehlerbetrachtung
-
und es muss eine sehr große Anzahl n (Stichprobenumfang) von Messwerten vorliegen,
die unter gleichen Bedingungen gewonnen wurden und statistisch (genauer: normal-)
verteilt sind (Gaußverteilung).
Der Mittelwert 𝑥 einer Messreihe nach (2) ist nicht identisch mit dem Erwartungswert μ,
nähert sich diesem aber mit wachsender Zahl 𝑛 der Messungen. Die empirische Standardabweichung einer Einzelmessung 𝑠𝑋 ergibt sich aus den quadrierten Abweichungen der
Messwerte 𝑥𝑖 von ihrem Mittelwert 𝑥 nach
𝑠𝑋 =
𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛−1
2
.
(13)
Für 𝑛 → ∞ fallen 68% aller Messwerte in den Bereich 𝑥 ± 𝑠𝑋 (Abb. 1). Das Quadrat der
Standardabweichung 𝑠𝑋2 nennt man auch Varianz oder Streuung.
Abb. 1:
Darstellung zufallsverteilter
Messwerte 𝑥𝑖 zur Größe 𝑋
𝑥
0
𝑠𝑋
𝜇
𝑠𝑋
𝑋
Für die Beurteilung der Genauigkeit des Mittelwertes 𝑥 ist die (empirische) Standardabweichung des Mittelwertes nützlich:
𝑠𝑋 =
𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑛 𝑛−1
2
.
(14)
Der Erwartungswert μ fällt für 𝑛 → ∞ mit einer Wahrscheinlichkeit von 𝑃 = 68%
in den Bereich 𝑥 ± 𝑠𝑋 .
Bei einer endlichen Zahl von Messwerten muss man 𝑠𝑋 mit einem Faktor 𝑡 multiplizieren,
um eine statistisch gesicherte Aussage zu erhalten. Der Faktor 𝑡 ist eine Funktion der gewünschten statistischen Sicherheit 𝑃 (Vertrauensniveau) und des Stichprobenumfanges 𝑛
(siehe Anlage 2); im Physik-Praktikum wird er meist für eine statistische Sicherheit von 99%
gewählt.
Das Intervall 𝑥 − 𝑡𝑠𝑋 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥 + 𝑡𝑠𝑋 nennt man Vertrauensbereich (Konfidenz-Intervall),
die Größe 𝑡𝑠𝑋 (= ∆𝑋) bezeichnet man als Messunsicherheit und die Werte 𝑥 ± 𝑡𝑠𝑋
heißen Vertrauensgrenzen.
5
Fehlerbetrachtung
Beispiel: Zu einer Größe 𝐺 liegen 10 Messwerte 𝐺1 , 𝐺2 ,...𝐺10 vor. Es wird die Angabe von
Vertrauensgrenzen für eine statistische Sicherheit von 99% erwartet. Demzufolge ist die
Standardabweichung des Mittelwertes 𝑠𝐺 mit einem Wert t = 3,25 zu multiplizieren.
Auf dieser Grundlage basiert auch die in (3) getroffene Vereinbarung, zur Ermittlung des
zufälligen Größtfehlers ∆𝑧 𝑋 die Standardabweichung 𝑠𝑋 mit dem Faktor 3 zu
multiplizieren.
3.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz
Die Standardabweichung einer nach (5) aus den Größen 𝑋1 , 𝑋2 , ... berechneten
Ergebnisgröße 𝑌 ergibt sich mit Gauß zu
𝜕𝑌
𝑠
𝜕𝑋1 𝑋 1
𝑠𝑌 =
2
𝜕𝑌
+
𝑠
𝜕𝑋2 𝑋 2
2
+⋯ .
(15)
Voraussetzung für die Nutzung dieser Beziehung ist, dass alle verwendeten Messgrößen
𝑋1 , 𝑋2 ,... mit dem gleichen Stichprobenumfang 𝑛 ermittelt werden. Ein Vertrauensbereich
lässt sich dann wieder mit dem Faktor t entsprechend Anlage 2 angeben.
Die Bildung der partiellen Ableitungen kann man wie bei der Abschätzung der maximalen
Messunsicherheiten in vielen Fällen abkürzen. Für eine Summe oder Differenz von
Messgrößen entsprechend (7) ergibt sich als Standardabweichung
𝑠𝑌 =
𝑎𝑠𝑋 1
2
+ 𝑏𝑠𝑋 2
2
+ 𝑐𝑠𝑋 3
2
+⋯ .
(16)
+⋯ .
(17)
Im Falle eines Potenzproduktes nach (9) erhält man
𝑠𝑌
𝑌
=
𝑎
𝑠𝑋 1
2
𝑋1
+ 𝑏
𝑠𝑋 2
𝑋2
2
+ 𝑐
𝑠𝑋 3
𝑋3
2
Beispiel: Berechnung des Druckes p, der durch eine Kraft F auf eine Kreisfläche 𝐴 mit
dem Radius 𝑟 ausgeübt wird (siehe (11)); relative Standardabweichung des Mittelwertes:
𝑠𝑝
=
𝑝
6
𝑠𝐹
𝐹
2
+ 2
𝑠𝑟
𝑟
2
.
(18)
Fehlerbetrachtung
3.3 Lineare Regression (Ermittlung der Ausgleichsgeraden)
Bei vielen Versuchen werden Messreihen für zwei Größen x und y aufgenommen, zwischen
denen eine lineare Abhängigkeit in der Form 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 besteht (z.B. lineare Abhängigkeit
zwischen dem Spannungsabfall U und der Stromstärke I beim Ohmschen Widerstand). Durch
eine lineare Regression wird die optimale Ausgleichsgerade für die Messpunkte nach dem
Prinzip der kleinsten Fehlerquadratsumme ermittelt. Ein entsprechendes Rechenprogramm
liefert dabei den Anstieg 𝑏 und das Absolutglied 𝑎 sowie deren Standardabweichungen
𝑠𝑏 und 𝑠𝑎 . Als Maß für die Güte der Anpassung dient der Korrelationskoeffizient 𝑟𝑥𝑦 , der
möglichst nahe bei +1 oder -1 liegen sollte. Die mathematischen Zusammenhänge sind der
Literatur zu entnehmen (z.B. [1]).
Vielfach kann man davon Gebrauch machen, dass sich bestimmte nichtlineare
Zusammenhänge durch geschickte mathematische Operationen linearisieren lassen und
dann auch einer linearen Regression zugängig sind.
Beispiel: Bei der radioaktiven Umwandlung ändert sich die Aktivität 𝐴 mit der Zeit 𝑡
entsprechend dem Umwandlungsgesetz
𝐴 𝑡 = 𝐴0 𝑒 −𝜆𝑡 mit 𝐴0 = 𝐴 𝑡 = 0 ;
(19)
dabei ist λ die Umwandlungskonstante. Nach Division durch die Einheit der Aktivität (Bq) und
Logarithmieren beider Seiten von (19) folgt3)
𝑙𝑛
𝐴 𝑡
𝐴0
= 𝑙𝑛
− 𝜆𝑡 .
𝐵𝑞
𝐵𝑞
(20)
Diese Darstellung ergibt eine Gerade vom Typ 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 mit 𝑦 = 𝑙𝑛 𝐴 𝐵𝑞 ,
𝑎 = 𝑙𝑛 𝐴0 𝐵𝑞 , 𝑏 = −𝜆 und 𝑥 = 𝑡. Die lineare Regression liefert Mittelwerte für 𝑎 und
𝑏. Mit ihnen erhält man unmittelbar 𝐴0 𝐵𝑞 = 𝑒 𝑎 und 𝜆 = −𝑏. Zur Ermittlung der
Standardabweichungen von 𝐴0 𝐵𝑞 = 𝑒 𝑎 und 𝜆 = −𝑏 wendet man (15) auf diese
Größen an und erhält 𝑠𝜆 = 𝑠𝑏 sowie 𝑠𝐴0 𝐵𝑞 = 𝑒 𝑎 𝑠𝑎 .
3) Die Division durch die Einheit Bq ist erforderlich, da man den Logarithmus nur von dimensionslosen Größen
bilden kann. Arbeitet man nur mit Zahlenwerten, entfällt diese Division.
7
Fehlerbetrachtung
4.
Ergebnisangaben (vollständiges Messergebnis)
Als vollständiges Messergebnis sollen im Rahmen des Praktikums stets der Messwert (bzw.
der Mittelwert bei einer Messreihe) oder die Ergebnisgröße und der zugehörige Fehler bzw.
die Messunsicherheit angegeben werden. Die Fehler werden mit höchstens zwei zählenden
Ziffern geschrieben. Die Stellenzahl des Ergebnisses wird auf die des Fehlers abgestimmt. Es
hat keinen Sinn, Stellen zu nennen, die völlig unsicher sind. Die letzte Stelle des Fehlers muss
auf die letzte angegebene Ziffer des Ergebnisses wirken. Zusätzlich sollte beim Ergebnis stets
erwähnt werden, auf welcher Basis die Fehlergröße ermittelt wurde (Abschätzung des
Größtfehlers, statistische Fehlertheorie).
Wird der Größtfehler abgeschätzt, so schreibt man
bei einer Einzelmessung
𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑋 bzw.
bei einer Messreihe
𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑋.
Beispiel 1: Messung einer Länge mit dem Stahllineal:
Die einmalige Messung ergibt
𝑙
= 273,7 mm ,
∆𝑙
= 0,3 mm .
Vollständiges Messergebnis
𝑙
= (237,7 ± 0,3)mm
(Fehlerangabe: Größtfehler)
Beispiel 2: Ermittlung des Temperaturkoeffizienten eines elektrischen Widerstandes:
𝛽
= 0,004238 K-1 ,
∆𝛽
= 0,00018 K-1 .
Vollständiges Messergebnis
𝛽
= (4,2 ± 0,2) 10-3 K-1 .
(Fehlerangabe: Größtfehler)
Die Schreibung mit Zehnerpotenzen gestaltet das Ergebnis übersichtlicher und erspart das
Schreiben vieler Nullen. Ist es wegen der Kleinheit der systematischen Abweichungen
möglich, die statistische Fehlertheorie zu benutzen, sind die Vertrauensgrenzen für ein
Vertrauensniveau 𝑃 anzugeben: 𝑌 = 𝑦 ± 𝑡𝑠𝑦 .
Die Berechnungen ergeben
Beispiel 3: Bestimmung einer Dichte:
Die Berechnungen liefern
Vollständiges Messergebnis
oder hier günstiger
8
𝜌
𝑡𝑠𝜌
= 6,45897 g/cm3 ,
= 0,38 g/cm3 .
ρ
= (6,46 ± 0,38) g/cm3
ρ
= (6,5 ± 0,4) g/cm3 .
(Fehlerangabe: Vertrauensgrenzen für P = 95%)
Fehlerbetrachtung
Werden Ergebnisse ohne Angabe von Fehlern/Unsicherheiten mitgeteilt, so muss man auch
dann die Größenordnung der zu erwartenden Unsicherheit erkennen können. Daher werden
nur so viele Stellen angegeben, dass nur die letzte Ziffer unsicher ist.
Beispiel 4:
Angabe der Fallbeschleunigung:
g = 9,81 m/s2
bedeutet eine Unsicherheit von etwa 1‰ ,
2
g = 9,8 m/s
bedeutet eine Unsicherheit von etwa 1% ,
2
g = 10 m/s
bedeutet eine Unsicherheit von etwa 10% .
Wird keine gründliche Fehlerbetrachtung durchgeführt, muss abgeschätzt werden und an
der gewählten Stellenzahl des Ergebnisses erkennbar sein, ob die Unsicherheit in der
Größenordnung von 1 ‰ , 1% oder 10% liegt.
Beispiel 5: Massenangabe bei einer geschätzten Messunsicherheit von 1%:
erhaltenes Resultat
m = 1348 g ,
Ergebnisangabe
[1]
m = 1,35103 g = 1,35 kg
D. Geschke (Herausgeber), „Physikalisches Praktikum“,
B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart-Leipzig, ab 9. Auflage.
9
Fehlerbetrachtung
Anlage 1: Unbekannte systematische Fehler/Messabweichungen ∆𝑠 𝑋 einiger Messmittel
Längenmessgeräte, die im Praktikum verwendet werden:
5𝑙/𝑚𝑚
Stahlbandmaß
∆𝑠 𝑙 = 0,05 +
Analog-Messschieber
∆𝑠 𝑙 = 0,05 +
Analog-Messschraube
∆𝑠 𝑙 = 0,005 +
Digital-Messchraube
Digital-Messuhr
Quarzstoppuhr
∆𝑠 𝑙 ≤ 0,002 𝑚𝑚
∆𝑠 𝑙 ≤ 0,02 𝑚𝑚
∆𝑠 𝑡 ≤ 10−5 𝑡
10 5
𝑙/𝑚𝑚
10 4
𝑙/𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
10 5
𝑚𝑚
Laborthermometer bis +60°C: ∆𝑠 𝜗 ≈ 𝑆𝑘𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑛 𝐾, 𝜗= Celsius-Temperatur
Elektrische Messgeräte:
Zeigerinstrumente: Die Angabe der Güteklasse (relative Abweichung in Prozent des
Messbereichsendwertes) findet man auf dem Skalenträger.
Digitalmultimeter: ∆𝑠 𝑋 = 𝐺ü𝑡𝑒𝑘𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑣. 𝑀. + 𝑛 𝐷𝑖𝑔𝑖𝑡𝑠 (v.M.-vom Messbereich, 𝑛 ≥ 1)
Oszilloskop: 3% vom Messwert in x- und y-Richtung
Anlage 2: t-Werte (Student-Verteilung) für unterschiedliche
heiten P und verschiedenen Stichprobenumfang n
P
n
70 %
80 %
90 %
95 %
99 %
99,9 %
3
5
10
15
1,39
1,19
1,10
1,08
1,04
1,89
1,53
1,38
1,35
1,28
2,92
2,13
1,83
1,76
1,65
4,30
2,78
2,26
2,15
1,96
9,93
4,61
3,25
2,98
2,58
31,6
8,58
4,78
4,14
3,29

10
statistische
Sicher-