Betrifft: ABC - Differenzierung

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Physik
Messabweichungen
FEHLERRECHNUNG
1
Der Begriff : Messabweichung / Messfehler
Messungen physiskalischer Größen sind grundsätzlich fehlerbehaftet, d.h. man erhält Messwerte, die
vom wahren Wert mehr oder weniger abweichen. Als Symbol für alle Messabweichungen / Fehler wird
der Buchstabe  verwendet (aber leider nicht einheitlich !).:
x = xm- xw
absolute Messabweichung = Messwert minus wahrer Wert
Je nach Ursache der Messabweichung unterscheidet man ( ausgenommen die auf groben Irrtümern
beruhenden „Ausreißer“) zwischen systematischen und zufälligen Messabweichungen / Fehlern.
Beide Fehlerarten können absolut: x und relativ: x /x angegeben werden. Letztere Art besitzt
größere Aussagekraft und wird daher bevorzugt. Absolute Angaben allein sagen nichts über die
Qualität der Messung aus.1
x
( xm  xw )
( xm  xw )


Relativer Fehler (rel.Messabweichung) Fr 
: (mal 100%)
xw
xw
xm
xM.....Messbereichsendwert,
xm..... Messwert,
xw.....“Wahrer Wert“
Der relative Fehler wird bei Messgeräten oft auf den Messbereichsendwert bezogen, er heißt dann
Relativer Anzeigefehler:
x ( x  x )
FAr 
xM

m
w
xM
Da der wahre Wert einer Messgröße nicht ermittelt werden kann, ersetzt man ihn durch ein Intervall,
innerhalb dessen der Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Es ist Ziel der
Fehlerrechnung, dieses Intervall zu bestimmen.
Das Endergebnis lautet dann:
xw = x  x
2
Systematische Fehler / Messabweichungen
Sie entstehen durch:
Unvollkommenheit der Messgeräte- und Verfahren,(Funktionsfehler, Eichfehler)
vernachlässigte Einflüsse (Druck, Temperatur,....)
mangelnde Reinheit und Langzeitstabilität der Werkstoffe
Einfluss des Messgeräts auf das Messobjekt
u.s.w.
Wird eine Messung unter gleichen Bedingungen wiederholt, so tritt eine systematische
Messabweichung (in gleichbleibender Größe und mit gleichem Vorzeichen) auf. Diese
Messabweichung ist im Prinzip vorhersehbar und auch korrigierbar. (z.B. stromrichtige oder
spannungsrichtige Messung mit nachfolgender Korrektur).
Können systematische Messabweichungen / Fehler nicht vermieden oder klein gehalten werden, z. B.
weil der erforderliche Aufwand zu groß wäre, so sind sie im Messergebnis durch entsprechende
Eine Widerstandsabweichung von 50 Ohm bedeutet bei einem 50 Ohm Abschlusswiderstand wahrscheinlich ein Versagen
der Netzwerksverbindung, dagegen wird die selbe absolute Abweichung bei einem 10-Mohm Widerstand praktisch
bedeutungslos.
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Physik
Messabweichungen
Korrekturen zu berücksichtigen. Das gilt, wenn systematische Abweichungen bekannt oder leicht
bestimmbar sind.
Die nicht erfassbaren systematischen Abweichungen werden geschätzt und zum zufälligen Fehler
addiert. Die Summe beider Fehler wird vielfach als Messunsicherheit bezeichnet.
3
Zufällige Fehler / Messabweichungen
Für zufällige Fehler gibt es objektive und subjektive Ursachen. Sie entstehen durch:
 Unzulänglichkeiten beim Messenden
 Ungeschicklichkeit beim Messen und Ablesen
 statistisch wirkende äußere Einflüsse (Erschütterungen, Spannungsschwankungen,...)
 Reibung und toter Gang bei mechanischen Bewegungen
u.s.w.
Zufällige Fehler haben statistischen Charakter und besitzen beiderlei Vorzeichen. Wird die Messung
unter gleichen Bedingungen wiederholt, so streuen die Messwerte um einen Mittelwert.
Wird die Messung nur einmal durchgeführt, so ist der zufällige Fehler zu schätzen.
Bei mehrfachen Messungen kann er mit statistischen Methoden ermittelt werden.
4
Berechnung zufälliger Fehler / Messabweichungen
Die statistische Fehlerrechnung befasst sich mit folgenden Fragen:
Wie weit entfernt sich der einzelne Messwert durchschnittlich vom Mittelwert?
-„Mittlerer Fehler der Einzelmessung“
Wie weit entfernt sich der Mittelwert mehrerer Messwerte vom wahren Wert?
-„Mittlerer Fehler des Mittelwertes oder Vertrauensbereich des Mittelwertes“
Wie weit entfernt sich ein Funktionswert vom wahren Wert, wenn er nicht selbst gemessen,
sondern aus fehlerbehafteten Größen errechnet wurde?
-„Mittlerer Fehler und Größter Fehler des Funktionswertes“
4.1
Mittelwert einer Messreihe
Wird eine Größe x immer wieder unter völlig gleichen Bedingungen gemessen, so liegen die
Messwerte in einem bestimmten Bereich und der am häufigsten vorkommende Messwert etwa in der
Mitte dieses Bereichs (sofern nur zufällige Fehler auftreten). Dabei sind große Abweichungen von der
Mitte des Bereichs selten, kleine Abweichungen häufiger. Wird die Häufigkeit n, mit der die einzelnen
Messwerte auftreten, über dem Messwert x aufgetragen, so ergibt sich eine Verteilungskurve, die bei
einer sehr großen Anzahl von Messungen in eine Glockenkurve, die Gauß´sche Normalverteilung,
übergeht. Das Maximum dieser Kurve, also der häufigste Messwert, ist der wahrscheinlichste Wert
und entspricht dem arithmetischen Mittelwert x .
Der Mittelwert ist mit dem wahren Wert nicht identisch, nähert sich diesem aber mit zunehmender
Anzahl von Messungen.
Je häufiger eine Messung wiederholt wird, umso näher liegt der Mittelwert am wahren Wert.
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Messabweichungen
xi....Messwert,
n...Anzahl der Messungen,
x ...Mittelwert
1 n
x    xi
n i 1
Bei der Berechnung des Mittelwertes und der anschließenden Fehlerrechnung bleiben eindeutig als
falsch erkannte Messwerte unberücksichtigt.
4.2
Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß für die „Zuverlässigkeit“ der einzelnen Messwerte innerhalb
einer Messreihe. Sie bestimmt die durchschnittliche zufällige Abweichung vom Mittelwert und wird
häufig als mittlerer (quadratischer) Fehler der Einzelmessung“ bezeichnet.
s
2  s...empirische Standardabweichung
n
1
1 n 
   x i  2    x i   xi...i-ter .Messwert,
n  1  i1
n  i1  
n...Anzahl der Messungen,
1 n
2
  x  x 
n  1 i1 i
x ...Mittelwert
Das Quadrat der Standardabweichung: s2 wird Streuung oder Varianz genannt.
Eine Vergrößerung der Anzahl der Messungen führt zwar zu einer Verbesserung des Mittelwertes x ,
nicht aber zu einer merklichen Verkleinerung der Standardabweichung s, weil mit der Anzahl der
Messungen die Genauigkeit der einzelnen Messung nicht steigen kann.
Bei Vorliegen einer Gaußschen Normalverteilung, das ist bei einer sehr großen Anzahl von
Messungen, fallen 68,3% der Messwerte in den Bereich ( x - s) bis ( x + s) , es besteht also eine
statistische Sicherheit von 68,3% einen Messwert in diesem Bereich zu finden.
Bei der industriellen Fertigung wird meist die zweifache Standardabweichung 2s verwendet. Dabei
wird der Wert mit einer Sicherheit von 95,4% im Bereich x - 2s bis x +2s liegen.
Bei biologischen und medizinischen Messreihen verwendet man die dreifache Standardabweichung 3s,
bei der der Wert mit 99,73% Sicherheit im Bereich von x -3s bis x +3s liegt.
Die mathematische Formel für die Gaußsche Normalverteilung besagt, dass die Wahrscheinlichkeit,
einen Messwert im Bereich zwischen x und x+x anzufinden , (x)*x beträgt. Wird der Inhalt aller
Säulen: (x)*x von - bis + aufsummiert, so erhält man als in Summe eine
Wahrscheinlichkeit von 100% (der Wert muss ja irgendwo zwischen - bis + zu finden sein).
Das Maximum dieser (auf Flächeinhalt = 1
normierten ) Glockenkurve liegt über dem
Mittelwert x .
(x  x )
 ( x) 
1

2
*
e
2
2
2
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Physik
Messabweichungen
Die Breite der Kurve beträgt in der Höhe des Wendepunktes, das ist bei ca. 60% des Maximalwertes,
die doppelte Standardabweichung 2s.
Wegen der endlichen Anzahl an Messwerten ergibt sich keine glatte Gauß-Kurve, sondern eine
Treppenkurve.

x1

 ( x ) x
(xi).x
(x)
x
ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert zwischen - und x1 liegt.
ist die Wahrscheinlichkeit, den Messwert in der i-ten Säule oder i-ten Klasse zu finden.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Säulenbreite, auch Klassenbreite .
Die aus einer Messreihe ermittelte Standardabweichung s stellt eine Schätzung für die Breite der
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (x) dar. Bei Vorliegen einer Gaußverteilung ist s identisch mit
dem ebenfalls Standardabweichung genannten Parameter .
4.3
Vertrauensbereich des Mittelwertes
Als Ergebnis einer Messreihe wird häufig der arithmetische Mittelwert angegeben. Dieser muss
keineswegs mit dem wahren Wert der Messgröße zusammenfallen. Er liegt in einem bestimmten
Bereich +/- v rund um den Mittelwert:
Den Bereich von x + v bis x - v nennt man den Vertrauensbereich, in welchem mit der
Wahrscheinlichkeit P der wahre Wert gefunden wird.
Der Vertrauensbereich ist ein Maß für die „Zuverlässigkeit“ des Mittelwertes x . Er wird häufig als „ mittlerer
Fehler des Mittelwertes“ bezeichnet. Mit zunehmender Anzahl von Messungen nähert sich der Mittelwert
dem wahren Wert, oder anders ausgedrückt, der Bereich der Abweichung des Mittelwertes vom
wahren Wert wird immer kleiner.
Mitunter wird für den Vertrauensbereich v des Mittelwertes auch der Ausdruck „mittlere
Messabweichung des Mittelwertes  x “ verwendet.
x = v 
t
t
1 n
*
( xi  x ) 2
*s =

n  1 i 1
n
n
Die Werte für den Faktor t, der von der Anzahl der Werte n und von der gewählten statistischen
Sicherheit P abhängt, sind tabelliert:.
\ P = 68,3%
n= \
t
3
1,32
4
1,20
5
1,15
6
1,11
8
1,08
10
1,06
20
1,03
30
1,02
100
1,00
95%
t
4,3
3,2
2,8
2,6
2,4
2,3
2,1
2,05
2,0
99%
t
9,9
4,0
3,25
2,9
Die Messunsicherheit setzt sich aus den
Vertrauensgrenzen und weiteren, nur abschätzbaren
Fehlern xF zusammen
 t

u  
s  xF 
 n

2,6
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Messabweichungen
Beispiel:
Es werden 20 gleiche Widerstände aus einem Gurt gemessen.
Der Mittelwert beträgt 1002 , die Standardabweichung : s = 3 
Der Vertrauensbereich für 95% beträgt somit v = t/sqrt(n) s,
v = 2,1 / 4,47 .3 = 1,4
Man kann daher auf Grund der Statistik annehmen, dass der wahre Wert mit 95% Wahrscheinlichkeit
im Bereich 10021,4  liegt.
Bei der Angabe des Messergebnisses muss noch der Klassenfehler des Messgeräts hinzugezählt
werden, beispielsweise 1% auf 2000 Ohm, also bei 1002 Ohm 10 Ohm.
Ergebnis: R = R  u = R  (|v| + |xF|)
R = (1002 ( 1,4 + 10 )) Ohm
4.4
Mittlerer Fehler des Funktionswertes
Die gesuchte Größe ist meist nicht direkt messbar.Sie wird aus mehreren anderen Messgrößen
errechnet.
Der Funktionswert, der durch die Verkettung der fehlerbehafteter Messwerte entsteht, weist wieder
einen Fehler auf. Messabweichungen pflanzen sich durch die Rechnung fort!
Es gilt das Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauss:
F .... mittlerer Fehler des Funktionswertes
xi .... Vertrauensbereich des Mittelwertes
der einzelnen Messgrößen
F
.....partielle Ableitungen der Funktion F
xi
F 
 F
 2  F
 2  F
2
x1  
x 2  
x 3  ..

 x1
  x 2
   x3

In den einigen Fällen kann man sich die Bildung der partiellen Differentialquotienten ersparen, da sich
für bestimmte Arten von Funktionen eine einfachere Form ergibt:
Der mittlere Absolutfehler einer algebraischen Summe von Messgrößen ist gleich der geometrischen
Summe ihrer mit den Faktoren multiplizierten Vertrauensbereiche:
F 
F= ax1  bx2  cx3 +...
 a x1  2  b x2  2  c x3  2 ..
Der mittlere relative Fehler eines Potenzproduktes ist gleich der geometrischen Summe ihrer mit den
Exponenten multiplizierten Relativfehler:
a
F  x1 . x2b . x3c ...
F

F
 x 1  2   x 2  2   x 3  2
a
  b
  c
 ..
 x1   x 2   x 3 
Messgrößen, die mit höherer Potenz auftreten, sind besonders sorgfältig zu messen.
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Messabweichungen
Relativer Fehler eines Funktionswertes
am Beispiel des angeführten Produktes aus Messgrößen erhält man nach Differenzieren und
x
x
x
F
 a 1 b 2 c 3
Herausziehen der Funktion F:
F
x1
x2
x3
In dieser Form treten die Vorzeichen der Exponenten hervor und die Terme können sich gegenseitig
kompensieren. Dies macht nur bei systematischen Fehlern einen Sinn, wenn nämlich das Vorzeichen
der Abweichung eindeutig feststeht. Bei statistischen Fehlern ist das Vorzeichen unbestimmt und die
einzelnen Abweichungen werden betragsmäßig in arithmetischer Summe zum Größtfehler oder in
geometrischer Summe zum mittleren Fehler addiert.
4.5
Größtfehler des Funktionswertes
In der Gleichung zur Berechnung des mittleren Fehlers eines Funktionswertes ist berücksichtigt, dass
sich die Fehler der einzelnen Messgrößen teilweise aufheben.
Um mit Sicherheit den wahren Wert mit den errechneten Fehlergrenzen einzuschließen, bestimmt man
den maximalen Fehler.
Er wird besonders dann verwendet, wenn die einzelnen Messgrößen nicht durch Messreihen bestimmt
werden, die Berechnung des Vertrauensbereiches also unmöglich oder wenig sinnvoll ist.
In solchen Fällen geht man von geschätzten Fehlern der Messgrößen aus, bzw. von den Fehlergrenzen
der Messgeräte (Fehlerklassen).
Größtfehler des Funktionswertes
 F
 F
F
F
F   
x1 
x 2 
x 3 ...  x i.. Vertrauensbereich des Mittelwerts oder
x1
x1
 x1

geschätzter Fehler oder Fehlerklasse
Die Bildung der partiellen Ableitungen kann man sich in einigen Fällen sparen, wenn z.B. die Funktion
aus einer Summe oder einem Produkt der Messgrößen gebildet wird.
Bei einer Summe von Messgrößen ist der absolute Größtfehler gleich der Summe der Beträge ihrer mit
den Faktoren multiplizierten Absolutfehler.
F= ax1  bx2  cx3 +...


F   a x1  b x 2  c x 3 ...
Bei einem Produkt oder Quotienten von Messgrößen ist der relative Größtfehler gleich der Summe der
Beträge ihrer mit den Exponenten multiplizierten Relativfehler.
a
F  x1
. x2b . x3c ...
 x
x
x 
F
   a 1  b 2  c 3 
F
x2
x3 
 x1
Messgrößen, die mit höherer Potenz auftreten, sind besonders sorgfältig zu messen.
Beispiel:
Relativer Größtfehler des Funktionswertes
Berechnung des Widerstandes R aus einer Spannungs- und Strom- Messung:
R = U/I = U1 I-1
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Physik
Messabweichungen
Rel. Größtfehler:
 U
 U  I 
R
I 
   1.
 1.    
 
R
I 
I 
 U
 U
Einzusetzen sind die mittleren Fehler der Mittelwerte = Vertrauensbereiche für U und I und die
arithmetischen Mittelwerte. Wenn allerdings keine Messreihe vorliegt, aus der die Mittelwerte
genommen werden können, ist der Fehler U bzw. I zu schätzen.
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Physik
Messabweichungen
5
Ausgleichsgerade, Lineare Regression
Sehr oft wird nicht ein Einzelwert einer physikalischen Größe wiederholt bestimmt, sondern eine
Kennlinie, eine funktionale Abhängigkeit von zwei Messgrößen.
Bei Vorliegen eines linearen Zusammenhangs müssten die Messpunkte dabei auf einer Geraden zu
liegen kommen, sie weichen aber wegen der Messungenauigkeit bzw. wegen statistischer Einflüsse
davon ab.
Für die Konstruktion einer Geraden wären an sich nur zwei Messpunkte notwendig. Liegen nun aber
viele Messpunkte vor, so ist das System überbestimmt. Man erhält je nach Wahl von zwei Punkten
verschiedene Geraden. In diesem Fall wird bei der grafischen Auswertung (mit Millimeterpapier)
einfach die bestpassende Gerade durch die Punkteschar gelegt. Es ist verblüffend, wie gut diese
Methode mit den Ergebnissen des nachfolgend dargelegten mathematischen Algorithmusses
zusammenpasst. Bei automatisierten Datenerfassungen ist es zudem sinnlos, eine interaktive
(manuelle) grafische Methode anzuwenden.
Der Kerngedanke der linearen Ausgleichsrechnung ist es, eine Gerade y= kx+d zu finden, die von allen
Punkten zusammengenommen den kleinsten Abstand aufweist. Unter Abstand versteht man dabei den
Betrag des Normalabstandes vom Punkt zur Geraden. = positive Wurzel[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
Der mathematische Algorithmus dazu ist auf praktisch allen naturwissenschaftlichen Taschenrechnern
oder auch im MS-Programmpaket EXCEL implementiert.
Hier die Formeln für die Ausgleichsgerade:
n
k 
n

xi . yi 
i 1
n
  yi
xi
i 1
n
n.
n

i 1
y = kx + d

xi2  


n
i 1
2
i 1

n
 n

d    y i  k . xi 
i 1
 i 1

1
n

 xi 
Ein Maß für die Genauigkeit des linearen Zusammenhangs der einzelnen Messwertpaare ist der
Regressionskoeffizient r:
n
r
n
i 1
 n

 n. x 2 
i 


 i1

n
n
i 1
i 1
 xi . yi  xi  yi

xi 

i 1

n

2
 n

 .  n. y 2 
i 


  i 1

n

i 1

yi 


2



Er liegt im Bereich von r = 0 bis +1 bei steigenden Geraden und zwischen 0 und -1 bei fallenden
Geraden.
Eine gute Anpassung ergibt r-Werte bei 0,99 und darüber. Bei r = 0 ist keine Vorzugsrichtung der
Punkteverteilung (Punktwolke) feststellbar.
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Physik
Messabweichungen
Beispiele:: x-y-Diagramm
n
1
2
3
4
5
x-Wert
2,40
4,20
7,80
10,20
15,20
y-Wert
105,00
222,00
359,00
547,00
722,00
800
700
600
y = 48,547x + 4,5698
R2 = 0,985
500
400
Aber nicht allen Kennlinien liegt ein
linearer Zusammenhang zu Grunde.
Wenn eine bestimmte Gesetzmäßigkeit
vermutet wird, kann durch eine
Koordinatentransformation ein linearer
Zusammenhang hergestellt werden und mit
den transformierten Werten die lineare
Regression durchgeführt werden.
300
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Dies sei an einem weiteren Beispiel verdeutlicht:
Zwischen dem Strom I und der Spannung U einer Glühlampe wird ein Zusammenhang in Form einer
Potenzfunktion I(U) = a. I0 .(U / U0)b
vermutet. Der Graf der Funktion soll die Punkte möglichst
gut annähern, wozu der Exponent b und der Faktor a zu berechnen sind.
Durch Logarithmieren erhält man: log10(I/I0) = b.log10(U/U0) + log10(a) .
Das ist eine Geradengleichung
y = k.x + d
mit y = lg(I/I0) , x = lg(U/U0) und d = log10(a),
I0=1mA und U0=1V (willkürlich)
Spannung
Strom
3,00
2,95
n
U in
Volt
log U
I in A
log I
I neu
2,90
berechne
t
2,85
0
30
1,477
340
2,531
333
2,80
1
50
1,699
421
2,624
426
2,75
2
70
1,845
496
2,695
502
3
90
1,954
563
2,751
567
2,70
4
110
2,041
623
2,794
625
2,65
5
130
2,114
677
2,831
678
6
150
2,176
726
2,861
727
2,60
7
170
2,230
772
2,888
772
2,55
8
190
2,279
817
2,912
815
9
210
2,322
860
2,934
856
2,50
1,40
10
230
2,362
903
2,956
895
Die letzte Spalte zeigt die mit der ermittelten Formel berechneten Stromwerte..
y = 0,4854x + 1,8052
2
R = 0,999
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
Die Steigung k = 0,4854 der Ausgleichsgeraden ist identisch mit dem Exponenten a der
Potenzfunktion.
Der Achsenabschnitt d = lg(k), und daher k = 63,86 mA. Der Regressionskoeffizient r=0,999 zeigt,
dass die Anpassung sehr gut ausgefallen ist.
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Physik
Messabweichungen
Die Gleichung lautet also I = 63,86 mA . ( U /1V )0,4854
1000
900
800
Strom in mA
700
600
500
400
300
200
100
0
0
50
100
150
200
250
Spannung in Volt
In ähnlicher Weise lassen sich auch logarithmische und exponentielle Zusammenhänge bearbeiten.
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