Fehlerrechnung - Alpen Adria Gymnasium Völkermarkt
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Alpen-Adria-Gymnasium Völkermarkt Prof. SUSSITZ Fehlerrechnung Aufgabe einer physikalischen Messung ist es, den Zahlenwert einer physikalischen/chemischen Größe festzustellen. Weil aber einerseits die Schärfe der menschlichen Sinneswahrnehmungen begrenzt ist, andererseits jede Messung zahlreichen, nicht immer kontrollierbaren Einflüssen der Umgebung ausgesetzt ist, weicht jedes Messergebnis x von dem fehlerfreien wahren - aber unbekannten - Wert X* ab. Diese Abweichung X* = x – X* wird als wahrer Fehler einer Messung bezeichnet. Es ist die Aufgabe der Fehlerrechnung, aus einer Reihe von Messwerten den zuverlässigsten Wert zu bestimmen und Fehlergrenzen anzugeben, innerhalb derer der wahre Wert am wahrscheinlichsten liegt. Jede Auswertung einer physikalischen Messung, die nicht zugleich mit dem Ergebnis auch eine Angabe seiner Genauigkeit enthält, ist wertlos. Man unterscheidet grundsätzlich zwei Arten von Fehlern: Systematische Fehler Systematische Fehler haben ihre Ursachen im Mess-System: falsch geeichte Skalen, verschobene Null-Stellungen an Messinstrumenten oder Längenänderungen von Skalen durch die Temperatur der Umgebung. Diese Art der Fehler kann durch Kontrolle und Verbesserung der Apparatur beseitigt bzw. verkleinert werden. Zufällige Fehler Zufällige Fehler lassen sich im Gegensatz dazu grundsätzlich nicht vermeiden. Sie können durch Wiederholungen der Messung auf ein vernünftiges Maß gebracht und mathematisch bestimmt werden. 1. Arithmetischer Mittelwert ( x ) x i x= Definition des arithmetischen Mittelwertes einer Stichprobe n n = Anzahl der Stichproben(werte) 2. Standardabweichung der Einzelmessung (s) = Mittlerer Fehler der Einzelmessung Die Einzelmessungen weichen von diesem Mittelwert nach oben und unten ab. Zur Beurteilung der Abweichungen (Fehler) verwendet man die Standardabweichung s und die 2 Varianz s . Sie sind ein Maß für die Streuung der Stichprobenwerte xi um den Mittelwert Für die Standardabweichung s gilt: x. 2 x x i s= n 1 n>1 Die einfache Standardabweichung, d.h. 1 * s sagt aus, dass bei einer genügend großen Anzahl von Stichprobenwerten ( n > 30 ) 68 % aller Stichprobenwerte innerhalb dieser einfachen Standardabweichung liegen. Einfache Standardabweichung: x = x ± 1*s Doppelte Standardabweichung: x = x ± 2*s Dreifache Standardabweichung: x= x ± 3*s Die einfache Standardabweichung erfasst 68 % aller Stichprobenwerte Die doppelte Standardabweichung erfasst 95,5 % aller Stichprobenwerte. Die dreifache Standardabweichung erfasst 99,7 % aller Stichprobenwerte. Alpen-Adria-Gymnasium Völkermarkt Prof. SUSSITZ 3. Varianz 2 Für die Varianz s gilt (Ergebnis der Statistik !) x x 2 s 2 = i n 1 4. Standardabweichung des Mittelwertes = Mittlerer Fehler des Mittelwertes D Der mittlere Fehler des Mittelwertes D x ist um den Faktor 1/ Standardabweichung s. Dx = x n kleiner als die s n oder 2 x x i Dx = n (n 1) D x ist bei der Angabe des Fehlers einer Messreihe wichtig. 5. Gaußsche Normalverteilung [ Glockenkurve ] Die angegebenen Ergebnisse lassen sich aus der Gaußschen Normalverteilung ( Glockenkurve ) berechnen. Gaußschen Normalverteilung ( Glockenkurve ) Die Glockenkurve wird durch die angegebene Gleichung beschrieben. Hierbei bedeuten: s ( Standardabweichung ) A ( Fläche unter der Glockenkurve ) n ( Anzahl der Stichproben ) Alpen-Adria-Gymnasium Völkermarkt Prof. SUSSITZ Beispiele zur Fehlerrechnung Säure-Base-Titration Eine Säure-Base-Titration wurde 5mal durchgeführt. Bei diesen Bestimmungen wurde folgender Verbrauch an Lauge festgestellt: V 1 = 20,01 ml V 2 = 20,10 ml V 3 = 19,90 ml V 4 = 19,85 ml V 5 = 19,99 ml Titrationen (Ti) Als Mittelwert V = V i n mit n = 5 ergibt sich hiernach V i = 99,85 ml V = 99,85 ml / 5 = 19,97 ml V =19,97 ml Für die oben ermittelten Messwerte errechnet sich eine Standardabweichung s von Anzahl der Messungen (= Stichproben) n=5 Mittelwert bzw. Arithmetisches Mittel s = 0,0977 ml bzw., da die Messwerte lediglich zweistellig sind: s = 0,10 ml Unter Berücksichtigung des absoluten Fehlers fabs lautet das Endergebnis der Messung: Angabe d. Ergebnisses: 19,97 ml +/- 0,10 ml ( Mittelwert +/- s ) Unter Berücksichtigung des relativen Fehlers in Prozent f rel = ( s/Mittelwert) * 100% lautet das Endergebnis der Messung Angabe d. Ergebnisses: 19,97 ml +/- 0,5 % ( Mittelwert +/- relativer Fehler )
