Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion

Lösungen zur Zentralübung der Vorlesung Grundlagen der Messtechnik
von Prof. Dollinger, Univ. der Bundeswehr München, LRT2
- OHNE GEWÄHR -
Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion
Berechnen und skizzieren Sie die Fourier-Transformierte G (ω ) der normierten
Gaußfunktion (Glockenkurve)
1 t2
−
1
2
g (t ) =
e 2σ
σ 2π
mit Standardabweichung σ .
Hinweis: Erweitern Sie den Exponenten in g (t ) in geeigneter Weise, sodass Sie auf die Form
des unbestimmten Integrals
∫
∞
2
−∞
e − x dx = π kommen.
Lösung
Gauß-Funktion:
g=
(t )
G (ω ) =
1
σ 2π
⋅e
1 t2
− ⋅ 2
2σ
∞
∫
−∞
1
σ 2π
⋅e
1 t2
− ⋅ 2
2σ
⋅e
− iωt
dt =
∞
∫e
1
σ 2π
1 t2
− ⋅ 2 −iωt
2σ
dt
−∞
Nun wird der Exponent erweitert durch:
 t2
1 t2
 iωtσ
− ⋅ 2 − iωt =−  2
+ 2⋅

2
2 σ
 2 2 ⋅σ
 2 ⋅σ
2
iωσ  ω 2σ 2
 i 2ω 2σ 2  i 2ω 2σ 2
 t
+
=− 
+
+
 − 2
2 
2

2 

 2 ⋅σ
2 
2
Damit folgt:
∞
iωσ 
 t
−
+

2 ⋅σ
2


=ˆ z
⋅∫e
G (ω ) =
1
σ 2π
2
dt ⋅ e
−
ω 2σ 2
2
−∞
-1-
Nun substituieren wir:
t
iωσ
+
=
ˆz
2 ⋅σ
2
und damit
dz
1
=
⇒ dt = 2 ⋅ σ dz
dt
2 ⋅σ
Damit ergibt sich:
2
2
ω σ
−
2
1
⋅ e 2 ⋅ ∫ e − z dz ⋅ 2 ⋅ σ
G (ω ) =
σ 2π
−∞
⇒ G (ω ) =
1
π
−
⋅e
−
ω 2σ 2
2
∞
⋅ π
ω 2σ 2
⇒ G (ω ) =
e 2
Graphische Darstellung:
Im Zeitraum ergibt sich die kleine blaue Kurve mit der Standardabweichung ∆t =σ
1
Im Frequenzraum ergibt sich die hohe grüne Kurve mit der Standardabweichung ∆ω =
σ
2
σ
2σ
t
ω
/>
Die Fourier-Trafo einer Gauß-Kurve der Breite σ ergibt also wieder eine Gauß-Kurve mit der
Breite 1/σ.
Die Gauß-Funktion hat in der Physik/Quantenmechanik eine große Bedeutung, da sie
Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. die Unschärfe Δx bei Messungen beschreibt. Der
Zusammenhang der Fourier-Transformation gilt für alle korrespondierenden Messgrößen,
-2-
z.B. Ort/Impuls, Frequenz/Zeit oder äquivalent Energie/Zeit und deren Messungen in einem
Experiment und führt zur Heisenbergschen Unschärferelation für jeweils diese
korrespondierenden Größen:

σ pσ x ≥
⇒ ∆p ⋅ ∆x ≥ h
2
ebenso findet man
∆E ⋅ ∆t ≥ h ∆f ⋅ ∆t ≥ 1
-3-