Drude-Modell der Dispersion von Metallen (11)

Drude-Modell der Dispersion von Metallen (11)
Werden im Elektronengas der Metalle die Elektronen im elektrischen Feld E(r, t) = E(r) exp {iωt}
beschleunigt, und klingt ihre Geschwindigkeit v beim Abschalten von E mit der Relaxationszeit τ ab,
so gilt die Differenzialgleichung
∂v
e0 τ
1
e0
1
= − v − E mit der Lösung v = −
E.
∂t
τ
m
m 1 + iωτ
Bei einer Elektronendichte n ergibt sich die elektrische Stromdichte mit der Plasmafrequenz ω p
ωp2 ε0 τ
e20 nτ
e20 n
1
2
j = −e0 nv =
E=
E mit ωp =
.
m 1 + iωτ
1 + iωτ
ε0 m
Die elektrische Stromdichte j sei die Ursache der Polarisation P, und die dielektrische Verschiebung D
schreibt sich mit der komplexen Dielektrizitätskonstanten ε̃(ω) in der Form
ωp2 ε0 τ D = ε0 E + P mit Ḋ = ε0 ε̃(ω)Ė = ε0 Ė + j = iωε0 +
E = iωε0 ε̃(ω)E,
1 + iωτ
und es folgt
ωp2 τ
ωp2 τ 2
ωp τ
1
ε̃(ω) = 1 − i
−
i
=1−
= ε0 (ω) − iε00 (ω).
2
2
2
2
ω 1 + iωτ
1+ω τ
ω(1 + ω τ )
Bei Metallen gilt ωτ 1 für ω in der Größenordnung der Plasmafrequenz bei h̄ω p = 10 eV, sodass gilt
ωp2
ε (ω) ≈ 1 − 2 und ε00 (ω) 1.
ω
Für ω < ωp ist ε0 (ω) < 0 und ε00 (ω) > 0, wodurch E nach der Telegrafengleichung nur abklingende
Lösungen besitzt. Für ω > ωp verschwindet die Dämpfung praktisch, und die Metalle werden bei
hinreichend hohen Frequenzen durchsichtig.
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