Blatt 9 - Technische Universität München

Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Tutorübungen zu ≫ Elektrizität und Magnetismus ≪ (Prof. Wachutka)
20. Aufgabe
Blatt IX
Elektronenstrahl
Ein zylindrischer Elektronenstrahl mit gegebenem Radius ra führe den Strom I. Die Stromdichte sinkt von
einem Wert j0 im Zentrum proportional zu −r2 ab, am Außenrand gelte j = ja .
a) Skizzieren Sie den Verlauf ~j(~r) und geben Sie einen analytischen Ausdruck für ~j(~r) an.
b) Welcher Strom I wird insgesamt durch den Elektronenstrahl geführt (ausgedrückt durch j0 , ja and ra )?
c) Wie groß ist I, falls über den Querschnitt die konstante Stromdichte j = j0 fließt?
21. Aufgabe
Stromdichte
In einem zylindrischen Rohrquerschnitt, begrenzt
durch r1 ≤ r ≤ r2 und 0 ≤ z ≤ z0 , existiere eine
ringförmige Stromdichte ~j:
~j = j0 exp(−r/R0 ) ~eϕ .
Außerhalb des Rohres gilt ~j = 0.
Bestimmen Sie allgemein den Strom durch eine Querschnittsfläche des angegebenen Gebietes in einer Ebene
ϕ = const.
Hinweis: Man verwende Zylinderkoordinaten und bestimme zunächst die Lage der durchströmten Fläche und
den Stromdichtevektor auf dieser Fläche.
22. Aufgabe
φ
Leitfähigkeit
Gegeben ist das in der Abbildung aufgezeigte Rohr der
Länge L mit ideal leitendem Kern und Mantel (radialsymmetrische Anordnung). Im Zwischengebiet befinde
sich ein homogen leitfähiges Material σ = σ0 . Zwischen Innen- und Außenleiter fließt der Strom I. Auf
diese Weise stellt sich im Zwischengebiet eine rein radial gerichtete Stromdichte ~j(~r) = jr (r)e~r ein.
~ und die Äquipotentiallinien des elektrischen Potena) Wie verlaufen die Feldlinien des elektrischen Feldes E
tials Φ?
~ oder in Richtung der Äquib) Ist das Vektorfeld der Stromdichte ~j(~r) in Richtung der Feldlinien von E
potentiallinien von Φ gerichtet?
~ und Φ als Funktion von r.
c) Bestimmen Sie ~j, E
d) Skizzieren Sie den Verlauf der radialen Stromdichte jr (r) in Abhängigkeit vom Radius r. Berechnen Sie
den Betrag der Stromdichte an den Positionen ra und ri .
~ als Funktion von UAB ?
e) Berechnen Sie die Spannung UAB zwischen Innen- und Außenleiter. Wie lautet E
1
Zusatzaufgabe aus DVP 1997
Das Innere des unten skizzierten zylindrischen Plattenkondensators (Plattenradius R, Plattenabstand L) sei
mit einem Medium mit temperaturabhängiger Leitfähigkeit σ(T ) ausgefüllt, ferner gelte ε = ε0 .
1
Die temperaturabhängige Leitfähigkeit sei gegeben durch: σ(T ) = σ0 TT0−T
−T1 , die Kondensatorplatten selbst
seien ideal leitend.
∂
= 0, und die radiale
Für L ≪ R kann die Anordnung als homogen angenommen werden, d.h. es gelte ∂z
Temperaturverteilung sei gegeben durch:
r2
T (r) = T1 + (T0 − T1 ) 1 − 2
R
~
In dieser Situation haben elektrisches Feld und Stromdichte nur eine z-Komponente, d.h. E(r)
= ~ez · E(r)
~
und j(r) = ~ez · j(r).
Gegeben seien der Plattenradius R, der Plattenabstand L, sowie T0 , T1 (T1 < T0 ) und σ0 .
(*a) Skizzieren Sie T (r) und σ (T (r)) für 0 ≤ r ≤ R.
(*b) Zeigen Sie, daß E(r) konstant ist: E(r) = E.
Berechnen Sie das elektrische Feld E, wenn zwischen den Kondensatorplatten die Spannung U anliegt.
I
z
L
U
(*c) Berechnen Sie die elektrische Stromdichte jz (r).
(d) Welcher Ausdruck ergibt sich für den Gesamtstrom I?
(e) Berechnen Sie die Leistungsdichte p, die im Volumen dissipiert wird.
(f) Berechnen Sie die umgesetzte Gesamtleistung.
2
r