(Kurz-) Einheit 9: Skineffekt und Stromverdrängung

(Kurz-) Einheit 9:
Aufgaben
Skineffekt und Stromverdrängung
A_09_1)
Theorie
Untersuche eine breite Metallplatte (Permeabilität μ,
Leitfähigkeit σ) der Dicke a in der y-z-Ebene, die parallel
zu ihrer Oberfläche von einem nur tiefenabhängigen
(also x-abhängigen) Strom der Kreisfrequenz ω in zRichtung durchflossen wird. Der Gesamtstrom I verteilt
sich auf eine Breite L in y-Richtung, die so groß ist, daß
Randeffekte vernachlässigt werden können:
Fließen Wechselströme, so induzieren die sie begleitenden magnetischen Wechselfelder elektrische Gegenfelder
und damit über die Leitfähigkeit verknüpft den ursprünglichen entgegengesetzte Ströme. In guten Leitern
sind die elektrischen Felder klein, die resultierenden
Ströme aber von für die Gesamt-Stromverteilung relevanter Größe.
Es ist anschaulich leicht vorzustellen, daß ein am Leiterrand fließender Strom noch die insgesamt größte Entfernung von anderen Stromanteilen hat, und deswegen
weniger beeinflußt wird, als ein Bereich im Leiterinneren.
Dies findet man rechnerisch bestätigt: Die Stromverteilung konzentriert sich am Leiterrand.
Da Induktionseffekte mit zunehmender Frequenz stärker
werden, werden niederfrequente Ströme einer Gleichstromverteilung noch gut ähneln. Man findet eine Abnahme der Stromdichte in der Leitermitte, und spricht
deswegen von Stromverdrängung. Bei hochfrequenten
Signalen konzentrieren sich die Ströme völlig in einer - je
nach Parametern - mitunter nur wenige μm dicken
Schicht, gleichsam einer Haut („skin”). Deswegen hat sich
hierfür auch in der deutschen Literatur der Begriff „Skineffekt” etabliert. Man sollte sich jedoch bewußt sein, daß
Stromverdrängung und Skineffekt den gleichen physikalischen Effekt in unterschiedlicher Ausprägung meinen.
Eine überschaubare analytische Berechnung gelingt wie
üblich nur für einfache Geometrien. Bei der an sich unproblematischen Behandlung des Leiters kreisförmigen
Querschnitts (also eines Drahts) benötigt man aber Bessel-Funktionen, auf deren Diskussion hier verzichtet
wird.
Generell taucht eine charakteristische Länge
h)% Untersuche den Fall kleiner δ durch Substitution
%
und angemessene Näherung. Was gilt insbesondere
für den Betrag der Stromdichte?
%
a)% Zeige, daß die Maxwell-Gleichungen bei Vernachlässigung der Verschiebungsstromdichte in der Metallplatte auf die gewöhnliche Differentialgleichung
reduziert werden können.
b)% Was rechtfertigt die Vernachlässigung von D?
c)% Löse die Differentialgleichung aus a) unter Berücksichtigung der Symmetrie der Anordnung. (In der
Lösung verbleibt zunächst eine freie Konstante.)
d) Berechne aus der Stromdichte das magnetische Feld
in der Platte.
e)% Was gilt für die tangentiale magnetische Feldstärke
unmittelbar über und unter der Platte, bezogen auf
das Feld in der Platte?
f)% Finde einen Zusammenhang der tangentialen magnetischen Feldstärke an der Plattenoberfläche mit dem
Gesamtstrom I.
g)% Normiere mit den Ergebnissen von e) und f) die freie
Konstante der Lösung. (Ergebnis:
auf, die als Skintiefe bezeichnet wird.
VuEThET Einheit 9: Skineffekt und Stromungverdrängung, Theorie und Aufgaben%
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