Übung 7

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
20. Mai 2011
Prof. Holger Stark,
Dipl. Phys. Ken Lichtner, Dipl. Ing. Andreas Zöttl,
Andrea Vüllings, Benjamin Regler, Christian Fräßdorf, Jan Techter
7. Übungsblatt – Mathematische Methoden der Physik
Abgabe: Mo./Di. 30./31. Mai 2011 im Tutorium
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet.
Dafür gibt es auch Punkte! Die Abgabe soll in Zweiergruppen erfolgen. Bitte geben Sie Ihre
Namen, Matrikelnummern und das Tutorium (Tutor und Termin) an. Kreuzen Sie am Beginn des
Tutoriums die mündlichen Aufgaben an, die Sie bearbeitet haben und an der Tafel vorrechnen
können.
Aufgabe 23 (10 Punkte): Leitfähigkeitstensor (schriftlich) (3+4+3 Punkte)
Die Stromdichte in einem Metall wird beschrieben durch das Ohmsche Gesetz:
j = σE.
Dabei ist j die Stromdichte, σ der Leitfähigkeitstensor und E das elektrische Feld. Experimentell
kann der Leitfähigkeitstensor durch drei Messungen bestimmt werden. Dabei wird jeweils in x-, yund z-Richtung ein elektrisches Feld angelegt und jeweils der auftretende Strom gemessen. Beim
angelegten elektrischen Feld in x-Richtung (E = E0 ex ) wurde die Stromdichte j = j0 (4ex + 3ey )
gemessen, bei einem Feld in y-Richtung (E = E0 ey ) die Stromdichte j = j0 (3ex + 4ey ) und bei
einem Feld in z-Richtung (E = E0 ez ) die Stromdichte j = 5j0 ez .
(a) Geben Sie die Einträge σij des Leitfähigkeitstensors an.
(b) Um den Tensor zu diagonalisieren, dreht man das Koordinatensystem um die z-Achse mit
dem Winkel ϕ. Bestimmen Sie den Drehwinkel, mit dem der Tensor diagonal wird.
(c) In welche Richtung n̂ muss man das elektrische Feld E = E0 n̂ legen, damit die Stromdichte
maximal wird. Wie lautet |j max | ?
Hinweis: Der maximale Strom fließt in entlang des Eigenvektors mit dem betragsmäßig
größten Eigenwert.
Aufgabe 24 (10 Punkte): Molekülschwingungen (schriftlich) (3+5+2 Punkte)
Ein einfaches Modell für ein dreiatomiges Molekül ist eine lineare Anordnung dreier Massepunkte
(Masse m), die durch masselose Federn (Federkonstante k) miteinander verbunden sind.
(a) Die Bewegungsgleichungen lauten
m
c`f
mx¨1 = −kx1 + kx2 ,
mx¨2 = kx1 − 2kx2 + kx3 ,
k
m
x1-
mx¨3 = kx2 − kx3 .
k
c`f
x2-
m
c`f
x3-
Setzen Sie den Lösungsansatz xj = Aj sin(ωt) in die Bewegungsgleichungen ein und schreiben Sie die Gleichungen als Eigenwertproblem
M A = ω 2 A,
wobei A = (A1 , A2 , A3 ) der Eigenvektor und ω 2 der Eigenwert ist.
(b) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen ω (α) und Eigenvektoren A(α) .
(α)
(c) Diskutieren Sie die 3 Eigenschwingungen xj (t).
1
7. Übung MM SoSe 11
Aufgabe (25): Kugelkoordianten (mündlich)
Der Ortsvektor r lautet in Kugelkoordinaten (r, θ, ϕ):
r = r sin θ cos ϕex + r sin θ sin ϕey + r cos θez .
(a) Berechnen Sie die Koordinatenbasis {er (θ, ϕ), eθ (θ, ϕ), eϕ (θ, ϕ)}.
(b) Zeigen Sie, dass ei ·ej = δij für i, j = r, θ, ϕ.
Aufgabe (26): Legendrepolynome als Eigenvektoren (mündlich)
Wir betrachten den euklidischen Vektorraum P n [−1, 1] der Polynome bis zum Grad n auf dem
Intervall [−1, 1]. Auf diesem Raum definieren wir die Abbildung
d2
d
2
p(x).
L(x)p(x) := (x − 1) 2 + 2x
dx
dx
(a) Zeigen Sie, dass für eine differenzierbare Funktion f (x) gilt:
(1)
dn
dn
dn−1
(xf
(x))
=
x
f
(x)
+
n
f (x).
dxn
dxn
dxn−1
2
dl
l für l = 0, . . . , n Eigen(b) Zeigen Sie, dass die Legendrepolynome Pl (x) = 21l l! dx
l (x − 1)
vektoren von L sind (d.h. es gilt LPl = λl Pl ). Benutzen Sie dazu Formel (1). Berechnen
Sie die zugehörigen Eigenwerte λl .
Vorlesung:
Donnerstags 8:30 Uhr – 10:00 Uhr in EW 201.
Scheinkriterien: Mindestens 50% der schriftlichen Übungspunkte.
Mindestens 50% der mündlichen Aufgaben angekreuzt.
Regelmäßige und aktive Teilnahme in den Tutorien.
Bestandene Klausur.
Sprechzeiten:
Name
Prof. Holger Stark
Ken Lichtner
Andreas Zöttl
Andrea Vüllings
Benjamin Regler
Christian Fräßdorf
Jan Techter
Tag
FR
FR
MI
DI
DO
DI
DO
Zeit
11:30–12:30
10:00–11:00
10:30–11:30
14:15–15:15
13:00–14:00
15:00–16:00
12:15–13:15
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Uhr
Aktuelle Informationen werden auf der Webseite bekannt gegeben:
http://www.tu-berlin.de/index.php?id=99451
2
Raum
EW 709
EW 266
EW 702
EW 060
EW 060
EW 060
EW 060
Tel.
29623
28849
24253
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