Formelsammlung Elektrodynamik - RWTH

Formelsammlung Elektrodynamik
SS 2006
RWTH Aachen
Prof. Kull
Skript
Simon Sawallich
Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines
1.1 Funktionen . . . . . . . . . .
Trigonometrische Funktionen
Hyperbelfunktionen . . . . . .
1.2 Koordinaten . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
3
2 Vektoranalysis
2.1 Skalare, Vektoren, Tensoren . . .
Orthogonale Transformation . . .
Skalare . . . . . . . . . . . . . . .
Vektoren . . . . . . . . . . . . . .
Tensoren . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Differentiation von Vektorfeldern
2.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . .
2.4 Delta-Funktion . . . . . . . . . .
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3
3
3
3
4
4
4
4
4
3 Elektrostatik
3.1 Feld einer Punktladung . . . . . . . . . .
3.2 Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kraftwirkung elekrostatischer Felder . . .
3.4 Energie elektrostatischer Felder . . . . . .
Punktladung im elektrostatischen Feld . .
Energie stetiger Ladungsverteilungen . . .
Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammengesetze Systeme . . . . . . . . .
Die Felder einer Vollkugel . . . . . . . . .
3.5 Multipolfelder . . . . . . . . . . . . . . . .
Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematischer Dipol . . . . . . . . . . .
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . .
3.6 Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Lösungsmethoden für Randwertprobleme .
3.8 Methode der Green-Funktion . . . . . . .
3.9 Separation in Kugelkoordinaten . . . . . .
3.10 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
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7
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7
7
8
8
8
8
9
9
9
4 Magnetostatik
4.1 Stromdichte . . . . . . . . . . . .
4.2 Feldgleichungen . . . . . . . . . .
4.3 Magnetisches Dipolmoment . . .
4.4 Kraftwirkung von Magnetfeldern
4.5 Magnetfelder in Materie . . . . .
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11
11
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Elektrodynamik
1
1.1
3
Allgemeines
Funktionen
Trigonometrische Funktionen
ei·x = cos(x) + i · sin(x)
1
sin(x) =
· eix − e−ix
2i
1
cos(x) = · eix + e−ix
2
Hyperbelfunktionen
1
· ex − e−x
2
1
cosh(x) = cos(i · x) = · ex + e−x
2
sinh(x) = −i · sin(i · x) =
1.2
Koordinaten
Ebene Polarkoordianten:
r · cos(ϕ)
r · sin(ϕ)
~r =
(1)
J =r
Kugelkoordinaten:


r · sin ϑ · cos(ϕ)
~r =  r · sin ϑ · sin(ϕ) 
r · cos ϑ
(2)
J = r2 · sin ϑ
Zylinderkoordinaten:

r · cos(ϕ)
~r =  r · sin(ϕ) 
z

(3)
J =r
2
2.1
Vektoranalysis
Skalare, Vektoren, Tensoren
Orthogonale Transformation
0
xi =
X
αik xk
(4)
k
Dabei sind αik die Komponenten einer orthogonalen Matrix:
α−1 = αT
α · αT = αT · α = E
(5)
Skalare
0
0
S (xi ) = S(xj )
(6)
Elektrodynamik
4
Vektoren
0
ai = αik ak
(7)
Tensoren
Ein Tensor n-ter Stufe ist eine n-fach indizierte Größe Tijk... mit dem Transformationsverhalten:
0
Tijk... = αil · αjm · αkl · · · Tlmn...
2.2
(8)
Differentiation von Vektorfeldern
Gradient
∇f =
X
e~i
i
∂f
∂xi
(9)
Divergenz
~=
∇·A
X ∂Ai
∂xi
i
Rotation
~=
∇×A
X
ijk
ijk
∂
Aj ~ek
∂xi
Beziehung zwischen Levi-Civita-Tensor und Kronecker-Symbol:
X
ijk imn = δjm δkn − δjn δkm
(10)
(11)
(12)
i
Vektorprodukt-Regel (bac-cab)
~× B
~ ×C
~ =B
~· A
~·C
~ −C
~· A
~·B
~
A
2.3
(13)
Integralsätze
Satz von Gauß (Volumen → Fläche)
Z
~=
dV ∇ · A
V
Z
~ ·A
~
dS
Satz von Stokes (Fläche → Randkurve)
Z
I
~
~
~
dS · ∇ × A =
d~r · A
S
2.4
(14)
S
(15)
Γ
Delta-Funktion
Delta-Funktion
δ(~r − ~a) = 0 für ~r 6= ~a
und
δ(~r − ~a) = ∞ für ~r = ~a
(16)
Z
f (~a) =
dV f (~r)δ(~r − ~a)
(17)
Elektrodynamik
3
3.1
5
Elektrostatik
Feld einer Punktladung
Feld wird durch eine Ladung qj am Ort ~rj erzeugt:
~ j (~r) = −∇φj (~r) = q · ~r − ~rj
E
|~r − ~rj |3
φj (~r) =
(18)
qj
|~r − ~rj |
(19)
Superposition:
~ ges =
E
X
~j
E
φges =
X
j
3.2
φj
(20)
j
Feldgleichungen
Differentielle Form: Das elektrostatische Feld ist ein wirbelfreies Vektorfeld, dessen Quelldichte durch
die Ladungsdichte %(~r) bestimmt wird.
~ =0
∇×E
~ = 4π%
∇·E
(21)
~ wirbelfrei ist, kann es aus einem Potential abgeleitet werden:
Da E
~ = −∇φ
E
∆φ = −4π%
(22)
Integrale Form der Feldgleichungen:
I
Z
dr · E = dS ∇ × E = 0
(23)
Gauß’sches Gesetz: Für das von der Oberfläche A eingeschlossenen Ladung Qin erzeugte elektrische
Feld E gilt:
I
Z
Z
dS · E =
dV ∇ · E = 4π · Qin
Qin =
dV %
(24)
∂S
V
V
~ und φ bestimmen. Die QuellIntegraldarstellung: Für eine vorgegebene Ladungsverteilung kann man E
dichte ist dann s = 4π% und es gilt:
Z
%(~r)
0
φ(~r) = d3 r
(25)
|~r − ~r0 |
Z
0
r) · (~r − ~r )
0 %(~
~
E(~r) = −∇φ = d3 r
(26)
|~r − ~r0 |3
3.3
Kraftwirkung elekrostatischer Felder
Da das Eigenfeld keine resultierende Kraft auf die Ladung in V ausübt, gilt für die Gesamtkraft F~ auf
die in V eingeschlossene Ladung:
Z
~
~ ext (~r)
F =
dV %(~r) · E
(27)
V
Gesamtdrehmoment um den Koordinatenursprung:
Z
~ =
~ ext (~r))
N
dV ~r × (%(~r) · E
V
(28)
Elektrodynamik
3.4
6
Energie elektrostatischer Felder
Punktladung im elektrostatischen Feld
Die potentielle Energie einer Ladung q im elektrischen Feldstärkepotential φ ist gegeben durch das Kraftpotential U = q · φ:
~ = −∇φ
~ = −∇U
E
F~ = q · E
(29)
Bringt man eine Ladung aus dem Unendlichen nach ~r und wählt das Potential im Unendlichen gleich
Null, so verrichtet man die Arbeit:
Z ~r
Z ~r
0
0
0
0
~
d~r ∇U (~r ) = U (~r) − U (∞) = U (~r) = q · φ(~r)
(30)
d~r F (~r ) =
W =−
∞
∞
Energie stetiger Ladungsverteilungen
Die Energie einer Ladungsverteilung im externen Feld ist
Z
U = dV %φext
(31)
Die Energie einer Ladungserteilung im eigenen Feld ist
Z
1
U=
d3 r %(~r)φ(~r)
2
(32)
Feldenergie
Die Energie einer Ladungsverteilungin ihrem eigenen Feld kann auch über eine elektrische Energiedichte
u(~r) ausgedrückt werden, die durch das gesamte elektrische Feld am Ort ~r bestimmt wird:
Z
1
U = dV u(~r)
u(~r) =
E(~r)2
(33)
8π
Zusammengesetze Systeme
~ =E
~ 1 +E
~2
Für zusammengesetzte Systeme mit der Ladungsdichte % = %1 +%2 und dem elektrischen Feld E
kann man die Feldenergie Uges aufteilen in die Energien U1,2 der Teilsysteme und die Wechselwirkungsenergie U12 , die als Aufladungsarbeit des Systems interpretiert werden kann:
Uges = U1 + U2 + U12
mit
Z
Uges =
und
dV
Z
U12 = U21 =
Z
1 2
E
8π
1 ~ ~
dV
E1 · E2 =
4π
(34)
U1,2 =
1 2
E
8π 1,2
dV
Z
(35)
Z
dV %1 φ2 =
dV %2 φ1
(36)
Die Felder einer Vollkugel
Ladungsverteilung:
3·Q
· Θ(R − r)
4πR3
 
Q 3
1 r2

r<R 
 R 2 − 2 · R2

%=
Potential:
φ(r) =


Q
r
r≥R


(37)
(38)
Elektrodynamik
7
Elektrisches Feld:
E(r) =

 Q·
r
R3

r<R 
Q·
r
r3
r≥R

3.5
(39)

Multipolfelder
Dipol
Dipolmoment:
p=q·d
d = r1 − r2
(40)
Mathematischer Dipol
Ladungsdichte:
Potential:
% = −p · ∇δ(r)
(41)
1
p·r
φ = −p · ∇ = 3
r
r
(42)
Elektrisches Feld:
E = −p · ∇
r
(p · r)r − r2 p
=
r3
r5
(43)
Energie:
U = p · ∇φext = −p · Eext
(44)
F = p · ∇Eext = −∇U
(45)
N = p · ∇(r × Eext ) = p × Eext + r × F
(46)
Kraft:
Drehmoment:
Multipolentwicklung
Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten:
xi xj
Q X xi
1X
φ=
+
pi 3 +
Qij 5 + O
r
r
2
r
i
i,j
1
r4
Dabei sind das Monopolmoment, die Dipolmomente und der Quadrupoltensor definiert wie folgt:
Z
Q = dV %(r)
(47)
(48)
Z
pi =
Z
Qij =
dV %(r) · xi
dV %(r) · (3xi xj − r2 δij )
(49)
(50)
Im allgemeinen hängen die Multipolmomente von der Wahl des Koordinatenursprungs ab. Das unterste
nicht-verschwindende Multipolmoment ist jedoch immer ursprungsunabhängig.
Elektrodynamik
3.6
8
Leiter
Mit der elektrischen Leitfähigkeit σL gilt für die Stromdichte:
j = σL · E
(51)
j=0⇒E=0
E = −∇φ ⇒ φ = const.
∇ · E = 4π% ⇒ % = 0
(52)
Im Inneren von Leitern gilt:
Oberflächenladungsdichte:
dQ
1 ∂φ
=−
·
|R
dS
4π ∂n
An der Oberfläche gelten die Randbedingungen:
σ=
(53)
En = 4π · σ
Et = 0
(54)
Für die Kraft auf ein Oberflächenelement dS = n · dS des Leiters gilt:
dF =
1 2
E dS
8π n
(55)
Energie eines Systems von N Leitern mit Ladungen Qi und Potentialen φi :
U=
1
2
N
Z
dV % · φ =
1X
φi · Qi
2
Qi =
i=1
3.7
Lösungsmethoden für Randwertprobleme
3.8
Methode der Green-Funktion
N
X
Cij φj
(56)
i=1
Integraldarstellung der Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die Greenfunktion G:
Z
Z
X
0
0
0
0
3 0
φ(r) = −4π · d r %(r ) · G(r, r ) +
φi · dSi ∂n0 G(r, r )
(57)
i
Green-Funktion für einen Raum, der durch eine ebene Platte bei z = 0 begrenzt ist:
1
1
1
0
G(r , r) = −
−
4π |ρ + zez − r0 | |ρ − zez − r0 |
Green-Funktion für den Außenraum einer leitenden Kugel mit Radius R:


R
1
1  1
0

G(r , r) =
0 − 0 ·
R
4π |r − r | r |r − 0 22 · r0 |
(58)
(59)
r
3.9
Separation in Kugelkoordinaten
Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten:
1
∂ 2∂
1 ∂
∂
1 ∂2
∆φ = 2
r
+
sin θ
+
=0
r
∂r ∂r sin θ ∂θ
∂θ sin2 θ ∂ϕ2
Allgemeine zylindersymmetrische Lösung der Laplace-Gleichung:
∞ X
bl
l
φ(r, θ) =
al · r + l+1 · Pl (cos θ)
r
l=0
(60)
(61)
Elektrodynamik
9
Einige Eigenschaften der Legendre-Polynome:
3.10
Pl (1) = Pl (cos 0) = 1
(62)
P0 (cos θ) = 1
(63)
P1 (cos θ) = cos θ
(64)
Dielektrika
Polarisation
Der Polarisationsvektor P gibt an, wieviel Ladung in welche Richtung verschoben wird, wenn ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld kommt.
Oberflächenpolarisation: Die gesamte Polarisationsladung an der Oberfläche eines Dielektrikums berechnet sich zu:
Z
Qp =
dQ
dQ = dS · P
(65)
S
Volumenpolarisation In jedem Volumenelement erhält man die Polarisationsladungsdichte:
%p = −∇ · P
(66)
Bei konstanter (homogener) Polarisation befinden sich alle Ladungen an der Oberfläche und es gilt ∇·P =
0.
Feldgleichungen
Im Material muss die Polarisationsladungsdichte zur externen Ladungsdichte addiert werden. Man definiert die dielektrische Verschiebung:
D = E + 4π · P
(67)
Damit lauten die Feldgleichungen in Materie:
∇ · D = 4π · %
∇×E=0
(68)
Der Betrag der dielektrischen Verschiebung ist in Dielektrikum und Vakkum gleich, während sich das
elektrische Feld ändert:
D=·E
(69)
4
4.1
Magnetostatik
Stromdichte
Die Stromdichte j zeigt in Stromrichtung und gibt den Strom pro Flächeneinheit durch ein zur Stromrichtung senkrechtes Flächenelement an:
dI = j · dS
(70)
Die lokale Form der Ladungserhaltung wird durch die Kontinuitätsgleichung dargestellt:
∂t %(r, t) + ∇ · j = 0
(71)
Da in der Statik die Dichte zeitunabhängig ist, gilt:
∇·j=0
(72)
Elektrodynamik
10
Mikroskopische Definition: Für ein System von Punktladungen gilt für die Stromdichte:
X
j=
qi · vi · δ(r − ri )
(73)
i
Für eine beliebige Funktion h(r) erhält man damit ein Formel, mit der man Summen über Ladungen
durch Volumenintegrale ersetzen kann:
Z
X
dV j · h(r) =
qi · vi · h(ri )
(74)
i
Für dünne Leiter ist die Stromdichte parallel zu Linienelement dl = dl · n, wobei n der Normalenvektor
auf der Querschnittsfläche ist:
Z
Z
Z
dV j · h(r) = dSdl j · n · h(r) = I · dl h(l)
(75)
4.2
Feldgleichungen
Grundgleichungen der Magnetostatik:
∇·B=0
(76)
4π
·j
c
Aus der inhomogenen Feldgleichung erhält man das Ampèresche Gesetz:
I
Z
4π
dr · B =
·I
I=
dS · j
c
Γ
S
∇×B=
(77)
(78)
Vektorpotential: Magnetfelder sind quellenfrei und können somit aus einem Vektorpotential abgeleitet
werden:
B=∇×A
(79)
4π
·j
∇·A=0
c
Integraldarstellung: Für eine lokalisierte Stromdichte im unendlichen Raum erhält man:
∆A = −
A=
B=
1
·
c
1
·
c
Z
0
Z
d3 r
j(r )
|r − r0 |
0
0
d3 r
(80)
0
(81)
0
j(r ) × (r − r )
|r − r0 |
(82)
Für dünner Leiter erhält man aus der Integraldarstellung für B zusammen mit (75) das Biot-SavartGesetz:
Z
I
dl × (r − l)
B= ·
(83)
c
|r − l|3
4.3
Magnetisches Dipolmoment
Da es keine magnetischen Monopole gibt, beginnt die Multipolentwicklung mit dem magnetischen Dipolmoment:
Z
1
m=
· d3 r r × j(r)
(84)
2c
Elektrodynamik
11
Für das Dipolfeld gilt dann:
A=
m×r
r3
B=∇×A=
3r · (r · m) − r2 · m
r5
(85)
Auf ein magnetisches Dipolmoment wirkt in konstanten Magnetfeldern ein Drehmoment:
T=m×B
(86)
In inhomogenen Magnetfeldern wirkt eine Kraft:
F = −∇U
4.4
U = −m · B
(87)
Kraftwirkung von Magnetfeldern
Lorentzkraft auf ein System von Punktladungen:
F=
1 X
·
qi vi × B(ri )
c
(88)
i
Daraus erhält mit (74) die Kraft auf eine Stromdichte:
Z
1
F = dV f
f = ·j×B
c
(89)
Für dünne Leiter bzw. Linienelemente erhält man mit (75)
dF =
4.5
Z
I
· dl × B
c
F=
dF
(90)
Magnetfelder in Materie
In einem Material sei n die Dichte der Dipole mit magnetischem Moment m, dann ist die Magnetisierung:
M=n·m
(91)
Diese Magnetisierungsstromdichte muss zur externen Stromdichte addiert werden, dann erhält man die
magnetische Erregung:
H = B − 4π · M
(92)
Damit lauten die Feldgleichungen in Materie:
∇×H=
4π
·j
c
∇·B=0
(93)
Meist gilt ein linearer Zusammenhang:
H=
1
·B
µ
(94)