Struktur der Materie (b): Festkörperphysik

Einführung in die Festkörperphysik
Wintersemester 2010/11
11. Übung: 31.01. und 02.02.2011
38. Elektrische Leitfähigkeit
Die Boltzmann-Gleichung liefert für die elektrische Leitfähigkeit:
σ = ρ-1 = (e2/(12 π3 ћ) ⋅∫ v(k) τ(k) dA ; wobei das ∫ über E=Ef läuft.
a)
b)
Leiten Sie hieraus eine Gleichung für quasifreie Elektronen mit der einheitlichen effektiven
Masse m* ab. Berücksichtigen Sie, dass dabei
E(k) = (ћk)2/(2m*) = (m*/2)(v(k))2
ist. Was ist hier gegenüber dem klassischen Drude-Elektronengas anders?
Der spezifische Widerstand von Kupfer beträgt 1,55⋅10-8 Ωm. Die effektive Masse der
Elektronen an der Fermi-Energie sei m*=m/0,67. Berechnen Sie
a) die Relaxationszeit τ und b) die mittlere Elektronengeschwindigkeit vM bei einem
elektrischen Feld von ε=100V/m. Kupfer ist kubisch flächenzentriert mit einer
Würfelkantenlänge von 3,61 Å. Jedes Atom liefert ein Elektron ins quasifreie Elektronenband,
wobei die Stromdichte j = σ⋅ ε = -e n vM ist.
39. Hall-Effekt
Durch eine Kupferplatte fließt ein Strom mit einer Stromdichte ⏐j⏐=jx=5 A/mm2, über die ein
Magnetfeld ⏐B⏐=Bz=1 (Vs)/m2 anliegt. Über die Endflächen der 50 mm breiten Platte in y-Richtung
misst man eine Spannung von U=UH=12,4 μV.
Bestimmen Sie die Beweglichkeit μ der freien Elektronen in Kupfer, ihre Konzentration n und die
Driftgeschwindigkeit vD. Wie groß ist im Mittel die Zeit zwischen zwei Stößen eines Elektrons τ und
die mittlere freie Weglänge Λ=vD⋅τ ?
Die spezifische Leitfähigkeit für Kupfer beträgt σ=64,5⋅106 (Ωm)-1. Die effektive Masse sei
m*=m/0,67.
Diskutieren Sie auch die "gemessene" Ladungsträgerdichte n in Hinblick auf nCu= 8,5⋅1028 m-3, wie
man sie bei der Annahme von einem Leitungselektron pro Cu-Atom erhält.
40. De Haas-van Alphen-Effekt
Bei tiefer Temperatur und in sehr starken Magnetfeldern lässt sich beobachten, dass die magnetische
Suszeptibilität eines Metalls in Abhängigkeit von der magnetischen Feldstärke B Oszillationen
aufweist, welche periodisch in 1/B sind (De Haas-van Alphen-Effekt). Die Oszillationen
Δ(1/B) = 2π·e/(ћAk)
erlauben eine Bestimmung der Extremalflächen Ak der Fermi-Kugel, welche im k-Raum von
Elektronenbahnen senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes umschlossen werden.
a) Betrachten Sie das Elektronengas von Gold (Elektronendichte n = 5.90·1022 cm-3) als System freier
Elektronen, und schätzen Sie ab, welche Größe für die Extremalfläche der Fermi-Fläche von Gold zu
erwarten ist.
b) Das Experiment liefert für ein in [001]-Richtung eines Gold-Einkristalls orientiertes Magnetfeld
Oszillationen mit der Periode Δ(1/B) = 1,95·10-5 T-1. Weist das Magnetfeld dagegen in [111]Richtung, so werden zwei sich überlagernde Oszillationen beobachtet, u.z. mit den Perioden 2,05·10-5
T-1 und 6·10-4 T-1. Berechnen Sie jeweils die Größe der dazugehörigen Extremalflächen, und
interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der in der Vorlesung vorgestellten Fermi-Flächen.
41. Kritische Stromdichte
Der Supraleiter Zinn hat eine kritische Temperatur von Tc = 3,7 K im Magnetfeld B = 0 und ein
kritisches Feld von Bc = 306·10–4 T bei T = 0 K.
a) Berechnen Sie den maximalen Suprastrom, den ein Zinndraht mit dem Durchmesser 1 mm bei 2 K
tragen kann.
b) Wie groß muss der Durchmesser sein, damit der Draht 100 A tragen kann, ohne normalleitend zu
werden?