Theoretische Physik III - Elektrodynamik Blatt 9

Prof. Dr. Claudius Gros
Dr. Francesc Salvat-Pujol
Theoretische Physik III - Elektrodynamik
Blatt 9
Aufgabe 1: Dirac-Delta Distribution
Die Dirac δ-Distribution ist dadurch definiert, dass für beliebig oft differenzierbare und für |x| → ∞
hinreichend schnell abfallende Testfunktionen f (x)
Z ∞
dx f (x)δ(x − x0 ) = f (x0 )
(1)
−∞
gilt. Wir betrachten auch die folgende Definition der Stufenfunktion:
1 für x ≥ 0
Θ(x) =
0 für x < 0.
Beweisen Sie folgende formale Relationen (alle innerhalb von Integralen über
a)
dδ(x)
d
= −δ(x) .
dx
dx
b)
dΘ(x)
= δ(x).
dx
(2)
R zu verstehen):
c) xδ(x) = 0.
dδ(x)
= −δ(x).
dx
1
e) δ(ax) =
δ(x), a 6= 0. Hinweis: achten Sie auf die Integrationsgrenzen für a < 0.
|a|
d) x
Beweisen Sie die Identität
Z ∞
1
δ(t) =
dω e±iωt .
2π −∞
mithilfe von der Definition der Fourier-Transformation:
Z ∞
1
f (ω) =
dt eiωt f (t)
2π −∞
und
Z
(3)
(4)
∞
f (t) =
−∞
dω e−iωt f (ω).
(5)
Aufgabe 2: Retardierte Potentiale
a) Schreiben Sie die Differentialgleichungen auf, die das Skalar- und Vektorpotential, V (r, t)
und A(r, t), in der Lorentz-Eichung erfüllen und beweisen Sie, dass die naiv generalisierte
statische Potentiale
Z
ρ(r0 , t)
1
dr0
(6)
V (r, t) =
4π0 R3
|r − r0 |
und
Z
µ0
J(r0 , t)
A(r, t) =
,
(7)
dr0
4π R3
|r − r0 |
wobei ρ(r, t) und J(r, t) die Ladungs- und Stromquellen sind, die obengenannte Differentialgleichungen streng genommen nicht erfüllen.
b) Beweisen Sie, dass das retardierte Skalarpotential
Z
V (r, t) =
1
dr0
4π0 R3
ρ r0 , t −
|r−r0 |
c
|r − r0 |
(8)
die entsprechende Differentialgleichungen in der Lorentz-Eichung erfüllt.
Aufgabe 3: Magnetischer Dipolmoment
Gleichungen (12.27) und (12.28) im Skriptum,
µ0 2 ei(kr−ωt)
ω
[e × (m × e)]
4πc2
r
(m)
(m)
E 1 (r, t) = cB1 (r, t) × e,
(m)
B1 (r, t) =
(9)
(10)
geben das Magnetfeld und das elektrische Feld vom magnetischen-Dipol-Anteil des zweiten Terms
in der Multipolentwicklung des Vektorpotentials für in der Zeit oszillierenden Ladungs- und Stromquellen, Gl. (12.1), in der Langwellennäherung und für Punkte r weit von den Quellen entfernt
(Fernzone). Beweisen Sie, dass die im Zeitmittel abgestrahlte Energiestromdichte
(m)
S1 (r) =
µ0
1
ω 4 m2 2 sin2 θe.
2
3
16π c
2r
(11)
beträgt. Hier ist m der magnetische Dipolmoment der Stromdichte, e = r/r ist der Einheitsvektor
in der Richtung vom Beobachtungspunkt r, und θ ist der Winkel zwischen m und e.