Lösungen zur Zentralübung der Vorlesung Grundlagen der Messtechnik von Prof. Dollinger, Univ. der Bundeswehr München, LRT2 ‐ OHNE GEWÄHR ‐ Fourier‐Transformation einer Gauß‐Funktion Berechnen und skizzieren Sie die Fourier‐Transformierte G( ) der normierten Gaußfunktion (Glockenkurve) 1 t2 1 2 g t e 2 2 mit Standardabweichung . Hinweis: Erweitern Sie den Exponenten in g (t ) in geeigneter Weise, sodass Sie auf die Form des unbestimmten Integrals e x dx kommen. 2 Lösung Gauß‐Funktion: g t 1 2 G e 1 t2 2 2 1 2 e 1 t2 2 2 e it dt 1 2 e 1 t2 2 i t 2 dt Nun wird der Exponent nach folgendem Prinzip erweitert: a 2 2ab a 2 2ab b 2 b 2 (a b) 2 b 2 Wir setzen t it i 2 2 2 a und it 2ab b b und erhalten für den 2a 2 2 2 Exponenten: 1 t2 i 2 2 t 2 it 2 2 2 2 2 Damit folgt: G 1 2 e i t 2 2 2 dt e 2 2 2 ‐1‐ Nun substituieren wir: t i ˆ z 2 2 und damit dz 1 dt 2 dz dt 2 Damit ergibt sich: 2 1 G e 2 e z dz 2 2 2 G 1 G e 1 2 2 2 e 2 2 2 2 Graphische Darstellung: Die Standardabweichung ist proportional zur "Breite" der Glockenkurve (Normalverteilung). die "Öffnung" der Kurve bei halber Höhe des Maximums entspricht etwa 2 2 ln 2 2,35 (FWHM = Full Width at Half Maximum). Im Zeitraum ergibt sich die breite blaue Kurve mit der Standardabweichung t 1 Im Frequenzraum ergibt sich die schmale grüne Kurve mit der Standardabweichung G(ω) 2 2 g(t) t /> Die Fourier‐Trafo einer Gauß‐Kurve mit der Standardabweichung ergibt also wieder eine Gauß‐Kurve mit der Breite 1/. ‐2‐ Zusatzbemerkung: Die Gauß‐Funktion hat in der Physik/Quantenmechanik eine große Bedeutung, da sie Wahrscheinlichkeitsverteilungen bzw. die Unschärfe Δx bei Messungen beschreibt. Der Zusammenhang der Fourier‐Transformation gilt für alle korrespondierenden Messgrößen, z.B. Ort/Impuls, Frequenz/Zeit oder äquivalent Energie/Zeit und deren Messungen in einem Experiment und führt zur Heisenbergschen Unschärferelation für jeweils diese korrespondierenden Größen: p x p x h 2 ebenso findet man E t h f t 1 ‐3‐