ABITURVORBEREITUNG - Thema 9 Exponentialfunktionen

ABITURVORBEREITUNG - Thema 9
Exponentialfunktionen
I.
Wiederholen Sie folgende Theorie zu den Exponentialfunktionen: Definitions- und Wertebereich, Symmetrie,
Berechnung von Nullstellen bei Funktionen, die Exponentialfunktionen enthalten, Verhalten im
Unendlichen, Asymptoten, Ableitungen, Stammfunktion
II.
Lösen Sie folgende Aufgaben!
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (1+x)·e-x . Ihr Graph sei die Kurve K.
a) Geben Sie den Wertebereich Wf sowie die Nullstelle dieser Funktion f(x) an.
b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f(x) im Unendlichen und prüfen Sie, ob die Funktion Polstellen
besitzt. Falls Asymptoten existieren, geben Sie deren Gleichungen an.
c) Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion g(x) genau ein lokales Extremum besitzt und weisen Sie rechnerisch die
Art des Extremums nach!
d) Zeichnen Sie die Funktion f(x) im Intervall -1,5≤x≤5 in ein Koordinatensystem.
(1 Einheit = 1 cm )
e) Die Gerade t ist Wendetangente an den Graphen von f. Bestimmen Sie eine Gleichung für diese Tangente.
f) Die Funktionen Fc(x) = (-x-2)·e-x +c mit cєR sind Stammfunktionen der Funktion f(x). Welche dieser Funktionen
Fc(x) schneidet die y-Achse bei y = -2 ? Geben Sie die entsprechende Funktionsgleichung an.
g) Die Kurve K und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche F vollständig. Berechnen Sie den Flächeninhalt
von F.
h) Der Graph einer Funktion h mit
h(x) = -x·e-x sei die Kurve C. Zeichnen Sie C in das vorhandene
Koordinatensystem für -1≤x≤5 ein.
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der Kurven K und C.
Prüfen Sie durch Rechnung, ob sich beide Kurven senkrecht schneiden.
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Hinweis: dann gilt: m f  
mh
i) Die Gerade x = z mit z > 0 schneidet die Kurve K im Punkt P und die Kurve C im
Punkt Q. Für welchen Wert von z wird die Länge der Strecke PQ maximal?
j) Zeigen Sie: Die Funktion f(x) ist eine Stammfunktion der Funktion h(x).
Die Kurven K und C sowie die Geraden x = 0 und x = t mit t >0 umschließen eine Fläche. Ermitteln Sie deren
Inhalt A(t) in Abhängigkeit des Wertes von t.
Untersuchen Sie rechnerisch, ob A(t) größer als 3 FE werden kann.
k) Es sei B(u/v) ein Punkt auf K. Für welches u verläuft die Kurventangente in B außerdem durch den Punkt T(3/0)?