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Endl. arith. Reihe
Geschichte:
Gauß bekam die Aufgabe von dem Lehrer, dass er alle Zahlen von 1 bis 100 addieren soll. Der Lehrer
dachte: „ Damit werden sich die Schüler wieder eine Zeit lang beschäftigen.“ Aber der Schüler Gauß
war sofort fertig. Wie machte er dies?
Betrachtung der Summe von endlichen arith. Reihen.
𝑆 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 = ∑100
𝑖=1 𝑖
Gauß kam auf eine Formel für die Summe.
𝑛
𝑆 = 2 ∗ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) n…Anzahl der Glieder.
Nun musste er nur mehr 𝑎1 = 1, 𝑎𝑛 = 100 und n=100 einsetzen und man bekommt S = 50 *101 =
5050.
Doch wie kam er auf diese Formel?
Geometrische Deutung:
Die grünen Vierecke stehen für eine Eins. Also repräsentiert eine Spalte genau eine Zahl zwischen 1
und n.
Wenn man das rechte ganze Viereck ausrechnet, dann hat man A = n*(n+1). Da man aber nur das
Dreieck, also die Hälfte, benötigt kommt
𝐴=
𝑛∗(𝑛+1)
2
= 𝑆. Nun repräsentiert jede Spalte genau
eine Zahl und somit ist die Fläche des Dreiecks die Summe dieser Zahlen.
Satz:
Sei 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 eine endliche arithmetische Reihe, so gilt für ihre Summe S:
𝑺=
𝒏
∗ (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 )
𝟐