Summe der Zahlen von 1 bis n

Mathematik leicht gemacht: Addieren von natürlichen Zahlen von 1 bis irgendwo
Im Jahre 1786 kam Karl Friedrich Gauß im Alter von 9 Jahren auf die Idee, wie die Summe
der natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer beliebigen Endzahl n ( 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n), sehr
einfach berechnet werden kann. Wir wollen dies an einem Beispiel erklären:
Was ist die Summe der ersten 10 natürlichen Zahlen?
Summe (1 bis 10) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ?
Bei wenigen Zahlen geht das noch sehr schnell. Für die Summe der Zahlen von 1 bis 403
müsste man allerdings schon länger rechnen.
Die Idee von Gauß war es nun jeweils zwei Zahlen zu einem Paar zusammenzufassen:
Summe (1 bis 10) =
1+10 + 2+9 +
3+8 + 4+7 +
5+6 =
5 x 11 =
55
Jedes Paar hat ja immer den gleichen Betrag, da beim ersten Summanden jeweils zum
nächsten Schritt eine 1 addiert wird und beim zweiten dafür eine 1 subtrahiert wird:
1 + 10 = 11
↓+1 ↓-1
2 + 9 = 11
Bei einer geraden Anzahl von Zahlen ist die Anzahl der Paare die Hälfte unserer Endzahl n,
d.h. bei der Summe von 1 bis 10 gibt es 5 Paare mit einer Summe von jeweils 11. Das gleiche
zeigen wir nun für die Summe der Zahlen von 1 bis 14:
Summe (1 bis 14) =
1+14 + 2+13 +
3+12 + 4+11 +
5+10 + 6+9 +
7+8 =
7 x 15 =
105
Die Symmetrie in dem Beispiel funktioniert nur bei geraden Zahlen direkt. Bei der Summe
der Zahlen von 1 bis 5 bleibt die 3 in der Mitte übrig.
Summe (1 bis 5) =
1+5 + 2+4 +3 =
2x6 + 3 = 15
http://www.Mathematikmuseum.de
1
Mathematik leicht gemacht: Addieren von natürlichen Zahlen von 1 bis irgendwo
Hier gibt es nun verschiedene Möglichkeiten. Wir können das Problem zurückführen auf die
Summe von 1 bis zur nächsten tieferen geraden Zahl (4), d.h. Summe (1 bis 5) = Summe (1
bis 4) + 5 oder wir multiplizieren die Anzahl der Paare (2), mit der entsprechenden Summe
und addieren zum Schluss die mittlere Zahl hinzu:
Summe (1 bis 5) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1+5 + 2+4 + 3 = 2 x 6 + 3
Es geht aber auch viel anschaulicher und einfacher, indem wir die Summe der Zahlen von 1
bis 5 nochmal dazu addieren. Die Besonderheit ist, das wir die zweite Reihe einfach anders
herumschreiben:
Summe (1 bis n) + Summe (n bis 1) =
1+2+3+4+5+
5+4+3+2+1
=
---------------------6+6+6+6+6
= 5 x 6 = 30
Die übereinanderstehenden Zahlen ergeben jeweils 6 und das ganze so oft wie wir Zahlen
haben. Das Ergebnis 5 x 6 = 30 müssen wir nun nur noch wieder halbieren, da wir die Zahlen
doppelt addiert haben
Summe (1 bis 5) = (5 x 6) : 2 = 15
Hieraus können wir nun sehr einfach eine allgemeingültige Formel ableiten: Um die Summe
der Zahlen von 1 bis n zu erhalten müssen wir die Summe der letzten Zahl n mit der ersten
Zahl 1 addieren. Das ganze wird dann mit der Anzahl der Zahlen n multipliziert und
anschließend durch 2 dividiert.
(n+1) x n
Summe (1 bis n) = ----------2
Für eine beliebige Zahl n kann man auch zeigen, wie die beiden Reihen zusammengefasst
werden können:
1
+ 2 + 3 + 4 + ... + n +
n
+ (n-1) + (n-2) + (n-3) + .....+ 1 =
---------------------------------------------------(n+1) + (n+1) + (n+1) + (n+1) + .... + (n+1) = (n+1) x n
Wenn wir nun die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen berechnen wollen:
(100+1) x 100 101 x 100
Summe (1 bis 100) = ----------------- = ------------- = 101 x 50 = 5050
2
2
Versuchen Sie es einmal mit der Summe von 1 bis 17 oder von 1 bis 403. Wenn man die
Formel kennt ist es sehr einfach und schnell möglich die Summen zu berechnen. Selbst eine
speziellere Aufgabe wie z.B. die Summe der Zahlen von 20 bis 100 lässt sich zerlegen in:
Summe ( 20 bis 100) = Summe ( 1 bis 100) – Summe ( 1 bis 19)
http://www.Mathematikmuseum.de
2