04 Fluss und Satz von Gauss

Elektrostatik
1. Ladungen Phänomenologie
2. Eigenschaften von Ladungen
3. Kräfte zwischen Ladungen, quantitativ
4. Elektrisches Feld
5. Der Satz von Gauß
i. Der elektrische Fluss
ii. Satz von Gauß
iii. Satz von Gauß in differenzieller Form
6. Potenzial und Potenzialdifferenz
Gauß‘scher Satz
Coulombgesetz und Superpostion ausreichend um Felder beliebiger
Ladungsverteilungen zu berechnen, aber im allgemeinen Fall muss
Dreifachintegral (numerisch) gelöst werden
Situationen mit Symmetrien: Coulombsches Gesetz als Gauß‘schen
Satz formuliert erleichtert Berechnung erheblich
Konstruktion einer hypothetischen, geschlossenen Gauß‘schen Fläche
(frei gewählt, bevorzugt symmetrisch), damit unterscheidbar ob
Ladungen innerhalb oder außerhalb liegen:
Gaußscher Satz stellt Zusammenhang her, zwischen Feldstärke auf
den Punkten der gauß‘schen Fläche und der von der Fläche
eingeschlossenen Gesamtladung
1
Der Fluss
Fläche A
Flächenvektor A
normal auf Fläche
Strömung mit
Geschwindigkeit v
Frage:
Wie viel strömt durch die Fläche bzw. wie groß ist der Volumenfluss Φ?
Fluss hängt ab von Größe der Fläche A, Geschwindigkeit v und der
Orientierung zwischen Geschwindigkeit und Fläche
r
rr
Φ = (v cos θ )A = vA
Allgemein:
Fluss = Skalarprodukt der Fläche und dem durchdringendem Feld
Der elektrische Fluss
Elektrischer Fluss:
Maß für die Anzahl der Feldlinien durch ein Flächenelement
Allgemein
Elektrisches Feld E nicht konstant über ganze Fläche: differenzieller Fluss dφ
Fluss durch gesamte Fläche
Φ=
r r
E
∫∫ dA =
r r
E
∫ dA
Fläche
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Satz von Gauß
Der Gesamtfluss Φ eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene
(gauß‘sche Fläche) ist proportional zur eingeschlossenen Ladung
ε 0 Φ = qein
Einsetzen in Definition des Flusses
ε0
r r
∫ EdA = qein
Fläche
Gilt in dieser Form nur, wenn Ladungen in Vakuum (Luft) sind
Fluss durch eine geschlossene Fläche
Φ=0
Was rein kommt,
geht auch wieder raus
Φ≠0
Wenn mehr (weniger) rauskommt,
als reinkommt, muss es innen eine
Quelle (Senke) geben
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Gauß‘scher Satz und Coulombgesetz
Annahme
Punktladung q im Ursprung,
Gauß‘sche Fläche Kugel um Ursprung
E radial auf Kugel dA und E parallel
ε0
∫
r r
E dA = ε 0
Fläche
∫ EdA = q
ein
Kugel
E = konst auf Kugelschale
ε 0E
∫ dA = q
ein
ε 0E (4πr 2 ) = qein ⇒ E =
Kugel
Oberfläche einer Kugel
Kraft auf Probeladung q0:
F = q0E =
1 q0qein
4πε 0 r 2
1 qein
4πε 0 r 2
Enstpricht Coulomkraft
für Punktladung im
Abstand r
Mehrere Ladungen in geschlossener
Fläche
Es gilt das Superpositionsprinzip:
Fluss durch Hüllfläche = Summe der Ladungen
ε 0Φ = ∑ qi
i
S3
Φ1 = q/ε0
Φ2 = -q/ε0
S1
S4
S2
Φ3 = 0
Φ4 = q/ε0 + (-q/ε0 )
4
Gauß‘scher Satz und Zylindersymmetrie
Frage: Wie groß ist das Feld eines unendlich langen homogen
geladenen Stabes (Linienladungsdichte λ = konst) im Abstand r?
Feld radial
Gauß‘sche Fläche soll Symmetrie
des Problems angepasst sein:
Koaxialer Zylinder
ε 0 Φ = qein
h
ε 0 Φ Mantel + ε 0 Φ Endfl = ∫ λ (z )dz
0
r
r
Φ Mantel = E (r )A = E (r ) • (2π r h )
λ
2πε 0 r
E (r ) =
Feldstärke eines unendlich langen, bzw. eines
langen Leiters weit weg von den Endpunkten
Divergenz
r r
E
∫ dA = q
ε0
r
r
r
r
Φ Endfl = E (r )A = 0 weil E (r ) ⊥ A
Fläche
Gauß‘scher Integralsatz
r r
Fläche
Definition der Divergenz
r
div
E
dV =
∫
Volumen
r
Volumen
r ∂C x ∂ C y ∂C z
+
div C =
+
∂z
∂x
∂y
Ladung q und Ladungsdichte ρ
ε0
r
∫ C dA = ∫ divC dV
q=
∫ ρ dV
Volumen
∫ ρ dV
Volumen
ε 0divE = ρ
Die im Raum verteilten Ladungen sind die
Quellen (ρ > 0) bzw. Senken (ρ < 0) des
elektrostatischen Feldes
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Divergenz und Nabla
∇ (Nabla) Differenzialoperator mit Vektoreigenschaften
(hat allein stehend keine Bedeutung)
Operator wird auf Skalar oder Vektor angewendet
Skalarprodukt von Nabla ∇ mit Vektor C
⎛ ∂ ⎞
⎟
⎜
⎛C ⎞
⎜ ∂x ⎟
r r ∂ C x ∂C y ∂C z
r ⎜ x⎟
r ⎜ ∂ ⎟
+
∇ •C =
+
C = ⎜ Cy ⎟
∇=
∂y
∂z
∂x
⎜ ∂y ⎟
⎜
⎟
⎜ ∂ ⎟
⎝ Cz ⎠
⎟
⎜
⎝ ∂z ⎠
r ∂C x ∂ C y ∂C z
div C =
+
+
Definition der Divergenz
∂y
∂z
∂x
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ∂x ⎟
r ⎜ ∂ ⎟
∇=
⎜ ∂y ⎟
⎜ ∂ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ∂z ⎠
Skalarprodukt von Nabla ∇ mit Vektor entspricht Divergenz
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